संख्या-अनुक्रम और उनके नियम
एक फल-विक्रेता हर अगले डिब्बे में 5 आम ज़्यादा भरता है : 5, 10, 15, 20, … अगला डिब्बा कितने आमों का होगा, यह कोई भी बता सकता है, क्योंकि डिब्बे एक पैटर्न से भरे हैं। ऐसे पैटर्न खोजना और वे क्यों बनते हैं यह जानना ही गणित है।
संख्या-अनुक्रम एक नियम से सजी संख्याओं की सूची है। पूर्ण संख्याओं के पैटर्न का अध्ययन करने वाली गणित की शाखा संख्या सिद्धांत (नंबर थ्योरी) कहलाती है। नियम खोजने के लिए देखें कि एक संख्या अगली में कैसे बदलती है।
आकृति में : ऊपर की पंक्ति : हर बार 5 जोड़ें। नीचे की पंक्ति : हर बार दुगुना करें। तीर एक संख्या से अगली संख्या तक ले जाने वाला नियम दिखाते हैं।
नियम 1 : नियम खोजें — पास-पास की संख्याओं का अंतर देखें। अंतर हमेशा बराबर हो तो नियम उस संख्या को जोड़ना (या घटाना) है। हर संख्या पिछली संख्या की निश्चित गुनी हो तो नियम गुणा करना है।
- आसान : 4, 8, 12, 16 : हर बार अंतर 4, इसलिए अगली संख्या 16 + 4 = 20।
- मध्यम : 50, 44, 38, 32 : संख्याएँ 6 से घटती हैं, इसलिए अगली संख्या 32 − 6 = 26।
- परीक्षा-प्रकार : 5, 15, 45, 135 : हर संख्या पिछली संख्या की 3 गुनी है, इसलिए अगली 135 × 3 = 405।
नियम 2 : प्रसिद्ध अनुक्रम — इन्हें सीख लें : गिनती की संख्याएँ (1, 2, 3, …), विषम संख्याएँ (1, 3, 5, …), सम संख्याएँ (2, 4, 6, …), 2 की घातें (हर बार दुगुना), 3 की घातें (हर बार 3 गुना) और विरहांक संख्याएँ (हर संख्या पिछली दो संख्याओं का योग)।
- आसान : 2 की घातें : 1, 2, 4, 8, 16, इसलिए अगली संख्या 32।
- मध्यम : विरहांक-प्रकार का अनुक्रम 3, 4 से शुरू होता है : 3, 4, 7, 11, 18, इसलिए अगली संख्या 11 + 18 = 29।
- परीक्षा-प्रकार : पंद्रहवीं विषम संख्या : स्थान को दुगुना करके 1 घटाएँ, इसलिए 2 × 15 − 1 = 29।
नियम अनुक्रम के हर चरण पर लागू होना चाहिए, केवल पहले अंतर पर नहीं।
केवल दो संख्याओं से नियम तय करना : 2, 4 “2 जोड़ो” (6, 8) या “दुगुना करो” (8, 16) हो सकता है। कम से कम तीन संख्याएँ जाँचें।
पहले अंतर जाँचें; अंतर बराबर न हों तो कितने गुना है देखें; दोनों न चलें तो पिछली दो संख्याओं का योग जाँचें। याद रखने की युक्ति : “अंतर – गुना – योग” : अं-गु-यो। ये तीन प्रश्न इसी क्रम में पूछें।
अंतर पहचानें
| बिंदु | जोड़ने का नियम (5, 10, 15, 20) | गुणा करने का नियम (3, 6, 12, 24) |
|---|---|---|
| संख्याओं के बीच अंतर | हमेशा 5 | 3, 6, 12 (बढ़ता है) |
| नियम | 5 जोड़ें | 2 से गुणा |
| अंतिम के बाद की संख्या | 20 + 5 = 25 | 24 × 2 = 48 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1अगली संख्या कौन-सी? 6, 12, 18, 24, __
- 240, 35, 30, 25, … का नियम क्या है?
- 3छठी सम संख्या कौन-सी है?
- 4अगली संख्या कौन-सी? 4, 12, 36, 108, __
- 5विरहांक-प्रकार का अनुक्रम 2, 5 से शुरू होता है। पहली छह संख्याएँ लिखें।
- 6लुप्त संख्या ढूँढ़ें : 3, 10, __, 24, 31
- 7अगली संख्या कौन-सी? 3, 5, 9, 17, 33, __ (संकेत : अंतर देखें)
- 8क्या 50 अनुक्रम 7, 12, 17, 22, … में आती है? कारण दें।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 130 (6 जोड़ें)
- 25 घटाएँ
- 312 (6 × 2)
- 4324 (108 × 3)
- 52, 5, 7, 12, 19, 31
- 617 (हर बार 7 जोड़ें)
- 765 (अंतर 2, 4, 8, 16 हैं, इसलिए अगला अंतर 32 : 33 + 32 = 65)
- 8नहीं। संख्याएँ 5 से बढ़ती हैं और हमेशा 2 या 7 पर समाप्त होती हैं; 50 के अंत में 0 है।
अनुक्रम चित्रों में : त्रिकोणीय, वर्ग, घन और षट्कोणीय संख्याएँ
एक दुकानदार संतरे त्रिभुज में सजाता है : ऊपर 1, अगली पंक्ति में 2, उससे अगली में 3। एक टाइल-मिस्त्री 4 पंक्तियों में हर एक में 4 टाइलें लगाता है। एक बच्चा छोटे ब्लॉकों से घन बनाता है। ऐसे चित्रों से संख्याओं के पैटर्न दिखते हैं।
त्रिकोणीय संख्याएँ 1, 2, 3, … बिंदुओं की पंक्तियों वाला त्रिभुज हैं। वर्ग संख्याएँ बिंदुओं की वर्गाकार जाली हैं (पंक्तियाँ × स्तंभ)। घन संख्याएँ बड़े घन के छोटे घन हैं (लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई)। षट्कोणीय संख्याएँ (1, 7, 19, 37, 61, …) बढ़ते षट्कोण की रचना के बिंदु हैं।
आकृति में : बैंगनी त्रिभुज में 1, 2, 3, 4 बिंदुओं की पंक्तियाँ हैं : 10 बिंदु। हरे वर्ग में 4 पंक्तियाँ और हर एक में 4 बिंदु : 16 बिंदु।
आकृति में : 3 × 3 × 3 का घन 3 × 3 छोटे घनों की 3 परतें है : कुल 27 छोटे घन।
नियम 1 : त्रिकोणीय संख्याएँ — अगली त्रिकोणीय संख्या के लिए एक नई पंक्ति जोड़ें : नई पंक्ति में पंक्ति-क्रमांक जितने बिंदु होते हैं। इसलिए पहले 1, फिर 2, फिर 3, फिर 4, … जोड़ें।
अनुक्रम चित्रों में : त्रिकोणीय, वर्ग, घन और षट्कोणीय संख्याएँ
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : चौथी त्रिकोणीय संख्या : 1 + 2 + 3 + 4 = 10।
- मध्यम : सातवीं त्रिकोणीय संख्या : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28।
- परीक्षा-प्रकार : 36 बिंदुओं से 8 पंक्तियों का त्रिभुज बनता है (1 + 2 + … + 8 = 36)। उनसे 6 × 6 का वर्ग भी बनता है, इसलिए 36 त्रिकोणीय भी है और वर्ग भी।
नियम 2 : वर्ग, घन और षट्कोणीय संख्याएँ — वर्ग संख्या : किसी संख्या को उसी से गुणा करना (2 बार)। घन संख्या : संख्या को स्वयं से 3 बार गुणा करना। षट्कोणीय संख्या : त्रिकोणीय संख्या का 6 गुना और 1 अधिक।
- आसान : पाँचवीं वर्ग संख्या : 5 × 5 = 25।
- मध्यम : चौथी घन संख्या : 4 × 4 × 4 = 64।
- परीक्षा-प्रकार : क्या 100 घन है? 4 × 4 × 4 = 64 और 5 × 5 × 5 = 125, इसलिए 100 घन नहीं है (पर 10 × 10 = 100 वर्ग है)। षट्कोणीय जाँच : 6 × 10 + 1 = 61।
एक ही संख्या अलग-अलग भूमिकाएँ निभा सकती है : 36 त्रिकोणीय संख्या भी है और वर्ग संख्या भी।
“4 का वर्ग” और “4 × 2” में गड़बड़ी : 4 का वर्ग 4 × 4 = 16 है, 8 नहीं। 3 का घन 27 है, 9 नहीं।
त्रिकोणीय : अंतिम संख्या में 1, 2, 3, 4, … जोड़ते जाएँ। वर्ग : वर्ग संख्याओं के बीच के अंतर विषम संख्याएँ 3, 5, 7, 9, … होते हैं। याद रखने की युक्ति : वर्ग = 2 बार (सपाट चित्र), घन = 3 बार (ठोस चित्र) : गुणा करने की बार आकार की विमाओं (2D और 3D) जितनी होती हैं।
अंतर पहचानें
| बिंदु | त्रिकोणीय | वर्ग | घन |
|---|---|---|---|
| कैसे बनती है | पंक्तियाँ 1, 2, 3, … जोड़कर | संख्या × संख्या | संख्या × संख्या × संख्या |
| पहली चार | 1, 3, 6, 10 | 1, 4, 9, 16 | 1, 8, 27, 64 |
| चित्र | बिंदुओं का त्रिभुज | बिंदुओं का वर्ग | ब्लॉकों का घन |
अभ्यास के प्रश्न
- 1छठी त्रिकोणीय संख्या कौन-सी है?
- 2नौवीं वर्ग संख्या कौन-सी है?
- 3तीसरी घन संख्या कौन-सी है?
- 4सातवीं त्रिकोणीय संख्या से आठवीं तक जाने में कितने नए बिंदु जुड़ते हैं?
- 528, 30, 32 में से कौन-सी त्रिकोणीय संख्या है?
- 6दसवीं वर्ग संख्या में से नौवीं वर्ग संख्या घटाने पर कितना मिलता है?
- 7दसवीं त्रिकोणीय संख्या और सातवीं वर्ग संख्या में कौन-सी बड़ी है और कितनी?
- 861 के बाद की दो षट्कोणीय संख्याएँ ढूँढ़ें (6 × त्रिकोणीय संख्या + 1 का प्रयोग करें)।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 121 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
- 281 (9 × 9)
- 327 (3 × 3 × 3)
- 48 (नई पंक्ति आठवीं पंक्ति है)
- 528 (1 + 2 + … + 7 = 28)
- 6100 − 81 = 19 (अगली विषम संख्या)
- 7दसवीं त्रिकोणीय = 55, सातवीं वर्ग = 49। त्रिकोणीय संख्या 55 − 49 = 6 से बड़ी है।
- 891 (6 × 15 + 1) और 127 (6 × 21 + 1)
संख्या-अनुक्रमों के बीच संबंध
एक टाइल-मिस्त्री पहले 1 टाइल रखता है, फिर 3 टाइलों की L-आकार की किनारी, फिर 5 की, फिर 7 की। हर बार फ़र्श पूरा वर्ग ही रहता है। अलग-अलग अनुक्रम अक्सर आश्चर्यजनक ढंग से जुड़े होते हैं और चित्र इसका कारण दिखाता है।
जब एक अनुक्रम दूसरे से किसी निश्चित नियम द्वारा बन सके तो दोनों अनुक्रम संबंधित होते हैं। संबंध क्यों चलता है (केवल यह कि चलता है नहीं) यह खोजना ही गणित का असली मज़ा है, और चित्र अक्सर कारण बता देता है।
आकृति में : हर रंग एक L-आकार की परत है। परतों में 1, 3, 5, 7, 9, 11 बिंदु हैं और मिलकर 6 × 6 का वर्ग बनता है।
आकृति में : हर तिरछी रंगीन पंक्ति में 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1 बिंदु हैं : मिलकर 5 × 5 का वर्ग।
नियम 1 : विषम संख्याओं का योग = वर्ग — पहली कुछ विषम संख्याएँ जोड़ने पर हमेशा वर्ग संख्या मिलती है : उत्तर = (कितनी विषम संख्याएँ जोड़ीं) × (वही संख्या)।
संख्या-अनुक्रमों के बीच संबंध
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 1 + 3 + 5 = 9 = 3 × 3 (3 विषम संख्याएँ)।
- मध्यम : पहली 9 विषम संख्याओं का योग 9 × 9 = 81।
- परीक्षा-प्रकार : पहली 40 विषम संख्याओं का योग 40 × 40 = 1,600। योग 225 = 15 × 15 हो तो 15 विषम संख्याएँ जोड़ी गईं।
नियम 2 : ऊपर-नीचे जोड़ और अन्य संबंध — 1, 2, 3, … एक शीर्ष संख्या तक और वापस नीचे जोड़ने पर (शीर्ष संख्या) × (शीर्ष संख्या) मिलता है। अन्य संबंध : दो क्रमागत त्रिकोणीय संख्याओं का योग वर्ग होता है; 6 × त्रिकोणीय + 1 षट्कोणीय है; 1 + 2 + 4 + … जमा 1 अगली 2 की घात है।
संख्या-अनुक्रमों के बीच संबंध
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = 4 × 4।
- मध्यम : क्रमागत त्रिकोणीय संख्याएँ : 15 + 21 = 36 = 6 × 6।
- परीक्षा-प्रकार : 25 तक ऊपर और वापस नीचे : 25 × 25 = 625। साथ ही 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 और 31 + 1 = 32, यह अगली 2 की घात है।
संबंध तभी पूरा होता है जब पता हो कि वह क्यों होता है : L-आकार का चित्र बताता है कि हर आकार के लिए विषम संख्याओं से वर्ग क्यों बनता है।
गिनती की जगह अंतिम विषम संख्या का उपयोग करना : पहली 5 विषम संख्याएँ 9 पर समाप्त होती हैं, पर योग 5 × 5 = 25 है, 9 × 9 नहीं।
विषम संख्याएँ : उन्हें गिनें और गिनती को स्वयं से गुणा करें। ऊपर-नीचे : शीर्ष संख्या लें और उसे स्वयं से गुणा करें। याद रखने की युक्ति : विषम संख्याओं के लिए “गिनती × गिनती”, ऊपर-नीचे के लिए “शीर्ष × शीर्ष” : गि-गि और शी-शी।
अंतर पहचानें
| बिंदु | विषम संख्याएँ जोड़ना | ऊपर-नीचे जोड़ना |
|---|---|---|
| उदाहरण | 1 + 3 + 5 + 7 | 1 + 2 + 3 + 2 + 1 |
| किसे गुणा करें | गिनती 4 × 4 | शीर्ष 3 × 3 |
| उत्तर | 16 | 9 |
अभ्यास के प्रश्न
- 11 + 3 + 5 + 7 + 9 कितना होता है?
- 21 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 कितना होता है?
- 3त्रिकोणीय संख्याओं 6 और 10 को जोड़ें।
- 4पहली 20 विषम संख्याओं का योग कितना है?
- 51 + 2 + 3 + … + 10 + … + 3 + 2 + 1 कितना होता है?
- 6त्रिकोणीय संख्या 15 को 6 से गुणा करके 1 जोड़ें। यह किस प्रकार की संख्या है?
- 7पहली कुछ विषम संख्याओं का योग 169 है। कितनी विषम संख्याएँ जोड़ी गईं?
- 81 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 निकालें और फिर 1 जोड़ें। 2 की कौन-सी घात मिलती है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 125 (5 × 5)
- 216 (4 × 4)
- 316 (वर्ग संख्या)
- 4400 (20 × 20)
- 5100 (10 × 10)
- 66 × 15 + 1 = 91, षट्कोणीय संख्या
- 713 (169 = 13 × 13)
- 81 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127; 127 + 1 = 128, यह 64 के बाद की 2 की घात है
आकारों के अनुक्रम और सम बहुभुज
मधुमक्खी के छत्ते में 6 भुजाओं वाले खाने होते हैं, स्टॉप-बोर्ड की 8 भुजाएँ होती हैं और कैरम बोर्ड की 4। आकार भी अनुक्रम में आते हैं : त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचभुज, … हर एक में पिछले से एक भुजा अधिक।
आकारों के पैटर्न का अध्ययन करने वाली गणित की शाखा ज्यामिति कहलाती है। बहुभुज सीधी भुजाओं वाला बंद आकार है। जब सभी भुजाएँ बराबर और सभी कोने (कोण) बराबर हों तो बहुभुज सम होता है। हर बंद आकार में भुजाओं की संख्या कोनों की संख्या के बराबर होती है।
आकृति में : 3, 4, 5, 6, 7 और 8 भुजाओं वाले सम बहुभुज : त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचभुज, षट्भुज, सप्तभुज, अष्टभुज।
नियम 1 : भुजाओं की संख्या से नाम — नाम भुजाओं की संख्या बताता है : त्रि 3, चतुर् 4, पंच 5, षट् 6, सप्त 7, अष्ट 8, नव 9, दश 10। त्रिभुज से शुरू होने वाली सूची में भुजाएँ हर बार 1 बढ़ती हैं।
आकारों के अनुक्रम और सम बहुभुज
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 6 भुजाओं वाला आकार षट्भुज होता है।
- मध्यम : त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचभुज, … इस सूची के सातवें आकार की 9 भुजाएँ हैं : नवभुज।
- परीक्षा-प्रकार : बारहवें आकार की 3 + 11 = 14 भुजाएँ हैं।
नियम 2 : सम बहुभुज का परिमाप — सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए परिमाप = (भुजाओं की संख्या) × (एक भुजा की लंबाई)।
- आसान : सम पंचभुज, भुजा 4 cm : 5 × 4 = 20 सेमी।
- मध्यम : सम अष्टभुज, भुजा 7 cm : 8 × 7 = 56 सेमी।
- परीक्षा-प्रकार : परिमाप 72 cm वाला सम नवभुज : हर भुजा = 72 ÷ 9 = 8 सेमी।
हर बंद आकार में कोने = भुजाएँ, इसलिए 10 भुजाओं वाले बहुभुज के 10 कोने भी होते हैं।
बराबर भुजाओं वाले हर आकार को “सम” कहना। समचतुर्भुज की भुजाएँ बराबर पर कोण असमान होते हैं; 6 cm × 3 cm आयत के कोण बराबर पर भुजाएँ असमान होती हैं। दोनों सम नहीं हैं।
सम चतुर्भुज = वर्ग। सम त्रिभुज = समबाहु त्रिभुज। याद रखने की युक्ति : ऑक्टोपस की 8 भुजाएँ, इसलिए octagon = 8। एक दशक = 10 वर्ष, इसलिए decagon = 10। Tri, Quad, Pent, Hex, Hept, Oct, Non, Dec = 3 से 10।
अंतर पहचानें
| बिंदु | वर्ग | आयत (6 × 3) | समचतुर्भुज |
|---|---|---|---|
| सभी भुजाएँ बराबर | हाँ | नहीं | हाँ |
| सभी कोने बराबर | हाँ | हाँ | नहीं |
| सम? | हाँ | नहीं | नहीं |
अभ्यास के प्रश्न
- 1नवभुज की कितनी भुजाएँ होती हैं?
- 27 भुजाओं वाले बहुभुज को क्या कहते हैं?
- 3षट्भुज के कितने कोने होते हैं?
- 4सम षट्भुज की हर भुजा 9 cm है। उसका परिमाप ज्ञात करें।
- 5त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचभुज, … इस सूची का पाँचवाँ आकार कौन-सा है?
- 6सम दशभुज की हर भुजा 6 cm है। उसका परिमाप ज्ञात करें।
- 7एक सम बहुभुज का परिमाप 56 cm और हर भुजा 8 cm है। वह कौन-सा बहुभुज है?
- 8एक आयत के सभी कोण 90° हैं। क्या वह सम बहुभुज है? कारण दें।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 19
- 2सप्तभुज
- 36
- 46 × 9 = 54 cm
- 5सप्तभुज (7 भुजाएँ)
- 610 × 6 = 60 cm
- 756 ÷ 8 = 7 भुजाएँ : सप्तभुज
- 8जब तक वर्ग न हो तब तक नहीं। उसकी सभी भुजाएँ बराबर नहीं होतीं (जैसे 6 cm और 3 cm), इसलिए वह सम नहीं है।
संख्या-अनुक्रमों से जुड़े आकारों के अनुक्रम
एक पार्टी में 5 मित्र मिलते हैं और हर मित्र बाकी सभी से एक बार हाथ मिलाता है। 5 बिंदु बनाएँ और हर जोड़ी को जोड़ें : रेखाएँ ही हाथ मिलाना हैं। ऐसी रेखाएँ गिनने से आकार और संख्या-अनुक्रम जुड़ जाते हैं।
पूर्ण आलेख में हर दो बिंदु एक रेखा से जुड़े होते हैं। परत-दर-परत रखे वर्ग और त्रिभुज पंक्ति-दर-पंक्ति बने आकार हैं। कोच हिमकण त्रिभुज से शुरू होता है और हर रेखाखंड की जगह 4 छोटे रेखाखंडों का “स्पीड-ब्रेकर” बार-बार आता है।
आकृति में : 2, 3, 4, 5 और 6 बिंदुओं के पूर्ण आलेखों में 1, 3, 6, 10 और 15 रेखाएँ हैं : त्रिकोणीय संख्याएँ।
आकृति में : परत-दर-परत रखे वर्गों में 1, 4, 9, 16 छोटे वर्ग हैं : वर्ग संख्याएँ।
नियम 1 : पूर्ण आलेख में रेखाएँ गिनना — पहला बिंदु बाकी सभी से जुड़ता है; अगले बिंदु की नई रेखाएँ एक कम; इसी तरह आगे। इसलिए रेखाएँ = (बिंदु − 1) + (बिंदु − 2) + … + 1, जिससे त्रिकोणीय संख्याएँ मिलती हैं।
संख्या-अनुक्रमों से जुड़े आकारों के अनुक्रम
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 4 बिंदु : 3 + 2 + 1 = 6 रेखाएँ।
- मध्यम : 6 बिंदु : 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 रेखाएँ।
- परीक्षा-प्रकार : 10 मित्रों का हाथ मिलाना : 9 + 8 + … + 1 = 45।
नियम 2 : परत-दर-परत आकार वर्ग संख्याएँ देते हैं — परत-दर-परत वर्ग : पंक्तियाँ × स्तंभ = (संख्या) × (वही संख्या)। परत-दर-परत त्रिभुज : पंक्तियों में 1, 3, 5, 7, … त्रिभुज होते हैं और विषम संख्याओं का योग वर्ग होता है।
संख्या-अनुक्रमों से जुड़े आकारों के अनुक्रम
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : पाँचवाँ वर्ग-आकार : 5 × 5 = 25 छोटे वर्ग।
- मध्यम : 7 पंक्तियों वाले परत-दर-परत त्रिभुज : 7 × 7 = 49 छोटे त्रिभुज।
- परीक्षा-प्रकार : नौवीं पंक्ति में 2 × 9 − 1 = 17 त्रिभुज हैं और 9 पंक्तियों के कुल 9 × 9 = 81।
नियम 3 : कोच हिमकण : 4 से गुणा — हर रेखाखंड के 4 रेखाखंड बन जाते हैं, इसलिए रेखाखंडों की संख्या हर बार 4 से गुणा होती है : 3, 12, 48, 192, … (4 की घातों का 3 गुना)।
संख्या-अनुक्रमों से जुड़े आकारों के अनुक्रम
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : दूसरा आकार : 3 × 4 = 12 रेखाखंड।
- मध्यम : चौथा आकार : 3 × 4 × 4 × 4 = 192 रेखाखंड।
- परीक्षा-प्रकार : छठा आकार : 3 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 3,072 रेखाखंड।
आकारों का अनुक्रम और संख्या-अनुक्रम एक ही पैटर्न के दो रूप हो सकते हैं : बिंदु, रेखाएँ या वर्ग गिनने पर संख्याएँ मिलती हैं।
पूर्ण आलेख की रेखाओं को बिंदु × (बिंदु − 1) से गिनना : 5 बिंदुओं के लिए 20 आता है, पर हर रेखा दो बार गिनी जाती है। सही उत्तर 20 ÷ 2 = 10।
हाथ मिलाना : (लोग − 1) से 1 तक जोड़ें। परत-दर-परत आकार : (पंक्तियाँ) × (पंक्तियाँ)। कोच : लगातार 4 से गुणा करें। याद रखने की युक्ति : “हाथ मिलाने की उलटी गिनती” : 4, 3, 2, 1 — अंतिम व्यक्ति का कोई नया हाथ मिलाना नहीं होता। कोच = “हर बार ×4”।
अंतर पहचानें
| आकारों का अनुक्रम | मिलने वाला संख्या-अनुक्रम | उदाहरण |
|---|---|---|
| सम बहुभुज (भुजाएँ) | 3 से गिनती की संख्याएँ | 3, 4, 5, 6 |
| पूर्ण आलेख (रेखाएँ) | त्रिकोणीय संख्याएँ | 1, 3, 6, 10 |
| परत-दर-परत वर्ग / त्रिभुज | वर्ग संख्याएँ | 1, 4, 9, 16 |
| कोच हिमकण (रेखाखंड) | 3 × 4 की घातें | 3, 12, 48, 192 |
अभ्यास के प्रश्न
- 15 बिंदुओं के पूर्ण आलेख में कितनी रेखाएँ होती हैं?
- 2छठे वर्ग-आकार में कितने छोटे वर्ग होते हैं?
- 3कोच हिमकण के पहले आकार में कितने रेखाखंड होते हैं?
- 47 मित्र मिलते हैं और हर मित्र बाकी सभी से एक बार हाथ मिलाता है। कुल कितने हाथ मिलाए गए?
- 58 पंक्तियों वाले परत-दर-परत त्रिभुजों में कितने छोटे त्रिभुज होते हैं?
- 6कोच हिमकण के तीसरे आकार में कितने रेखाखंड होते हैं?
- 7एक समूह में (हर जोड़ी एक बार) कुल 66 हाथ मिलाए जाते हैं। समूह में कितने लोग हैं?
- 8कोच हिमकण के पाँचवें आकार में कितने रेखाखंड होते हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 110 (4 + 3 + 2 + 1)
- 236 (6 × 6)
- 33 (वह त्रिभुज है)
- 421 (6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)
- 564 (8 × 8)
- 648 (12 × 4)
- 712 लोग (11 + 10 + … + 1 = 66)
- 8768 (3 × 4 × 4 × 4 × 4)