गुणज, गुणनखंड और उनमें उभयनिष्ठ
दो घंटियाँ हर 6 और हर 8 मिनट पर बजती हैं। वे साथ कब बजेंगी? दुकानदार 42 पेन और 70 पेंसिलें एक जैसे पैकेटों में भरता है। कितने पैकेट? दोनों प्रश्न उभयनिष्ठ गुणजों और गुणनखंडों के हैं।
किसी संख्या को 1, 2, 3, … से गुणा करने पर जो मिले वह उसका गुणज है। जो संख्या को पूरा भाग दे वह गुणनखंड है। 1 हर संख्या का गुणनखंड है और हर संख्या अपनी गुणनखंड होती है। दोनों संख्याओं का गुणज उभयनिष्ठ गुणज है; दोनों को भाग देने वाली संख्या उभयनिष्ठ गुणनखंड है। स्वयं को छोड़कर गुणनखंडों का योग वही संख्या हो तो वह पूर्ण संख्या है, जैसे 6 और 28।
आकृति में : 12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं। वे जोड़ी में आते हैं : 1 × 12, 2 × 6 और 3 × 4।
नियम 1 : गुणज और गुणनखंड खोजें — गुणज : संख्या को जोड़ते जाएँ (6, 12, 18, …)। गुणनखंड : 1, 2, 3, … से भाग देकर देखें और जो पूरा भाग दें उन्हें रखें। गुणनखंड जोड़ी में आते हैं, इसलिए जोड़ियाँ दोहराने लगें तो रुकें।
- आसान : 18 के गुणनखंड : 1, 2, 3, 6, 9, 18 (1 × 18, 2 × 9, 3 × 6 से)।
- मध्यम : 7 के गुणज : 7, 14, 21, 28, 35। इसलिए 35 पाँचवाँ गुणज है, क्योंकि 7 × 5 = 35।
- परीक्षा-प्रकार : क्या 24, 8 का गुणज है? हाँ, 8 × 3 = 24। 20 के गुणनखंड : 1, 2, 4, 5, 10, 20, यानी 6 गुणनखंड।
नियम 2 : उभयनिष्ठ गुणज और गुणनखंड — दोनों सूचियाँ लिखें। गुणजों की दोनों सूचियों में आने वाली पहली संख्या सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज है। गुणनखंडों की दोनों सूचियों में सबसे बड़ी संख्या सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
गुणज, गुणनखंड और उनमें उभयनिष्ठ
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 4 के गुणज : 4, 8, 12। 6 के गुणज : 6, 12। पहला उभयनिष्ठ गुणज 12।
- मध्यम : 12 के गुणनखंड : 1, 2, 3, 4, 6, 12। 18 के गुणनखंड : 1, 2, 3, 6, 9, 18। उभयनिष्ठ : 1, 2, 3, 6; सबसे बड़ा 6।
- परीक्षा-प्रकार : हर 6 और 8 मिनट पर बजने वाली घंटियाँ 24 मिनट बाद साथ बजती हैं। 42 पेन और 70 पेंसिलों के लिए अधिक से अधिक पैकेट 14, क्योंकि 42 = 14 × 3 और 70 = 14 × 5।
हर गुणज संख्या के बराबर या उससे बड़ा होता है; हर गुणनखंड संख्या के बराबर या उससे छोटा होता है। 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, इसलिए 28 पूर्ण संख्या है।
दोनों शब्द उलझाना : गुणनखंड संख्या को भाग देते हैं, गुणज संख्या से विभाजित होते हैं।
गुणज जोड़कर बढ़ते हैं; गुणनखंड भाग देकर जोड़ी में मिलते हैं। याद रखने की युक्ति : “गुणज ऊपर चढ़ते हैं, गुणनखंड भीतर बैठते हैं”।
अंतर पहचानें
| शब्द | अर्थ | उदाहरण |
|---|---|---|
| गुणनखंड | पूरा भाग देता है | 12 के लिए 1, 2, 3, 4, 6, 12 |
| गुणज | संख्या × 1, 2, 3, … | 12, 24, 36, … |
| उभयनिष्ठ गुणज | दोनों का गुणज | 4 और 6 के लिए 12 |
| उभयनिष्ठ गुणनखंड | दोनों को भाग देता है | 12 और 18 के लिए 6 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1हर संख्या का एक गुणनखंड बताइए।
- 26 का तीसरा गुणज कौन-सा है?
- 310 के सभी गुणनखंड लिखिए।
- 44 और 6 दोनों का 0 से बड़ा सबसे छोटा गुणज कौन-सा है?
- 512 और 18 का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड कौन-सा है?
- 620 के कितने गुणनखंड हैं?
- 712 और 15 दोनों का सबसे छोटा गुणज कौन-सा है?
- 8तीन बत्तियाँ हर 4, 6 और 10 सेकंड में जलती-बुझती हैं और अभी साथ जलीं। दोबारा पहली बार कितने सेकंड बाद साथ जलेंगी?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 1
- 22) 18
- 33) 1, 2, 5, 10
- 44) 12
- 55) 6
- 66) 6 (1, 2, 4, 5, 10, 20)
- 77) 60
- 88) 60 सेकंड (4, 6 और 10 का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज)
अभाज्य संख्याएँ, भाज्य संख्याएँ और छलनी
7 चॉकलेट को 2, 3, 4, 5 या 6 दोस्तों में बराबर बाँटकर देखें : बिना शेष बचे कभी नहीं बँटते। पर 12 चॉकलेट कई तरह से बँट जाते हैं। 7 जैसी, समूहों में न बँटने वाली संख्याएँ अभाज्य कहलाती हैं।
अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं : 1 और वह स्वयं। भाज्य संख्या के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं। संख्या 1 न अभाज्य है न भाज्य। 2 एकमात्र सम अभाज्य है। जिन अभाज्यों में 2 का अंतर हो वे जुड़वाँ अभाज्य हैं, जैसे 11 और 13। एराटोस्थनीज़ की छलनी गुणज काटकर अभाज्य खोजती है।
आकृति में : 50 तक की 15 अभाज्य संख्याएँ : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 और 47।
नियम 1 : अभाज्य या भाज्य? — 2, 3, 5, 7, … से भाग देकर देखें। 1 और स्वयं के अलावा कोई भी संख्या भाग दे तो वह भाज्य है। छोटी संख्या के लिए ऐसे अभाज्य p से जाँचना काफ़ी है जिनका p × p संख्या से बड़ा न हो।
- आसान : 13 केवल 1 और 13 से विभाजित होता है, इसलिए अभाज्य। 21 = 3 × 7, इसलिए भाज्य।
- मध्यम : 91 = 7 × 13, इसलिए अभाज्य दिखने पर भी भाज्य है। 53 का 1 और 53 के अलावा कोई गुणनखंड नहीं, इसलिए अभाज्य।
- परीक्षा-प्रकार : 9 के ठीक तीन गुणनखंड हैं : 1, 3 और 9। 2 एकमात्र सम अभाज्य है, क्योंकि हर दूसरी सम संख्या का 2 भी गुणनखंड होता है।
नियम 2 : एराटोस्थनीज़ की छलनी चलाएँ — 1 को काटें। 2 लें और उसके सभी गुणज काटें। अगली न कटी संख्या 3 लें और उसके गुणज काटें। यही दोहराएँ। जब p × p अंतिम संख्या से बड़ा हो जाए तो रुकें; बची सभी संख्याएँ अभाज्य हैं।
अभाज्य संख्याएँ, भाज्य संख्याएँ और छलनी
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 10 तक की अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5 और 7 : चार अभाज्य।
- मध्यम : 10 से 20 के बीच अभाज्य 11, 13, 17 और 19 (4)। 20 से 30 के बीच 23 और 29 (2)।
- परीक्षा-प्रकार : 1 से 50 के लिए केवल 2, 3, 5 और 7 के गुणज काटते हैं, क्योंकि 7 × 7 = 49, 50 से छोटा है पर 11 × 11 = 121 बड़ा है। जुड़वाँ अभाज्य : 11 और 13, 17 और 19।
1 न अभाज्य है न भाज्य। 2 सबसे छोटी और एकमात्र सम अभाज्य है।
1 को अभाज्य कहना, या हर विषम संख्या को अभाज्य मानना। 9, 15, 21 और 91 विषम होकर भी भाज्य हैं।
2 से बड़ी कोई सम संख्या और 5 से बड़ी 5 पर समाप्त होने वाली संख्या अभाज्य नहीं होती। याद रखने की युक्ति : “अभाज्य = केवल दो गुणनखंड”।
अंतर पहचानें
| संख्या | गुणनखंड | प्रकार |
|---|---|---|
| 1 | 1 | न अभाज्य न भाज्य |
| 2 | 1, 2 | अभाज्य (एकमात्र सम अभाज्य) |
| 9 | 1, 3, 9 | भाज्य |
| 13 | 1, 13 | अभाज्य |
अभ्यास के प्रश्न
- 1सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन-सी है?
- 29, 13 या 15 : कौन-सी अभाज्य है?
- 3क्या 1 अभाज्य संख्या है?
- 410 से 20 के बीच कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं?
- 551, 53, 57 और 87 में से कौन-सी अभाज्य है?
- 6जुड़वाँ अभाज्य की जोड़ी कौन-सी है : 13 और 17, 17 और 19 या 7 और 11?
- 7छलनी से 50 तक की सभी अभाज्य खोजने में किस सबसे बड़ी अभाज्य के गुणज काटने पड़ते हैं?
- 890 से 100 के बीच कौन-सी संख्या अभाज्य है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 2
- 22) 13 (9 = 3 × 3 और 15 = 3 × 5)
- 33) नहीं, 1 न अभाज्य न भाज्य
- 44) 4 (11, 13, 17, 19)
- 55) 53 (बाकी 3 के गुणज हैं)
- 66) 17 और 19
- 77) 7 (7 × 7 = 49 < 50 but 11 × 11 = 121 > 50)
- 88) 97 (91 = 7 × 13, 93 = 3 × 31, 99 = 9 × 11)
सह-अभाज्य संख्याएँ
9 और 14 दाँतों वाले दो दाँतेदार पहिये साथ घूमते हैं। 9 और 14 में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं, इसलिए वही दो दाँत दोबारा मिलने में 9 × 14 = 126 दाँत गुज़रते हैं।
दो संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं यदि उनका एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 हो। संख्याओं का स्वयं अभाज्य होना ज़रूरी नहीं : 4 और 9 सह-अभाज्य हैं। कोई भी दो अलग अभाज्य सह-अभाज्य होते हैं, 1 हर संख्या के साथ सह-अभाज्य है और क्रमागत संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं।
आकृति में : 14 = 2 × 7 और 15 = 3 × 5 में कोई अभाज्य उभयनिष्ठ नहीं, इसलिए वे सह-अभाज्य हैं। 12 = 2 × 2 × 3 और 18 = 2 × 3 × 3 में 2 और 3 उभयनिष्ठ हैं, इसलिए वे नहीं हैं।
नियम 1 : अभाज्य गुणनखंडों से जाँचें — दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड लिखें। यदि उनमें कोई अभाज्य उभयनिष्ठ न हो तो संख्याएँ सह-अभाज्य हैं और उनका सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 है।
सह-अभाज्य संख्याएँ
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 4 और 9 : गुणनखंड 1, 2, 4 और 1, 3, 9। केवल 1 उभयनिष्ठ, इसलिए सह-अभाज्य।
- मध्यम : 33 = 3 × 11 और 35 = 5 × 7 में कोई अभाज्य उभयनिष्ठ नहीं : सह-अभाज्य। 33 और 36 में 3 उभयनिष्ठ : सह-अभाज्य नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : 1 से 20 में 20 के साथ सह-अभाज्य : 2 और 5 के गुणज हटाएँ, बचते हैं 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19। यानी 8 संख्याएँ।
नियम 2 : सह-अभाज्य संख्याओं के बारे में झटपट तथ्य — अलग-अलग अभाज्य हमेशा सह-अभाज्य होते हैं। क्रमागत संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं। दो सम संख्याएँ कभी सह-अभाज्य नहीं होतीं, क्योंकि दोनों का गुणनखंड 2 होता है। सह-अभाज्य संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज उनका गुणनफल होता है।
- आसान : 7 और 11 सह-अभाज्य (अलग अभाज्य)। 14 और 15 सह-अभाज्य (क्रमागत)।
- मध्यम : 8 और 15 सह-अभाज्य हैं, इसलिए उनका सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज 8 × 15 = 120।
- परीक्षा-प्रकार : 4 और 9 सह-अभाज्य हैं, फिर भी कोई अभाज्य नहीं। यानी सह-अभाज्य संख्याओं का अभाज्य होना ज़रूरी नहीं।
सह-अभाज्य होना संख्याओं की जोड़ी का गुण है, एक संख्या का नहीं।
सह-अभाज्य संख्याओं को स्वयं अभाज्य मानना, या यह मानना कि 1 किसी के साथ सह-अभाज्य नहीं।
कोई उभयनिष्ठ अभाज्य नहीं यानी सह-अभाज्य। याद रखने की युक्ति : “1 के सिवा कुछ साझा नहीं”।
अंतर पहचानें
| जोड़ी | उभयनिष्ठ गुणनखंड | सह-अभाज्य? |
|---|---|---|
| 4 और 9 | 1 | हाँ |
| 6 और 9 | 1, 3 | नहीं |
| 14 और 15 | 1 | हाँ |
| 12 और 18 | 1, 2, 3, 6 | नहीं |
अभ्यास के प्रश्न
- 15 और 8 का एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड कौन-सा है?
- 2कौन-सी जोड़ी सह-अभाज्य : 4 और 6, 4 और 9 या 8 और 12?
- 3क्या कोई भी दो अलग अभाज्य हमेशा सह-अभाज्य होते हैं?
- 44, 5, 8 और 9 में से कौन 10 के साथ सह-अभाज्य है?
- 5सह-अभाज्य संख्याओं 8 और 15 का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज कौन-सा है?
- 61 से 10 में से कितनी संख्याएँ 10 के साथ सह-अभाज्य हैं?
- 71 से 20 में से कितनी संख्याएँ 20 के साथ सह-अभाज्य हैं?
- 824, 25, 26 और 27 में से कौन-सी 12 के साथ सह-अभाज्य है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 1
- 22) 4 और 9
- 33) हाँ, उनका 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं
- 44) 9
- 55) 120 (8 × 15)
- 66) 4 (1, 3, 7, 9)
- 77) 8 (1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19)
- 88) 25
अभाज्य गुणनखंडन
एक राजमिस्त्री कहता है दीवार में 60 ईंटें लगती हैं। 60 को छोटे-छोटे भागों में तोड़ते जाएँ, 60 = 6 × 10 = (2 × 3) × (2 × 5), तो अंत में ऐसे भाग बचते हैं जो और नहीं टूटते। ये न टूटने वाले भाग अभाज्य संख्याएँ हैं।
किसी संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखना उसका अभाज्य गुणनखंडन है। 1 से बड़ी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन एक ही होता है, बस गुणनखंडों का क्रम बदल सकता है। गुणनखंड-वृक्ष विभाजन को चरण-दर-चरण दिखाता है।
आकृति में : 60 के 6 और 10 भाग, फिर 2, 3, 2 और 5। इसलिए 60 = 2 × 2 × 3 × 5।
नियम 1 : केवल अभाज्य बचने तक तोड़ें — जो सबसे छोटा अभाज्य बैठे (2, फिर 3, फिर 5, …) उससे भाग दें और भागफल के साथ 1 आने तक चलते रहें। या गुणनखंड-वृक्ष बनाएँ और हर शाखा अभाज्य पर पहुँचते ही रोक दें। गुणा करके जाँच लें।
अभाज्य गुणनखंडन
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 84 : 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7। इसलिए 84 = 2 × 2 × 3 × 7। जाँच : 4 × 3 × 7 = 84।
- मध्यम : 100 = 10 × 10 = (2 × 5) × (2 × 5) = 2 × 2 × 5 × 5। 13 जैसी अभाज्य संख्या स्वयं अपना गुणनखंडन होती है।
- परीक्षा-प्रकार : 126 = 2 × 63 = 2 × 3 × 21 = 2 × 3 × 3 × 7। अलग वृक्ष, जैसे 126 = 9 × 14, तब भी वही अभाज्य मिलते हैं।
नियम 2 : उभयनिष्ठ गुणनखंड और गुणज के लिए अभाज्य गुणनखंड — दोनों के गुणनखंडन लिखें। उभयनिष्ठ अभाज्यों का गुणनफल सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड है। दोनों के सभी अभाज्य, उभयनिष्ठ को एक बार गिनकर, गुणा करें तो सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज मिलता है।
- आसान : 12 = 2 × 2 × 3 और 18 = 2 × 3 × 3। उभयनिष्ठ 2 × 3 = 6, इसलिए सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड 6। सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज : 2 × 2 × 3 × 3 = 36।
- मध्यम : 20 = 2 × 2 × 5 और 30 = 2 × 3 × 5। सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 × 5 = 10। सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज 2 × 2 × 3 × 5 = 60।
- परीक्षा-प्रकार : 8 = 2 × 2 × 2 और 9 = 3 × 3 में कोई अभाज्य उभयनिष्ठ नहीं, इसलिए सह-अभाज्य। सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज 8 × 9 = 72।
हमेशा अभाज्यों को वापस गुणा करके जाँचें। अंतिम पंक्ति में केवल अभाज्य हों।
जल्दी रुक जाना, जैसे 36 = 4 × 9 लिखना। यहाँ 4 और 9 अभाज्य नहीं हैं; आगे 2 × 2 × 3 × 3 तक जाएँ।
पहले 2 से जितनी बार भाग जाए उतनी बार भाग दें, फिर 3, फिर 5। याद रखने की युक्ति : “तोड़ते जाओ, तोड़ते जाओ, जब तक अभाज्य ही न बचें”।
अंतर पहचानें
| संख्या | अभाज्य गुणनखंडन | जाँच |
|---|---|---|
| 12 | 2 × 2 × 3 | 4 × 3 = 12 |
| 60 | 2 × 2 × 3 × 5 | 12 × 5 = 60 |
| 100 | 2 × 2 × 5 × 5 | 4 × 25 = 100 |
| 13 | 13 (अभाज्य) | 13 |
अभ्यास के प्रश्न
- 112 को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखिए।
- 215 के अभाज्य गुणनखंड कौन-से हैं?
- 3क्या 2 × 3 × 4 अभाज्य गुणनखंडन है? क्यों या क्यों नहीं?
- 460 का अभाज्य गुणनखंडन लिखिए।
- 52 × 3 × 7 किस संख्या का अभाज्य गुणनखंडन है?
- 6अभाज्य गुणनखंडों से 20 और 30 का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालिए।
- 7144 का अभाज्य गुणनखंडन लिखिए।
- 8अभाज्य गुणनखंडन से 24 और 36 का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड और सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज निकालिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 2 × 2 × 3
- 22) 3 और 5
- 33) नहीं, 4 अभाज्य नहीं है (सही रूप 2 × 3 × 2 × 2)
- 44) 2 × 2 × 3 × 5
- 55) 42
- 66) 10 (20 = 2 × 2 × 5, 30 = 2 × 3 × 5)
- 77) 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 (16 × 9 = 144)
- 88) सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड 12, सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज 72 (24 = 2 × 2 × 2 × 3, 36 = 2 × 2 × 3 × 3)
2, 4, 5, 8 और 10 की विभाज्यता की जाँच
व्यापारी 1 316 अंडे 4 वाली ट्रे में भरता है। कुछ बचेंगे या नहीं, यह जानने के लिए कैलकुलेटर चाहिए? नहीं : संख्या के अंतिम अंक देख लेना काफ़ी है।
एक संख्या दूसरी से विभाज्य होती है यदि भाग देने पर शेष शून्य बचे। छोटी विभाज्यता की जाँच संख्या का अंतिम अंक, अंतिम दो अंक या अंतिम तीन अंक देखकर ही यह तय करने देती है।
आकृति में : 2, 5 और 10 के लिए अंतिम अंक; 4 के लिए अंतिम दो अंक; 8 के लिए अंतिम तीन अंक देखते हैं।
नियम 1 : 10, 5 और 2 की जाँच : अंतिम अंक — अंतिम अंक 0 हो तो 10 से विभाज्य। अंतिम अंक 0 या 5 हो तो 5 से विभाज्य। अंतिम अंक 0, 2, 4, 6 या 8 हो तो 2 से विभाज्य।
2, 4, 5, 8 और 10 की विभाज्यता की जाँच
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 340 के अंत में 0 है, इसलिए वह 10, 5 और 2 से विभाज्य है।
- मध्यम : 275 के अंत में 5 : 5 से विभाज्य, पर 2 या 10 से नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : 128 के अंत में 8 : 2 से विभाज्य, पर 5 या 10 से नहीं।
नियम 2 : 4 और 8 की जाँच : अंतिम दो और अंतिम तीन अंक — अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो तो संख्या 4 से विभाज्य (00 भी चलता है)। अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो तो संख्या 8 से विभाज्य (000 भी चलता है)।
- आसान : 1 316 : अंतिम दो अंक 16, और 16 ÷ 4 = 4। इसलिए 1 316, 4 से विभाज्य है और ट्रे ठीक भर जाती हैं।
- मध्यम : 2 750 : अंतिम दो अंक 50, और 50 ÷ 4 में शेष 2। इसलिए 2 750, 4 से विभाज्य नहीं है।
- परीक्षा-प्रकार : 5 240 : अंतिम तीन अंक 240, और 240 ÷ 8 = 30। इसलिए 5 240, 8 से विभाज्य है। 3 124 के लिए 124 ÷ 8 में शेष 4, इसलिए वह 8 से विभाज्य नहीं, पर 24 ÷ 4 = 6 से वह 4 से विभाज्य है।
2, 4 और 8 यानी 2, 2 × 2 और 2 × 2 × 2 : अंतिम 1, 2 और 3 अंक देखें। 8 से विभाज्य संख्या 4 और 2 से भी विभाज्य होती है।
अंतिम की जगह पहले अंक देखना, या 4 के लिए केवल अंतिम अंक देखना। 1 314 के अंत में 4 है पर 14, 4 से विभाज्य नहीं।
2, 5, 10 के लिए अंतिम; 4 के लिए अंतिम दो; 8 के लिए अंतिम तीन अंक। याद रखने की युक्ति : “2, 4, 8 यानी 2 की घातें : पूँछ से 1, 2, 3 अंक देखो”।
अंतर पहचानें
| भाजक | क्या देखना है | उदाहरण |
|---|---|---|
| 2 | अंतिम अंक 0, 2, 4, 6, 8 | 358 |
| 5 और 10 | अंतिम अंक 0 या 5 और अंतिम अंक 0 | 465 और 730 |
| 4 | अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य | 1 316 |
| 8 | अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य | 5 240 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1क्या 470, 10 से विभाज्य है?
- 2क्या 625, 2 से विभाज्य है?
- 35 के गुणज का अंतिम अंक कौन-सा हो सकता है?
- 4क्या 1 348, 4 से विभाज्य है?
- 5क्या 3 250, 8 से विभाज्य है?
- 6135, 240 और 316 में से कौन-सी 2 और 5 दोनों से विभाज्य है?
- 738□ के खाने में कौन-सा अंक रखने पर संख्या 8 से विभाज्य होगी?
- 8100 से बड़ी और 4 व 5 दोनों से विभाज्य सबसे छोटी संख्या कौन-सी है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) हाँ, उसके अंत में 0 है
- 22) नहीं, अंत में 5 है (विषम)
- 33) 0 या 5
- 44) हाँ (48 ÷ 4 = 12)
- 55) नहीं (250 ÷ 8 में शेष 2)
- 66) 240 (अंत में 0 है)
- 77) 4 (384 ÷ 8 = 48)
- 88) 120 (वह 20 का गुणज होना चाहिए)