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CBSE · कक्षा 6 · गणित प्रकाश

अध्याय 3: संख्याओं के साथ खेल (Number Play)

5 अवधारणाएँ · उत्तर सहित 40 अभ्यास प्रश्न · पढ़ना मुफ़्त

यह पाठ इन भाषाओं में भी: मराठी · English

संख्या रेखा, संख्याओं की तुलना और सुपरसेल

रोज़मर्रा के जीवन से

कतार में सबसे लंबा बच्चा अलग दिखता है, क्योंकि उसके आसपास सब छोटे होते हैं। संख्याएँ भी ऐसी ही होती हैं : कुछ संख्याएँ अपने सभी पड़ोसियों से बड़ी होती हैं। पटरी पर दाईं ओर की संख्याएँ हमेशा बड़ी होती हैं।

सरल परिभाषा

संख्या रेखा पर दाईं ओर की संख्या बाईं ओर की संख्या से बड़ी होती है। संख्याओं की तुलना में पहले अंक गिनें (ज़्यादा अंक यानी बड़ी संख्या), फिर बाईं ओर से स्थान-दर-स्थान तुलना करें। सुपरसेल जाली का वह खाना है जिसकी संख्या उसके साथ भुजा बाँटने वाले सभी पड़ोसी खानों की संख्याओं से बड़ी हो।

012345678910ABमध्य 5.5

आकृति में : A और B, 3 और 8 पर हैं। मध्य बिंदु (3 + 8) ÷ 2 = 5.5।

नियम 1 : तुलना करें और मध्य खोजें — ज़्यादा अंक यानी बड़ी संख्या। अंक बराबर हों तो बाईं ओर से तुलना करें : पहला अलग स्थान निर्णय करता है। दो संख्याओं के ठीक बीच की संख्या उनके योग का आधा होती है।

Live आकृति

संख्या रेखा, संख्याओं की तुलना और सुपरसेल

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  • आसान : 4,827 और 4,872 : हज़ार और सैकड़े बराबर; दहाई 2 < 7, इसलिए 4,872 बड़ी।
  • मध्यम : 120 और 180 का मध्य : (120 + 180) ÷ 2 = 150।
  • परीक्षा-प्रकार : 4,999 और 5,010 के बीच की पूर्ण संख्याएँ 5,000 से 5,009, यानी 10 संख्याएँ।

नियम 2 : सुपरसेल खोजें — हर खाने की तुलना ऊपर, नीचे, बाएँ और दाएँ के पड़ोसियों से करें। यदि वह सबसे बड़ा हो तो सुपरसेल है। दो आसन्न खाने कभी दोनों सुपरसेल नहीं हो सकते।

6183927455 सुपरसेल (हरे)
Live आकृति

संख्या रेखा, संख्याओं की तुलना और सुपरसेल

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  • आसान : पहली पंक्ति : 7, 2; दूसरी पंक्ति : 5, 9। 7, संख्या 2 और 5 से बड़ा; 9, संख्या 2 और 5 से बड़ा। सुपरसेल : 2।
  • मध्यम : सूची 4, 8, 3, 9, 2 : भीतर की 8 और 9 दोनों पड़ोसियों से बड़ी हैं। यानी 2।
  • परीक्षा-प्रकार : एक पंक्ति की पाँच संख्याओं में अधिकतम 3 सुपरसेल (खाने 1, 3 और 5), क्योंकि सुपरसेल एक-दूसरे से सटे नहीं हो सकते।
याद रखें

जाली की सबसे बड़ी संख्या हमेशा सुपरसेल होती है। पड़ोसी यानी भुजा मिलने वाले, केवल कोना मिलने वाले नहीं।

सामान्य गलती

दो संख्याओं के केवल अंतिम अंक देखना या कोने के खानों को पड़ोसी गिनना।

शॉर्टकट

पहले अंक गिनें; फिर बाईं ओर से तुलना करें। मध्य = दोनों संख्याओं का योग ÷ 2। याद रखने की युक्ति : “ज़्यादा अंक जीतते हैं, फिर बाएँ से दाएँ”। सुपरसेल के लिए : “चारों ओर वालों को हराता है”।

अंतर पहचानें

स्थितिनियमउदाहरणउत्तर
अलग अंक संख्याज़्यादा अंक बड़े56 और 506506
बराबर अंकपहला अलग स्थान तय करता है4,827 और 4,8724,872
मध्य संख्यायोग ÷ 2250 और 450350
सुपरसेलसभी पड़ोसियों से बड़ा1, 3, 2, 4 के बीच 9हाँ

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 14,827 और 4,872 में बड़ी कौन-सी?
  2. 29,999 के ठीक बाद की संख्या?
  3. 310 और 20 के ठीक बीच में क्या?
मध्यम
  1. 4अंक 2, 0, 7, 5 से सबसे बड़ी चार अंकों की संख्या?
  2. 5अंक 2, 0, 7, 5 से सबसे छोटी चार अंकों की संख्या?
  3. 6250 और 450 के बीच में?
चुनौतीपूर्ण
  1. 7जाली : पहली पंक्ति 4, 8, 1; दूसरी 6, 2, 9; तीसरी 3, 7, 5। कितने सुपरसेल?
  2. 84,999 और 5,010 के बीच कितनी पूर्ण संख्याएँ?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 11) 4,872
  2. 22) 10,000
  3. 33) 15
  4. 44) 7,520
  5. 55) 2,057 (आगे शून्य नहीं)
  6. 66) 350
  7. 77) 4 (8, 6, 9 और 7)
  8. 88) 10 (5,000 से 5,009)

अंक और अंकों का योग

रोज़मर्रा के जीवन से

बस के टिकट का नंबर 3408, अंक 3, 4, 0 और 8 में तोड़ा जा सकता है। जासूस हर अंक जाँचता है, उन्हें जोड़ता है और सुराग पाता है। “अंक-जासूस” संख्याओं के साथ ऐसे ही काम करते हैं।

सरल परिभाषा

अंक यानी 0 से 9। किसी संख्या का अंकों का योग उसके सभी अंकों का योग है। अंक का स्थानीय मान अंक × उसका स्थान है : 3,742 में 7 यानी 700। चार अंकों की संख्या 0 से शुरू नहीं होती।

3+4+0+83 + 4 + 0 + 8 = 153,408 के अंकों का योग 15; फिर 1 + 5 = 6

आकृति में : 3,408 के अंक 3, 4, 0 और 8 हैं। उनका योग 15।

नियम 1 : अंक जोड़ें — सभी अंक जोड़ें। एक अंक बचने तक उत्तर के अंक भी जोड़ते रहें; यह एक अंक अंकों के योग का सबसे सरल रूप है।

Live आकृति

अंक और अंकों का योग

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  • आसान : 345 के अंकों का योग : 3 + 4 + 5 = 12।
  • मध्यम : 4,567 : 4 + 5 + 6 + 7 = 22, फिर 2 + 2 = 4।
  • परीक्षा-प्रकार : सबसे अधिक अंकों का योग किसका : 399 (21), 480 (12), 570 (12) या 888 (24)? 888।

नियम 2 : दिए गए अंक-योग की संख्याएँ बनाएँ — सबसे छोटी संख्या के लिए बाईं ओर के अंक जितने हो सकें छोटे रखें और बड़े अंक दाईं ओर करें। सबसे बड़ी संख्या के लिए सबसे बाएँ स्थान पर जितना हो सके उतना रखें।

  • आसान : अंक-योग 9 वाली सबसे छोटी दो अंकों की संख्या : दहाई 1, इकाई 8, यानी 18।
  • मध्यम : अंक-योग 5 वाली सबसे बड़ी तीन अंकों की संख्या : 500। सबसे छोटी : 104।
  • परीक्षा-प्रकार : अंक-योग 20 वाली सबसे छोटी संख्या : दो अंकों का अधिकतम योग 18, इसलिए 3 अंक : 299।
याद रखें

99 के अंकों का योग 18, दो अंकों के लिए सबसे बड़ा। एक अंक की संख्या का योग वह स्वयं होती है।

सामान्य गलती

तीन या चार अंकों की संख्या का पहला अंक 0 मानना, जैसे 057 को तीन अंकों की संख्या कहना।

शॉर्टकट

सबसे छोटी : छोटे अंक बाईं ओर। सबसे बड़ी : बड़े अंक बाईं ओर। याद रखने की युक्ति : “छोटी के लिए छोटा बाएँ, बड़ी के लिए बड़ा बाएँ”।

अंतर पहचानें

अंक-योगसबसे छोटी संख्यासबसे बड़ी तीन अंकों कीदो अंकों की संख्याओं की गिनती
444004
999009
15699604
202999920

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1345 के अंकों का योग?
  2. 21,000 के अंकों का योग?
  3. 33,742 में 7 का स्थानीय मान?
मध्यम
  1. 4अंक-योग 5 वाली सबसे छोटी तीन अंकों की संख्या?
  2. 5कितनी दो अंकों की संख्याओं का अंक-योग 4?
  3. 6अंक-योग 6 वाली सबसे बड़ी चार अंकों की संख्या?
चुनौतीपूर्ण
  1. 7कितनी तीन अंकों की संख्याओं का अंक-योग 3?
  2. 8अंक-योग 20 वाली सबसे छोटी संख्या?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 11) 12
  2. 22) 1
  3. 33) 700
  4. 44) 104
  5. 55) 4 (13, 22, 31, 40)
  6. 66) 6,000
  7. 77) 6 (102, 111, 120, 201, 210, 300)
  8. 88) 299

पैलिंड्रोम और उलटो-और-जोड़ो

रोज़मर्रा के जीवन से

MADAM और RADAR जैसे शब्द दोनों सिरों से एक जैसे पढ़े जाते हैं। संख्याएँ भी ऐसी हो सकती हैं : 121 और 4,554 उलटकर पढ़ने पर भी वही रहती हैं।

सरल परिभाषा

पैलिंड्रोम वह संख्या है जो आगे और पीछे से एक जैसी पढ़ी जाती है। किसी संख्या की उलटी संख्या उसके अंकों को उलटे क्रम में लिखने से बनती है। उलटो-और-जोड़ो में संख्या और उसकी उलटी संख्या जोड़ें, फिर उत्तर पर यही दोहराएँ, जब तक पैलिंड्रोम न मिले।

68+ उलटा154+ उलटा605+ उलटा1111

आकृति में : 68 + 86 = 154, 154 + 451 = 605, 605 + 506 = 1,111। तीन चरणों में पैलिंड्रोम।

नियम 1 : पैलिंड्रोम पहचानें और बनाएँ — तीन अंकों की पैलिंड्रोम aba जैसी और चार अंकों की abba जैसी दिखती है। तीन अंकों के लिए पहला अंक 1 से 9 और बीच का 0 से 9, इसलिए 9 × 10 = 90 पैलिंड्रोम।

  • आसान : आगे-पीछे से एक जैसी कौन-सी : 1,221, 1,231 या 1,213? 1,221।
  • मध्यम : 2,992 के बाद की पैलिंड्रोम : वह 3 से शुरू होगी, इसलिए 3,003।
  • परीक्षा-प्रकार : अंक-योग 14 वाली सबसे छोटी चार अंकों की पैलिंड्रोम : 2a + 2b = 14, a + b = 7, सबसे छोटा a = 1, b = 6 : 1,661।

नियम 2 : उलटो-और-जोड़ो के चरण — संख्या उलटें, जोड़ें और उत्तर जाँचें। पैलिंड्रोम मिलते ही रुकें और चरण गिनें। अधिकतर संख्याओं को कुछ ही चरण लगते हैं, कुछ को बहुत।

Live आकृति

पैलिंड्रोम और उलटो-और-जोड़ो

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  • आसान : 29 + 92 = 121 : एक चरण।
  • मध्यम : 39 + 93 = 132, 132 + 231 = 363 : दो चरण।
  • परीक्षा-प्रकार : 87 : 165, 726, 1,353, 4,884। चार चरण।
याद रखें

हर दो अंकों की पैलिंड्रोम किसी अंक का 11 गुना होती है : 11, 22, 33 … 99।

सामान्य गलती

केवल कुछ अंक उलटना, या मूल संख्या जोड़ना भूल जाना।

शॉर्टकट

पैलिंड्रोम : पहला अंक = अंतिम अंक और दूसरा = अंत से दूसरा। हर चरण में संख्या और उसकी उलटी संख्या जोड़ें। याद रखने की युक्ति : “बीच में दर्पण” : बायाँ आधा और दायाँ आधा मेल खाते हैं।

अंतर पहचानें

शुरुआतचरण 1चरण 2आवश्यक चरण
29121पहले से पैलिंड्रोम1
391323632
571323632
681546053

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 13,167 की उलटी संख्या?
  2. 2सबसे छोटी दो अंकों की पैलिंड्रोम?
  3. 324 + उसकी उलटी संख्या?
मध्यम
  1. 4तीन अंकों की पैलिंड्रोम कितनी?
  2. 51,300 से बड़ी सबसे छोटी पैलिंड्रोम?
  3. 668 के लिए चरण?
चुनौतीपूर्ण
  1. 787 के लिए चरण?
  2. 81,000 और 2,000 के बीच कितनी चार अंकों की पैलिंड्रोम?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 11) 7,613
  2. 22) 11
  3. 33) 66
  4. 44) 90
  5. 55) 1,331
  6. 66) 3
  7. 77) 4
  8. 88) 10 (1001, 1111, …, 1991)

कापरेकर स्थिरांक और संख्याओं के पैटर्न

रोज़मर्रा के जीवन से

डिजिटल घड़ी में 12:21 जैसा पैलिंड्रोम समय दिखता है और एक जादू में लगभग हर चार अंकों की संख्या कुछ आसान चरणों में 6174 पर पहुँच जाती है। संख्याओं में कई आश्चर्य छिपे हैं।

सरल परिभाषा

कापरेकर क्रिया : कम से कम दो अलग अंकों वाली चार अंकों की संख्या लें, उसके अंकों से सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या बनाएँ, घटाएँ और दोहराएँ। आप हमेशा 6174 पर पहुँचते हैं, जिसे कापरेकर स्थिरांक कहते हैं, और फिर वहीं रहते हैं। संख्या-पैटर्न जोड़, दुगुना, वर्ग या त्रिकोणीय जैसे नियम से बनी सूची है।

3524−3087−8352−6174

आकृति में : 3,524 → 5,432 − 2,345 = 3,087 → 8,730 − 0,378 = 8,352 → 8,532 − 2,358 = 6,174।

नियम 1 : कापरेकर चरण चलाएँ — अंकों को बड़े से छोटे क्रम में लिखें, फिर छोटे से बड़े क्रम में (शून्य आगे आ सकता है) और घटाएँ। उत्तर को चार अंकों में लिखकर दोहराएँ। चारों अंक एक जैसे वाली संख्या, जैसे 2,222, क्रिया शुरू नहीं कर सकती, क्योंकि उत्तर 0 आता है।

Live आकृति

कापरेकर स्थिरांक और संख्याओं के पैटर्न

ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।

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  • आसान : अंक 3, 1, 4, 2 : 4,321 − 1,234 = 3,087।
  • मध्यम : 3,087 से : 8,730 − 0,378 = 8,352। फिर 8,532 − 2,358 = 6,174।
  • परीक्षा-प्रकार : 1,000 से : 999 → 8,991 → 8,082 → 8,532 → 6,174। यानी 5 चरण।

नियम 2 : पैलिंड्रोम समय और पैटर्न खोजें — पड़ोसी संख्याओं के अंतर या अनुपात देखें। बराबर अंतर यानी जोड़; हर पद पिछले का दुगुना यानी दुगुना; 1, 4, 9, 16 वर्ग हैं; अंतर 2, 3, 4, 5 हों तो त्रिकोणीय संख्याएँ। 24 घंटे की घड़ी में 10:01 और 23:32 जैसे समय पैलिंड्रोम होते हैं।

वर्ग1491625दुगुना36122448त्रिकोणीय1361015
  • आसान : 1, 3, 6, 10, 15 : अंतर 2, 3, 4, 5 हैं, इसलिए अगला अंतर 6 और अगली संख्या 21।
  • मध्यम : 1 + 2 + … + 10 : जोड़े (1 + 10), (2 + 9) … ग्यारह के पाँच जोड़े, इसलिए 5 × 11 = 55।
  • परीक्षा-प्रकार : 24 घंटे की घड़ी में सबसे देर का पैलिंड्रोम समय 23:32 है। पूरे दिन में ऐसे 16 समय आते हैं।
याद रखें

6174 स्वयं में ही बदलता है : 7,641 − 1,467 = 6,174।

सामान्य गलती

शून्य छोड़ देना : व्यवस्था से पहले उत्तर हमेशा चार अंकों में लिखें, जैसे 999 को 0999।

शॉर्टकट

बड़ी व्यवस्था − छोटी व्यवस्था, 6174 आने तक दोहराएँ। याद रखने की युक्ति : “बड़ा घटा छोटा, चार अंक, 6174 पर रुकें”।

अंतर पहचानें

विचारशुरुआतनियमअगली संख्याएँ
कापरेकर3,524बड़ा − छोटा3,087, 8,352, 6,174
वर्ग1, 4, 9, 16n × n25, 36
दुगुना3, 6, 12× 224, 48
त्रिकोणीय1, 3, 6, 102, 3, 4, 5 जोड़ें15, 21

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1चार अंकों की संख्याओं के लिए कापरेकर स्थिरांक?
  2. 2अंक 3, 1, 4, 2 से सबसे बड़ी संख्या?
  3. 311, 22, 33, 44 में अगली?
मध्यम
  1. 43,087 पर एक कापरेकर चरण?
  2. 51, 4, 9, 16, 25 में अगली?
  3. 61, 3, 6, 10, 15 में अगली?
चुनौतीपूर्ण
  1. 71,000 से 6,174 तक कापरेकर के कितने चरण?
  2. 824 घंटे की घड़ी का सबसे देर का पैलिंड्रोम समय?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 11) 6,174
  2. 22) 4,321
  3. 33) 55
  4. 44) 8,352
  5. 55) 36
  6. 66) 21
  7. 77) 5
  8. 88) 23:32

कोलैट्ज़ अनुक्रम, मानसिक गणित, अनुमान और खेल

रोज़मर्रा के जीवन से

ऊपर-नीचे उछलकर अंत में ठहरने वाली गेंद कोलैट्ज़ संख्या जैसी है; वह 1 पर आने से पहले ऊपर-नीचे होती है। दुकानदार कैलकुलेटर से पहले मन ही मन जोड़ते हैं और बिल का अनुमान लगाते हैं।

सरल परिभाषा

कोलैट्ज़ नियम : संख्या सम हो तो आधा करें; विषम हो तो 3 से गुणा करके 1 जोड़ें। यही करते रहें; अब तक आज़माई हर संख्या अंत में 1 पर आती है। अनुमान यानी संख्याओं को पास की संख्या में बदलकर जल्दी निकट का उत्तर पाना। 21 तक की दौड़ में खिलाड़ी बारी-बारी से 1, 2 या 3 जोड़ते हैं और जो 21 कहता है वह जीतता है।

63105168421

आकृति में : 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1। आठ चरण। विषम संख्या ×3 + 1, सम संख्या आधी।

नियम 1 : कोलैट्ज़ नियम चलाएँ — सम : 2 से भाग दें। विषम : 3 से गुणा करके 1 जोड़ें। 1 तक पहुँचने में कितने चरण लगते हैं गिनें।

Live आकृति

कोलैट्ज़ अनुक्रम, मानसिक गणित, अनुमान और खेल

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  • आसान : 6 पर चरण : सम, इसलिए 6 ÷ 2 = 3। 7 पर चरण : विषम, इसलिए 7 × 3 + 1 = 22।
  • मध्यम : 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 : 5 चरण। 8 → 4 → 2 → 1 : 3 चरण।
  • परीक्षा-प्रकार : 9 चढ़कर 52 तक जाता है और 19 चरण लेता है। 16 को केवल 4 चरण लगते हैं।

नियम 2 : मानसिक गणित और अनुमान — आसान संख्याएँ उपयोग करें। 99 + 47 = 100 + 47 − 1। 15 × 12 = 15 × 10 + 15 × 2। 25 × 4 यानी 100 के चार चौथाई। अनुमान के लिए पहले हर संख्या को पास की संख्या में बदलें, फिर गणना करें।

  • आसान : 498 + 305 का अनुमान : 500 + 300 = 800।
  • मध्यम : 48 + 37 : 48 + 2 = 50, 37 − 2 = 35, इसलिए 85।
  • परीक्षा-प्रकार : 29 × 31 का अनुमान : 30 × 30 = 900। 4,763 निकटतम हज़ार में : 5,000।

नियम 3 : 21 की दौड़ जीतें — सुरक्षित संख्याएँ 21, 17, 13, 9, 5 और 1 हैं (4 के अंतर पर)। आप सुरक्षित संख्या पर पहुँच जाएँ तो सामने वाला 1, 2 या 3 कुछ भी जोड़े, आप इतना जोड़ते हैं कि कुल 4 बढ़े और अगली सुरक्षित संख्या आ जाए।

सुरक्षित संख्याएँ159131721
Live आकृति

कोलैट्ज़ अनुक्रम, मानसिक गणित, अनुमान और खेल

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ऐप में खोलें
  • आसान : 21 से पहले की सुरक्षित संख्या 17 : 17 के बाद सामने वाला केवल 18, 19 या 20 कह सकता है।
  • मध्यम : आपके 5 के बाद सामने वाला 2 कहे तो आप 2 जोड़कर 9 पर जाएँ।
  • परीक्षा-प्रकार : पहले खेलें तो 1 कहें। फिर हर दौर में दोनों मिलकर 4 जोड़ते हैं।
याद रखें

अब तक आज़माई हर कोलैट्ज़ संख्या 1 पर पहुँचती है, पर किसी ने सिद्ध नहीं किया कि ऐसा हमेशा होता है।

सामान्य गलती

सम संख्या पर ×3 + 1 लगाना या विषम संख्या को आधा करना। पहले जाँचें कि संख्या सम है या विषम।

शॉर्टकट

सम : आधा। विषम : तिगुना और 1 जोड़ें। 21 की दौड़ : 1, 5, 9, 13, 17, 21 पर पहुँचें। याद रखने की युक्ति : “सम आधा, विषम तिगुना + एक”; दौड़ के लिए : “चार का अंतर जिताता है”।

अंतर पहचानें

शुरुआत1 तक पहुँचने के चरणपहुँची सबसे बड़ी संख्याटिप्पणी
6816सम शुरुआत
71652विषम शुरुआत
91952लंबा पथ
16416इनमें सबसे छोटा

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 16 पर कोलैट्ज़ चरण?
  2. 27 पर कोलैट्ज़ चरण?
  3. 3498 + 305 का अनुमान।
मध्यम
  1. 45 से 1 तक कोलैट्ज़ चरण?
  2. 515 × 12 मन ही मन?
  3. 6दौड़ में 21 से पहले की सुरक्षित संख्या?
चुनौतीपूर्ण
  1. 79 से 1 तक कोलैट्ज़ चरण?
  2. 821 की दौड़ में आप पहले खेलते हैं। कौन-सी संख्या पहले कहेंगे और क्यों?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 11) 3
  2. 22) 22
  3. 33) 800
  4. 44) 5
  5. 55) 180
  6. 66) 17
  7. 77) 19
  8. 88) 1, क्योंकि सुरक्षित संख्याएँ 1, 5, 9, 13, 17, 21 चार के अंतर पर हैं और आप हमेशा अगली तक पहुँच सकते हैं।