बिंदू, रेषाखंड, किरण आणि रेषा
टोकदार पेन्सिलचे टोक एक बिंदू दाखवते. ताणलेली रबरबँड रेषाखंडासारखी असते. टॉर्चचा प्रकाशझोत किरणासारखा असतो, कारण तो टॉर्चपासून सुरू होऊन पुढे जातो. नकाशावर न संपणारा रस्ता रेषेसारखा असतो.
बिंदू म्हणजे अचूक जागा; त्याला आकार नसतो. रेषाखंड म्हणजे दोन बिंदूंमधील सरळ मार्ग; त्याला दोन अंत्यबिंदू असतात. किरण एका बिंदूपासून सुरू होऊन एका दिशेला कायम पुढे जातो. रेषा दोन्ही दिशांना कायम पुढे जाते आणि तिला अंत्यबिंदू नसतात.
आकृतीत : बिंदू P, रेषाखंड AB, किरण AB (A पासून सुरू, B मधून जातो, संपत नाही) आणि रेषा AB (दोन्ही बाजूंना बाण).
नियम 1 : अंत्यबिंदू मोजा — रेषाखंडाला 2, किरणाला 1 आणि रेषेला 0 अंत्यबिंदू असतात. फक्त रेषाखंडाची लांबी मोजता येते.
बिंदू, रेषाखंड, किरण आणि रेषा
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : P आणि Q ठिपक्यांमध्ये पट्टीने काढलेली रेषा म्हणजे रेषाखंड PQ : 2 अंत्यबिंदू, म्हणून मोजता येतो.
- मध्यम : दिव्यातून एका दिशेला जाणारा प्रकाश किरण आहे : 1 अंत्यबिंदू.
- परीक्षेसाठी : रेषाखंड, किरण आणि रेषा यांपैकी पट्टीने काय मोजता येते? फक्त रेषाखंड, कारण किरण आणि रेषा संपत नाहीत.
नियम 2 : बिंदूंपासून रेषाखंड मोजणे — दोन बिंदूंतून नेमकी एक रेषा जाते, पण एका बिंदूतून अनेक रेषा जातात. रेषाखंड मोजण्यासाठी प्रत्येक जोडी एकदाच जोडा. कोणतेही तीन एका रेषेत नसलेल्या बिंदूंचे रेषाखंड : (बिंदूंची संख्या − 1) + (त्यापेक्षा 2 कमी) + … + 1.
- सोपे : एका रेषेत नसलेले 3 बिंदू A, B, C : AB, BC, CA = 3 रेषाखंड.
- मध्यम : 4 बिंदू, कोणतेही तीन एका रेषेत नाहीत : 3 + 2 + 1 = 6 रेषाखंड.
- परीक्षेसाठी : 6 बिंदू, कोणतेही तीन एका रेषेत नाहीत : 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 रेषाखंड.
किरण AB हा A पासून सुरू होऊन B मधून जातो. किरण BA हा B पासून सुरू होतो. हे दोन वेगळे किरण आहेत.
किरण आणि रेषा सारख्याच समजणे किंवा किरण AB आणि किरण BA सारखे समजणे. सुरुवातीचा बिंदू नेहमी आधी लिहितात.
अंत्यबिंदू : रेषाखंड 2, किरण 1, रेषा 0. आठवणीची युक्ती : “2-1-0” आठवा : दोन्हीकडे थांबतो, एकीकडे धावतो, कधीच थांबत नाही.
फरक ओळखा
| गुणधर्म | रेषाखंड | किरण | रेषा |
|---|---|---|---|
| अंत्यबिंदू | 2 | 1 | 0 |
| लांबी | मोजता येते | मोजता येत नाही | मोजता येत नाही |
| कायम पुढे जातो/जाते का | नाही | एका दिशेला | दोन्ही दिशांना |
| नाव | AB | किरण AB | रेषा AB |
सरावासाठी प्रश्न
- 1रेषाखंडाला किती अंत्यबिंदू असतात?
- 2किरणाला किती अंत्यबिंदू असतात?
- 3रेषाखंड, किरण आणि रेषा यांपैकी कोणाला अंत्यबिंदू नसतात?
- 4दिलेल्या दोन बिंदूंतून किती रेषा जातात?
- 5कोणतेही तीन एका रेषेत नसलेले 5 बिंदू सर्व जोड्यांमध्ये जोडले. किती रेषाखंड होतील?
- 6पट्टीने काय मोजता येते : किरण AB की रेषाखंड AB?
- 7A, B, C, D हे 4 बिंदू एका रेषेवर याच क्रमाने आहेत. किती वेगवेगळे रेषाखंड सांगता येतील?
- 8किरण AB आणि किरण BA सारखेच आहेत का? कारण द्या.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) 2
- 22) 1
- 33) रेषा
- 44) नेमकी एक
- 55) 10 (4 + 3 + 2 + 1)
- 66) रेषाखंड AB, कारण त्याला दोन अंत्यबिंदू आहेत
- 77) 6 : AB, AC, AD, BC, BD, CD
- 88) नाही. किरण AB A पासून आणि किरण BA B पासून सुरू होतो, म्हणून ते वेगळ्या दिशांना जातात.
कोन : भुजा, शिरोबिंदू आणि तुलना
थोडा उघडलेला आणि पूर्ण उघडलेला दरवाजा, कात्री, घड्याळाचे दोन काटे आणि उघडलेले पुस्तक यांतून कोन दिसतात. दरवाजा जितका जास्त फिरतो तितका कोन मोठा.
जेव्हा दोन किरण एकाच बिंदूपासून सुरू होतात तेव्हा कोन तयार होतो. दोन किरण म्हणजे भुजा आणि सामायिक सुरुवातीचा बिंदू म्हणजे शिरोबिंदू. कोनाचे माप म्हणजे दोन भुजांमधील फिरण्याचे प्रमाण. कोन ∠AOB असा लिहितात; शिरोबिंदू O मध्ये येतो.
आकृतीत : ∠AOB : शिरोबिंदू O, भुजा OA आणि OB. केशरी कमान दोन भुजांमधील फिरणे दाखवते.
नियम 1 : कोनाला बरोबर नाव द्या — शिरोबिंदूचे अक्षर नेहमी मध्ये येते. ∠PQR आणि ∠RQP हा एकच कोन आहे. एका शिरोबिंदूवर अनेक कोन असतील तर एक अक्षर पुरत नाही; तीन अक्षरे वापरा.
- सोपे : भुजा OA आणि OB यांचा कोन ∠AOB, शिरोबिंदू O.
- मध्यम : ∠DBE मध्ये शिरोबिंदू B आहे, म्हणजे मधले अक्षर.
- परीक्षेसाठी : एका रेषेत नसलेले 3 बिंदू A, B, C : प्रत्येक बिंदूवर उरलेले दोन निवडा. ∠ABC, ∠BCA, ∠CAB = 3 कोन. 4 बिंदू असतील तर 4 × 3 = 12.
नियम 2 : फिरवून कोनांची तुलना करा — एक कोन दुसऱ्यावर असा ठेवा की शिरोबिंदू एकत्र आणि एक भुजा एकमेकांवर येईल. ज्याची दुसरी भुजा बाहेर पडते तो कोन मोठा. दोन्ही भुजा नेमक्या बसल्या तर कोन समान. भुजांच्या लांबीचा काहीही संबंध नाही.
कोन : भुजा, शिरोबिंदू आणि तुलना
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 40° आणि 70° : 70° चा कोन जास्त उघडतो, म्हणून मोठा.
- मध्यम : कात्री जास्त उघडली तर कमी उघडलेल्या कात्रीपेक्षा मोठा कोन होतो, पाती तीच असली तरी.
- परीक्षेसाठी : कोन X च्या भुजा 10 सेमी आणि फिरणे 30°. कोन Y च्या भुजा 5 सेमी आणि फिरणे 45°. 45° > 30° म्हणून Y मोठा; भुजांची लांबी विचारात घेत नाही.
कोनाचे माप म्हणजे फिरण्याचे प्रमाण, भुजा किती लांब काढल्या ते नाही.
जास्त लांब भुजा काढलेला कोन मोठा असतो असे समजणे.
शिरोबिंदू मध्ये; उघडण्याची तुलना करा, भुजांच्या लांबीची नाही. आठवणीची युक्ती : “जास्त उघडलेला = मोठा कोन” : तोंड किती उघडले ते पाहा, जीभ किती लांब ते नाही.
फरक ओळखा
| भाग | म्हणजे काय | उदाहरण | टीप |
|---|---|---|---|
| भुजा | कोनाचा किरण | OA, OB | दोन भुजा |
| शिरोबिंदू | सामायिक सुरुवातीचा बिंदू | O | मधले अक्षर |
| कोन | भुजांमधील फिरणे | ∠AOB | ∠BOA सारखाच |
सरावासाठी प्रश्न
- 1सामायिक सुरुवातीचा बिंदू असलेले दोन किरण काय तयार करतात?
- 2∠DBE चा शिरोबिंदू कोणता?
- 3कोनाच्या भुजा लांब काढल्या तर कोनाचे काय होते?
- 4∠PQR चे दुसरे नाव?
- 5कोणतेही तीन एका रेषेत नसलेल्या 4 बिंदूंतून किती कोन सांगता येतात?
- 6घड्याळाच्या दोन काट्यांनी बनलेल्या कोनाचा शिरोबिंदू कुठे असतो?
- 7कोणतेही तीन एका रेषेत नसलेल्या 5 बिंदूंतून किती कोन सांगता येतात?
- 8मित्र म्हणतो, “∠ABC मोठा आहे कारण त्याच्या भुजा लांब आहेत.” तो बरोबर आहे का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) कोन
- 22) B
- 33) तोच राहतो
- 44) ∠RQP
- 55) 12 (4 × 3)
- 66) घड्याळाच्या मध्यभागी
- 77) 30 (5 × 6)
- 88) नाही. माप फिरण्यावर अवलंबून असते, भुजांच्या लांबीवर नाही.
कोनांचे प्रकार आणि लंब रेषा
पुस्तकाचा कोपरा काटकोन असतो. अर्धवट उघडलेला दरवाजा लघुकोन दाखवतो. पूर्ण उघडून सपाट झालेला दरवाजा सरळकोन असतो. चाकाचे पूर्ण वळण त्याला सुरुवातीच्या जागी आणते.
काटकोन म्हणजे 90°, पूर्ण वळणाचा चतुर्थांश. सरळकोन म्हणजे 180°, अर्धे वळण. पूर्ण वळण 360° असते. लघुकोन 90° पेक्षा लहान, विशालकोन 90° ते 180° मधला आणि प्रविशालकोन 180° ते 360° मधला असतो. काटकोनात भेटणाऱ्या दोन रेषा एकमेकींना लंब असतात.
आकृतीत : लहान ते मोठे असे कोनांचे पाच प्रकार.
नियम 1 : अंशांवरून प्रकार ओळखा — कोनाची तुलना 90°, 180° आणि 360° शी करा. 90° पेक्षा लहान : लघुकोन; नेमका 90° : काटकोन; 90° पेक्षा मोठा पण 180° पेक्षा लहान : विशालकोन; नेमका 180° : सरळकोन; 180° पेक्षा मोठा पण 360° पेक्षा लहान : प्रविशालकोन.
कोनांचे प्रकार आणि लंब रेषा
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 35° हे 90° पेक्षा लहान : लघुकोन.
- मध्यम : 120° हे 90° ते 180° दरम्यान : विशालकोन.
- परीक्षेसाठी : 270° हे 180° पेक्षा मोठे आणि 360° पेक्षा लहान : प्रविशालकोन. तसेच ते 3 चतुर्थांश वळणे (3 × 90°) आहे.
नियम 2 : वळणाच्या भागांवरून कोन — पूर्ण वळण 360° असते. 360° ला भागून किंवा त्याचा भाग घेऊन कोन मिळतो : अर्धे = 180°, चतुर्थांश = 90°, आठवा भाग = 45°. दोन काटकोन मिळून एक सरळकोन होतो.
- सोपे : सरळकोनाचा निम्मा : 180° ÷ 2 = 90°, म्हणजे काटकोन.
- मध्यम : पूर्ण वळणाचा आठवा भाग : 360° ÷ 8 = 45°, लघुकोन.
- परीक्षेसाठी : पूर्ण वळणात किती काटकोन असतात? 360° ÷ 90° = 4.
काटकोन 90°, सरळकोन 180°, पूर्ण वळण 360°. लंब रेषा 90° मध्ये भेटतात.
180° ला विशालकोन म्हणणे. 180° सरळकोन असतो; विशालकोन फक्त 90° आणि 180° च्या मधला असतो.
आधी 90°, 180°, 360° या सीमा-संख्या तपासा. आठवणीची युक्ती : “लघु-काट-विशाल-सरळ-प्रविशाल” : कोन मुलासारखे वाढत जातात.
फरक ओळखा
| कोन | माप | उदाहरण | झटपट तपासणी |
|---|---|---|---|
| लघुकोन | 90° पेक्षा लहान | 45° | पुस्तकाच्या कोपऱ्यापेक्षा लहान |
| काटकोन | 90° | 90° | पुस्तकाच्या कोपऱ्याइतका |
| विशालकोन | 90° ते 180° मध्ये | 120° | पुस्तकाच्या कोपऱ्यापेक्षा रुंद |
| सरळकोन | 180° | 180° | एक सरळ रेषा |
| प्रविशालकोन | 180° ते 360° मध्ये | 270° | सरळ रेषेपेक्षा जास्त |
सरावासाठी प्रश्न
- 1काटकोनात किती अंश असतात?
- 2सरळकोनात किती अंश असतात?
- 390° पेक्षा लहान कोनाला काय म्हणतात?
- 4120° हा कोणत्या प्रकारचा कोन आहे?
- 5पूर्ण वळणाचा चतुर्थांश किती अंश?
- 6एका सरळकोनात किती काटकोन असतात?
- 7अजूनही लघुकोन असलेला सर्वांत मोठा पूर्ण अंशाचा कोन कोणता?
- 8पूर्ण वळणाचा आठवा भाग किती अंश आणि कोणता प्रकार?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) 90°
- 22) 180°
- 33) लघुकोन
- 44) विशालकोन
- 55) 90°
- 66) 2 (180° ÷ 90°)
- 77) 89°
- 88) 45°, लघुकोन (360° ÷ 8)
कोन मोजणे आणि कोनमापक
8 समान तुकड्यांत कापलेल्या पिझ्झाच्या प्रत्येक तुकड्याचा मध्यावरचा कोन 45° असतो. घड्याळाचा चेहरा म्हणजे पूर्ण वळणाचे 30° चे 12 समान कोन. कोनमापक म्हणजे कोनांची पट्टी.
कोनाचे एकक अंश (°) आहे. एका पूर्ण वळणाचे 360 समान भाग केले असून प्रत्येक भाग 1° आहे. कोनमापक कोन अंशांत मोजतो. त्याचे केंद्र शिरोबिंदूवर आणि एक भुजा 0° वर ठेवा, मग दुसरी भुजा त्याच पट्टीवर कुठे जाते ते वाचा.
आकृतीत : कोनमापक : पहिली भुजा 20° वर आणि दुसरी 110° वर. त्यांच्यातील कोन 110° − 20° = 90°.
नियम 1 : एकच पट्टी वाचा — कोनमापकावर दोन पट्ट्या असतात. ज्या पट्टीवर आधार भुजा 0° वर आहे ती वापरा. कोणतीही भुजा 0° वर नसेल तर त्याच पट्टीवरील दोन वाचनांची वजाबाकी करा.
कोन मोजणे आणि कोनमापक
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : एक भुजा 0° वर आणि दुसरी 70° वर : कोन 70°.
- मध्यम : भुजा 20° आणि 55° वर : 55° − 20° = 35°.
- परीक्षेसाठी : भुजा 40° आणि 125° वर : 125° − 40° = 85°, लघुकोन (90° पेक्षा लहान).
नियम 2 : घड्या घालून आणि भागून कोन मिळवा — कोनाची घडी घालून निम्मा केला की माप निम्मे होते : 180° → 90° → 45° → 22.5°. पूर्ण वळणाचे समान कोन करायचे असतील तर 360° ला भागांच्या संख्येने भागा.
- सोपे : काटकोनाची निम्मी घडी : 90° ÷ 2 = 45°.
- मध्यम : वर्तुळाचे 10 समान कोन : 360° ÷ 10 = प्रत्येकी 36°.
- परीक्षेसाठी : वर्तुळाचे 9 समान कोन : 360° ÷ 9 = प्रत्येकी 40°; दोन मिळून 80°.
एक अंश म्हणजे पूर्ण वळणाचा 1/360 भाग. आपल्या भुजेवर 0° असलेली पट्टी वाचा.
कोनमापकाची चुकीची पट्टी वाचणे; त्यामुळे योग्य उत्तराची 180° मधून वजाबाकी येते.
एकाच पट्टीवर दोन वाचने : मोठे वजा लहान. वळणाचे समान भाग : 360° ÷ भाग. आठवणीची युक्ती : “शून्यापासून सुरुवात, एकच पट्टी, वजाबाकी”.
फरक ओळखा
| वळणाचे भाग | भागांची संख्या | गणित | प्रत्येक कोन |
|---|---|---|---|
| चतुर्थांश | 4 | 360° ÷ 4 | 90° |
| घड्याळाचे तास | 12 | 360° ÷ 12 | 30° |
| पंचकोनाचे केंद्र | 5 | 360° ÷ 5 | 72° |
| दशकोनाचे केंद्र | 10 | 360° ÷ 10 | 36° |
सरावासाठी प्रश्न
- 1अंशांसाठी पूर्ण वळणाचे किती समान भाग केले आहेत?
- 2360° चा चतुर्थांश किती?
- 3काटकोनाची निम्मी घडी घातली. प्रत्येक भाग किती?
- 4एकाच पट्टीवर भुजा 20° आणि 55° वर. कोन किती?
- 5वर्तुळाचे 12 समान कोन केले. प्रत्येक किती?
- 645° चा कोन निम्मा घडी घातला. प्रत्येक भाग किती?
- 7एकाच पट्टीवर भुजा 40° आणि 125° वर. कोन किती?
- 8वर्तुळाचे 9 समान कोन केले. त्यांपैकी दोनांची बेरीज किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) 360
- 22) 90°
- 33) 45°
- 44) 35°
- 55) 30°
- 66) 22.5°
- 77) 85°
- 88) 80° (प्रत्येक 360° ÷ 9 = 40°)
कोन काढणे, दुभाजक आणि कोनांची बेरीज
घड्याळाचा तास काटा प्रत्येक तासाला 30° फिरतो. पतंग बनवणारा कापडाचा त्रिकोण कापतो आणि त्याचे तिन्ही कोन नेहमी तेवढीच बेरीज देतात. कोनाचे दोन समान भाग करणारी रेषा म्हणजे दुभाजक.
कोन काढण्यासाठी आधार भुजा काढा, कोनमापकाचे केंद्र शिरोबिंदूवर ठेवा, पट्टीवर कोनाची खूण करा आणि जोडा. दुभाजक कोनाचे दोन समान कोन करतो. कोणत्याही त्रिकोणाचे तिन्ही कोन मिळून 180° होतात.
आकृतीत : 50°, 60° आणि 70° कोन असलेला त्रिकोण. त्यांची बेरीज 180°.
नियम 1 : घड्याळाचे कोन — घड्याळात 12 तास 360° मध्ये, म्हणून प्रत्येक तास 30°. नेमक्या तासाला कोन = तास × 30°. तो 180° पेक्षा जास्त असेल तर 360° मधून वजा करून लहान कोन मिळवा.
कोन काढणे, दुभाजक आणि कोनांची बेरीज
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 2 वाजता : 2 × 30° = 60°.
- मध्यम : 5 वाजता : 5 × 30° = 150°.
- परीक्षेसाठी : 8 वाजता : 8 × 30° = 240°, ते 180° पेक्षा जास्त, म्हणून लहान कोन 360° − 240° = 120°.
नियम 2 : दुभाजक आणि त्रिकोणाची बेरीज — दुभाजक कोनाचे निम्मे करतो : 2 ने भागा. त्रिकोणात तिन्ही कोन मिळून 180°, म्हणून तिसरा कोन = 180° − (इतर दोन).
कोन काढणे, दुभाजक आणि कोनांची बेरीज
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 60° चा दुभाजक : 60° ÷ 2 = 30° आणि 30°.
- मध्यम : 50° आणि 60° कोन असलेला त्रिकोण : तिसरा कोन = 180° − 110° = 70°.
- परीक्षेसाठी : एक कोन 100° आणि इतर दोन समान : (180° − 100°) ÷ 2 = प्रत्येकी 40°.
नियम 3 : त्रिकोणाचे तीन कोन — स्लायडर हलवा : तुम्ही कोणतेही दोन कोन निवडा, तिसरा कोन 180° च्या बेरजेने ठरतो.
कोन काढणे, दुभाजक आणि कोनांची बेरीज
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : तिन्ही कोन समान : 180° ÷ 3 = प्रत्येकी 60°.
- मध्यम : काटकोन आणि 35° : तिसरा = 180° − (90° + 35°) = 55°.
- परीक्षेसाठी : 40° आणि 40° चे दोन कोन : तिसरा = 180° − 80° = 100°, विशालकोन.
त्रिकोणाचे कोन मिळून 180°. घड्याळात प्रत्येक तास 30°.
घड्याळाचा कोन दोन प्रकारे मोजता येतो हे विसरून मोठा कोन सांगणे. वेगळे सांगितले नसेल तर लहान कोन द्या.
घड्याळ : तास × 30°, मग तो कोन आणि (360° − तो कोन) यांपैकी लहान घ्या. त्रिकोण : 180° मधून दोन ज्ञात कोन वजा. आठवणीची युक्ती : “प्रत्येक तासाला 30, प्रत्येक त्रिकोणाला 180”.
फरक ओळखा
| वेळ | तास काट्याचे वळण | दुसरा कोन | लहान कोन |
|---|---|---|---|
| 3 वाजता | 90° | 270° | 90° |
| 4 वाजता | 120° | 240° | 120° |
| 7 वाजता | 210° | 150° | 150° |
| 9 वाजता | 270° | 90° | 90° |
सरावासाठी प्रश्न
- 13 वाजता घड्याळाच्या काट्यांमधील कोन?
- 26 वाजता घड्याळाच्या काट्यांमधील कोन?
- 3त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज?
- 484° च्या कोनाचा दुभाजक काढला. प्रत्येक अर्धा किती?
- 5त्रिकोणाचे दोन कोन 50° आणि 60°. तिसरा?
- 64 वाजता घड्याळाच्या काट्यांमधील कोन?
- 77 वाजता काट्यांमधील लहान कोन?
- 8एक कोन 100° आणि इतर दोन समान. प्रत्येकी किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11) 90°
- 22) 180°
- 33) 180°
- 44) 42°
- 55) 70°
- 66) 120°
- 77) 150° (एका बाजूने 210°, दुसऱ्या बाजूने 360° − 210° = 150°)
- 88) प्रत्येकी 40° (180° − 100° = 80°, 80° ÷ 2)