सममिति रेखा और दर्पण जैसे आधे भाग
तितली को देखिए : उसका बायाँ पंख दाएँ पंख जैसा होता है। बच्चा कागज़ आधा मोड़कर कागज़ का फूल काटता है और खोलने पर दोनों ओर एक-सा दिखता है। ऐसी आकृतियों में एक आधा भाग दूसरे का दर्पण में दिखने वाला रूप होता है।
किसी आकृति की सममिति रेखा तब होती है जब उस रेखा पर मोड़ने से दोनों आधे भाग एक-दूसरे पर ठीक बैठ जाएँ। इन दोनों भागों को दर्पण जैसे आधे भाग कहते हैं। इस रेखा को दर्पण रेखा भी कहते हैं और वह खड़ी, आड़ी या तिरछी हो सकती है।
आकृति में : बाईं ओर का त्रिभुज मोड़ने पर मिलते आधे भाग देता है; दाईं ओर वाला नहीं देता।
नियम 1 : मोड़ने की जाँच — रेखा पर मोड़ने की कल्पना कीजिए। एक आधे का हर बिंदु दूसरे आधे के बिंदु पर ठीक बैठे तो वह सममिति रेखा है। कोई भाग बाहर रह जाए तो नहीं।
सममिति रेखा और दर्पण जैसे आधे भाग
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : समद्विबाहु त्रिभुज को ऊपरी कोने से आधार के मध्य तक की रेखा पर मोड़ा : आधे भाग बैठते हैं, इसलिए वह सममिति रेखा है।
- मध्यम : आयत को उसकी दो लंबी भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा पर मोड़ा : आधे भाग बैठते हैं।
- परीक्षा-प्रकार : तीनों भुजाएँ अलग-अलग वाला त्रिभुज : किसी भी मोड़ में आधे भाग नहीं बैठते, इसलिए सममिति रेखा नहीं है।
नियम 2 : मेल खाते बिंदु — हर बिंदु का रेखा के दूसरी ओर एक साथी होता है और वह रेखा से उतनी ही दूरी पर होता है। रेखा पर का बिंदु अपना ही साथी होता है। इसलिए बिंदु और उसके साथी के बीच की दूरी रेखा से उसकी दूरी की दुगुनी होती है।
- आसान : रेखा के बाईं ओर 3 cm पर स्थित बिंदु का साथी दाईं ओर 3 cm पर होता है, इसलिए उनके बीच 6 cm दूरी।
- मध्यम : रेखा से 5 cm दूर बिंदु अपने साथी से 5 × 2 = 10 cm दूर होता है।
- परीक्षा-प्रकार : अंग्रेज़ी बड़े A की एक खड़ी सममिति रेखा है, H की दो (खड़ी और आड़ी), और F की कोई नहीं।
आकृति के दो बराबर माप के टुकड़े करने वाली रेखा हमेशा सममिति रेखा नहीं होती; मोड़ने पर टुकड़े बैठने भी चाहिए।
जो वर्ग नहीं है ऐसे आयत के विकर्ण को सममिति रेखा समझना; उस पर मोड़ने पर कोने बाहर रह जाते हैं।
मोड़ें : आधे भाग ठीक मिलें तो मोड़ की रेखा सममिति रेखा है। याद रखने की युक्ति : “मोड़ें, बैठा, तो सममिति रेखा”।
अंतर पहचानें
| आकृति | मोड़ें इस रेखा पर | आधे भाग बैठते हैं? |
|---|---|---|
| समद्विबाहु त्रिभुज | ऊपरी कोना से आधार का मध्य | हाँ |
| आयत | लंबी भुजाओं के मध्य मिलाने वाली | हाँ |
| आयत | एक विकर्ण | नहीं |
| विषमबाहु त्रिभुज | कोई भी रेखा | नहीं |
अभ्यास के प्रश्न
- 1आकृति के दो मिलते आधे भाग करने वाली रेखा को क्या कहते हैं?
- 2तीन अलग-अलग भुजाओं वाले त्रिभुज की सममिति रेखा होती है क्या?
- 3एक बिंदु सममिति रेखा से 4 cm दूर है। उसका साथी बिंदु रेखा से कितनी दूर है?
- 4बिंदु P सममिति रेखा से 6 cm दूर है। P और उसके साथी बिंदु के बीच की दूरी कितनी है?
- 5एक आयत 8 cm गुणा 5 cm है। क्या उसका विकर्ण सममिति रेखा है?
- 6समद्विबाहु त्रिभुज की कितनी सममिति रेखाएँ होती हैं?
- 7बड़े अक्षरों A, H, F और L में से कितनों की कम से कम एक सममिति रेखा है?
- 8आकृति की सममिति रेखा से बाएँ किनारे तक 9 cm है। आकृति की पूरी चौड़ाई कितनी है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) सममिति रेखा
- 22) नहीं
- 33) 4 cm
- 44) 12 cm
- 55) नहीं
- 66) 1
- 77) 2 (A और H)
- 88) 18 cm
सममिति रेखाएँ गिनना
चौकोर फ़र्श की टाइल, तिकोना चेतावनी-बोर्ड और गोल थाली हर एक को अलग-अलग तरह से मोड़कर मिलाया जा सकता है। डिज़ाइनर नक्शा चुनने से पहले गिनता है कि उसमें ऐसे कितने मोड़ हैं।
अलग-अलग आकृतियों की सममिति रेखाओं की संख्या अलग होती है। सम बहुभुज की जितनी भुजाएँ उतनी रेखाएँ होती हैं। वृत्त की अनगिनत रेखाएँ होती हैं, हर व्यास के लिए एक। कुछ आकृतियों की, जैसे तीन अलग भुजाओं वाले त्रिभुज की, एक भी नहीं होती।
आकृति में : त्रिभुज 3, आयत 2, वर्ग 4, षट्भुज 6 सममिति रेखाएँ।
नियम 1 : सम बहुभुज : जितनी भुजाएँ उतनी — सम बहुभुज की जितनी भुजाएँ उतनी सममिति रेखाएँ होती हैं। सभी रेखाएँ केंद्र से होकर जाती हैं और दो पास की रेखाओं के बीच का कोण 180° को भुजाओं की संख्या से भाग देने पर आता है।
सममिति रेखाएँ गिनना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : सम पंचभुज : 5 भुजाएँ, इसलिए 5 सममिति रेखाएँ।
- मध्यम : सम षट्भुज : 6 रेखाएँ, और पास की रेखाओं के बीच 180 ÷ 6 = 30° का कोण।
- परीक्षा-प्रकार : सम अष्टभुज : 8 सममिति रेखाएँ।
नियम 2 : त्रिभुज और चतुर्भुज — तीन बराबर भुजाओं वाले त्रिभुज की 3 रेखाएँ, दो बराबर भुजाओं वाले की 1 और कोई बराबर भुजा न हो तो 0। जो वर्ग नहीं है ऐसे आयत की 2 रेखाएँ, वर्ग की 4, पतंग की 1 और जो आयत नहीं है ऐसे समांतर चतुर्भुज की 0।
- आसान : आयत 9 cm गुणा 5 cm : 2 रेखाएँ, आमने-सामने की भुजाओं के मध्य मिलाने वाली (विकर्ण नहीं गिनते)।
- मध्यम : समद्विबाहु त्रिभुज : 1 रेखा।
- परीक्षा-प्रकार : तिरछा समांतर चतुर्भुज : कैसे भी मोड़ें, 0 रेखाएँ।
वृत्त की अनगिनत सममिति रेखाएँ होती हैं : केंद्र से होकर जाने वाली हर रेखा एक होती है।
जो वर्ग नहीं है ऐसे आयत के विकर्णों को सममिति रेखाएँ गिन लेना।
सम बहुभुज : रेखाओं की संख्या = भुजाओं की संख्या। याद रखने की युक्ति : “सम आकृति : जितनी भुजाएँ उतनी रेखाएँ”।
अंतर पहचानें
| आकृति | सममिति रेखाएँ | कारण |
|---|---|---|
| समबाहु त्रिभुज | 3 | हर कोने से एक |
| आयत | 2 | दो मध्य रेखाएँ |
| वर्ग | 4 | 2 मध्य रेखाएँ + 2 विकर्ण |
| वृत्त | अनगिनत | केंद्र से जाने वाली हर रेखा |
अभ्यास के प्रश्न
- 1वर्ग की कितनी सममिति रेखाएँ होती हैं?
- 2सम षट्भुज की कितनी सममिति रेखाएँ होती हैं?
- 3जो वर्ग नहीं है ऐसे आयत की कितनी सममिति रेखाएँ होती हैं?
- 4एक सम बहुभुज की 9 सममिति रेखाएँ हैं। उसकी कितनी भुजाएँ हैं?
- 5सम षट्भुज की पास-पास की सममिति रेखाएँ कितना कोण बनाती हैं?
- 6किसकी सममिति रेखाएँ अधिक हैं, वर्ग की या सम पंचभुज की?
- 7सम बहुभुज की पास-पास की सममिति रेखाएँ 20° का कोण बनाती हैं। उसकी कितनी भुजाएँ हैं?
- 8वर्ग, आयत (जो वर्ग नहीं है) और समबाहु त्रिभुज की मिलाकर कुल कितनी सममिति रेखाएँ हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 4
- 22) 6
- 33) 2
- 44) 9
- 55) 30° (180 ÷ 6)
- 66) पंचभुज (5 रेखाएँ बनाम 4)
- 77) 9 भुजाएँ (180 ÷ 20)
- 88) 9 (4 + 2 + 3)
घूर्णन सममिति और घूर्णन केंद्र
तीन बराबर पंखुड़ियों वाला छत का पंखा एक-तिहाई चक्कर घूमने पर वैसा ही दिखता है। बराबर दूरी पर तीलियों वाला साइकिल का पहिया भी ऐसा ही करता है। ये आकृतियाँ मोड़ने पर नहीं, घुमाने पर अपने से मिलती हैं।
किसी आकृति में घूर्णन सममिति होती है यदि वह एक निश्चित बिंदु के चारों ओर पूरे चक्कर से कम घुमाने पर ठीक वैसी ही दिखे। उस निश्चित बिंदु को घूर्णन केंद्र कहते हैं। 360° के पूरे चक्कर के बाद हर आकृति वैसी ही दिखती है, इसलिए वह चक्कर अकेले नहीं गिना जाता।
आकृति में : 3 बराबर पंखुड़ियों वाली फिरकी 120° और 240° घुमाने पर वैसी ही दिखती है।
नियम 1 : घुमाएँ और तुलना करें — आकृति को केंद्र के चारों ओर धीरे-धीरे घुमाएँ। 360° से कम किसी घुमाव पर वह अपनी पुरानी रूपरेखा पर ठीक बैठे तो उसमें घूर्णन सममिति है। ऐसा सबसे छोटा घुमाव बताता है कि उसकी कितनी मेल खाती स्थितियाँ हैं।
घूर्णन सममिति और घूर्णन केंद्र
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : वर्ग को 90° घुमाने पर वह पुरानी रूपरेखा पर बैठता है, इसलिए सबसे छोटा घुमाव 90°।
- मध्यम : आयत (जो वर्ग नहीं है) 90° के बाद नहीं बैठता, पर 180° के बाद बैठता है।
- परीक्षा-प्रकार : समबाहु त्रिभुज 120°, 240° और 360° के बाद बैठता है।
नियम 2 : सममिति रेखा के बिना घूर्णन सममिति — मोड़ने से कोई मेल न बने तब भी आकृति घुमाने पर वैसी दिख सकती है। मुड़ी पंखुड़ियों वाली फिरकी की कोई सममिति रेखा नहीं होती, फिर भी वह हर चौथाई चक्कर के बाद मेल खाती है।
- आसान : बड़े अक्षर N की कोई सममिति रेखा नहीं है, फिर भी आधा चक्कर (180°) घुमाने पर वह वैसा ही दिखता है।
- मध्यम : जमा चिह्न (+) हर 90° घुमाने पर वैसा ही दिखता है।
- परीक्षा-प्रकार : वर्ग का घूर्णन केंद्र वह बिंदु है जहाँ उसके विकर्ण मिलते हैं।
360° के बाद हर आकृति वैसी ही दिखती है, इसलिए आकृति में घूर्णन सममिति तभी है जब वह छोटे घुमाव पर भी मेल खाए।
पूरे चक्कर के कारण हर आकृति में घूर्णन सममिति मान लेना, या उसे सममिति रेखा से मिला देना।
घूर्णन सममिति = पूरे चक्कर से कम घुमाने पर वैसी ही दिखना। याद रखने की युक्ति : “घुमाएँ, देखें, वैसी ही?”।
अंतर पहचानें
| आकृति | मेल खाने वाला सबसे छोटा घुमाव | घूर्णन केंद्र |
|---|---|---|
| वर्ग | 90° | जहाँ विकर्ण मिलते हैं |
| आयत | 180° | जहाँ विकर्ण मिलते हैं |
| समबाहु त्रिभुज | 120° | त्रिभुज का मध्य |
| विषमबाहु त्रिभुज | नहीं (केवल 360°) | आवश्यक नहीं |
अभ्यास के प्रश्न
- 1वर्ग के वैसा ही दिखने के लिए सबसे छोटा घुमाव कितना है?
- 2आयत 180° घुमाने पर वैसा ही दिखता है क्या?
- 3फिरकी की 4 बराबर पंखुड़ियाँ हैं। वह कितने अंश पर पहली बार वैसी दिखती है?
- 4फिरकी की 6 बराबर पंखुड़ियाँ हैं। उसके वैसी दिखने का सबसे छोटा घुमाव कितना है?
- 5तीन अलग भुजाओं वाले त्रिभुज में घूर्णन सममिति होती है क्या?
- 6बड़ा अक्षर H आधा चक्कर घुमाने पर वैसा ही दिखता है क्या?
- 7एक फिरकी 72° घुमाने पर पहली बार वैसी दिखती है। उसकी कितनी बराबर पंखुड़ियाँ हैं?
- 8क्या 100° का घुमाव वर्ग को वैसा ही दिखाता है? कारण दीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 90°
- 22) हाँ
- 33) 90°
- 44) 60° (360 ÷ 6)
- 55) नहीं (केवल 360° के बाद)
- 66) हाँ
- 77) 5 पंखुड़ियाँ (360 ÷ 72)
- 88) नहीं, 100, 90 का गुणज नहीं है
घूर्णन सममिति के कोण
एक गोल झूले में 6 एक जैसी सीटें हैं। हर बार ठीक एक सीट आगे घूमने पर पूरा झूला पहले जैसा दिखता है। ऐसा सबसे छोटा घुमाव पूरे चक्कर का एक निश्चित भाग होता है।
जिन घुमावों के बाद आकृति वैसी ही दिखे वे उसके सममिति कोण हैं। सबसे छोटा कोण 360° को मेल खाती स्थितियों में बराबर बाँटने पर आता है, और बाकी उसके गुणज हैं, 360° तक। सम बहुभुज की जितनी भुजाएँ उतनी मेल खाती स्थितियाँ होती हैं।
आकृति में : त्रिभुज 120°, 240° और 360° के बाद मेल खाता है; वर्ग 90°, 180°, 270° और 360° के बाद।
नियम 1 : सबसे छोटा कोण खोजें — 360° को मेल खाती स्थितियों की संख्या से भाग दें। सम बहुभुज के लिए वह भुजाओं की संख्या होती है।
घूर्णन सममिति के कोण
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : वर्ग : 360 ÷ 4 = 90°।
- मध्यम : समबाहु त्रिभुज : 360 ÷ 3 = 120°।
- परीक्षा-प्रकार : सम षट्भुज : 360 ÷ 6 = 60°।
नियम 2 : सभी कोण लिखें — सबसे छोटे कोण को 360° आने तक बार-बार जोड़ते जाएँ। रास्ते की हर संख्या एक सममिति कोण है। आख़िरी, 360°, पूरा चक्कर है।
- आसान : सम पंचभुज : 72°, 144°, 216°, 288° और 360°।
- मध्यम : आयत (जो वर्ग नहीं है) : 180° और 360°।
- परीक्षा-प्रकार : सबसे छोटा कोण 45° : 360 ÷ 45 = 8 मेल खाती स्थितियाँ।
सूची का अंतिम कोण हमेशा 360° होता है, क्योंकि पूरा चक्कर हर आकृति को शुरुआती जगह पर ले आता है।
भुजाओं की संख्या से 360° की जगह 180° भाग देना, या सबसे छोटे कोण के गुणज लिखना भूल जाना।
सबसे छोटा कोण = 360° ÷ मेल खाती स्थितियों की संख्या; उसे 360° तक जोड़ते जाएँ। याद रखने की युक्ति : “तीन सौ साठ, बराबर बाँटो”।
अंतर पहचानें
| आकृति | सबसे छोटा कोण | सभी कोण |
|---|---|---|
| समबाहु त्रिभुज | 120° | 120°, 240°, 360° |
| वर्ग | 90° | 90°, 180°, 270°, 360° |
| सम षट्भुज | 60° | 60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360° |
| आयत | 180° | 180°, 360° |
अभ्यास के प्रश्न
- 1समबाहु त्रिभुज की घूर्णन सममिति का सबसे छोटा कोण कितना है?
- 2सम अष्टभुज की घूर्णन सममिति का सबसे छोटा कोण कितना है?
- 3वर्ग की घूर्णन सममिति के सभी कोण लिखिए।
- 410 भुजाओं वाले सम बहुभुज की घूर्णन सममिति का सबसे छोटा कोण कितना है?
- 5एक आकृति का सबसे छोटा सममिति कोण 40° है। पूरे चक्कर में उसकी कितनी मेल खाती स्थितियाँ हैं?
- 6सम पंचभुज की घूर्णन सममिति का दूसरा कोण कितना है?
- 7एक सम बहुभुज की घूर्णन सममिति का सबसे छोटा कोण 24° है। उसकी कितनी भुजाएँ हैं?
- 8एक आकृति 120° घुमाने पर वैसी ही दिखती है। यदि 120° सबसे छोटा हो तो 80°, 240° और 300° में से कौन-से सममिति कोण हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 120°
- 22) 45° (360 ÷ 8)
- 33) 90°, 180°, 270°, 360°
- 44) 36° (360 ÷ 10)
- 55) 9 (360 ÷ 40)
- 66) 144° (2 × 72°)
- 77) 15 भुजाएँ (360 ÷ 24)
- 88) केवल 240° (120° का गुणज)
परावर्तन और घूर्णन साथ-साथ
चौकोर खिड़की, तिकोना चेतावनी-बोर्ड और तिरछी टाइल इन सबकी दो तरह से जाँच हो सकती है : दर्पण रेखा पर मोड़ना और केंद्र के चारों ओर घुमाना। हर आकृति एक जाँच, दोनों या कोई भी पास कर सकती है।
रेखा सममिति मोड़कर और घूर्णन सममिति घुमाकर जाँची जाती है। आकृति में केवल रेखा सममिति, केवल घूर्णन सममिति, दोनों या कोई नहीं हो सकती। ये दोनों प्रकार हमेशा साथ नहीं आते।
आकृति में : वर्ग : दोनों। समद्विबाहु त्रिभुज : केवल रेखा। समांतर चतुर्भुज : केवल घुमाव।
नियम 1 : दो अलग जाँचें — पहले मोड़ने की जाँच करके रेखाएँ गिनें। फिर घुमाने की जाँच करके मेल खाने वाला सबसे छोटा घुमाव खोजें। हर आकृति के लिए दोनों परिणाम लिखें।
परावर्तन और घूर्णन साथ-साथ
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : वर्ग : 4 रेखाएँ और 90° घुमाने पर मेल खाता है, इसलिए दोनों प्रकार हैं।
- मध्यम : समद्विबाहु त्रिभुज : 1 रेखा, पर 360° से छोटा कोई घुमाव मेल नहीं खाता, इसलिए केवल रेखा सममिति।
- परीक्षा-प्रकार : तिरछा समांतर चतुर्भुज : रेखा नहीं, पर 180° के बाद मेल खाता है, इसलिए केवल घूर्णन सममिति।
नियम 2 : संख्याओं की तुलना करें — सम बहुभुज की जितनी भुजाएँ उतनी रेखाएँ और उतनी ही मेल खाती स्थितियाँ होती हैं। आयत की 2 रेखाएँ और 2 मेल खाती स्थितियाँ। पतंग की 1 रेखा और कोई मेल खाने वाला घुमाव नहीं।
- आसान : समबाहु त्रिभुज : 3 रेखाएँ और 3 मेल खाती स्थितियाँ (120°, 240°, 360°)।
- मध्यम : पतंग : 1 रेखा, घूर्णन सममिति नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : मुड़ी 4 पंखुड़ियों वाली फिरकी : रेखा नहीं, पर हर 90° के बाद मेल खाती है।
सममिति रेखा होने से घूर्णन सममिति नहीं मिलती, और घूर्णन सममिति होने से रेखा नहीं मिलती।
रेखा सममिति और घूर्णन सममिति हमेशा साथ आती हैं ऐसा मानना।
रेखाओं के लिए मोड़ की जाँच, घूर्णन के लिए घुमाव की जाँच; दोनों अलग-अलग करें। याद रखने की युक्ति : “रेखाओं के लिए मोड़ें, घूर्णन के लिए घुमाएँ”।
अंतर पहचानें
| आकृति | सममिति रेखाएँ | घूर्णन सममिति |
|---|---|---|
| वर्ग | 4 | हाँ (90°) |
| समद्विबाहु त्रिभुज | 1 | नहीं |
| समांतर चतुर्भुज | 0 | हाँ (180°) |
| विषमबाहु त्रिभुज | 0 | नहीं |
अभ्यास के प्रश्न
- 1वर्ग में रेखा सममिति और घूर्णन सममिति दोनों होती हैं क्या?
- 2समद्विबाहु त्रिभुज में घूर्णन सममिति होती है क्या?
- 3तिरछे समांतर चतुर्भुज (जो आयत नहीं है) की सममिति रेखा होती है क्या?
- 4जो वर्ग नहीं है ऐसे आयत के लिए सममिति रेखाओं की संख्या और मेल खाने वाला सबसे छोटा घुमाव बताइए।
- 5क्या पतंग में घूर्णन सममिति होती है?
- 6समबाहु त्रिभुज के लिए सममिति रेखाओं की संख्या और मेल खाने वाला सबसे छोटा घुमाव बताइए।
- 7इनमें से किसकी ठीक 1 सममिति रेखा है और घूर्णन सममिति नहीं : वर्ग, समद्विबाहु त्रिभुज, समांतर चतुर्भुज?
- 8एक सम बहुभुज की 6 सममिति रेखाएँ हैं और मेल खाने वाला सबसे छोटा घुमाव 60° है। उसका नाम बताइए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) हाँ
- 22) नहीं
- 33) नहीं
- 44) 2 रेखाएँ, 180°
- 55) नहीं
- 66) 3 रेखाएँ, 120°
- 77) समद्विबाहु त्रिभुज
- 88) सम षट्भुज