बिंदु, रेखाखंड, किरण और रेखा
तेज़ पेंसिल की नोक एक बिंदु दिखाती है। खिंचा हुआ रबड़ बैंड रेखाखंड जैसा होता है। टॉर्च की रोशनी किरण जैसी होती है, क्योंकि वह टॉर्च से शुरू होकर आगे बढ़ती जाती है। नक्शे पर कभी न खत्म होने वाली सड़क रेखा जैसी होती है।
बिंदु एक ठीक-ठीक स्थान बताता है; उसका कोई आकार नहीं होता। रेखाखंड दो बिंदुओं के बीच का सीधा रास्ता है; उसके दो अंत्य बिंदु होते हैं। किरण एक बिंदु से शुरू होकर एक दिशा में सदा बढ़ती जाती है। रेखा दोनों दिशाओं में सदा बढ़ती जाती है और उसके अंत्य बिंदु नहीं होते।
आकृति में : बिंदु P, रेखाखंड AB, किरण AB (A से शुरू, B से गुज़रती, कभी खत्म नहीं) और रेखा AB (दोनों ओर तीर)।
नियम 1 : अंत्य बिंदु गिनें — रेखाखंड के 2, किरण के 1 और रेखा के 0 अंत्य बिंदु होते हैं। केवल रेखाखंड की लंबाई नापी जा सकती है।
बिंदु, रेखाखंड, किरण और रेखा
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : बिंदु P और Q के बीच पटरी से खींची रेखा रेखाखंड PQ है : 2 अंत्य बिंदु, इसलिए नापा जा सकता है।
- मध्यम : दीपक से एक दिशा में जाती रोशनी किरण है : 1 अंत्य बिंदु।
- परीक्षा-प्रकार : रेखाखंड, किरण और रेखा में से पटरी से क्या नापा जा सकता है? केवल रेखाखंड, क्योंकि किरण और रेखा कभी खत्म नहीं होतीं।
नियम 2 : बिंदुओं से रेखाखंड गिनना — दो बिंदुओं से ठीक एक रेखा गुज़रती है, पर एक बिंदु से अनेक रेखाएँ गुज़रती हैं। रेखाखंड गिनने के लिए हर जोड़ी को एक बार जोड़ें। जब कोई तीन बिंदु एक रेखा में न हों, तब गिनती : (बिंदुओं की संख्या − 1) + (उससे 2 कम) + … + 1।
- आसान : एक रेखा में न होने वाले 3 बिंदु A, B, C : AB, BC, CA = 3 रेखाखंड।
- मध्यम : 4 बिंदु, कोई तीन एक रेखा में नहीं : 3 + 2 + 1 = 6 रेखाखंड।
- परीक्षा-प्रकार : 6 बिंदु, कोई तीन एक रेखा में नहीं : 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 रेखाखंड।
किरण AB, A से शुरू होकर B से गुज़रती है। किरण BA, B से शुरू होती है। ये दो अलग किरणें हैं।
किरण और रेखा को एक ही समझना, या किरण AB और किरण BA को बराबर समझना। शुरुआती बिंदु हमेशा पहले लिखा जाता है।
अंत्य बिंदु : रेखाखंड 2, किरण 1, रेखा 0। याद रखने की युक्ति : “2-1-0” याद रखें : दोनों ओर रुकता है, एक ओर दौड़ता है, कभी नहीं रुकता।
अंतर पहचानें
| गुण | रेखाखंड | किरण | रेखा |
|---|---|---|---|
| अंत्य बिंदु | 2 | 1 | 0 |
| लंबाई | नापी जा सकती है | नापी नहीं जा सकती | नापी नहीं जा सकती |
| सदा बढ़ती है | नहीं | एक दिशा में | दोनों दिशाओं में |
| नाम | AB | किरण AB | रेखा AB |
अभ्यास के प्रश्न
- 1रेखाखंड के कितने अंत्य बिंदु होते हैं?
- 2किरण के कितने अंत्य बिंदु होते हैं?
- 3रेखाखंड, किरण और रेखा में से किसके अंत्य बिंदु नहीं होते?
- 4दिए गए दो बिंदुओं से कितनी रेखाएँ गुज़रती हैं?
- 5कोई तीन एक रेखा में न होने वाले 5 बिंदुओं को सभी जोड़ियों में जोड़ा गया। कितने रेखाखंड बनेंगे?
- 6पटरी से क्या नापा जा सकता है : किरण AB या रेखाखंड AB?
- 7A, B, C, D ये 4 बिंदु इसी क्रम में एक रेखा पर हैं। कितने अलग रेखाखंड बताए जा सकते हैं?
- 8क्या किरण AB और किरण BA एक ही हैं? कारण दें।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 2
- 22) 1
- 33) रेखा
- 44) ठीक एक
- 55) 10 (4 + 3 + 2 + 1)
- 66) रेखाखंड AB, क्योंकि उसके दो अंत्य बिंदु हैं
- 77) 6 : AB, AC, AD, BC, BD, CD
- 88) नहीं। किरण AB, A से और किरण BA, B से शुरू होती है, इसलिए वे अलग दिशाओं में जाती हैं।
कोण : भुजाएँ, शीर्ष और तुलना
थोड़ा खुला और पूरा खुला दरवाज़ा, कैंची, घड़ी की दो सुइयाँ और खुली किताब कोण दिखाते हैं। दरवाज़ा जितना ज़्यादा घूमता है, कोण उतना बड़ा होता है।
जब दो किरणें एक ही बिंदु से शुरू होती हैं तब कोण बनता है। दोनों किरणें भुजाएँ हैं और उभयनिष्ठ शुरुआती बिंदु शीर्ष है। कोण का माप दोनों भुजाओं के बीच के घुमाव की मात्रा है। कोण को ∠AOB लिखते हैं; शीर्ष O बीच में आता है।
आकृति में : ∠AOB : शीर्ष O, भुजाएँ OA और OB। नारंगी चाप दोनों भुजाओं के बीच का घुमाव दिखाता है।
नियम 1 : कोण को सही नाम दें — शीर्ष का अक्षर हमेशा बीच में आता है। ∠PQR और ∠RQP एक ही कोण हैं। जब एक शीर्ष पर अनेक कोण हों तो एक अक्षर काफ़ी नहीं; तीन अक्षर लिखें।
- आसान : भुजाएँ OA और OB से ∠AOB बनता है, शीर्ष O।
- मध्यम : ∠DBE में शीर्ष B है, यानी बीच का अक्षर।
- परीक्षा-प्रकार : एक रेखा में न होने वाले 3 बिंदु A, B, C : हर बिंदु पर बाकी दो चुनें। ∠ABC, ∠BCA, ∠CAB = 3 कोण। 4 बिंदु हों तो 4 × 3 = 12।
नियम 2 : घुमाव से कोणों की तुलना करें — एक कोण को दूसरे पर ऐसे रखें कि शीर्ष साथ हों और एक भुजा दूसरी पर आए। जिसकी दूसरी भुजा बाहर निकले वह कोण बड़ा है। दोनों भुजाएँ ठीक बैठें तो कोण बराबर हैं। भुजाओं की लंबाई का कोई महत्त्व नहीं।
कोण : भुजाएँ, शीर्ष और तुलना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 40° और 70° : 70° का कोण ज़्यादा खुलता है, इसलिए बड़ा है।
- मध्यम : कैंची ज़्यादा खोलने पर कम खुली कैंची से बड़ा कोण बनता है, चाहे फलक वही हों।
- परीक्षा-प्रकार : कोण X की भुजाएँ 10 cm और घुमाव 30°। कोण Y की भुजाएँ 5 cm और घुमाव 45°। 45° > 30° है, इसलिए Y बड़ा है; भुजा की लंबाई नहीं गिनी जाती।
कोण का माप घुमाव की मात्रा है, भुजाएँ कितनी लंबी खींची हैं यह नहीं।
यह समझना कि ज़्यादा लंबी भुजाओं वाला कोण बड़ा होता है।
शीर्ष बीच में; खुलने की तुलना करें, भुजा की लंबाई की नहीं। याद रखने की युक्ति : “ज़्यादा खुला = बड़ा कोण” : मुँह कितना खुला है देखें, जीभ कितनी लंबी है यह नहीं।
अंतर पहचानें
| भाग | क्या है | उदाहरण | टिप्पणी |
|---|---|---|---|
| भुजा | कोण की किरण | OA, OB | दो भुजाएँ |
| शीर्ष | उभयनिष्ठ शुरुआती बिंदु | O | बीच का अक्षर |
| कोण | भुजाओं के बीच का घुमाव | ∠AOB | ∠BOA के बराबर |
अभ्यास के प्रश्न
- 1उभयनिष्ठ शुरुआती बिंदु वाली दो किरणें क्या बनाती हैं?
- 2∠DBE का शीर्ष कौन-सा है?
- 3कोण की भुजाएँ लंबी खींचने पर कोण का क्या होता है?
- 4∠PQR का दूसरा नाम?
- 5कोई तीन एक रेखा में न होने वाले 4 बिंदुओं से कितने कोण बताए जा सकते हैं?
- 6घड़ी की दो सुइयों से बने कोण का शीर्ष कहाँ होता है?
- 7कोई तीन एक रेखा में न होने वाले 5 बिंदुओं से कितने कोण बताए जा सकते हैं?
- 8मित्र कहता है, “∠ABC बड़ा है क्योंकि उसकी भुजाएँ लंबी हैं।” क्या वह सही है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) कोण
- 22) B
- 33) वही रहता है
- 44) ∠RQP
- 55) 12 (4 × 3)
- 66) घड़ी के केंद्र पर
- 77) 30 (5 × 6)
- 88) नहीं। माप घुमाव पर निर्भर करता है, भुजा की लंबाई पर नहीं।
कोणों के प्रकार और लंब रेखाएँ
किताब का कोना समकोण होता है। आधा खुला दरवाज़ा न्यून कोण दिखाता है। पूरा खुलकर सपाट हुआ दरवाज़ा ऋजु कोण होता है। पहिये का पूरा घुमाव उसे शुरू की जगह ले आता है।
समकोण 90° का होता है, पूरे घुमाव का चौथाई। ऋजु कोण 180° का होता है, आधा घुमाव। पूरा घुमाव 360° का होता है। न्यून कोण 90° से छोटा, अधिक कोण 90° से 180° के बीच और प्रतिवर्ती कोण 180° से 360° के बीच होता है। समकोण पर मिलने वाली दो रेखाएँ एक-दूसरे पर लंब होती हैं।
आकृति में : छोटे से बड़े कोणों के पाँच प्रकार।
नियम 1 : अंशों से प्रकार पहचानें — कोण की तुलना 90°, 180° और 360° से करें। 90° से छोटा : न्यून; ठीक 90° : समकोण; 90° से बड़ा पर 180° से छोटा : अधिक; ठीक 180° : ऋजु; 180° से बड़ा पर 360° से छोटा : प्रतिवर्ती।
कोणों के प्रकार और लंब रेखाएँ
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 35°, 90° से छोटा : न्यून कोण।
- मध्यम : 120°, 90° और 180° के बीच : अधिक कोण।
- परीक्षा-प्रकार : 270°, 180° से बड़ा और 360° से छोटा : प्रतिवर्ती कोण। यह 3 चौथाई घुमाव (3 × 90°) भी है।
नियम 2 : घुमाव के भागों से कोण — पूरा घुमाव 360° का होता है। 360° को भाग देकर या उसका भाग लेकर कोण मिलता है : आधा = 180°, चौथाई = 90°, आठवाँ भाग = 45°। दो समकोण मिलकर एक ऋजु कोण बनाते हैं।
- आसान : ऋजु कोण का आधा : 180° ÷ 2 = 90°, यानी समकोण।
- मध्यम : पूरे घुमाव का आठवाँ भाग : 360° ÷ 8 = 45°, न्यून कोण।
- परीक्षा-प्रकार : पूरे घुमाव में कितने समकोण होते हैं? 360° ÷ 90° = 4।
समकोण 90°, ऋजु कोण 180°, पूरा घुमाव 360°। लंब रेखाएँ 90° पर मिलती हैं।
180° को अधिक कोण कहना। 180° ऋजु कोण है; अधिक कोण केवल 90° और 180° के बीच होता है।
पहले 90°, 180°, 360° ये सीमा संख्याएँ जाँचें। याद रखने की युक्ति : “न्यून-सम-अधिक-ऋजु-प्रतिवर्ती” : कोण बच्चे की तरह बढ़ते जाते हैं।
अंतर पहचानें
| कोण | माप | उदाहरण | त्वरित जाँच |
|---|---|---|---|
| न्यून | 90° से छोटा | 45° | किताब के कोने से छोटा |
| समकोण | 90° | 90° | ठीक किताब के कोने जितना |
| अधिक | 90° से 180° के बीच | 120° | किताब के कोने से चौड़ा |
| ऋजु | 180° | 180° | एक सीधी रेखा |
| प्रतिवर्ती | 180° से 360° के बीच | 270° | सीधी रेखा से ज़्यादा |
अभ्यास के प्रश्न
- 1समकोण में कितने अंश होते हैं?
- 2ऋजु कोण में कितने अंश होते हैं?
- 390° से छोटे कोण को क्या कहते हैं?
- 4120° किस प्रकार का कोण है?
- 5पूरे घुमाव का चौथाई कितने अंश?
- 6एक ऋजु कोण में कितने समकोण होते हैं?
- 7अब भी न्यून कोण रहने वाला सबसे बड़ा पूर्ण अंश का कोण कौन-सा है?
- 8पूरे घुमाव का आठवाँ भाग कितने अंश और कौन-सा प्रकार?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 90°
- 22) 180°
- 33) न्यून कोण
- 44) अधिक कोण
- 55) 90°
- 66) 2 (180° ÷ 90°)
- 77) 89°
- 88) 45°, न्यून कोण (360° ÷ 8)
कोण नापना और चाँदा
8 बराबर टुकड़ों में कटे पिज़्ज़ा के हर टुकड़े का केंद्र पर कोण 45° होता है। घड़ी का चेहरा पूरे घुमाव को 30° के 12 बराबर कोणों में बाँटता है। चाँदा कोणों की पटरी है।
कोण की इकाई अंश (°) है। एक पूरे घुमाव को 360 बराबर भागों में बाँटा गया है और हर भाग 1° है। चाँदा कोण को अंशों में नापता है। उसका केंद्र शीर्ष पर और एक भुजा 0° पर रखें, फिर दूसरी भुजा उसी पैमाने पर जहाँ कटे वह पढ़ें।
आकृति में : चाँदा : पहली भुजा 20° पर और दूसरी 110° पर। उनके बीच का कोण 110° − 20° = 90°।
नियम 1 : एक ही पैमाना पढ़ें — चाँदे पर दो पैमाने होते हैं। जिस पैमाने पर आधार भुजा 0° पर हो वही उपयोग करें। कोई भुजा 0° पर न हो तो उसी पैमाने के दो पाठ्यांकों को घटाएँ।
कोण नापना और चाँदा
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : एक भुजा 0° पर और दूसरी 70° पर : कोण 70°।
- मध्यम : भुजाएँ 20° और 55° पर : 55° − 20° = 35°।
- परीक्षा-प्रकार : भुजाएँ 40° और 125° पर : 125° − 40° = 85°, न्यून कोण (90° से छोटा)।
नियम 2 : मोड़कर और बाँटकर कोण बनाएँ — कोण को मोड़कर आधा करने से माप आधा होता है : 180° → 90° → 45° → 22.5°। पूरे घुमाव को बराबर कोणों में बाँटने के लिए 360° को भागों की संख्या से भाग दें।
- आसान : समकोण को आधा मोड़ें : 90° ÷ 2 = 45°।
- मध्यम : वृत्त के 10 बराबर कोण : 360° ÷ 10 = प्रत्येक 36°।
- परीक्षा-प्रकार : वृत्त के 9 बराबर कोण : 360° ÷ 9 = प्रत्येक 40°; दो मिलकर 80°।
एक अंश पूरे घुमाव का 1/360 भाग है। जिस पैमाने पर आपकी भुजा 0° पर हो वही पढ़ें।
चाँदे का गलत पैमाना पढ़ना; इससे सही उत्तर का 180° में से घटाया हुआ मान आता है।
एक ही पैमाने पर दो पाठ्यांक : बड़ा घटा छोटा। घुमाव के बराबर भाग : 360° ÷ भाग। याद रखने की युक्ति : “शून्य से शुरू, एक पैमाना, घटाओ”।
अंतर पहचानें
| घुमाव के भाग | भागों की संख्या | गणना | प्रत्येक कोण |
|---|---|---|---|
| चौथाई | 4 | 360° ÷ 4 | 90° |
| घड़ी के घंटे | 12 | 360° ÷ 12 | 30° |
| पंचभुज का केंद्र | 5 | 360° ÷ 5 | 72° |
| दशभुज का केंद्र | 10 | 360° ÷ 10 | 36° |
अभ्यास के प्रश्न
- 1अंशों के लिए पूरे घुमाव को कितने बराबर भागों में बाँटा गया है?
- 2360° का चौथाई कितना?
- 3समकोण को आधा मोड़ा गया। प्रत्येक भाग कितना?
- 4एक ही पैमाने पर भुजाएँ 20° और 55° पर। कोण कितना?
- 5वृत्त के 12 बराबर कोण बनाए गए। प्रत्येक कितना?
- 645° के कोण को आधा मोड़ा। प्रत्येक भाग कितना?
- 7एक ही पैमाने पर भुजाएँ 40° और 125° पर। कोण कितना?
- 8वृत्त के 9 बराबर कोण बनाए गए। उनमें से दो का योग कितना?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 360
- 22) 90°
- 33) 45°
- 44) 35°
- 55) 30°
- 66) 22.5°
- 77) 85°
- 88) 80° (प्रत्येक 360° ÷ 9 = 40°)
कोण बनाना, समद्विभाजक और कोणों का योग
घड़ी की घंटे की सुई हर घंटे 30° घूमती है। पतंग बनाने वाला कपड़े का त्रिभुज काटता है और उसके तीनों कोणों का योग हमेशा उतना ही रहता है। कोण को दो बराबर भागों में बाँटने वाली रेखा समद्विभाजक कहलाती है।
कोण बनाने के लिए आधार भुजा खींचें, चाँदे का केंद्र शीर्ष पर रखें, पैमाने पर कोण का निशान लगाएँ और जोड़ें। समद्विभाजक कोण को दो बराबर कोणों में बाँटता है। किसी भी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
आकृति में : 50°, 60° और 70° कोणों वाला त्रिभुज। इनका योग 180°।
नियम 1 : घड़ी के कोण — घड़ी में 12 घंटे 360° में हैं, इसलिए हर घंटा 30° है। ठीक घंटे पर कोण = घंटे × 30°। यदि वह 180° से अधिक हो तो 360° में से घटाकर छोटा कोण निकालें।
कोण बनाना, समद्विभाजक और कोणों का योग
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 2 बजे : 2 × 30° = 60°।
- मध्यम : 5 बजे : 5 × 30° = 150°।
- परीक्षा-प्रकार : 8 बजे : 8 × 30° = 240°, जो 180° से अधिक है, इसलिए छोटा कोण 360° − 240° = 120°।
नियम 2 : समद्विभाजक और त्रिभुज का योग — समद्विभाजक कोण को आधा करता है : 2 से भाग दें। त्रिभुज में तीनों कोण मिलकर 180° होते हैं, इसलिए तीसरा कोण = 180° − (बाकी दो)।
कोण बनाना, समद्विभाजक और कोणों का योग
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 60° का समद्विभाजक : 60° ÷ 2 = 30° और 30°।
- मध्यम : 50° और 60° कोणों वाला त्रिभुज : तीसरा कोण = 180° − 110° = 70°।
- परीक्षा-प्रकार : एक कोण 100° और बाकी दो बराबर : (180° − 100°) ÷ 2 = प्रत्येक 40°।
नियम 3 : त्रिभुज के तीन कोण — स्लाइडर हिलाएँ : आप कोई भी दो कोण चुनें, तीसरा कोण 180° के योग से तय हो जाता है।
कोण बनाना, समद्विभाजक और कोणों का योग
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : तीनों कोण बराबर : 180° ÷ 3 = प्रत्येक 60°।
- मध्यम : समकोण और 35° : तीसरा = 180° − (90° + 35°) = 55°।
- परीक्षा-प्रकार : 40° और 40° के दो कोण : तीसरा = 180° − 80° = 100°, अधिक कोण।
त्रिभुज के कोणों का योग 180°। घड़ी में हर घंटा 30°।
घड़ी का कोण दो तरह से नापा जा सकता है यह भूलकर बड़ा कोण बताना। अन्यथा कहा न हो तो छोटा कोण बताएँ।
घड़ी : घंटे × 30°, फिर उस कोण और (360° − उस कोण) में से छोटा लें। त्रिभुज : 180° में से दो ज्ञात कोण घटाएँ। याद रखने की युक्ति : “हर घंटे के 30, हर त्रिभुज के 180”।
अंतर पहचानें
| समय | घंटे की सुई का घुमाव | दूसरा कोण | छोटा कोण |
|---|---|---|---|
| 3 बजे | 90° | 270° | 90° |
| 4 बजे | 120° | 240° | 120° |
| 7 बजे | 210° | 150° | 150° |
| 9 बजे | 270° | 90° | 90° |
अभ्यास के प्रश्न
- 13 बजे घड़ी की सुइयों के बीच का कोण?
- 26 बजे घड़ी की सुइयों के बीच का कोण?
- 3त्रिभुज के तीन कोणों का योग?
- 484° के कोण का समद्विभाजक खींचा। प्रत्येक आधा कितना?
- 5त्रिभुज के दो कोण 50° और 60°। तीसरा?
- 64 बजे घड़ी की सुइयों के बीच का कोण?
- 77 बजे सुइयों के बीच का छोटा कोण?
- 8एक कोण 100° और बाकी दो बराबर। प्रत्येक कितना?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11) 90°
- 22) 180°
- 33) 180°
- 44) 42°
- 55) 70°
- 66) 120°
- 77) 150° (एक ओर 210°, दूसरी ओर 360° − 210° = 150°)
- 88) प्रत्येक 40° (180° − 100° = 80°, 80° ÷ 2)