बहुभुजों का परिमाप
हरी को आयताकार सूचना-पट्ट के चारों ओर रंगीन किनारी चिपकानी है। एक किसान को खेत पर बाड़ लगानी है। दोनों को पहले आकृति के चारों ओर की कुल लंबाई जाननी है।
सीधी भुजाओं वाली बंद आकृति का परिमाप उसकी सभी भुजाओं की लंबाइयों का योग होता है। यह एक लंबाई है, इसलिए cm, मी जैसी इकाइयों में मापा जाता है। आयत का परिमाप लंबाई और चौड़ाई के योग का दुगुना और वर्ग का परिमाप भुजा का चार गुना होता है।
आकृति में : 6 गुणा 4 का आयत : 6 + 4 + 6 + 4 = 20, यही 2 × (6 + 4) है।
नियम 1 : भुजाएँ जोड़ें — किसी भी बहुभुज की सभी भुजाएँ जोड़ें। आयत में दो बराबर लंबाइयाँ और दो बराबर चौड़ाइयाँ होती हैं, इसलिए परिमाप 2 × (लंबाई + चौड़ाई)। वर्ग की चार भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए परिमाप 4 × भुजा।
बहुभुजों का परिमाप
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : आयत 15 cm गुणा 9 cm : 15 + 9 = 24 और 24 × 2 = 48 सेमी।
- मध्यम : 12 m भुजा का वर्ग : 12 × 4 = 48 मी।
- परीक्षा-प्रकार : 7 cm, 9 cm और 11 cm भुजाओं वाला त्रिभुज : 7 + 9 = 16 और 16 + 11 = 27 सेमी।
नियम 2 : अज्ञात भुजा खोजें — परिमाप में से ज्ञात भुजाएँ घटाएँ। आयत के लिए परिमाप का आधा लंबाई + चौड़ाई होता है, उसमें से ज्ञात को घटाएँ। वर्ग के लिए परिमाप को 4 से भाग दें।
- आसान : परिमाप 46 cm और लंबाई 14 cm वाला आयत : आधा 23, और 23 − 14 = 9 cm चौड़ाई।
- मध्यम : परिमाप 64 m वाला वर्ग : 64 ÷ 4 = 16 m एक भुजा।
- परीक्षा-प्रकार : परिमाप 36 cm और दो भुजाएँ 10 cm व 13 cm वाला त्रिभुज : 10 + 13 = 23 और 36 − 23 = 13 cm तीसरी भुजा।
परिमाप एक लंबाई है, इसलिए cm या मी लिखें, वर्ग इकाई कभी नहीं।
केवल एक लंबाई और एक चौड़ाई जोड़ देना और दुगुना करना भूल जाना।
आयत के लिए पहले लंबाई + चौड़ाई निकालें, फिर दुगुना करें। याद रखने की युक्ति : “परिमाप = चारों ओर का रास्ता”।
अंतर पहचानें
| आकृति | परिमाप | उदाहरण |
|---|---|---|
| आयत | 2 × (लंबाई + चौड़ाई) | 2 × (15 + 9) = 48 |
| वर्ग | 4 × भुजा | 4 × 12 = 48 |
| त्रिभुज | तीन भुजाओं का योग | 7 + 9 + 11 = 27 |
| कोई भी बहुभुज | सभी भुजाओं का योग | 8 + 11 + 9 + 14 = 42 |
अभ्यास के प्रश्न
- 110 cm लंबे और 4 cm चौड़े आयत का परिमाप कितना है?
- 27 m भुजा वाले वर्ग का परिमाप कितना है?
- 3एक त्रिभुज की भुजाएँ 6 cm, 8 cm और 9 cm हैं। उसका परिमाप कितना है?
- 4एक आयत का परिमाप 60 cm और लंबाई 18 cm है। उसकी चौड़ाई कितनी है?
- 5एक वर्ग का परिमाप 52 m है। एक भुजा कितनी है?
- 6एक भूखंड 25 m गुणा 15 m है। बाड़ का खर्च ₹12 प्रति m है। कुल खर्च कितना होगा?
- 756 cm तार को मोड़कर 20 cm लंबाई का आयत बनाया। चौड़ाई कितनी है?
- 8एक उद्यान 80 m गुणा 60 m है। रोहन उसके चारों ओर 3 चक्कर दौड़ता है। वह कितनी दूरी दौड़ता है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 28 cm
- 22) 28 m
- 33) 23 cm
- 44) 12 cm
- 55) 13 m
- 66) ₹960
- 77) 8 cm
- 88) 840 m (एक चक्कर 280 m)
सम बहुभुज और अज्ञात भुजाएँ
मधुमक्खी का छत्ता षट्भुज और रुकने का चिह्न अष्टभुज होता है। दर्ज़ी पंचभुजाकार तकिए के चारों ओर लेस लगाता है, उसे पूरे किनारे की लंबाई चाहिए।
सम बहुभुज की सभी भुजाएँ बराबर और सभी कोण बराबर होते हैं। समबाहु त्रिभुज, वर्ग, सम पंचभुज, षट्भुज और अष्टभुज की क्रमशः 3, 4, 5, 6 और 8 भुजाएँ होती हैं। उसका परिमाप = भुजाओं की संख्या × एक भुजा की लंबाई।
आकृति में : सम बहुभुज की जितनी अधिक भुजाएँ, भुजा उतनी अधिक बार जोड़नी पड़ती है।
नियम 1 : परिमाप = भुजाएँ × एक भुजा — सभी भुजाएँ बराबर होने से उन्हें एक-एक करके न जोड़ें। भुजाओं की संख्या को एक भुजा की लंबाई से गुणा करें।
सम बहुभुज और अज्ञात भुजाएँ
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : सम पंचभुज, भुजा 9 cm : 5 × 9 = 45 सेमी।
- मध्यम : सम षट्भुज, भुजा 14 m : 6 × 14 = 84 मी।
- परीक्षा-प्रकार : सम अष्टभुज, भुजा 6 cm : 8 × 6 = 48 सेमी।
नियम 2 : भुजा या भुजाओं की संख्या खोजें — एक भुजा पाने के लिए परिमाप को भुजाओं की संख्या से भाग दें। भुजाओं की संख्या पाने के लिए परिमाप को एक भुजा से भाग दें।
- आसान : परिमाप 72 cm वाला सम षट्भुज : 72 ÷ 6 = 12 cm एक भुजा।
- मध्यम : परिमाप 45 m वाला समबाहु त्रिभुज : 45 ÷ 3 = 15 m एक भुजा।
- परीक्षा-प्रकार : एक सम बहुभुज का परिमाप 63 cm और भुजा 9 cm : 63 ÷ 9 = 7, इसलिए उसकी 7 भुजाएँ हैं।
वर्ग सम बहुभुज है, पर जो आयत वर्ग नहीं है वह नहीं, क्योंकि उसकी भुजाएँ असमान होती हैं।
भुजाएँ या कोण असमान होने पर भी हर 5 या 6 भुजाओं वाली आकृति को सम कहना।
एक भुजा निकालने के लिए परिमाप ÷ भुजाओं की संख्या। याद रखने की युक्ति : “सम = बराबर भुजाएँ, बराबर कोण”।
अंतर पहचानें
| बहुभुज | भुजाएँ | परिमाप |
|---|---|---|
| समबाहु त्रिभुज | 3 | 3 × भुजा |
| वर्ग | 4 | 4 × भुजा |
| सम पंचभुज | 5 | 5 × भुजा |
| सम षट्भुज | 6 | 6 × भुजा |
अभ्यास के प्रश्न
- 1अष्टभुज की कितनी भुजाएँ होती हैं?
- 2एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 11 cm है। उसका परिमाप कितना है?
- 3एक सम पंचभुज की भुजा 4 cm है। उसका परिमाप कितना है?
- 4एक सम षट्भुज का परिमाप 48 cm है। एक भुजा कितनी है?
- 5दिव्या के पास 50 cm तार है और वह 5 cm भुजा का सम अष्टभुज मोड़ती है। कितनी तार बचेगी?
- 6एक वर्गाकार भूखंड का परिमाप 84 m है। एक भुजा कितनी है?
- 7एक सम बहुभुज का परिमाप 96 cm है और प्रत्येक भुजा 12 cm है। उसकी कितनी भुजाएँ हैं?
- 824 cm भुजा के समबाहु त्रिभुज और एक सम षट्भुज का परिमाप समान है। षट्भुज की भुजा कितनी है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 8
- 22) 33 cm
- 33) 20 cm
- 44) 8 cm
- 55) 10 cm (40 cm लगी)
- 66) 21 m
- 77) 8 भुजाएँ (अष्टभुज)
- 88) 12 cm (परिमाप 72 ÷ 6)
क्षेत्रफल : इकाई वर्ग गिनना और अनुमान
ईशा अपने कमरे का फ़र्श वर्गाकार टाइलों से ढकना चाहती है। कितनी टाइलें लगेंगी यह कमरे की अंदर की जगह पर निर्भर है, किनारे की लंबाई पर नहीं। दीवार का रंग भी उसके घेरे हुए भाग पर निर्भर करता है।
बंद आकृति का क्षेत्रफल उसके घेरे हुए भाग का माप है। हम इसे इकाई वर्ग गिनकर मापते हैं, इसलिए यह वर्ग cm या m²टर जैसी वर्ग इकाइयों में बताया जाता है। अनियमित आकृति के क्षेत्रफल का अनुमान लगाने के लिए पूरे वर्ग गिनें और आधे से ज़्यादा भरे वर्गों को 1 गिनें।
आकृति में : 5 इकाई वर्गों की 3 पंक्तियाँ मिलकर 15 इकाई वर्ग, इसलिए क्षेत्रफल 15 वर्ग इकाई।
नियम 1 : आयत के वर्ग गिनें — इकाई वर्गों से बने आयत में कुछ पंक्तियाँ होती हैं और हर पंक्ति में बराबर वर्ग। पंक्तियों की संख्या को एक पंक्ति के वर्गों से गुणा करें।
क्षेत्रफल : इकाई वर्ग गिनना और अनुमान
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 9 वर्गों की 3 पंक्तियाँ : 3 × 9 = 27 वर्ग इकाई।
- मध्यम : 8 वर्गों की 5 पंक्तियाँ : 5 × 8 = 40 वर्ग इकाई।
- परीक्षा-प्रकार : एक फ़र्श 12 वर्ग लंबा और 7 वर्ग चौड़ा है : 12 × 7 = 84 वर्ग इकाई।
नियम 2 : अनियमित आकृति का अनुमान लगाएँ — आकृति को जाली पर बनाएँ। हर पूरा वर्ग 1, आधे से ज़्यादा भरा वर्ग 1, ठीक आधा भरा आधा गिनें और आधे से कम भरे वर्ग छोड़ दें।
- आसान : 18 पूरे, आधे से ज़्यादा 5 और आधे से कम 4 : 18 + 5 = 23 वर्ग इकाई (लगभग)।
- मध्यम : 10 पूरे वर्ग और 6 ठीक आधे वर्ग : 6 आधे यानी 3, इसलिए 10 + 3 = 13 वर्ग इकाई।
- परीक्षा-प्रकार : 25 पूरे, आधे से ज़्यादा 8, ठीक आधे 2 और आधे से कम 6 : 25 + 8 = 33 और 33 + 1 = 34 वर्ग इकाई।
उतने ही इकाई वर्गों से बनी आकृतियों का क्षेत्रफल आकार अलग होने पर भी समान होता है।
क्षेत्रफल और परिमाप उलझाना, या वर्ग cm की जगह cm लिखना।
पंक्तियाँ × प्रत्येक पंक्ति के वर्ग से तुरंत संख्या मिलती है। याद रखने की युक्ति : “क्षेत्रफल अंदर गिनता है, परिमाप किनारे पर चलता है”।
अंतर पहचानें
| माप | क्या बताता है | इकाई |
|---|---|---|
| परिमाप | किनारे की लंबाई | cm, मी |
| क्षेत्रफल | अंदर की जगह | वर्ग cm, m² |
| इकाई वर्ग | 1 गुणा 1 वर्ग | 1 वर्ग इकाई |
| अनुमान | पूरे और आधे से ज़्यादा गिनें | लगभग |
अभ्यास के प्रश्न
- 1क्षेत्रफल के लिए कौन-सी इकाई : cm या वर्ग cm?
- 2एक आयत में 7 इकाई वर्गों की 6 पंक्तियाँ हैं। उसका क्षेत्रफल कितना है?
- 3दो अलग आकृतियाँ प्रत्येक 9 इकाई वर्गों से बनी हैं। प्रत्येक का क्षेत्रफल कितना है?
- 4एक आकृति 8 पूरे वर्ग और 6 आधे वर्ग घेरती है। उसका क्षेत्रफल कितना है?
- 59 m गुणा 6 m फ़र्श को प्रत्येकी 1 m²टर की टाइलों से ढका गया। कितनी टाइलें लगेंगी?
- 6जाली का हर छोटा वर्ग 3 cm गुणा 3 cm है। एक आकृति ऐसे 12 वर्ग घेरती है। उसका क्षेत्रफल कितना है?
- 7एक आकृति 30 पूरे, आधे से ज़्यादा 7, आधे से कम 4 और ठीक आधे 6 वर्ग घेरती है। उसके क्षेत्रफल का अनुमान लगाइए।
- 8इकाई वर्गों के आयत का क्षेत्रफल 56 वर्ग इकाई है और उसमें 7 पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति में कितने वर्ग हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) वर्ग cm
- 22) 42 वर्ग इकाई
- 33) प्रत्येक 9 वर्ग इकाई
- 44) 11 वर्ग इकाई (8 + 3)
- 55) 54 टाइलें
- 66) 108 वर्ग cm (12 × 9)
- 77) 40 वर्ग इकाई (30 + 7 + 3)
- 88) 8 वर्ग
आयत और वर्ग का क्षेत्रफल
किसान खेत के क्षेत्रफल के हिसाब से बीज लेता है और पेंटर दीवार के क्षेत्रफल के हिसाब से पैसे लेता है। दोनों को हर वर्ग बनाकर गिनने के बजाय क्षेत्रफल निकालने का तेज़ तरीका चाहिए।
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई। वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा। उत्तर वर्ग इकाइयों में होता है, जैसे वर्ग cm या m²टर। दो आकृतियों का क्षेत्रफल समान और परिमाप अलग, या परिमाप समान और क्षेत्रफल अलग हो सकता है।
आकृति में : दोनों आयतों का क्षेत्रफल 12 है, फिर भी उनके परिमाप 16 और 14 हैं।
नियम 1 : दोनों भुजाएँ गुणा करें — आयत का क्षेत्रफल : लंबाई और चौड़ाई गुणा करें। वर्ग के लिए भुजा को उसी से गुणा करें। क्षेत्रफल और एक भुजा ज्ञात हो तो क्षेत्रफल को उस भुजा से भाग देकर दूसरी भुजा मिलती है।
- आसान : आयत 14 cm गुणा 6 cm : 14 × 6 = 84 वर्ग सेमी।
- मध्यम : 11 m भुजा का वर्ग : 11 × 11 = 121 m²।
- परीक्षा-प्रकार : 96 वर्ग cm क्षेत्रफल और 12 cm लंबाई का आयत : 96 ÷ 12 = 8 cm चौड़ाई।
नियम 2 : परिमाप समान, क्षेत्रफल अलग — परिमाप उतना ही रखकर लंबाई बदलें : चौड़ाई भी बदलती है और क्षेत्रफल भी। आकृति वर्ग के जितनी पास हो, क्षेत्रफल उतना बड़ा।
आयत और वर्ग का क्षेत्रफल
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : परिमाप 20, भुजाएँ 9 और 1 : क्षेत्रफल 9 × 1 = 9 वर्ग इकाई।
- मध्यम : परिमाप 20, भुजाएँ 8 और 2 : क्षेत्रफल 8 × 2 = 16 वर्ग इकाई।
- परीक्षा-प्रकार : परिमाप 20, भुजाएँ 5 और 5, यानी वर्ग : क्षेत्रफल 5 × 5 = 25 वर्ग इकाई, सबसे बड़ा।
L आकार का क्षेत्रफल निकालने के लिए उसे आयतों में बाँटकर जोड़ें, या बड़े आयत में से कोने का आयत घटाएँ।
क्षेत्रफल के लिए लंबाई और चौड़ाई जोड़ देना, या वर्ग cm की जगह cm लिखना।
क्षेत्रफल पूछता है “कितने वर्ग समाते हैं”, इसलिए गुणा; परिमाप पूछता है “चारों ओर कितनी दूरी”, इसलिए जोड़ें। याद रखने की युक्ति : “क्षेत्रफल = आड़ा × खड़ा (लंबाई × चौड़ाई)”।
अंतर पहचानें
| आकृति | क्षेत्रफल | उदाहरण |
|---|---|---|
| आयत | लंबाई × चौड़ाई | 14 × 6 = 84 |
| वर्ग | भुजा × भुजा | 11 × 11 = 121 |
| अज्ञात भुजा | क्षेत्रफल ÷ ज्ञात भुजा | 96 ÷ 12 = 8 |
| L आकार | बाँटकर जोड़ें, या घटाएँ | 60 − 12 = 48 |
अभ्यास के प्रश्न
- 19 cm लंबे और 5 cm चौड़े आयत का क्षेत्रफल कितना है?
- 28 m भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल कितना है?
- 3एक आयत का क्षेत्रफल 36 वर्ग cm और लंबाई 9 cm है। चौड़ाई कितनी है?
- 412 m गुणा 8 m फ़र्श को ₹50 प्रति टाइल वाली 1 m²टर की टाइलों से ढका गया। कुल खर्च कितना है?
- 5एक आयत का परिमाप 30 cm और लंबाई 10 cm है। उसका क्षेत्रफल कितना है?
- 6एक वर्ग का परिमाप 40 m है। उसका क्षेत्रफल कितना है?
- 710 m गुणा 6 m आयत में से कोने का 4 m गुणा 3 m आयत काटकर L आकार बनाया। L आकार का क्षेत्रफल कितना है?
- 824 वर्ग इकाई क्षेत्रफल और पूर्ण संख्या भुजाओं वाले आयतों में सबसे छोटा परिमाप कौन-सा है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 45 वर्ग cm
- 22) 64 m²
- 33) 4 cm
- 44) ₹4800 (96 टाइलें)
- 55) 50 वर्ग cm (चौड़ाई 5)
- 66) 100 m² (भुजा 10)
- 77) 48 m² (60 − 12)
- 88) 20 (4 गुणा 6 आयत)
त्रिभुज का क्षेत्रफल
त्रिकोणाकार झंडा, बगीचे का त्रिकोणी कोना और छत का ढलान वाला भाग, सबका क्षेत्रफल निकालने का तरीका चाहिए। आयत को विकर्ण से काटने पर दो त्रिभुज मिलते हैं, यही मुख्य विचार है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = आधा × आधार × ऊँचाई। ऊँचाई ऊपरी कोने से आधार तक की सीधी (लंब) दूरी है, तिरछी भुजा की लंबाई नहीं। समान आधार और ऊँचाई वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान होता है, ऊपर का कोना कितना भी खिसके।
आकृति में : समकोण त्रिभुज 8 गुणा 5 आयत का आधा है, इसलिए क्षेत्रफल 20।
नियम 1 : समकोण त्रिभुज यानी आयत का आधा — दो समान समकोण त्रिभुज जोड़ने पर आयत बनता है। इसलिए समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल समकोण बनाने वाली दो भुजाओं के गुणनफल का आधा होता है।
- आसान : समकोण की भुजाएँ 8 cm और 6 cm : 8 × 6 = 48 और 48 का आधा 24 वर्ग सेमी।
- मध्यम : समकोण की भुजाएँ 10 m और 9 m : 10 × 9 = 90 और 90 का आधा 45 m²।
- परीक्षा-प्रकार : 14 cm गुणा 9 cm कागज़ को विकर्ण से काटा : 14 × 9 = 126 और 126 का आधा यानी हर टुकड़ा 63 वर्ग सेमी।
नियम 2 : आधा × आधार × ऊँचाई — किसी भी त्रिभुज के लिए आधार और ऊँचाई गुणा करें और उसका आधा लें। ऊपर का कोना आधार के समांतर रेखा पर खिसकाने से क्षेत्रफल नहीं बदलता, क्योंकि आधार और ऊँचाई वही रहते हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : आधार 14 cm, ऊँचाई 9 cm : 14 × 9 = 126 और आधा 63 वर्ग सेमी।
- मध्यम : आधार 11 m, ऊँचाई 6 m : 11 × 6 = 66 और आधा 33 m²।
- परीक्षा-प्रकार : क्षेत्रफल 48 वर्ग cm और आधार 12 cm : 48 × 2 = 96 और 96 ÷ 12 = 8 cm ऊँचाई।
ऊँचाई आधार से समकोण पर मापें; तिरछी भुजा ऊँचाई नहीं होती, केवल वहाँ त्रिभुज समकोण हो तभी वह ऊँचाई बनती है।
आधा लेना भूल जाना, या तिरछी भुजा को ऊँचाई मान लेना।
पहले आधार और ऊँचाई गुणा करें, फिर उत्तर का आधा करें। याद रखने की युक्ति : “त्रिभुज = दो मिलकर आयत, इसलिए आधा लें”।
अंतर पहचानें
| त्रिभुज | क्षेत्रफल | उदाहरण |
|---|---|---|
| कोई भी त्रिभुज | ½ × आधार × ऊँचाई | ½ × 14 × 9 = 63 |
| समकोण त्रिभुज | ½ × समकोण की दो भुजाएँ | ½ × 8 × 6 = 24 |
| अज्ञात ऊँचाई | 2 × क्षेत्रफल ÷ आधार | 2 × 48 ÷ 12 = 8 |
| विकर्ण से कटा आयत | आयत का आधा | ½ × 14 × 9 = 63 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक त्रिभुज का आधार 12 cm और ऊँचाई 5 cm है। उसका क्षेत्रफल कितना है?
- 2एक समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाएँ 6 cm और 4 cm हैं। उसका क्षेत्रफल कितना है?
- 3एक त्रिभुज का आधार 8 cm और ऊँचाई 8 cm है। उसका क्षेत्रफल कितना है?
- 4एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 40 वर्ग cm और आधार 10 cm है। ऊँचाई कितनी है?
- 5एक त्रिभुज का आधार 16 cm और ऊँचाई 9 cm है। उसका क्षेत्रफल कितना है?
- 6एक त्रिकोणाकार फूलों की क्यारी का आधार 18 m और ऊँचाई 10 m है। रोपाई का खर्च ₹5 प्रति m²टर है। कुल खर्च कितना है?
- 714 cm गुणा 9 cm आयताकार कागज़ को विकर्ण से काटा। प्रत्येक टुकड़े का क्षेत्रफल कितना है?
- 8दो त्रिभुजों का आधार समान 12 cm है और उनकी ऊँचाइयाँ 5 cm व 9 cm हैं। कुल क्षेत्रफल कितना है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 30 वर्ग cm
- 22) 12 वर्ग cm
- 33) 32 वर्ग cm
- 44) 8 cm (2 × 40 ÷ 10)
- 55) 72 वर्ग cm
- 66) ₹450 (क्षेत्रफल 90 m²)
- 77) 63 वर्ग cm
- 88) 84 वर्ग cm (30 + 54)