पूर्ण के बराबर भाग यानी भिन्न
10 बराबर टुकड़ों की चॉकलेट बाँटी जाती है और पिज़्ज़ा 8 बराबर टुकड़ों में कटता है। नेहा 3 टुकड़े खाती है तो उसने 8 बराबर भागों में से 3 भाग खाए, इसे लिखने का तरीका ही भिन्न है।
भिन्न बताती है कि पूर्ण के कितने बराबर भाग लिए गए। रेखा के नीचे की संख्या हर है, यानी पूर्ण में बराबर भागों की संख्या। ऊपर की संख्या अंश है, यानी लिए गए भाग। अंश 1 वाली भिन्न इकाई भिन्न कहलाती है। भाग बराबर होने चाहिए।
आकृति में : पूर्ण को 8 बराबर भागों में काटकर 3 लेने पर भिन्न 3/8।
नियम 1 : लिए भाग ऊपर, कुल बराबर भाग नीचे — लिए गए भागों की संख्या ऊपर और पूर्ण में बराबर भागों की संख्या नीचे लिखें। पहले जाँच लें कि सभी भाग एक ही आकार के हैं।
पूर्ण के बराबर भाग यानी भिन्न
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : पट्टी के 10 बराबर टुकड़े हैं और 7 खाए : खाई गई भिन्न 7/10।
- मध्यम : बगीचे में 6 बराबर क्यारियाँ हैं और 5 में रोपाई हुई : 5/6 में रोपाई हुई।
- परीक्षा-प्रकार : आकृति के 9 बराबर भाग हैं और 4 रंगे : 4/9 रंगे और 5/9 बिना रंगे।
नियम 2 : समूह की भिन्न — समूह की भिन्न निकालने के लिए समूह को हर जितने बराबर समूहों में बाँटें, फिर अंश जितने समूह लें।
- आसान : 20 कंचों का 1/4 : 20 ÷ 4 = 5 कंचे।
- मध्यम : 18 पेंसिलों का 2/3 : 18 ÷ 3 = 6 और 6 × 2 = 12 पेंसिलें।
- परीक्षा-प्रकार : 35 पन्नों का 3/5 : 35 ÷ 5 = 7 और 7 × 3 = 21 पन्ने।
हर पूर्ण के सभी बराबर भाग गिनता है, लिए गए भाग नहीं।
असमान टुकड़ों को भिन्न मानना, या अंश और हर उलट लिखना।
नीचे की संख्या = कुल बराबर भाग; ऊपर की संख्या = आपने लिए भाग। याद रखने की युक्ति : “हर नीचे रहता है और पूर्ण को बाँटता है”।
अंतर पहचानें
| पद | अर्थ | 3/8 में |
|---|---|---|
| अंश | लिए गए भाग | 3 |
| हर | पूर्ण में बराबर भाग | 8 |
| इकाई भिन्न | केवल एक भाग | 1/8 |
| समूह की भिन्न | ÷ हर, × अंश | 18 का 2/3 = 12 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1पिज़्ज़ा के 8 बराबर टुकड़े हैं और जय ने 3 खाए। उसने कितनी भिन्न खाई?
- 25/9 का हर कौन-सा है?
- 3एक फीते के 5 बराबर टुकड़े किए। एक टुकड़ा कौन-सी भिन्न है?
- 430 का 2/5 कितना है?
- 5स्नेहा ने 40 पन्नों की पुस्तिका का 3/8 भाग पढ़ा। उसने कितने पन्ने पढ़े?
- 636 विद्यार्थियों की कक्षा में 5/9 लड़कियाँ हैं। लड़के कितने हैं?
- 7दुकान में 48 आम हैं। सुबह 1/3 और दोपहर में 1/4 बिके। कितने बचे?
- 860 m रस्सी इस्तेमाल हुई : पहले उसका 2/5, फिर बचे हुए का 1/3। कितनी रस्सी बची?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 3/8
- 22) 9
- 33) 1/5
- 44) 12
- 55) 15 पन्ने
- 66) 16 लड़के (20 लड़कियाँ)
- 77) 20 आम (16 + 12 = 28 बिके)
- 88) 24 m (24 लगे, फिर 12 और)
संख्या रेखा पर भिन्न
स्केल पर 0 और 1 के बीच की जगह बराबर निशानों में बँटी होती है और नापने वाले बर्तन पर अंकों के बीच निशान होते हैं। भिन्न की ऐसे पैमाने पर पूर्ण संख्याओं के बीच जगह होती है।
भिन्न को संख्या रेखा पर दिखाने के लिए हर इकाई लंबाई को हर जितने बराबर भागों में बाँटें, फिर 0 से अंश जितने भाग आगे चलें। 1 से बड़ी भिन्नें 1 के दाईं ओर आती हैं।
आकृति में : हर छलाँग 1/4, इसलिए 5/4 यानी 1 तक 4 छलाँगें और एक छलाँग और।
नियम 1 : बाँटें, फिर छलाँग लगाएँ — हर इकाई को हर जितने बराबर भागों में काटें। एक छलाँग का माप इकाई भिन्न है। 0 से अंश जितनी छलाँगें गिनकर बिंदु दिखाएँ।
संख्या रेखा पर भिन्न
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 3/5 : 0 से 1 के 5 बराबर भाग करें और 0 से 3 छलाँगें लें।
- मध्यम : 7/4 : छलाँगें 1/4 की; 4 छलाँगों में 1 आता है और 3 और छलाँगें 1 और 2 के बीच पहुँचती हैं।
- परीक्षा-प्रकार : 6/3 : हर इकाई में 3 भाग, इसलिए 6 छलाँगें ठीक 2 पर पहुँचती हैं।
नियम 2 : किन दो पूर्ण संख्याओं के बीच? — अंश को हर से भाग दें। भागफल भिन्न से ठीक पहले की पूर्ण संख्या है और उसकी अगली पूर्ण संख्या भिन्न के बाद आती है। कुछ शेष न बचे तो भिन्न ठीक पूर्ण संख्या पर होती है।
- आसान : 17/5 : 17 ÷ 5 = 3 शेष 2, इसलिए यह 3 और 4 के बीच है।
- मध्यम : 29/6 : 29 ÷ 6 = 4 शेष 5, इसलिए यह 4 और 5 के बीच है।
- परीक्षा-प्रकार : 10/5 : 10 ÷ 5 = 2 और कुछ शेष नहीं, इसलिए यह ठीक 2 पर है।
निशानों के बीच की दूरियाँ सब बराबर हों और जिस भिन्न के अंश और हर समान हों वह 1 का निशान है।
0 को पहली छलाँग गिनना, या असमान दूरियाँ बनाना।
हर इकाई में भाग = हर; छलाँगों की संख्या = अंश। याद रखने की युक्ति : “हर दूरी बाँटता है, अंश छलाँगें गिनता है”।
अंतर पहचानें
| भिन्न | एक छलाँग | स्थान |
|---|---|---|
| 3/4 | 1/4 | 3 छलाँगें, 0 और 1 के बीच |
| 4/4 | 1/4 | ठीक 1 पर |
| 7/4 | 1/4 | 1 और 2 के बीच |
| 8/4 | 1/4 | ठीक 2 पर |
अभ्यास के प्रश्न
- 12/7 दिखाने के लिए हर इकाई कितने बराबर भागों में बाँटें?
- 25/5 संख्या रेखा पर कहाँ होता है?
- 33/2 किन दो पूर्ण संख्याओं के बीच है?
- 411/4 किन दो पूर्ण संख्याओं के बीच है?
- 50 से मीना 1/6 की 9 छलाँगें लगाती है। वह किन दो पूर्ण संख्याओं के बीच पहुँचती है?
- 614/7 ठीक किस पूर्ण संख्या पर है?
- 73/4, 9/10 और 5/4 में से कौन-सी 1 के सबसे पास है?
- 80 से राहुल हर बार 1/3 की छलाँग लगाता है। 4 तक पहुँचने में उसे कितनी छलाँगें लगेंगी?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 7
- 22) 1 पर
- 33) 1 और 2
- 44) 2 और 3 (11 ÷ 4 = 2 शेष 3)
- 55) 1 और 2 (वह 9/6 है)
- 66) 2
- 77) 9/10 (केवल 1/10 दूर)
- 88) 12 छलाँगें
मिश्र भिन्न और 1 से बड़ी भिन्न
ढाई पिज़्ज़े को 5 आधे पिज़्ज़े भी कह सकते हैं। बेकर 2 1/2 ट्रे या 5/2 ट्रे कह सकता है, मात्रा वही है।
जिस भिन्न का अंश उसके हर से बड़ा होता है वह 1 से बड़ी होती है। उसे मिश्र भिन्न के रूप में भी लिख सकते हैं, यानी पूर्ण संख्या और 1 से छोटी भिन्न साथ-साथ, जैसे 2 3/4। दोनों रूप एक ही मात्रा दिखाते हैं।
आकृति में : 2 पूरे और 3 चौथाई मिलकर 11 चौथाई, इसलिए 2 3/4 = 11/4।
नियम 1 : मिश्र भिन्न से भिन्न — पूर्ण संख्या को हर से गुणा करें, अंश जोड़ें और हर वही रखें।
मिश्र भिन्न और 1 से बड़ी भिन्न
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 3 2/5 : 3 × 5 = 15 और 15 + 2 = 17, इसलिए 17/5।
- मध्यम : 1 5/8 : 1 × 8 = 8 और 8 + 5 = 13, इसलिए 13/8।
- परीक्षा-प्रकार : 4 1/3 : 4 × 3 = 12 और 12 + 1 = 13, इसलिए 13/3।
नियम 2 : भिन्न से मिश्र भिन्न — अंश को हर से भाग दें। भागफल पूर्ण संख्या है और शेष उसी हर पर भिन्न वाला भाग।
- आसान : 17/5 : 17 ÷ 5 = 3 शेष 2, इसलिए 3 2/5।
- मध्यम : 29/4 : 29 ÷ 4 = 7 शेष 1, इसलिए 7 1/4।
- परीक्षा-प्रकार : 24/6 : 24 ÷ 6 = 4 शेष 0, इसलिए यह ठीक 4 है।
शेष 0 हो तो भिन्न पूर्ण संख्या होती है, भिन्न वाला भाग नहीं बचता।
पूर्ण संख्या को हर से गुणा करना भूल जाना, या हर बदल देना।
मिश्र से भिन्न : पूर्ण × हर, फिर अंश जोड़ें। याद रखने की युक्ति : ऊपर जाते समय “गुणा, फिर जोड़ो”; नीचे आते समय “भाग दो, शेष ऊपर”।
अंतर पहचानें
| रूप | दूसरा रूप | क्रिया |
|---|---|---|
| 2 3/4 | 11/4 | 2 × 4 + 3 = 11 |
| 3 2/5 | 17/5 | 3 × 5 + 2 = 17 |
| 29/4 | 7 1/4 | 29 ÷ 4 = 7 शेष 1 |
| 24/6 | 4 | 24 ÷ 6 = 4 शेष 0 |
अभ्यास के प्रश्न
- 11 1/2 को भिन्न के रूप में लिखिए।
- 27/2 को मिश्र भिन्न के रूप में लिखिए।
- 34 3/5 का पूर्ण भाग कौन-सा है?
- 45 3/7 को भिन्न के रूप में लिखिए।
- 531/6 को मिश्र भिन्न के रूप में लिखिए।
- 6एक विधि में 2 1/4 कप आटा चाहिए और एक चम्मच में 1/4 कप आता है। कितने चम्मच चाहिए?
- 76 3/4 में कितनी चौथाइयाँ होती हैं?
- 8एक रस्सी की लंबाई 47/8 m है। इसे मिश्र भिन्न में लिखिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 3/2
- 22) 3 1/2
- 33) 4
- 44) 38/7
- 55) 5 1/6
- 66) 9 चम्मच (2 1/4 = 9/4)
- 77) 27 चौथाइयाँ (6 × 4 + 3)
- 88) 5 7/8 m (47 ÷ 8 = 5 शेष 7)
समतुल्य भिन्न और सरलतम रूप
आधा पिज़्ज़ा 2 चौथाई या 4 आठवें भाग के बराबर है। पिज़्ज़ा बदला नहीं; हमने बस उसके छोटे बराबर टुकड़े किए, इसलिए उसी मात्रा के अलग-अलग नाम बने।
समतुल्य भिन्न एक ही मात्रा दिखाती हैं। अंश और हर दोनों को एक ही (शून्य के अलावा) संख्या से गुणा या भाग दें तो मान नहीं बदलता। जब अंश और हर में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो तब भिन्न सरलतम रूप में होती है।
आकृति में : 1/2, 2/4 और 4/8 की रंगी लंबाई समान है।
नियम 1 : अंश और हर दोनों को गुणा करें — बड़ी संख्याओं वाली समतुल्य भिन्न बनाने के लिए अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा करें।
समतुल्य भिन्न और सरलतम रूप
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 2/3 दोनों को 4 से गुणा : 8/12।
- मध्यम : 5/6 दोनों को 3 से गुणा : 15/18।
- परीक्षा-प्रकार : 7/10 दोनों को 5 से गुणा : 35/50।
नियम 2 : उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग दें — सरलतम रूप पाने के लिए अंश और हर दोनों को उनके महत्तम उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग दें। तब 1 से बड़ा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं बचता।
- आसान : 12/18 : महत्तम उभयनिष्ठ गुणनखंड 6, इसलिए 12 ÷ 6 = 2 और 18 ÷ 6 = 3, उत्तर 2/3।
- मध्यम : 20/50 : महत्तम उभयनिष्ठ गुणनखंड 10, उत्तर 2/5।
- परीक्षा-प्रकार : 28/42 : महत्तम उभयनिष्ठ गुणनखंड 14, इसलिए 28 ÷ 14 = 2 और 42 ÷ 14 = 3, उत्तर 2/3।
ऊपर और नीचे वही गुणा या भाग करने से मान वही रहता है, पर दोनों में वही संख्या जोड़ने से मान बदल जाता है।
अंश और हर दोनों में वही संख्या जोड़ना, या केवल ऊपर की संख्या गुणा करना।
दो भिन्न बराबर हैं या नहीं, यह देखने के लिए दोनों को सरलतम रूप में लाकर देखें। याद रखने की युक्ति : “ऊपर जो करो, नीचे भी करो”।
अंतर पहचानें
| काम | नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| बड़ी संख्याएँ | दोनों को एक ही संख्या से गुणा | 1/2 = 3/6 |
| छोटी संख्याएँ | दोनों को उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग | 6/9 = 2/3 |
| सरलतम रूप | महत्तम उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग | 12/18 = 2/3 |
| समान जाँचें | दोनों सरल करें | 4/6 और 6/9 दोनों 2/3 |
अभ्यास के प्रश्न
- 11/2 की हर 4 वाली समतुल्य भिन्न लिखिए।
- 24/8 का सरलतम रूप क्या है?
- 33/4 की हर 12 वाली समतुल्य भिन्न लिखिए।
- 418/24 को सरलतम रूप में लिखिए।
- 5क्या 4/6 और 10/15 समतुल्य भिन्न हैं?
- 6लुप्त संख्या खोजिए : 5/8 = ?/40।
- 76/10, 9/15, 12/25 और 15/25 में से कौन-सी 3/5 की समतुल्य नहीं है?
- 884/126 को सरलतम रूप में लिखिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 2/4
- 22) 1/2
- 33) 9/12
- 44) 3/4 (6 से भाग)
- 55) हाँ, दोनों 2/3 हैं
- 66) 25 (5 से गुणा)
- 77) 12/25 (3/5 = 15/25)
- 88) 2/3 (42 से भाग)
भिन्नों की तुलना, जोड़ और घटाव
दो दोस्त बराबर रोटियों में से 1/2 और 1/3 खाते हैं और जानना है कि किसने ज़्यादा खाया। एक रसोइया 3/4 L दूध डालता है और फिर 1/6 L और, उसे कुल चाहिए। दोनों के लिए भिन्नों की तुलना और जोड़ करना पड़ता है।
समान हर वाली भिन्नें समान भिन्न कहलाती हैं। उनकी तुलना अंशों से करें, और अंश जोड़ें या घटाएँ, हर वही रहे। असमान हर वाली भिन्नों के लिए पहले उन्हें उभयनिष्ठ हर वाली (हरों का ल.स.) समतुल्य भिन्नों में बदलें, फिर आगे बढ़ें।
आकृति में : 1/2 का 2/4 बनता है और फिर 2/4 + 1/4 = 3/4।
नियम 1 : भिन्नों की तुलना — हर समान हो तो बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी। अंश समान हो तो छोटे हर वाली भिन्न बड़ी। नहीं तो हर बराबर करके अंश देखें।
- आसान : 5/9 और 7/9 का हर समान, इसलिए 7/9 बड़ी।
- मध्यम : 2/3 और 3/4 : हर 12 करने पर 8/12 और 9/12, इसलिए 3/4 बड़ी।
- परीक्षा-प्रकार : 3/7 और 3/5 का अंश समान, इसलिए छोटे हर वाली 3/5 बड़ी।
नियम 2 : जोड़ और घटाव — हर समान करें, फिर केवल अंश जोड़ें या घटाएँ और हर वही रखें। उत्तर सरलतम रूप में लिखें।
भिन्नों की तुलना, जोड़ और घटाव
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 3/8 + 2/8 = 5/8, क्योंकि हर पहले से समान हैं।
- मध्यम : 1/2 + 1/3 : हर 6 करने पर 3/6 + 2/6 = 5/6।
- परीक्षा-प्रकार : 5/6 − 1/4 : हर 12 करने पर 10/12 − 3/12 = 7/12।
हरों का ल.स. सबसे छोटा उभयनिष्ठ हर देता है, जिससे संख्याएँ छोटी रहती हैं।
हर भी जोड़ देना, जैसे 1/2 + 1/3 = 2/5, जो ग़लत है।
पहले नीचे वाले समान करें, फिर केवल ऊपर वालों से काम करें। याद रखने की युक्ति : “हर मिलाओ, फिर अंशों पर काम करो”।
अंतर पहचानें
| प्रकार | नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| समान हर | बड़ा अंश बड़ा | 4/9 < 7/9 |
| समान अंश | छोटा हर बड़ा | 3/5 > 3/7 |
| असमान जोड़ | उभयनिष्ठ हर, अंश जोड़ें | 1/2 + 1/3 = 5/6 |
| असमान घटाव | उभयनिष्ठ हर, अंश घटाएँ | 5/6 − 1/4 = 7/12 |
अभ्यास के प्रश्न
- 14/11 या 9/11 में कौन-सी बड़ी है?
- 22/9 + 5/9 कितना है?
- 39/10 − 4/10 का सरलतम रूप क्या है?
- 43/4 + 1/6 कितना है?
- 57/8 − 1/2 कितना है?
- 6रानी 1/3 m फीता लेती है और सीता 1/4 मी। दोनों मिलकर कितना फीता लेती हैं?
- 75/6, 3/4 और 2/3 को छोटी से बड़ी के क्रम में लगाइए।
- 8एक टंकी 2/3 भरी है। फिर टंकी का 1/4 भाग इस्तेमाल हुआ। अब टंकी कितनी भिन्न भरी है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 9/11
- 22) 7/9
- 33) 1/2 (5/10)
- 44) 11/12 (9/12 + 2/12)
- 55) 3/8 (7/8 − 4/8)
- 66) 7/12 m (4/12 + 3/12)
- 77) 2/3, 3/4, 5/6 (8/12, 9/12, 10/12)
- 88) 5/12 (8/12 − 3/12)