संख्यारेषा, संख्यांची तुलना आणि सुपरसेल
रांगेत सर्वांत उंच मूल उठून दिसते, कारण तिच्या आजूबाजूचे सगळे बुटके असतात. संख्याही अशाच असतात : काही संख्या आपल्या सर्व शेजाऱ्यांपेक्षा मोठ्या असतात. पट्टीवर उजवीकडच्या संख्या नेहमी मोठ्या असतात.
संख्यारेषेवर उजवीकडची संख्या डावीकडच्या संख्येपेक्षा मोठी असते. संख्यांची तुलना करताना आधी अंक मोजा (जास्त अंक म्हणजे मोठी संख्या), मग डावीकडून स्थानानुसार तुलना करा. सुपरसेल म्हणजे जाळीतील असा चौकोन ज्यातील संख्या त्याच्या बाजू जुळणाऱ्या सर्व शेजारच्या चौकोनांतील संख्यांपेक्षा मोठी असते.
आकृतीत : A आणि B हे 3 आणि 8 वर आहेत. मध्यबिंदू (3 + 8) ÷ 2 = 5.5.
नियम 1 : तुलना करा आणि मध्य शोधा — जास्त अंक म्हणजे मोठी संख्या. अंक सारखे असतील तर डावीकडून तुलना करा : पहिल्या फरक असलेल्या स्थानावरून निर्णय होतो. दोन संख्यांच्या अगदी मध्यावरची संख्या म्हणजे त्यांची बेरीज भागिले 2.
संख्यारेषा, संख्यांची तुलना आणि सुपरसेल
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 4,827 आणि 4,872 : हजार आणि शतक सारखे; दशक 2 < 7, म्हणून 4,872 मोठी.
- मध्यम : 120 आणि 180 चा मध्य : (120 + 180) ÷ 2 = 150.
- परीक्षेसाठी : 4,999 आणि 5,010 मधील पूर्ण संख्या 5,000 ते 5,009, म्हणजे 10 संख्या.
नियम 2 : सुपरसेल शोधा — प्रत्येक चौकोनाची तुलना वर, खाली, डावीकडे आणि उजवीकडच्या शेजाऱ्यांशी करा. तो सगळ्यांपेक्षा मोठा असेल तर सुपरसेल. दोन लगतचे चौकोन कधीच दोन्ही सुपरसेल असू शकत नाहीत.
संख्यारेषा, संख्यांची तुलना आणि सुपरसेल
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : पहिली ओळ : 7, 2; दुसरी ओळ : 5, 9. 7 हा 2 आणि 5 पेक्षा मोठा; 9 हा 2 आणि 5 पेक्षा मोठा. सुपरसेल : 2.
- मध्यम : यादी 4, 8, 3, 9, 2 : आतल्या 8 आणि 9 या दोन्ही शेजाऱ्यांपेक्षा मोठ्या. म्हणजे 2.
- परीक्षेसाठी : एका ओळीतील पाच संख्यांत जास्तीत जास्त 3 सुपरसेल (1, 3 आणि 5 वा चौकोन), कारण सुपरसेल एकमेकांना लागू शकत नाहीत.
जाळीतील सर्वांत मोठी संख्या नेहमी सुपरसेल असते. शेजारी म्हणजे बाजू जुळणारे, फक्त कोपरा जुळणारे नव्हे.
दोन संख्यांचे फक्त शेवटचे अंक तपासणे किंवा कोपऱ्याचे चौकोन शेजारी मोजणे.
आधी अंक मोजा; मग डावीकडून तुलना करा. मध्य = (a + b) ÷ 2 (दोन संख्यांची बेरीज ÷ 2). आठवणीची युक्ती : “जास्त अंक जिंकतात, मग डावीकडून उजवीकडे”. सुपरसेलसाठी : “चारही बाजूंना हरवतो”.
फरक ओळखा
| प्रसंग | नियम | उदाहरण | उत्तर |
|---|---|---|---|
| वेगळ्या अंकसंख्या | जास्त अंक मोठे | 56 आणि 506 | 506 |
| सारखे अंक | पहिले वेगळे स्थान ठरवते | 4,827 आणि 4,872 | 4,872 |
| मध्य संख्या | (a + b) ÷ 2 | 250 आणि 450 | 350 |
| सुपरसेल | सर्व शेजाऱ्यांना हरवतो | 1, 3, 2, 4 मध्ये 9 | होय |
सरावासाठी प्रश्न
- 14,827 आणि 4,872 पैकी मोठी कोणती?
- 29,999 नंतरची लगतची संख्या?
- 310 आणि 20 च्या अगदी मध्यावर काय?
- 42, 0, 7, 5 अंकांतून सर्वांत मोठी चार अंकी संख्या?
- 52, 0, 7, 5 अंकांतून सर्वांत लहान चार अंकी संख्या?
- 6250 आणि 450 च्या मध्यावर?
- 7जाळी : पहिली ओळ 4, 8, 1; दुसरी 6, 2, 9; तिसरी 3, 7, 5. किती सुपरसेल?
- 84,999 आणि 5,010 मध्ये किती पूर्ण संख्या?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) 4,872
- 22) 10,000
- 33) 15
- 44) 7,520
- 55) 2,057 (पुढे शून्य नाही)
- 66) 350
- 77) 4 (8, 6, 9 आणि 7)
- 88) 10 (5,000 ते 5,009)
अंक आणि अंकांची बेरीज
बसच्या तिकिटाचा क्रमांक 3408 हा 3, 4, 0 आणि 8 या अंकांत तोडता येतो. गुप्तहेर प्रत्येक अंक तपासतो, त्यांची बेरीज करतो आणि सुगावे मिळवतो. “अंक-गुप्तहेर” संख्यांबाबत असेच काम करतात.
अंक म्हणजे 0 ते 9. संख्येची अंकबेरीज म्हणजे तिच्या सर्व अंकांची बेरीज. अंकाची स्थानिक किंमत म्हणजे अंक × त्याचे स्थान : 3,742 मधील 7 म्हणजे 700. चार अंकी संख्या 0 ने सुरू होत नाही.
आकृतीत : 3,408 चे अंक 3, 4, 0 आणि 8 आहेत. त्यांची बेरीज 15.
नियम 1 : अंक मिळवा — सर्व अंक मिळवा. एकच अंक उरेपर्यंत उत्तराचेही अंक मिळवत राहा; हा एक अंक म्हणजे अंकबेरजेचे सर्वांत सोपे रूप.
अंक आणि अंकांची बेरीज
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 345 ची अंकबेरीज : 3 + 4 + 5 = 12.
- मध्यम : 4,567 : 4 + 5 + 6 + 7 = 22, मग 2 + 2 = 4.
- परीक्षेसाठी : सर्वांत जास्त अंकबेरीज कोणाची : 399 (21), 480 (12), 570 (12) की 888 (24)? 888.
नियम 2 : दिलेल्या अंकबेरजेच्या संख्या बनवा — सर्वांत लहान संख्येसाठी डावीकडचे अंक शक्य तितके लहान ठेवा आणि मोठे अंक उजवीकडे सरकवा. सर्वांत मोठ्या संख्येसाठी डावीकडच्या स्थानी शक्य तेवढे जास्त ठेवा.
- सोपे : अंकबेरीज 9 असलेली सर्वांत लहान दोन अंकी संख्या : दशक 1, एकक 8, म्हणजे 18.
- मध्यम : अंकबेरीज 5 असलेली सर्वांत मोठी तीन अंकी संख्या : 500. सर्वांत लहान : 104.
- परीक्षेसाठी : अंकबेरीज 20 असलेली सर्वांत लहान संख्या : दोन अंकांची कमाल बेरीज 18, म्हणून 3 अंक : 299.
99 ची अंकबेरीज 18, दोन अंकांसाठी सर्वांत मोठी. एक अंकी संख्येची अंकबेरीज ती स्वतःच असते.
तीन किंवा चार अंकी संख्येचा पहिला अंक 0 मानणे, उदा. 057 ला तीन अंकी संख्या म्हणणे.
सर्वांत लहान : लहान अंक डावीकडे. सर्वांत मोठी : मोठे अंक डावीकडे. आठवणीची युक्ती : “लहानासाठी लहान डावीकडे, मोठ्यासाठी मोठे डावीकडे”.
फरक ओळखा
| अंकबेरीज | सर्वांत लहान संख्या | सर्वांत मोठी तीन अंकी | दोन अंकी संख्यांची संख्या |
|---|---|---|---|
| 4 | 4 | 400 | 4 |
| 9 | 9 | 900 | 9 |
| 15 | 69 | 960 | 4 |
| 20 | 299 | 992 | 0 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1345 ची अंकबेरीज?
- 21,000 ची अंकबेरीज?
- 33,742 मधील 7 ची स्थानिक किंमत?
- 4अंकबेरीज 5 असलेली सर्वांत लहान तीन अंकी संख्या?
- 5किती दोन अंकी संख्यांची अंकबेरीज 4?
- 6अंकबेरीज 6 असलेली सर्वांत मोठी चार अंकी संख्या?
- 7किती तीन अंकी संख्यांची अंकबेरीज 3?
- 8अंकबेरीज 20 असलेली सर्वांत लहान संख्या?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) 12
- 22) 1
- 33) 700
- 44) 104
- 55) 4 (13, 22, 31, 40)
- 66) 6,000
- 77) 6 (102, 111, 120, 201, 210, 300)
- 88) 299
पॅलिंड्रोम आणि उलट-आणि-मिळव
MADAM आणि RADAR सारखे शब्द दोन्ही टोकांकडून सारखेच वाचले जातात. संख्याही तशा असतात : 121 आणि 4,554 उलट वाचले तरी सारखेच.
पॅलिंड्रोम म्हणजे पुढून आणि मागून सारखीच वाचली जाणारी संख्या. संख्येची उलट संख्या म्हणजे तिचे अंक उलट क्रमाने लिहिलेली संख्या. उलट-आणि-मिळव म्हणजे संख्या आणि तिची उलट संख्या मिळवा, मग उत्तरावर पुन्हा तेच करा, पॅलिंड्रोम मिळेपर्यंत.
आकृतीत : 68 + 86 = 154, 154 + 451 = 605, 605 + 506 = 1,111. तीन पायऱ्यांत पॅलिंड्रोम.
नियम 1 : पॅलिंड्रोम ओळखा आणि बनवा — तीन अंकी पॅलिंड्रोम aba सारखी आणि चार अंकी abba सारखी दिसते. तीन अंकांसाठी पहिला अंक 1 ते 9 आणि मधला 0 ते 9, म्हणून 9 × 10 = 90 पॅलिंड्रोम.
- सोपे : पुढून-मागून सारखी कोणती : 1,221, 1,231 की 1,213? 1,221.
- मध्यम : 2,992 नंतरची पॅलिंड्रोम : ती 3 ने सुरू होणार, म्हणून 3,003.
- परीक्षेसाठी : अंकबेरीज 14 असलेली सर्वांत लहान चार अंकी पॅलिंड्रोम : 2a + 2b = 14, a + b = 7, सर्वांत लहान a = 1, b = 6 : 1,661.
नियम 2 : उलट-आणि-मिळव पायऱ्या — संख्या उलट करा, मिळवा आणि उत्तर तपासा. पॅलिंड्रोम मिळाली की थांबा आणि पायऱ्या मोजा. बहुतेक संख्यांना थोड्या पायऱ्या लागतात, काहींना पुष्कळ.
पॅलिंड्रोम आणि उलट-आणि-मिळव
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 29 + 92 = 121 : एक पायरी.
- मध्यम : 39 + 93 = 132, 132 + 231 = 363 : दोन पायऱ्या.
- परीक्षेसाठी : 87 : 165, 726, 1,353, 4,884. चार पायऱ्या.
प्रत्येक दोन अंकी पॅलिंड्रोम म्हणजे अंकाची 11 पट : 11, 22, 33 … 99.
काहीच अंक उलट करणे किंवा मूळ संख्या मिळवायला विसरणे.
पॅलिंड्रोम : पहिला अंक = शेवटचा अंक आणि दुसरा = शेवटून दुसरा. प्रत्येक पायरीत संख्या आणि तिची उलट संख्या मिळवा. आठवणीची युक्ती : “मध्यात आरसा” : डावा अर्धा आणि उजवा अर्धा जुळतो.
फरक ओळखा
| सुरुवात | पायरी 1 | पायरी 2 | आवश्यक पायऱ्या |
|---|---|---|---|
| 29 | 121 | आधीच पॅलिंड्रोम | 1 |
| 39 | 132 | 363 | 2 |
| 57 | 132 | 363 | 2 |
| 68 | 154 | 605 | 3 |
सरावासाठी प्रश्न
- 13,167 ची उलट संख्या?
- 2सर्वांत लहान दोन अंकी पॅलिंड्रोम?
- 324 + त्याची उलट संख्या?
- 4तीन अंकी पॅलिंड्रोम किती?
- 51,300 पेक्षा मोठी सर्वांत लहान पॅलिंड्रोम?
- 668 साठी पायऱ्या?
- 787 साठी पायऱ्या?
- 81,000 आणि 2,000 मध्ये किती चार अंकी पॅलिंड्रोम?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) 7,613
- 22) 11
- 33) 66
- 44) 90
- 55) 1,331
- 66) 3
- 77) 4
- 88) 10 (1001, 1111, …, 1991)
कापरेकर स्थिरांक आणि संख्यांचे नमुने
डिजिटल घड्याळात 12:21 अशी पॅलिंड्रोम वेळ दिसते आणि एका जादूत जवळजवळ प्रत्येक चार अंकी संख्या काही सोप्या पायऱ्यांनी 6174 वर पोहोचते. संख्यांमध्ये अनेक गमतीजमती असतात.
कापरेकर क्रिया : कमीत कमी दोन वेगळे अंक असलेली चार अंकी संख्या घ्या, तिच्या अंकांपासून सर्वांत मोठी आणि सर्वांत लहान संख्या बनवा, वजाबाकी करा आणि पुन्हा करा. तुम्ही नेहमी 6174 वर पोहोचता; त्याला कापरेकर स्थिरांक म्हणतात; मग तिथेच राहता. संख्यांचा नमुना म्हणजे मिळवणे, दुप्पट, वर्ग किंवा त्रिकोणी अशा नियमाने तयार झालेली रांग.
आकृतीत : 3,524 → 5,432 − 2,345 = 3,087 → 8,730 − 0,378 = 8,352 → 8,532 − 2,358 = 6,174.
नियम 1 : कापरेकर पायऱ्या करा — अंक मोठ्यापासून लहानाकडे लिहा, मग लहानापासून मोठ्याकडे (शून्य पुढे येऊ शकते) आणि वजाबाकी करा. उत्तर चार अंकी लिहून पुन्हा करा. चारही अंक सारखे असलेली संख्या, उदा. 2,222, ही क्रिया सुरू करू शकत नाही, कारण उत्तर 0 येते.
कापरेकर स्थिरांक आणि संख्यांचे नमुने
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : अंक 3, 1, 4, 2 : 4,321 − 1,234 = 3,087.
- मध्यम : 3,087 पासून : 8,730 − 0,378 = 8,352. मग 8,532 − 2,358 = 6,174.
- परीक्षेसाठी : 1,000 पासून : 999 → 8,991 → 8,082 → 8,532 → 6,174. म्हणजे 5 पायऱ्या.
नियम 2 : नमुना शोधा आणि घड्याळाच्या पॅलिंड्रोम वेळा — शेजारच्या संख्यांमधील फरक किंवा गुणोत्तर पाहा. सारखे फरक म्हणजे मिळवणे; प्रत्येक पद आधीच्याच्या दुप्पट म्हणजे दुप्पट करणे; 1, 4, 9, 16 वर्ग; फरक 2, 3, 4, 5 असतील तर त्रिकोणी संख्या. 24 तासांच्या घड्याळात 10:01 आणि 23:32 सारख्या वेळा पॅलिंड्रोम असतात.
- सोपे : 1, 3, 6, 10, 15 : फरक 2, 3, 4, 5 आहेत, म्हणून पुढचा फरक 6 आणि पुढची संख्या 21.
- मध्यम : 1 + 2 + … + 10 : जोड्या (1 + 10), (2 + 9) … अकरा बेरजेच्या पाच जोड्या, म्हणून 5 × 11 = 55.
- परीक्षेसाठी : 24 तासांच्या घड्याळात सर्वांत उशिराची पॅलिंड्रोम वेळ 23:32. पूर्ण दिवसात अशा 16 वेळा येतात.
6174 स्वतःमध्येच बदलतो : 7,641 − 1,467 = 6,174.
शून्य गाळणे : मांडणीआधी उत्तर नेहमी चार अंकी लिहा, उदा. 999 हे 0999.
मोठी मांडणी − लहान मांडणी, 6174 येईपर्यंत पुन्हा करा. आठवणीची युक्ती : “मोठे वजा लहान, चार अंक, 6174 वर थांबा”.
फरक ओळखा
| कल्पना | सुरुवात | नियम | पुढच्या संख्या |
|---|---|---|---|
| कापरेकर | 3,524 | मोठे − लहान | 3,087, 8,352, 6,174 |
| वर्ग | 1, 4, 9, 16 | n × n | 25, 36 |
| दुप्पट | 3, 6, 12 | × 2 | 24, 48 |
| त्रिकोणी | 1, 3, 6, 10 | 2, 3, 4, 5 मिळवा | 15, 21 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1चार अंकी संख्यांसाठी कापरेकर स्थिरांक?
- 23, 1, 4, 2 अंकांतून सर्वांत मोठी संख्या?
- 311, 22, 33, 44 मधील पुढची?
- 43,087 वर एक कापरेकर पायरी?
- 51, 4, 9, 16, 25 मधील पुढची?
- 61, 3, 6, 10, 15 मधील पुढची?
- 71,000 पासून 6,174 पर्यंत किती कापरेकर पायऱ्या?
- 824 तासांच्या घड्याळातील सर्वांत उशिराची पॅलिंड्रोम वेळ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) 6,174
- 22) 4,321
- 33) 55
- 44) 8,352
- 55) 36
- 66) 21
- 77) 5
- 88) 23:32
कोलॅट्झ मालिका, मनोगणित, अंदाज आणि खेळ
वर-खाली उड्या मारून शेवटी स्थिर होणारा चेंडू कोलॅट्झ संख्येसारखा असतो; ती 1 वर येण्यापूर्वी वर-खाली होते. दुकानदार कॅल्क्युलेटरआधी मनातल्या मनात बेरीज करतात आणि बिलाचा अंदाज बांधतात.
कोलॅट्झ नियम : संख्या सम असेल तर निम्मी करा; विषम असेल तर 3 ने गुणून 1 मिळवा. असेच करत राहा; आतापर्यंत पाहिलेली प्रत्येक संख्या शेवटी 1 वर येते. अंदाज म्हणजे संख्या जवळच्या संख्येत आणून झटपट जवळचे उत्तर काढणे. 21 पर्यंतच्या शर्यतीत खेळाडू आळीपाळीने 1, 2 किंवा 3 मिळवतात आणि जो 21 म्हणतो तो जिंकतो.
आकृतीत : 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. आठ पायऱ्या. विषम संख्या ×3 + 1, सम संख्या निम्मी.
नियम 1 : कोलॅट्झ नियम वापरा — सम : 2 ने भागा. विषम : 3 ने गुणून 1 मिळवा. 1 पर्यंत पोहोचायला किती पायऱ्या लागतात ते मोजा.
कोलॅट्झ मालिका, मनोगणित, अंदाज आणि खेळ
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 6 वर पायरी : सम, म्हणून 6 ÷ 2 = 3. 7 वर पायरी : विषम, म्हणून 7 × 3 + 1 = 22.
- मध्यम : 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 : 5 पायऱ्या. 8 → 4 → 2 → 1 : 3 पायऱ्या.
- परीक्षेसाठी : 9 वर चढून 52 पर्यंत जातो आणि 19 पायऱ्या घेतो. 16 ला फक्त 4 पायऱ्या.
नियम 2 : मनोगणित आणि अंदाज — सोप्या संख्या वापरा. 99 + 47 = 100 + 47 − 1. 15 × 12 = 15 × 10 + 15 × 2. 25 × 4 म्हणजे 100 चे चार चतुर्थांश. अंदाजासाठी आधी प्रत्येक संख्या जवळच्या संख्येत आणा, मग गणित करा.
- सोपे : 498 + 305 चा अंदाज : 500 + 300 = 800.
- मध्यम : 48 + 37 : 48 + 2 = 50, 37 − 2 = 35, म्हणून 85.
- परीक्षेसाठी : 29 × 31 चा अंदाज : 30 × 30 = 900. 4,763 जवळच्या हजारात : 5,000.
नियम 3 : 21 ची शर्यत जिंका — सुरक्षित संख्या 21, 17, 13, 9, 5 आणि 1 आहेत (4 च्या अंतराने). तुम्ही सुरक्षित संख्येवर पोहोचलात की समोरचा 1, 2 किंवा 3 काहीही मिळवो, तुम्ही बेरीज 4 ने वाढेल एवढे मिळवून पुढच्या सुरक्षित संख्येवर जाता.
कोलॅट्झ मालिका, मनोगणित, अंदाज आणि खेळ
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 21 च्या आधीची सुरक्षित संख्या 17 : 17 नंतर समोरचा फक्त 18, 19 किंवा 20 म्हणू शकतो.
- मध्यम : तुमच्या 5 नंतर समोरच्याने 2 म्हटले तर तुम्ही 2 मिळवून 9 वर जा.
- परीक्षेसाठी : आधी खेळत असाल तर 1 म्हणा. मग प्रत्येक फेरीत दोघे मिळून 4 मिळवतात.
आतापर्यंत तपासलेली प्रत्येक कोलॅट्झ संख्या 1 वर येते, पण असे नेहमीच होते हे कोणीही सिद्ध केलेले नाही.
सम संख्येवर ×3 + 1 वापरणे किंवा विषम संख्येचे निम्मे करणे. आधी संख्या सम की विषम ते तपासा.
सम : निम्मे. विषम : तिप्पट आणि 1 मिळवा. 21 ची शर्यत : 1, 5, 9, 13, 17, 21 गाठा. आठवणीची युक्ती : “सम निम्मे, विषम तिप्पट + एक”; शर्यतीसाठी : “चार अंतर जिंकवते”.
फरक ओळखा
| सुरुवात | 1 पर पोहोचण्यासाठी पायऱ्या | गाठलेली सर्वाधिक संख्या | टीप |
|---|---|---|---|
| 6 | 8 | 16 | सम सुरुवात |
| 7 | 16 | 52 | विषम सुरुवात |
| 9 | 19 | 52 | लांब मार्ग |
| 16 | 4 | 16 | यातील सर्वांत लहान |
सरावासाठी प्रश्न
- 16 वर कोलॅट्झ पायरी?
- 27 वर कोलॅट्झ पायरी?
- 3498 + 305 चा अंदाज.
- 45 पासून 1 पर्यंत कोलॅट्झ पायऱ्या?
- 515 × 12 मनातल्या मनात?
- 6शर्यतीत 21 आधीची सुरक्षित संख्या?
- 79 पासून 1 पर्यंत कोलॅट्झ पायऱ्या?
- 821 च्या शर्यतीत तुम्ही आधी खेळता. कोणती संख्या आधी म्हणाल आणि का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) 3
- 22) 22
- 33) 800
- 44) 5
- 55) 180
- 66) 17
- 77) 19
- 88) 1, कारण सुरक्षित संख्या 1, 5, 9, 13, 17, 21 या 4 च्या अंतराने आहेत आणि तुम्ही नेहमी पुढची गाठू शकता.