पूर्णांक : धन, ऋण और शून्य
एक ऊँची ऑफ़िस इमारत में भूतल के ऊपर छह मंज़िलें और नीचे दो पार्किंग की मंज़िलें हैं। लिफ़्ट में भूतल का बटन 0, ऊपर की मंज़िलें 1, 2, 3 और पार्किंग की मंज़िलें ऋण चिह्न के साथ दिखती हैं। सर्दी की सुबह पहाड़ी कस्बे का थर्मामीटर भी शून्य से नीचे का तापमान दिखाता है। शून्य से ऊपर और नीचे जाने वाली संख्याएँ हर जगह मिलती हैं।
गिनती की संख्याएँ, शून्य और गिनती की संख्याओं की विपरीत संख्याएँ मिलकर पूर्णांक बनती हैं : … −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3 … शून्य से ऊपर की संख्याएँ धन हैं और उन पर + चिह्न होता है; शून्य से नीचे की संख्याएँ ऋण हैं और उन पर − चिह्न होता है। शून्य न धन है न ऋण। शून्य से समान दूरी पर, पर विपरीत ओर के दो पूर्णांक एक-दूसरे के विपरीत होते हैं।
आकृति में : भूतल के ऊपर की मंज़िलें +, भूतल 0, नीचे की मंज़िलें −।
नियम 1 : धन, ऋण और शून्य — शुरुआती जगह से ऊपर जाना + से और नीचे जाना − से लिखते हैं। शुरुआती जगह स्वयं 0 होती है। भूतल से 4 मंज़िल ऊपर गई लिफ़्ट +4 पर होती है; 2 मंज़िल नीचे गई −2 पर होती है।
पूर्णांक : धन, ऋण और शून्य
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : भूतल से 5 मंज़िल ऊपर यानी +5।
- मध्यम : भूतल से 3 मंज़िल नीचे यानी −3 और भूतल स्वयं 0।
- परीक्षा-प्रकार : +3 पर की लिफ़्ट 3 मंज़िल नीचे गई तो 3 − 3 = 0 यानी भूतल पर पहुँचती है।
नियम 2 : विपरीत संख्याएँ — धन पूर्णांक का विपरीत वही अंक वाला ऋण पूर्णांक होता है, और उलटा भी। 0 का विपरीत 0 ही है।
- आसान : +7 का विपरीत −7।
- मध्यम : −12 का विपरीत +12।
- परीक्षा-प्रकार : −2 पर की लिफ़्ट 5 मंज़िल ऊपर गई : वह +3 पर पहुँचती है, क्योंकि −2 से 5 कदम ऊपर।
शून्य का कोई चिह्न नहीं होता। +0 या −0 न लिखें।
9 बड़ी संख्या है इसलिए −9 को 0 से बड़ा समझना; ऋण संख्या हमेशा शून्य से नीचे होती है।
ऊपर +, नीचे −, शुरुआत 0। याद रखने की युक्ति : “ऊपर धन, नीचे ऋण, भूतल शून्य”।
अंतर पहचानें
| स्थिति | पूर्णांक | प्रकार |
|---|---|---|
| भूतल से 4 मंज़िल ऊपर | +4 | धन |
| भूतल पर | 0 | न धन न ऋण |
| भूतल से 6 मंज़िल नीचे | −6 | ऋण |
| +8 का विपरीत | −8 | ऋण |
अभ्यास के प्रश्न
- 1“भूतल से 5 मंज़िल नीचे” को पूर्णांक में लिखें।
- 2शून्य धन, ऋण या दोनों में से कुछ नहीं?
- 3−9 का विपरीत क्या है?
- 4लिफ़्ट +2 पर है और 5 मंज़िल नीचे जाती है। वह किस मंज़िल पर पहुँचेगी?
- 5−4 पर की लिफ़्ट 7 मंज़िल ऊपर जाती है। वह किस मंज़िल पर पहुँचेगी?
- 6सुबह तापमान शून्य से 6 अंश नीचे है। दोपहर तक वह 9 अंश बढ़ता है। दोपहर में तापमान कितना?
- 7लिफ़्ट −3 से शुरू होकर 8 मंज़िल ऊपर और फिर 6 मंज़िल नीचे जाती है। वह कहाँ रुकती है?
- 8−3 से +3 तक दोनों सिरों सहित कितने पूर्णांक हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) −5
- 22) न धन न ऋण
- 33) +9
- 44) −3
- 55) +3
- 66) +3 °C
- 77) −1
- 88) 7
संख्या रेखा और पूर्णांकों की तुलना
एक प्रश्नोत्तरी खेल में मीरा के +30 अंक हैं और अर्जुन के −10 अंक हैं, क्योंकि ग़लत उत्तरों पर उसके अंक कटे। सबको दिखता है कि मीरा आगे है। बीच में शून्य वाली सीधी पट्टी भी यही दिखाती है : जो दाईं ओर ज़्यादा दूर है वही आगे है।
संख्या रेखा पर बीच में 0, दाईं ओर धन पूर्णांक और बाईं ओर ऋण पूर्णांक बराबर दूरी पर होते हैं। दाईं ओर की संख्या अपनी बाईं ओर की हर संख्या से बड़ी होती है। इसलिए हर धन पूर्णांक 0 से बड़ा और 0 हर ऋण पूर्णांक से बड़ा है।
आकृति में : जितना दाईं ओर उतनी बड़ी : −4 < −1 < 0 < +3।
नियम 1 : दाईं ओर की संख्या बड़ी — दो पूर्णांकों की तुलना के लिए उन्हें संख्या रेखा पर रखें। दाईं ओर वाला बड़ा। दो ऋण संख्याओं में शून्य के पास वाली बड़ी, क्योंकि वह ज़्यादा दाईं ओर होती है।
संख्या रेखा और पूर्णांकों की तुलना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : +3 > −8, क्योंकि धन संख्या हर ऋण संख्या से ऊपर होती है।
- मध्यम : −2 > −7, क्योंकि −2 शून्य के पास और −7 के दाईं ओर है।
- परीक्षा-प्रकार : 0 > −1, क्योंकि शून्य हर ऋण पूर्णांक के दाईं ओर होता है।
नियम 2 : क्रम लगाना और “बीच में” — आरोही क्रम यानी सबसे छोटी पहले, यानी रेखा पर बाईं से दाईं ओर। अवरोही क्रम दाईं से बाईं ओर। दो संख्याओं के बीच के पूर्णांक वे हैं जो रेखा पर ठीक उनके बीच में हों।
- आसान : −5, +2, −1, 0 का आरोही क्रम −5, −1, 0, +2।
- मध्यम : −3 और +2 के बीच के पूर्णांक −2, −1, 0, +1 : चार संख्याएँ।
- परीक्षा-प्रकार : −15, −4 और −9 में सबसे बड़ी −4 और सबसे छोटी −15।
“बीच में” कहने पर दोनों सिरे छोड़ देते हैं : −3 और +2 के बीच में −3 या +2 नहीं आते।
9 > 2 इसलिए −9 > −2 कहना; ऋण संख्याओं में अंक बड़ा हो तो संख्या छोटी होती है।
बाएँ छोटी, दाएँ बड़ी। याद रखने की युक्ति : “दाएँ वाली दमदार (बड़ी)”।
अंतर पहचानें
| जोड़ी | बड़ी संख्या | कारण |
|---|---|---|
| +4 और −9 | +4 | धन ऋण से बड़ा |
| +6 और +2 | +6 | ज़्यादा दाईं ओर |
| −3 और −8 | −3 | शून्य के पास |
| 0 और −5 | 0 | शून्य ऋण से बड़ा |
अभ्यास के प्रश्न
- 1−6 और +1 में बड़ा कौन सा है?
- 2−8 और −3 में छोटा कौन सा है?
- 3सही चिह्न लगाएँ (> या <) : −5 ___ −2।
- 4आरोही क्रम में लगाएँ : −7, 3, −1, 0।
- 5−4 और +3 के बीच कितने पूर्णांक हैं?
- 6−12, −2 और −30 में सबसे बड़ी कौन सी है?
- 7पाँच कस्बों का तापमान −4, +6, −11, 0 और −1 अंश है। सबसे ठंडा और सबसे गरम कौन सा है?
- 8सबसे छोटा धन पूर्णांक, सबसे बड़ा ऋण पूर्णांक और शून्य आरोही क्रम में लिखें।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) +1
- 22) −8
- 33) <
- 44) −7, −1, 0, 3
- 55) 6
- 66) −2
- 77) −11 और +6
- 88) −1, 0, +1
पूर्णांकों का योग
एक बच्ची सीधे रास्ते पर 4 कदम आगे और फिर 6 कदम पीछे चलती है। वह शुरुआती जगह से 2 कदम पीछे पहुँचती है। आगे जाना धन चाल और पीछे जाना ऋण चाल है; दोनों चालें जोड़ने से पता चलता है कि वह कहाँ खड़ी है।
संख्या रेखा पर जोड़ने के लिए पहले पूर्णांक से शुरू करें, फिर धन संख्या के लिए दाईं ओर और ऋण संख्या के लिए बाईं ओर चलें। जहाँ रुकते हैं वही योग है। +1 और −1 की जोड़ी शून्य जोड़ी है : दोनों मिलकर 0 बनते हैं।
आकृति में : (−2) + (+5) = +3 रेखा पर, और (+5) + (−3) = +2 टोकन से : तीन शून्य जोड़ियाँ कट जाती हैं।
नियम 1 : समान चिह्न : जोड़ें, चिह्न वही रखें — दोनों पूर्णांक धन हों या दोनों ऋण हों तो अंक जोड़ें और दोनों का समान चिह्न रखें। एक ही दिशा की दो चालें मिलकर उसी दिशा की बड़ी चाल बनती हैं।
- आसान : (+4) + (+3) = +7।
- मध्यम : (−5) + (−2) = −7 : 5 + 2 = 7 और दोनों ऋण।
- परीक्षा-प्रकार : (−12) + (−9) = −21 : सतह से 12 m नीचे गोताखोर 9 m और नीचे जाता है।
नियम 2 : अलग चिह्न : पीछे चलें या शून्य जोड़ियाँ — चिह्न अलग हों तो चालें उलटी दिशाओं में खींचती हैं। बड़े अंक में से छोटा अंक घटाएँ और जिस पूर्णांक का अंक बड़ा है उसका चिह्न रखें। बराबर पर उलटी चालें कटकर 0 हो जाती हैं।
पूर्णांकों का योग
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : (+9) + (−4) = +5 : 9 − 4 = 5 और बड़ा अंक धन।
- मध्यम : (−8) + (+3) = −5 : 8 − 3 = 5 और बड़ा अंक ऋण।
- परीक्षा-प्रकार : (−15) + (+15) = 0, और (−6) + (+10) = +4 क्योंकि 6 शून्य जोड़ियाँ कटती हैं और 4 धन बचते हैं।
0 जोड़ने से कुछ नहीं बदलता, और पूर्णांक जमा उसका विपरीत हमेशा 0 होता है।
(−5) + (−3) = −2 लिखना; दो ऋण जमा होते हैं, इसलिए उत्तर −8।
समान चिह्न जुड़ते हैं; अलग चिह्न लड़ते हैं और बड़ा जीतता है। याद रखने की युक्ति : “समान – जोड़ो; अलग – लड़ाओ”।
अंतर पहचानें
| प्रकार | उदाहरण | उत्तर |
|---|---|---|
| दोनों धन | (+3) + (+6) | +9 |
| दोनों ऋण | (−3) + (−6) | −9 |
| बड़ा अंक धन | (+8) + (−5) | +3 |
| बड़ा अंक ऋण | (−8) + (+5) | −3 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1(+6) + (+7) ज्ञात करें।
- 2(−4) + (−9) ज्ञात करें।
- 3(+10) + (−3) ज्ञात करें।
- 4(−12) + (+5) ज्ञात करें।
- 5(−8) + (+8) ज्ञात करें।
- 6एक गोताखोर −14 m पर है और 6 m ऊपर आती है। वह अब कहाँ है?
- 7(−7) + (+12) + (−9) ज्ञात करें।
- 8लिफ़्ट +2 से शुरू होकर 6 मंज़िल नीचे और फिर 3 मंज़िल ऊपर जाती है। वह किस मंज़िल पर रुकती है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) +13
- 22) −13
- 33) +7
- 44) −7
- 55) 0
- 66) −8 m
- 77) −4
- 88) −1
पूर्णांकों का घटाव
पहाड़ी कस्बे का थर्मामीटर तड़के −2 अंश और दोपहर में +5 अंश दिखाता है। वह कितना चढ़ा? लिफ़्ट −3 मंज़िल से +2 मंज़िल पर जाती है : वह कितनी मंज़िल और किस दिशा में गई? दोनों प्रश्नों में शुरुआती जगह से लक्ष्य तक ले जाने वाली चाल पूछी गई है।
घटाव यानी शुरुआती पूर्णांक से लक्ष्य पूर्णांक तक जाने के लिए ज़रूरी चाल : लक्ष्य − शुरुआत। एक काम की बात : किसी पूर्णांक को घटाना और उसका विपरीत जोड़ना एक ही उत्तर देते हैं।
आकृति में : −3 से +2 तक चाल +5, इसलिए (+2) − (−3) = +5, जो (+2) + (+3) के बराबर है।
नियम 1 : घटाव यानी चाल : लक्ष्य − शुरुआत — संख्या रेखा पर शुरुआत और लक्ष्य दिखाएँ। शुरुआत से लक्ष्य तक के कदम गिनें : दाईं ओर धन, बाईं ओर ऋण। वही गिनती उत्तर है।
पूर्णांकों का घटाव
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : (+7) − (+4) = +3 : 4 से 7 तक 3 कदम दाईं ओर।
- मध्यम : (−2) − (+5) = −7 : 5 से −2 तक 7 कदम बाईं ओर।
- परीक्षा-प्रकार : (+2) − (−3) = +5 : लिफ़्ट −3 से +2 पर जाती है, 5 मंज़िल ऊपर।
नियम 2 : घटाना = विपरीत जोड़ना — घटाव के चिह्न को जोड़ में बदलें और दूसरे पूर्णांक की जगह उसका विपरीत लें। फिर सामान्य तरह से जोड़ें। ऋण संख्या घटाना यानी धन संख्या जोड़ना।
- आसान : (+8) − (+3) = (+8) + (−3) = +5।
- मध्यम : (+5) − (−4) = (+5) + (+4) = +9।
- परीक्षा-प्रकार : (−7) − (−10) = (−7) + (+10) = +3।
ऋण संख्या घटाने से उत्तर छोटा नहीं, बड़ा होता है।
(+5) − (−4) = +1 लिखना; दूसरी संख्या पहले उसके विपरीत में बदलनी पड़ती है, इसलिए उत्तर +9।
दूसरे का चिह्न पलटें, फिर जोड़ें। याद रखने की युक्ति : “घटाव यानी पलटो और जोड़ो”।
अंतर पहचानें
| घटाव | यानी | उत्तर |
|---|---|---|
| (+6) − (+2) | (+6) + (−2) | +4 |
| (+6) − (−2) | (+6) + (+2) | +8 |
| (−6) − (+2) | (−6) + (−2) | −8 |
| (−6) − (−2) | (−6) + (+2) | −4 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1(+9) − (+4) ज्ञात करें।
- 2(+3) − (+8) ज्ञात करें।
- 3(+5) − (−2) ज्ञात करें।
- 4(−6) − (+3) ज्ञात करें।
- 5(−4) − (−9) ज्ञात करें।
- 6लिफ़्ट −3 मंज़िल से +4 मंज़िल पर जाती है। वह कितना और किस दिशा में जाती है?
- 7दोपहर में तापमान +4 अंश और आधी रात को −6 अंश था। तापमान में बदलाव कितना है?
- 8(+2) − (−6) − (+10) ज्ञात करें।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) +5
- 22) −5
- 33) +7
- 44) −9
- 55) +5
- 66) 7 मंज़िल ऊपर
- 77) −10 (10 अंश की गिरावट)
- 88) −2
दैनिक जीवन में पूर्णांक
दुकानदार की पासबुक में जमा और निकाले हुए पैसे दिखते हैं। पहाड़ पर शिविर समुद्र तल से बहुत ऊँचा होता है, जबकि गोताखोर की नाव से बहुत नीचे समुद्र की तलहटी होती है। मौसम की रिपोर्ट में हिमांक से ऊपर और नीचे के तापमान दिए जाते हैं। जहाँ दो उलटी दिशाएँ और स्वाभाविक शून्य हो वहाँ पूर्णांक काम आते हैं।
पहले तय करें कि शून्य क्या है और धन दिशा कौन सी है। बैंक बैलेंस में जमा रकम धन और देनदारी ऋण। ऊँचाई में समुद्र तल से ऊपर धन और नीचे ऋण। तापमान में 0 °C से ऊपर धन और नीचे ऋण। फिर शुरुआती मान में बदलाव जोड़ें।
आकृति में : ऊँचाई समुद्र तल से और तापमान 0 °C से नापते हैं; दोनों शून्य से ऊपर और नीचे जाते हैं।
नियम 1 : शून्य और चिह्न तय करें, फिर बदलाव जोड़ें — बढ़त, जमा या लाभ धन; गिरावट, निकासी या हानि ऋण। नया मान = शुरुआती मान + बदलाव, पूर्णांकों के जोड़ के नियमों से।
दैनिक जीवन में पूर्णांक
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : तापमान −4 अंश है और 10 बढ़ता है : (−4) + (+10) = +6 अंश।
- मध्यम : बैलेंस +120 और ₹80 खर्च : (+120) + (−80) = +40, यानी ₹40 बचते हैं।
- परीक्षा-प्रकार : बैलेंस +120 और ₹300 खर्च : (+120) + (−300) = −180, यानी खाते पर ₹180 देनदारी।
नियम 2 : दो स्तरों के बीच अंतर — दो मानों के बीच की दूरी निकालने के लिए बड़े मान में से छोटा मान घटाएँ। ऋण मान घटाने पर उसका अंक जुड़ता है, इसलिए शून्य के दोनों ओर का अंतर दोनों अंकों का योग है।
- आसान : समुद्र तल से 40 m और 10 m ऊपर की जगहों में 40 − 10 = 30 m अंतर।
- मध्यम : +20 m पर पक्षी और −30 m पर पनडुब्बी के बीच (+20) − (−30) = 50 m अंतर।
- परीक्षा-प्रकार : दिन का अधिकतम तापमान +7 और न्यूनतम −5 : अंतर (+7) − (−5) = 12 अंश।
चिह्न लगाने से पहले हमेशा बताएँ कि शून्य क्या है और धन दिशा कौन सी है।
−50 m को समुद्र तल से 50 m ऊपर पढ़ना; ऋण चिह्न का मतलब समुद्र तल से नीचे।
पहले शून्य और धन दिशा तय करें, फिर जोड़ें। याद रखने की युक्ति : “पहले शून्य, फिर धन या ऋण”।
अंतर पहचानें
| स्थिति | धन | ऋण |
|---|---|---|
| बैंक बैलेंस | जमा | देनदारी |
| ऊँचाई | समुद्र तल से ऊपर | समुद्र तल से नीचे |
| तापमान | 0 °C से ऊपर | 0 °C से नीचे |
| लिफ़्ट | भूतल से ऊपर | भूतल से नीचे |
अभ्यास के प्रश्न
- 1दुकानदार खाते से ₹75 निकालता है। इस बदलाव को पूर्णांक में लिखें।
- 2तापमान +3 अंश है और 8 घटता है। अब कितना?
- 3एक पनडुब्बी समुद्र तल से 40 m नीचे है। उसका स्तर चिह्न सहित लिखें।
- 4खाते में +500 हैं। ₹200 खर्च होते हैं और ₹50 जमा होते हैं। अब बैलेंस कितना?
- 5खाता −60 दिखाता है (₹60 देनदारी)। ₹100 जमा किए। बैलेंस कितना?
- 6पहाड़ पर शिविर +120 m पर और झील −15 m पर है। ऊँचाई में अंतर कितना?
- 7रात में तापमान −9 अंश और दोपहर में +6 अंश है। वह कितने अंश बढ़ा?
- 8खाता +90 से शुरू होता है। ₹140 खर्च, ₹70 जमा और ₹30 खर्च। अंतिम बैलेंस कितना?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) −75
- 22) −5
- 33) −40 m
- 44) +350
- 55) +40
- 66) 135 m
- 77) 15 अंश
- 88) −10