परकार और वृत्त
मीना खूँटी में धागा बाँधकर उसके चारों ओर चॉक घुमाकर गोल रंगोली बनाती है। माली खंभे में रस्सी बाँधकर घूमते हुए गोल क्यारी बनाता है। दोनों में किनारे का हर बिंदु एक निश्चित बिंदु से बराबर दूरी पर होता है।
वृत्त उन बिंदुओं से बनता है जो केंद्र नामक निश्चित बिंदु से बराबर दूरी पर होते हैं। वह दूरी त्रिज्या है; परकार की दोनों नोकें खोलने पर वह दूरी स्थिर रहती है। केंद्र से होकर वृत्त को दोनों सिरों पर छूने वाली रेखा व्यास है, वह त्रिज्या का दुगुना होता है।
आकृति में : त्रिज्या केंद्र O से वृत्त तक जाती है; व्यास O से होकर आर-पार जाता है।
नियम 1 : त्रिज्या और व्यास — एक वृत्त की सभी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं। व्यास त्रिज्या का दुगुना होता है, इसलिए त्रिज्या व्यास की आधी होती है। परकार का खुलना त्रिज्या है, व्यास नहीं।
परकार और वृत्त
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : त्रिज्या 6 cm : व्यास 6 × 2 = 12 सेमी।
- मध्यम : व्यास 18 m : त्रिज्या 18 ÷ 2 = 9 मी।
- परीक्षा-प्रकार : परकार 5 cm खोला : वृत्त के दो बिंदु अधिक से अधिक 5 × 2 = 10 cm दूर हो सकते हैं।
नियम 2 : अंदर, पर या बाहर — बिंदु की केंद्र से दूरी की त्रिज्या से तुलना करें। त्रिज्या से कम हो तो अंदर, बराबर हो तो वृत्त पर, अधिक हो तो बाहर।
- आसान : त्रिज्या 5 cm, बिंदु केंद्र से 3 cm : 3, 5 से कम है, इसलिए अंदर।
- मध्यम : त्रिज्या 5 cm, बिंदु केंद्र से 5 cm : बराबर, इसलिए वृत्त पर।
- परीक्षा-प्रकार : त्रिज्या 5 cm, बिंदु केंद्र से 8 cm : 8, 5 से अधिक है, इसलिए बाहर।
व्यास वृत्त में आर-पार खींची जा सकने वाली सबसे लंबी सीधी रेखा है, क्योंकि वह केंद्र से होकर जाती है।
परकार के खुलने को व्यास समझ लेना, या व्यास को दुगुना करने की जगह आधा कर देना।
व्यास = त्रिज्या दुगुनी; त्रिज्या = व्यास आधा। याद रखने की युक्ति : “त्रिज्या = केंद्र से पहुँच; व्यास = दुगुना”।
अंतर पहचानें
| शब्द | अर्थ | उदाहरण |
|---|---|---|
| केंद्र | निश्चित बिंदु O | O |
| त्रिज्या | केंद्र से वृत्त तक | 4 cm |
| व्यास | केंद्र से आर-पार | 8 cm |
| परकार का खुलना | त्रिज्या तय करता है | 4 cm |
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक वृत्त की त्रिज्या 7 cm है। उसका व्यास कितना है?
- 2एक गोल तालाब का व्यास 20 m है। उसकी त्रिज्या कितनी है?
- 3वृत्त बनाने के लिए परकार 9 cm खोला। वृत्त का व्यास कितना है?
- 4एक वृत्त का व्यास 26 cm है। बिंदु P केंद्र से 12 cm दूर है। P वृत्त के अंदर, पर या बाहर है?
- 5परकार 6 cm खुला है। उससे बने वृत्त के दो बिंदुओं के बीच अधिकतम दूरी कितनी है?
- 6एक वृत्त की त्रिज्या 8 cm है। बिंदु P, Q, R केंद्र से 5 cm, 8 cm, 11 cm दूर हैं। कौन-सा बिंदु वृत्त पर है?
- 7एक वृत्त की त्रिज्या 9 cm है और एक बिंदु केंद्र से 17 cm दूर है। वह बिंदु वृत्त के सबसे पास के बिंदु से कितनी दूर है?
- 8एक गोल तालाब का व्यास 30 m है। उसके चारों ओर बाहर 2 m चौड़ा रास्ता बनाया गया। रास्ते के बाहरी किनारे की त्रिज्या कितनी है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 14 cm
- 22) 10 m
- 33) 18 cm
- 44) अंदर (12, 13 से कम है)
- 55) 12 cm
- 66) Q
- 77) 8 cm (17 − 9)
- 88) 17 m (15 + 2)
वर्ग और आयत के गुण
बढ़ई नई खिड़की का फ्रेम जाँचता है। वह आमने-सामने की दोनों जोड़ियाँ नापता है और हर कोने में सेट-स्क्वेयर लगाता है। आमने-सामने की भुजाएँ मिलें और हर कोना बैठे, तो फ्रेम सच्चा आयत है।
आयत के चार समकोण (90°) होते हैं और उसकी आमने-सामने की भुजाएँ बराबर व समांतर होती हैं। वर्ग वह आयत है जिसकी चारों भुजाएँ बराबर हों। इसलिए हर वर्ग आयत है, पर असमान भुजाओं वाला आयत वर्ग नहीं है।
आकृति में : दोनों आकृतियों के कोने समकोण हैं; वर्ग में चारों भुजाएँ भी बराबर हैं।
नियम 1 : भुजाएँ और कोण — आयत में आमने-सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं और चारों कोण 90° के होते हैं। आकृति घुमाने पर भी इनमें कुछ नहीं बदलता।
वर्ग और आयत के गुण
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : आयत 9 cm गुणा 5 cm : बाकी दो भुजाएँ 9 cm और 5 cm, परिमाप 2 × 14 = 28 सेमी।
- मध्यम : आयत ABCD में AB = 12 cm और BC = 7 cm : CD = 12 cm और AD = 7 सेमी।
- परीक्षा-प्रकार : 6 cm भुजा का वर्ग : चारों भुजाएँ 6 cm, चारों कोण 90°, परिमाप 6 × 4 = 24 सेमी।
नियम 2 : आयत या वर्ग? — कोण 90° के हों और केवल आमने-सामने की भुजाएँ बराबर हों तो आयत। चारों भुजाएँ भी बराबर हों तो वर्ग। केवल चार बराबर भुजाएँ काफ़ी नहीं, कोण 90° होने चाहिए।
- आसान : 8 cm, 8 cm, 8 cm, 8 cm भुजाएँ और समकोण : वर्ग।
- मध्यम : 8 cm और 5 cm भुजाएँ और समकोण : आयत, वर्ग नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : चार भुजाएँ 5 cm पर कोण 70° और 110° : वर्ग नहीं (यह समचतुर्भुज है)।
वर्ग में आयत के सभी गुण होते हैं, साथ ही उसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
वर्ग को आयत न मानना, या चार बराबर भुजाओं वाली हर आकृति को वर्ग समझ लेना।
वर्ग = आयत + चारों भुजाएँ बराबर। याद रखने की युक्ति : “आयत = 4 समकोण; वर्ग = 4 समकोण + 4 बराबर भुजाएँ”।
अंतर पहचानें
| गुण | आयत | वर्ग |
|---|---|---|
| आमने-सामने की भुजाएँ | बराबर | बराबर |
| चारों भुजाएँ | प्रायः असमान | हमेशा बराबर |
| कोण | चार 90° के | चार 90° के |
| उदाहरण भुजाएँ | 9 cm और 5 cm | 6 cm और 6 cm |
अभ्यास के प्रश्न
- 1आयत ABCD में AB = 11 cm और BC = 6 cm है। CD और AD की लंबाइयाँ लिखिए।
- 2वर्ग में कितने समकोण होते हैं?
- 3एक वर्ग की भुजा 9 cm है। उसका परिमाप कितना है?
- 4आयताकार दरवाज़ा 2 m चौड़ा है और उसका परिमाप 10 m है। दरवाज़े की ऊँचाई कितनी है?
- 5एक आयत की दो पास-पास की भुजाएँ 8 cm और 8 cm हैं। उसका विशेष नाम क्या है?
- 65-5 cm की चार छड़ें जोड़ीं और एक कोना 80° का बना। क्या यह वर्ग है?
- 7एक वर्ग और एक आयत दोनों का परिमाप 40 cm है। आयत की लंबाई 14 cm है। आयत की चौड़ाई और वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए।
- 8एक आयत का परिमाप 34 cm है और लंबाई चौड़ाई से 5 cm अधिक है। चौड़ाई और लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) CD = 11 cm, AD = 6 cm
- 22) 4
- 33) 36 cm
- 44) 3 m
- 55) वर्ग
- 66) नहीं, 80° का कोना समकोण नहीं है
- 77) चौड़ाई 6 cm, वर्ग की भुजा 10 cm
- 88) चौड़ाई 6 cm, लंबाई 11 cm
वर्ग और आयत की रचना
दर्जी काटने से पहले आयताकार कपड़े पर निशान लगाती है। वह एक सीधा किनारा खींचती है, दोनों सिरों पर सेट-स्क्वेयर से समकोण बनाती है और दोनों ओर बराबर ऊँचाई नापती है। सावधानी से बनाने पर सच्चा आयत मिलता है।
दिए गए माप से आयत ठीक-ठीक बनाना उसकी रचना करना है। लंबाई के बराबर आधार AB खींचें, A और B पर समकोण बनाएँ, दोनों पर चौड़ाई नापकर D और C दिखाएँ और D व C को मिलाएँ। वर्ग भी इसी तरह बनता है, बस चौड़ाई लंबाई के बराबर लेते हैं।
आकृति में : चार चरण : आधार, समकोण, ऊँचाई दिखाएँ, जोड़ें।
नियम 1 : आयत चार चरणों में — चरण 1 : AB खींचें। चरण 2 : A और B पर समकोण बनाएँ। चरण 3 : दोनों रेखाओं पर चौड़ाई नापकर D और C दिखाएँ। चरण 4 : D और C को मिलाएँ। तब DC की लंबाई AB जितनी ही निकलती है।
वर्ग और आयत की रचना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : आयत 7 cm गुणा 4 cm : AB = 7 cm, फिर AD = BC = 4 cm; DC भी 7 cm आएगी।
- मध्यम : आयत 5 cm गुणा 3 cm : आधार 5 cm, दोनों ओर ऊँचाई 3 cm, फिर ऊपरी सिरे मिलाएँ।
- परीक्षा-प्रकार : जाँच : DC 7 cm की जगह 7.4 cm आए तो कोण ठीक 90° नहीं थे, इसलिए फिर से बनाएँ।
नियम 2 : कितने माप चाहिए? — आयत के लिए दो माप चाहिए, लंबाई और चौड़ाई। वर्ग के लिए केवल एक, भुजा, क्योंकि सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। परिमाप दिया हो तो पहले अज्ञात माप निकालें।
- आसान : आयत 8 cm गुणा 3 cm : दो माप चाहिए।
- मध्यम : 5 cm भुजा का वर्ग : एक माप काफ़ी है, AB = 5 cm खींचें और दोनों सिरों पर 5 cm ऊँचाई लें।
- परीक्षा-प्रकार : परिमाप 20 cm और लंबाई 6 cm वाला आयत : 20 का आधा 10 और 10 − 6 = 4, इसलिए 6 cm गुणा 4 cm बनाएँ।
पहले पतली पेंसिल रेखाएँ खींचें और कोण जाँचें; कोने की छोटी चूक अंतिम भुजा की लंबाई बिगाड़ देती है।
ऊँचाई गलत बिंदु से नापना, या दोनों किनारी रेखाओं को ठीक 90° पर न खींचना।
आधार, दो समकोण, दो बराबर ऊँचाइयाँ, ऊपरी सिरे मिलाएँ। याद रखने की युक्ति : “आधार – समकोण – ऊँचाई – जोड़ें”।
अंतर पहचानें
| आकृति | आवश्यक माप | उदाहरण |
|---|---|---|
| आयत | लंबाई और चौड़ाई | 7 cm और 4 cm |
| वर्ग | एक भुजा | 6 cm |
| DC जाँचें | AB के बराबर | 7 cm = 7 cm |
| कोने जाँचें | हर एक 90° | सेट-स्क्वेयर बैठता है |
अभ्यास के प्रश्न
- 1वर्ग बनाने के लिए कितने माप चाहिए?
- 2आप AB = 6 cm और BC = 3 cm वाला आयत बनाते हैं। भुजा DC कितनी होनी चाहिए?
- 3आयत ABCD में AB = 9 cm और BC = 5 cm है। AD कितनी होनी चाहिए?
- 4एक आयत का परिमाप 24 cm और चौड़ाई 5 cm है। AB कितनी लंबी खींचेंगे?
- 5एक वर्ग का परिमाप 28 cm है। भुजा कितनी बनाएँगे?
- 6आपने AB = 8 cm और BC = 4 cm वाला आयत बनाया, पर DC 8.3 cm निकली। क्या कुछ गलत है?
- 7एक आयत का क्षेत्रफल 30 वर्ग cm और लंबाई 6 cm चाहिए। चौड़ाई कितनी बनाएँगे?
- 8एक आयत की भुजाएँ 10 cm और 6 cm हैं। एक वर्ग का परिमाप उतना ही है। वर्ग की भुजा कितनी है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 1
- 22) 6 cm
- 33) 5 cm
- 44) 7 cm (12 − 5)
- 55) 7 cm (28 ÷ 4)
- 66) हाँ, DC को AB के बराबर होना चाहिए, यानी कोण ठीक 90° नहीं थे
- 77) 5 cm (30 ÷ 6)
- 88) 8 cm (परिमाप 32, 32 ÷ 4)
आयत और वर्ग के विकर्ण
बढ़ई लकड़ी के फाटक पर तिरछा तख़्ता ठोकता है ताकि फाटक न झुके। वह तख़्ता आमने-सामने के दो कोनों को जोड़ता है, और बाकी दो कोनों का दूसरा तख़्ता उसे ठीक बीच में काटेगा।
विकर्ण आमने-सामने के दो कोनों को जोड़ने वाला रेखाखंड है। आयत के दो विकर्ण होते हैं, वे बराबर लंबाई के होते हैं और मध्य बिंदु O पर एक-दूसरे को आधा-आधा बाँटते हैं। वर्ग में भी विकर्ण बराबर होते हैं और समकोण पर कटते हैं।
आकृति में : आयत ABCD : विकर्ण AC और BD बराबर हैं और दोनों के मध्य O पर मिलते हैं।
नियम 1 : आयत के विकर्ण — आयत के दोनों विकर्ण बराबर होते हैं और हर एक O पर दो बराबर भागों में बँट जाता है। इसलिए एक भाग पता हो तो उसे दुगुना करके पूरा विकर्ण मिलता है।
आयत और वर्ग के विकर्ण
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : आयत का एक विकर्ण 10 cm है, इसलिए दूसरा विकर्ण भी 10 cm है।
- मध्यम : AO = 6 cm, इसलिए AC = 6 × 2 = 12 cm, BD = 12 cm और BO = 6 सेमी।
- परीक्षा-प्रकार : विकर्ण 18 cm : हर भाग 18 ÷ 2 = 9 सेमी।
नियम 2 : वर्ग, और आयत के आर-पार रेखा — वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और 90° पर कटते हैं। अब आयत की एक भुजा के बिंदु को सामने की भुजा के बिंदु से मिलाएँ : यह रेखा सीधे आर-पार होने पर सबसे छोटी और विकर्ण होने पर सबसे बड़ी होती है।
- आसान : 14 cm विकर्ण वाला वर्ग : विकर्ण O पर 90° पर मिलते हैं और हर भाग 7 सेमी।
- मध्यम : आयत 9 cm गुणा 5 cm : एक 5 cm भुजा से सामने की 5 cm भुजा तक की रेखा 9 cm से कभी छोटी नहीं होती।
- परीक्षा-प्रकार : 12 cm गुणा 5 cm और विकर्ण 13 cm वाला आयत : ऐसी रेखा हमेशा 12 cm और 13 cm के बीच रहती है।
केवल आमने-सामने के कोनों को जोड़ने वाली रेखा विकर्ण है; आकृति की भुजाएँ कभी विकर्ण नहीं होतीं।
हर आयत के विकर्ण समकोण पर कटते हैं ऐसा मानना; यह केवल वर्ग में होता है।
आयत : विकर्ण बराबर और एक-दूसरे को आधा करते हैं। वर्ग : साथ में 90° पर। याद रखने की युक्ति : “विकर्ण : जुड़वाँ (बराबर) और बीच में बँटे हुए”।
अंतर पहचानें
| आकृति | विकर्ण बराबर? | 90° पर कटते हैं? |
|---|---|---|
| आयत | हाँ | नहीं |
| वर्ग | हाँ | हाँ |
| समांतर चतुर्भुज | नहीं | नहीं |
| पतंग | नहीं | हाँ |
अभ्यास के प्रश्न
- 1आयत के विकर्ण AC और BD हैं। AC = 15 cm हो तो BD कितना है?
- 2आयत के विकर्ण O पर मिलते हैं। AC = 16 cm हो तो AO कितना है?
- 3आयत के कितने विकर्ण होते हैं?
- 4आयत में विकर्ण O पर मिलते हैं और BO = 9 cm है। AC की लंबाई ज्ञात कीजिए।
- 5वर्ग के विकर्ण किस कोण पर कटते हैं?
- 6एक आयत 8 cm लंबा और 6 cm चौड़ा है और उसका विकर्ण 10 cm है। X एक 6 cm भुजा पर और Y सामने की 6 cm भुजा पर है। XY किन दो लंबाइयों के बीच रहता है?
- 7आयत के दोनों विकर्णों की कुल लंबाई 36 cm है। मिलन बिंदु O हो तो AO कितना है?
- 8क्या किसी आयत के विकर्ण 10 cm और 12 cm हो सकते हैं? कारण दीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 15 cm
- 22) 8 cm
- 33) 2
- 44) 18 cm
- 55) 90°
- 66) 8 cm और 10 cm के बीच
- 77) 9 cm (हर विकर्ण 18 cm)
- 88) नहीं, आयत के विकर्ण हमेशा बराबर होते हैं
दो बिंदुओं से समान दूरी के बिंदु
दो गाँवों को दोनों से बराबर दूरी पर एक साझा कुआँ चाहिए। बस स्टॉप ऐसे रखा जा सकता है कि दो स्कूल उससे बराबर दूर हों। ऐसी जगह दोनों सिरों से परकार से नापकर मिलती है।
कोई बिंदु B और C से बराबर दूरी पर हो तो उसे समदूरस्थ कहते हैं। ऐसे बिंदु खोजने के लिए B और C से समान त्रिज्या के चाप खींचें। चाप जहाँ कटते हैं वह बिंदु B और C से बराबर दूरी पर होता है। त्रिज्या BC की आधी से अधिक हो तभी चाप मिलते हैं।
आकृति में : B और C से समान त्रिज्या के चाप A और A’ पर मिलते हैं, और AB = AC।
नियम 1 : दोनों सिरों से चाप — दोनों चापों के लिए परकार का खुलना एक-सा रखें। त्रिज्या BC की आधी से कम हो तो चाप नहीं मिलते; ठीक आधी हो तो BC के मध्य पर छूते हैं; अधिक हो तो दो बिंदुओं पर मिलते हैं, BC के हर ओर एक।
दो बिंदुओं से समान दूरी के बिंदु
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : BC = 8 cm, त्रिज्या 5 cm : आधी (4) से अधिक, इसलिए चाप दो बिंदुओं पर मिलते हैं, हर एक B और C से 5 सेमी।
- मध्यम : BC = 8 cm, त्रिज्या 4 cm : ठीक आधी, इसलिए चाप BC के मध्य पर केवल छूते हैं।
- परीक्षा-प्रकार : BC = 8 cm, त्रिज्या 3 cm : आधी से कम, इसलिए 3 + 3 = 6, 8 से छोटा है और चाप कभी नहीं मिलते।
नियम 2 : तीन भुजाओं से त्रिभुज — आधार BC खींचें। B से त्रिज्या AB का चाप और C से त्रिज्या AC का चाप खींचें। वे A पर मिलते हैं। यह तभी बनता है जब दो छोटी भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक हो।
- आसान : 6 cm, 5 cm, 4 cm भुजाएँ : आधार 6 cm, 5 cm और 4 cm के चाप मिलते हैं, क्योंकि 5 + 4 = 9, 6 से अधिक है।
- मध्यम : 3 cm, 4 cm, 8 cm भुजाएँ : 3 + 4 = 7, 8 से कम है, इसलिए त्रिभुज नहीं बनता।
- परीक्षा-प्रकार : 5 cm, 5 cm, 5 cm भुजाएँ : आधार 5 cm और 5 cm के दो चाप से सभी भुजाएँ बराबर वाला त्रिभुज मिलता है।
दो चाप मिलने के लिए त्रिज्याओं का योग BC की दूरी से अधिक होना चाहिए।
दोनों चापों के बीच परकार का खुलना बदल देना, या यह भूल जाना कि BC के दूसरी ओर एक और बिंदु होता है।
B और C से समान त्रिज्या : चाप जहाँ कटते हैं वह दोनों से बराबर दूर। याद रखने की युक्ति : “दोनों सिरों से समान त्रिज्या यानी बराबर दूरी”।
अंतर पहचानें
| त्रिज्या (BC = 10 cm) | BC के आधे से तुलना | परिणाम |
|---|---|---|
| 3 cm | 5 से कम | चाप नहीं मिलते |
| 5 cm | 5 के बराबर | मध्य पर छूते हैं |
| 6 cm | 5 से अधिक | दो बिंदुओं पर मिलते हैं |
| 8 cm | 5 से अधिक | दो बिंदु, अधिक दूर |
अभ्यास के प्रश्न
- 1B और C में 12 cm की दूरी है। दोनों से 6 cm त्रिज्या के चाप खींचे। क्या होता है?
- 2बिंदु A, B और C से समान दूरी पर है और AB = 7 cm है। AC कितना है?
- 3BC = 10 cm है। क्या B और C से 4 cm त्रिज्या के चाप मिल सकते हैं?
- 4BC = 6 cm है। B और C के चाप दो बिंदुओं पर मिलने के लिए सबसे छोटी पूर्ण संख्या वाली त्रिज्या कितनी है?
- 57 cm, 5 cm, 4 cm भुजाओं का त्रिभुज बनाने के लिए आप 7 cm आधार लेते हैं। दो चापों के लिए कौन-सी त्रिज्याएँ लेंगे?
- 6क्या 2 cm, 3 cm और 6 cm भुजाओं वाला त्रिभुज हो सकता है?
- 7B और C में 8 cm की दूरी है। A और A’ वे दो बिंदु हैं जो दोनों से 5 cm दूर हैं। रेखा AA’ BC को उसके मध्य M पर काटती है और AM = 3 cm है। AA’ कितना है?
- 8एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 9 cm और 5 cm हैं। तीसरी भुजा की सबसे छोटी और सबसे बड़ी पूर्ण संख्या वाली लंबाई कितनी हो सकती है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) चाप BC के मध्य पर केवल छूते हैं
- 22) 7 cm
- 33) नहीं (4 + 4 = 8, 10 से कम है)
- 44) 4 cm
- 55) 5 cm और 4 cm
- 66) नहीं (2 + 3 = 5, 6 से कम है)
- 77) 6 cm (3 + 3)
- 88) 5 cm और 13 cm