संपूर्णाचे समान भाग म्हणजे अपूर्णांक
10 समान तुकड्यांची चॉकलेट पट्टी वाटली जाते, आणि पिझ्झा 8 समान तुकड्यांत कापला जातो. नेहाने 3 तुकडे खाल्ले तर 8 समान भागांपैकी 3 भाग खाल्ले, हे लिहिण्याची पद्धत म्हणजेच अपूर्णांक.
अपूर्णांक म्हणजे संपूर्णाचे किती समान भाग घेतले ते सांगणारी संख्या. रेषेखालचा अंक छेद, म्हणजे संपूर्णातील समान भागांची संख्या. वरचा अंक अंश, म्हणजे घेतलेले भाग. अंश 1 असलेला अपूर्णांक म्हणजे एकक अपूर्णांक. भाग समानच असले पाहिजेत.
आकृतीत : संपूर्ण 8 समान भागांत कापून 3 घेतले तर अपूर्णांक 3/8.
नियम 1 : घेतलेले भाग भागिले एकूण समान भाग — घेतलेल्या भागांची संख्या वर आणि संपूर्णातील समान भागांची संख्या खाली लिहा. आधी सर्व भाग सारख्या आकाराचे आहेत का ते तपासा.
संपूर्णाचे समान भाग म्हणजे अपूर्णांक
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : पट्टीचे 10 समान तुकडे आहेत आणि 7 खाल्ले : खाल्लेला अपूर्णांक 7/10.
- मध्यम : बागेत 6 समान वाफे आहेत आणि 5 लावले : 5/6 लावले.
- परीक्षेसाठी : आकृतीचे 9 समान भाग आहेत आणि 4 रंगवले : 4/9 रंगवले आणि 5/9 रंगवले नाहीत.
नियम 2 : समूहाचा अपूर्णांक — समूहाचा अपूर्णांक काढायला समूहाचे छेदाइतके समान गट करा, मग अंशाइतके गट घ्या.
- सोपे : 20 गोट्यांचा 1/4 : 20 ÷ 4 = 5 गोट्या.
- मध्यम : 18 पेन्सिलींचा 2/3 : 18 ÷ 3 = 6 आणि 6 × 2 = 12 पेन्सिली.
- परीक्षेसाठी : 35 पानांचा 3/5 : 35 ÷ 5 = 7 आणि 7 × 3 = 21 पाने.
छेद संपूर्णातील सर्व समान भाग मोजतो, घेतलेले भाग नव्हे.
असमान तुकड्यांना अपूर्णांक मानणे, किंवा अंश आणि छेद उलटे लिहिणे.
खालचा अंक = एकूण समान भाग; वरचा अंक = तुम्ही घेतलेले भाग. आठवणीची युक्ती : “छेद खाली असतो आणि संपूर्णाला भाग पाडतो”.
फरक ओळखा
| संज्ञा | अर्थ | 3/8 मध्ये |
|---|---|---|
| अंश | घेतलेले भाग | 3 |
| छेद | संपूर्णातील समान भाग | 8 |
| एकक अपूर्णांक | फक्त एक भाग | 1/8 |
| समूहाचा अपूर्णांक | ÷ छेद, × अंश | 18 चा 2/3 = 12 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1पिझ्झ्याचे 8 समान तुकडे आहेत आणि जयने 3 खाल्ले. त्याने किती अपूर्णांक खाल्ला?
- 25/9 चा छेद कोणता?
- 3एका फितीचे 5 समान तुकडे केले. एक तुकडा कोणता अपूर्णांक?
- 430 चा 2/5 किती?
- 5स्नेहाने 40 पानी पुस्तिकेचा 3/8 भाग वाचला. तिने किती पाने वाचली?
- 636 विद्यार्थ्यांच्या वर्गात 5/9 मुली आहेत. मुले किती?
- 7दुकानात 48 आंबे आहेत. सकाळी 1/3 आणि दुपारी 1/4 विकले. किती उरले?
- 860 मी दोरी वापरली : आधी तिचा 2/5, मग उरलेल्याचा 1/3. किती दोरी उरली?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) 3/8
- 22) 9
- 33) 1/5
- 44) 12
- 55) 15 पाने
- 66) 16 मुले (20 मुली)
- 77) 20 आंबे (16 + 12 = 28 विकले)
- 88) 24 मी (24 वापरले, मग आणखी 12)
संख्यारेषेवर अपूर्णांक
मोजपट्टीत 0 आणि 1 मधील जागा समान खुणांत विभागलेली असते, आणि मापाच्या भांड्यावर अंकांच्या मधे खुणा असतात. अपूर्णांकाला अशा मापपट्टीवर पूर्ण संख्यांच्या मधे जागा असते.
अपूर्णांक संख्यारेषेवर दाखवायला प्रत्येक एकक लांबी छेदाइतक्या समान भागांत विभागा, मग 0 पासून अंशाइतके भाग पुढे जा. 1 पेक्षा मोठे अपूर्णांक 1 च्या उजवीकडे येतात.
आकृतीत : प्रत्येक उडी 1/4, म्हणून 5/4 म्हणजे 1 पर्यंत 4 उड्या आणि आणखी एक उडी.
नियम 1 : भाग पाडा, मग उड्या मारा — प्रत्येक एकक छेदाइतक्या समान भागांत कापा. एका उडीचे माप म्हणजे एकक अपूर्णांक. 0 पासून अंशाइतक्या उड्या मोजा आणि बिंदू दाखवा.
संख्यारेषेवर अपूर्णांक
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 3/5 : 0 ते 1 चे 5 समान भाग करा आणि 0 पासून 3 उड्या घ्या.
- मध्यम : 7/4 : उड्या 1/4 च्या; 4 उड्यांत 1 येते आणि आणखी 3 उड्या 1 आणि 2 च्या मधे पोहोचतात.
- परीक्षेसाठी : 6/3 : प्रत्येक एककात 3 भाग, म्हणून 6 उड्या नेमक्या 2 वर पोहोचतात.
नियम 2 : कोणत्या दोन पूर्ण संख्यांच्या मधे? — अंशाला छेदाने भागा. भागाकार म्हणजे अपूर्णांकाच्या आधीची पूर्ण संख्या आणि त्यानंतरची पुढची पूर्ण संख्या. काहीच बाकी उरले नाही तर अपूर्णांक नेमका पूर्ण संख्येवर असतो.
- सोपे : 17/5 : 17 ÷ 5 = 3 बाकी 2, म्हणून ते 3 आणि 4 च्या मधे आहे.
- मध्यम : 29/6 : 29 ÷ 6 = 4 बाकी 5, म्हणून ते 4 आणि 5 च्या मधे आहे.
- परीक्षेसाठी : 10/5 : 10 ÷ 5 = 2 आणि काहीच बाकी नाही, म्हणून ते नेमके 2 वर आहे.
खुणांमधील अंतर सर्व समान असावे, आणि अंश आणि छेद सारखे असलेला अपूर्णांक म्हणजेच 1 ची खूण.
0 ला पहिली उडी मोजणे, किंवा असमान अंतरे काढणे.
प्रत्येक एककातील भाग = छेद; उड्यांची संख्या = अंश. आठवणीची युक्ती : “छेद अंतर विभागतो, अंश उड्या मोजतो”.
फरक ओळखा
| अपूर्णांक | एक उडी | स्थान |
|---|---|---|
| 3/4 | 1/4 | 3 उड्या, 0 आणि 1 च्या मधे |
| 4/4 | 1/4 | नेमके 1 वर |
| 7/4 | 1/4 | 1 आणि 2 च्या मधे |
| 8/4 | 1/4 | नेमके 2 वर |
सरावासाठी प्रश्न
- 12/7 दाखवायला प्रत्येक एकक किती समान भागांत विभागावे?
- 25/5 संख्यारेषेवर कुठे असतो?
- 33/2 कोणत्या दोन पूर्ण संख्यांच्या मधे आहे?
- 411/4 कोणत्या दोन पूर्ण संख्यांच्या मधे आहे?
- 50 पासून मीना 1/6 च्या 9 उड्या मारते. ती कोणत्या दोन पूर्ण संख्यांच्या मधे पोहोचते?
- 614/7 नेमके कोणत्या पूर्ण संख्येवर आहे?
- 73/4, 9/10 आणि 5/4 पैकी कोणता 1 च्या सर्वांत जवळ?
- 80 पासून राहुल प्रत्येक वेळी 1/3 उडी मारतो. 4 पर पोहोचायला त्याला किती उड्या लागतील?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) 7
- 22) 1 वर
- 33) 1 आणि 2
- 44) 2 आणि 3 (11 ÷ 4 = 2 बाकी 3)
- 55) 1 आणि 2 (ते 9/6 आहे)
- 66) 2
- 77) 9/10 (फक्त 1/10 दूर)
- 88) 12 उड्या
मिश्र अपूर्णांक आणि 1 पेक्षा मोठे अपूर्णांक
अडीच पिझ्झे म्हणजे 5 अर्धे पिझ्झेही म्हणता येते. बेकर 2 1/2 ट्रे किंवा 5/2 ट्रे म्हणू शकतो, प्रमाण तेच.
ज्या अपूर्णांकाचा अंश छेदापेक्षा मोठा असतो तो 1 पेक्षा मोठा असतो. त्याला मिश्र अपूर्णांक म्हणूनही लिहिता येते, म्हणजे पूर्ण संख्या आणि 1 पेक्षा लहान अपूर्णांक एकत्र, जसे 2 3/4. दोन्ही रूपे तेवढेच प्रमाण दाखवतात.
आकृतीत : 2 संपूर्ण आणि 3 चतुर्थांश मिळून 11 चतुर्थांश, म्हणून 2 3/4 = 11/4.
नियम 1 : मिश्र अपूर्णांकाकडून अपूर्णांकाकडे — पूर्ण संख्येला छेदाने गुणा, अंश मिळवा, आणि छेद तोच ठेवा.
मिश्र अपूर्णांक आणि 1 पेक्षा मोठे अपूर्णांक
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 3 2/5 : 3 × 5 = 15 आणि 15 + 2 = 17, म्हणून 17/5.
- मध्यम : 1 5/8 : 1 × 8 = 8 आणि 8 + 5 = 13, म्हणून 13/8.
- परीक्षेसाठी : 4 1/3 : 4 × 3 = 12 आणि 12 + 1 = 13, म्हणून 13/3.
नियम 2 : अपूर्णांकाकडून मिश्र अपूर्णांकाकडे — अंशाला छेदाने भागा. भागाकार म्हणजे पूर्ण संख्या, आणि बाकी तोच छेद घेऊन अपूर्णांक भाग.
- सोपे : 17/5 : 17 ÷ 5 = 3 बाकी 2, म्हणून 3 2/5.
- मध्यम : 29/4 : 29 ÷ 4 = 7 बाकी 1, म्हणून 7 1/4.
- परीक्षेसाठी : 24/6 : 24 ÷ 6 = 4 बाकी 0, म्हणून ते नेमके 4 आहे.
बाकी 0 असेल तर अपूर्णांक पूर्ण संख्या असते, अपूर्णांक भाग उरत नाही.
पूर्ण संख्येला छेदाने गुणायला विसरणे, किंवा छेद बदलणे.
मिश्र ते अपूर्णांक : पूर्ण × छेद, मग अंश मिळवा. आठवणीची युक्ती : वर जाताना “गुणा, मग मिळवा”; खाली येताना “भागा, बाकी वर”.
फरक ओळखा
| रूप | दुसरे रूप | कृती |
|---|---|---|
| 2 3/4 | 11/4 | 2 × 4 + 3 = 11 |
| 3 2/5 | 17/5 | 3 × 5 + 2 = 17 |
| 29/4 | 7 1/4 | 29 ÷ 4 = 7 बाकी 1 |
| 24/6 | 4 | 24 ÷ 6 = 4 बाकी 0 |
सरावासाठी प्रश्न
- 11 1/2 अपूर्णांक म्हणून लिहा.
- 27/2 मिश्र अपूर्णांक म्हणून लिहा.
- 34 3/5 चा पूर्ण भाग कोणता?
- 45 3/7 अपूर्णांक म्हणून लिहा.
- 531/6 मिश्र अपूर्णांक म्हणून लिहा.
- 6एका पाककृतीला 2 1/4 कप पीठ लागते आणि एका मापात 1/4 कप बसते. किती माप लागतील?
- 76 3/4 मध्ये किती चतुर्थांश असतात?
- 8एका दोरीची लांबी 47/8 मी आहे. ती मिश्र अपूर्णांकात लिहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) 3/2
- 22) 3 1/2
- 33) 4
- 44) 38/7
- 55) 5 1/6
- 66) 9 माप (2 1/4 = 9/4)
- 77) 27 चतुर्थांश (6 × 4 + 3)
- 88) 5 7/8 मी (47 ÷ 8 = 5 बाकी 7)
समतुल्य अपूर्णांक आणि सर्वांत सोपे रूप
अर्धा पिझ्झा म्हणजे 2 चतुर्थांश किंवा 4 अष्टमांशही. पिझ्झा बदलला नाही; आपण फक्त त्याचे लहान समान तुकडे केले, म्हणून तेवढ्याच प्रमाणाला वेगवेगळी नावे मिळाली.
समतुल्य अपूर्णांक तेवढेच प्रमाण दाखवतात. अंश आणि छेद दोघांना एकाच (शून्य नसलेल्या) संख्येने गुणले किंवा भागले तर किंमत बदलत नाही. अंश आणि छेदाला 1 शिवाय दुसरा सामाईक अवयव नसेल तेव्हा अपूर्णांक सर्वांत सोप्या रूपात असतो.
आकृतीत : 1/2, 2/4 आणि 4/8 यांची रंगवलेली लांबी सारखी आहे.
नियम 1 : अंश आणि छेद दोघांना गुणा — मोठ्या संख्यांचा समतुल्य अपूर्णांक बनवायला अंश आणि छेद दोघांना एकाच संख्येने गुणा.
समतुल्य अपूर्णांक आणि सर्वांत सोपे रूप
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 2/3 दोन्हींना 4 ने गुणले : 8/12.
- मध्यम : 5/6 दोन्हींना 3 ने गुणले : 15/18.
- परीक्षेसाठी : 7/10 दोन्हींना 5 ने गुणले : 35/50.
नियम 2 : सामाईक अवयवाने भागा — सर्वांत सोप्या रूपात यायला अंश आणि छेद दोघांना त्यांच्या महत्तम सामाईक अवयवाने भागा. मग 1 पेक्षा मोठा सामाईक अवयव उरत नाही.
- सोपे : 12/18 : महत्तम सामाईक अवयव 6, म्हणून 12 ÷ 6 = 2 आणि 18 ÷ 6 = 3, उत्तर 2/3.
- मध्यम : 20/50 : महत्तम सामाईक अवयव 10, उत्तर 2/5.
- परीक्षेसाठी : 28/42 : महत्तम सामाईक अवयव 14, म्हणून 28 ÷ 14 = 2 आणि 42 ÷ 14 = 3, उत्तर 2/3.
वर आणि खाली तीच गुणाकार किंवा भागाकार केल्याने किंमत तीच राहते, पण दोन्हींना तीच संख्या मिळवली तर ती बदलते.
अंश आणि छेद दोघांत तीच संख्या मिळवणे, किंवा फक्त वरचा अंक गुणणे.
दोन अपूर्णांक समान आहेत का हे पाहायला दोन्ही सर्वांत सोप्या रूपात आणा आणि तपासा. आठवणीची युक्ती : “वर जे कराल ते खाली करा”.
फरक ओळखा
| काम | नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| मोठे आकडे | दोन्हींना एकाच संख्येने गुणा | 1/2 = 3/6 |
| लहान आकडे | दोन्हींना सामाईक अवयवाने भागा | 6/9 = 2/3 |
| सर्वांत सोपे रूप | महत्तम सामाईक अवयवाने भागा | 12/18 = 2/3 |
| समान तपासा | दोन्ही सोपे करा | 4/6 आणि 6/9 दोन्ही 2/3 |
सरावासाठी प्रश्न
- 11/2 चा 4 छेद असलेला समतुल्य अपूर्णांक लिहा.
- 24/8 सर्वांत सोप्या रूपात किती?
- 33/4 चा 12 छेद असलेला समतुल्य अपूर्णांक लिहा.
- 418/24 सर्वांत सोप्या रूपात लिहा.
- 54/6 आणि 10/15 समतुल्य अपूर्णांक आहेत का?
- 6हरवलेली संख्या शोधा : 5/8 = ?/40.
- 76/10, 9/15, 12/25 आणि 15/25 पैकी कोणता 3/5 चा समतुल्य नाही?
- 884/126 सर्वांत सोप्या रूपात लिहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) 2/4
- 22) 1/2
- 33) 9/12
- 44) 3/4 (6 ने भागा)
- 55) होय, दोन्ही 2/3 आहेत
- 66) 25 (5 ने गुणा)
- 77) 12/25 (3/5 = 15/25)
- 88) 2/3 (42 ने भागा)
अपूर्णांकांची तुलना, बेरीज आणि वजाबाकी
दोन मित्र सारख्या पोळ्यांपैकी 1/2 आणि 1/3 खातात, कोणी जास्त खाल्ले ते जाणायचे आहे. एक आचारी 3/4 लिटर दूध ओततो आणि मग 1/6 लिटर आणखी, त्याला एकूण हवे. दोन्हीसाठी अपूर्णांकांची तुलना आणि बेरीज करावी लागते.
सारखा छेद असलेले अपूर्णांक म्हणजे सजातीय अपूर्णांक. त्यांची तुलना अंशांनी करा, आणि अंश मिळवा किंवा वजा करा, छेद तोच ठेवा. विजातीय अपूर्णांकांसाठी आधी त्यांचे सामाईक छेद असलेले (छेदांचा ल.सा.वि.) समतुल्य अपूर्णांक करा, मग पुढे जा.
आकृतीत : 1/2 चे 2/4 होते, आणि मग 2/4 + 1/4 = 3/4.
नियम 1 : अपूर्णांकांची तुलना — छेद सारखा असेल तर मोठा अंश असलेला मोठा. अंश सारखा असेल तर लहान छेद असलेला मोठा. नाहीतर छेद सारखे करा आणि अंश तपासा.
- सोपे : 5/9 आणि 7/9 चा छेद सारखा, म्हणून 7/9 मोठा.
- मध्यम : 2/3 आणि 3/4 : छेद 12 केल्यावर 8/12 आणि 9/12, म्हणून 3/4 मोठा.
- परीक्षेसाठी : 3/7 आणि 3/5 चा अंश सारखा, म्हणून लहान छेद असलेला 3/5 मोठा.
नियम 2 : बेरीज आणि वजाबाकी — छेद सारखे करा, मग फक्त अंश मिळवा किंवा वजा करा आणि छेद तोच ठेवा. उत्तर सर्वांत सोप्या रूपात लिहा.
अपूर्णांकांची तुलना, बेरीज आणि वजाबाकी
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 3/8 + 2/8 = 5/8, कारण छेद आधीच सारखे आहेत.
- मध्यम : 1/2 + 1/3 : छेद 6 केल्यावर 3/6 + 2/6 = 5/6.
- परीक्षेसाठी : 5/6 − 1/4 : छेद 12 केल्यावर 10/12 − 3/12 = 7/12.
छेदांचा ल.सा.वि. हा सर्वांत लहान सामाईक छेद देतो, त्यामुळे आकडे लहान राहतात.
छेदही मिळवणे, उदाहरणार्थ 1/2 + 1/3 = 2/5, जे चूक आहे.
आधी खालचे सारखे करा, मग फक्त वरच्यांशी काम करा. आठवणीची युक्ती : “छेद जुळवा, मग अंशांवर काम करा”.
फरक ओळखा
| प्रकार | नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| सारखा छेद | मोठा अंश मोठा | 4/9 < 7/9 |
| सारखा अंश | लहान छेद मोठा | 3/5 > 3/7 |
| विजातीय बेरीज | सामाईक छेद, अंश मिळवा | 1/2 + 1/3 = 5/6 |
| विजातीय वजाबाकी | सामाईक छेद, अंश वजा करा | 5/6 − 1/4 = 7/12 |
सरावासाठी प्रश्न
- 14/11 की 9/11 कोणता मोठा?
- 22/9 + 5/9 किती?
- 39/10 − 4/10 सर्वांत सोप्या रूपात किती?
- 43/4 + 1/6 किती?
- 57/8 − 1/2 किती?
- 6राणी 1/3 मी फीत वापरते आणि सीता 1/4 मी. दोघी मिळून किती फीत वापरतात?
- 75/6, 3/4 आणि 2/3 लहानाकडून मोठ्याकडे लावा.
- 8एक टाकी 2/3 भरलेली आहे. मग टाकीचा 1/4 भाग वापरला. आता टाकी किती अपूर्णांक भरलेली आहे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) 9/11
- 22) 7/9
- 33) 1/2 (5/10)
- 44) 11/12 (9/12 + 2/12)
- 55) 3/8 (7/8 − 4/8)
- 66) 7/12 मी (4/12 + 3/12)
- 77) 2/3, 3/4, 5/6 (8/12, 9/12, 10/12)
- 88) 5/12 (8/12 − 3/12)