संख्यामालिका आणि त्यांचे नियम
एक फळविक्रेता प्रत्येक पुढच्या पेटीत 5 आंबे जास्त भरतो : 5, 10, 15, 20, … पुढची पेटी किती आंब्यांची असेल हे कोणीही सांगू शकतो, कारण पेट्या एका नमुन्याने भरल्या आहेत. असे नमुने शोधणे आणि ते का घडतात याचे कारण शोधणे म्हणजे गणित.
संख्यामालिका म्हणजे एका नियमाने मांडलेल्या संख्यांची रांग. पूर्ण संख्यांमधील नमुन्यांचा अभ्यास करणाऱ्या गणिताच्या शाखेला संख्याशास्त्र (नंबर थिअरी) म्हणतात. नियम शोधण्यासाठी एक संख्या पुढच्या संख्येत कशी बदलते ते पाहा.
आकृतीत : वरची रांग : प्रत्येक वेळी 5 मिळवा. खालची रांग : प्रत्येक वेळी दुप्पट करा. बाण एका संख्येवरून पुढच्या संख्येकडे नेणारा नियम दाखवतात.
नियम 1 : नियम शोधा — जवळजवळच्या संख्यांमधील फरक तपासा. फरक नेहमी सारखा असेल तर नियम त्या संख्येने मिळवणे (किंवा वजा करणे) आहे. प्रत्येक संख्या आधीच्या संख्येची ठराविक पट असेल तर नियम गुणाकार आहे.
- सोपे : 4, 8, 12, 16 : प्रत्येक वेळी फरक 4, म्हणून पुढची संख्या 16 + 4 = 20.
- मध्यम : 50, 44, 38, 32 : संख्या 6 ने कमी होतात, म्हणून पुढची संख्या 32 − 6 = 26.
- परीक्षेसाठी : 5, 15, 45, 135 : प्रत्येक संख्या आधीच्या संख्येची 3 पट आहे, म्हणून पुढची 135 × 3 = 405.
नियम 2 : प्रसिद्ध संख्यामालिका — या शिकून घ्या : मोजणीच्या संख्या (1, 2, 3, …), विषम संख्या (1, 3, 5, …), सम संख्या (2, 4, 6, …), 2 च्या घाती (प्रत्येक वेळी दुप्पट), 3 च्या घाती (प्रत्येक वेळी 3 पट) आणि विरहांक संख्या (प्रत्येक संख्या आधीच्या दोन संख्यांची बेरीज).
- सोपे : 2 च्या घाती : 1, 2, 4, 8, 16, म्हणून पुढची संख्या 32.
- मध्यम : विरहांक-प्रकारची मालिका 3, 4 ने सुरू होते : 3, 4, 7, 11, 18, म्हणून पुढची संख्या 11 + 18 = 29.
- परीक्षेसाठी : पंधरावी विषम संख्या : स्थानाची दुप्पट करून 1 वजा करा, म्हणून 2 × 15 − 1 = 29.
नियम मालिकेतील प्रत्येक पायरीला लागू व्हायला हवा, फक्त पहिल्या फरकाला नाही.
फक्त दोन संख्यांवरून नियम ठरवणे : 2, 4 हे “2 मिळवा” (6, 8) किंवा “दुप्पट करा” (8, 16) असू शकते. किमान तीन संख्या तपासा.
आधी फरक तपासा; फरक सारखे नसतील तर किती पट ते तपासा; दोन्ही जमत नसेल तर आधीच्या दोन संख्यांची बेरीज तपासा. आठवणीची युक्ती : “फरक – पट – बेरीज” : फ-प-बे. हे तीन प्रश्न याच क्रमाने विचारा.
फरक ओळखा
| मुद्दा | मिळवण्याचा नियम (5, 10, 15, 20) | गुणण्याचा नियम (3, 6, 12, 24) |
|---|---|---|
| संख्यांमधील फरक | नेहमी 5 | 3, 6, 12 (वाढतो) |
| नियम | 5 मिळवा | 2 ने गुणा |
| शेवटच्या नंतरची संख्या | 20 + 5 = 25 | 24 × 2 = 48 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1पुढची संख्या कोणती? 6, 12, 18, 24, __
- 240, 35, 30, 25, … चा नियम कोणता?
- 3सहावी सम संख्या कोणती?
- 4पुढची संख्या कोणती? 4, 12, 36, 108, __
- 5विरहांक-प्रकारची मालिका 2, 5 ने सुरू होते. पहिल्या सहा संख्या लिहा.
- 6हरवलेली संख्या शोधा : 3, 10, __, 24, 31
- 7पुढची संख्या कोणती? 3, 5, 9, 17, 33, __ (सूचना : फरक पाहा)
- 850 ही संख्या 7, 12, 17, 22, … या मालिकेत येते का? कारण द्या.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 130 (6 मिळवा)
- 25 वजा करा
- 312 (6 × 2)
- 4324 (108 × 3)
- 52, 5, 7, 12, 19, 31
- 617 (प्रत्येक वेळी 7 मिळवा)
- 765 (फरक 2, 4, 8, 16 आहेत, म्हणून पुढचा फरक 32 : 33 + 32 = 65)
- 8नाही. संख्या 5 ने वाढतात आणि नेहमी 2 किंवा 7 वर संपतात; 50 च्या शेवटी 0 आहे.
मालिका चित्रांतून : त्रिकोणी, वर्ग, घन आणि षटकोनी संख्या
एक दुकानदार संत्री त्रिकोणात रचतो : वर 1, पुढच्या ओळीत 2, त्यापुढच्या ओळीत 3. एक फरशीवाला 4 ओळी आणि प्रत्येकीत 4 फरश्या बसवतो. एक मूल लहान ठोकळ्यांचा घन बनवते. अशा चित्रांमुळे संख्यांचे नमुने दिसतात.
त्रिकोणी संख्या म्हणजे 1, 2, 3, … ठिपक्यांच्या ओळींचा त्रिकोण. वर्ग संख्या म्हणजे ठिपक्यांची चौरस जाळी (ओळी × स्तंभ). घन संख्या म्हणजे मोठ्या घनातील लहान घन (लांबी × रुंदी × उंची). षटकोनी संख्या (1, 7, 19, 37, 61, …) म्हणजे वाढत्या षटकोनी रचनेतील ठिपके.
आकृतीत : जांभळ्या त्रिकोणात 1, 2, 3, 4 ठिपक्यांच्या ओळी आहेत : 10 ठिपके. हिरव्या चौरसात 4 ओळी आणि प्रत्येकीत 4 ठिपके : 16 ठिपके.
आकृतीत : 3 × 3 × 3 चा घन म्हणजे 3 × 3 लहान घनांचे 3 थर : एकूण 27 लहान घन.
नियम 1 : त्रिकोणी संख्या — पुढच्या त्रिकोणी संख्येकडे जायला एक नवी ओळ जोडा : नव्या ओळीत ओळीच्या क्रमांकाइतके ठिपके असतात. म्हणून आधी 1, मग 2, मग 3, मग 4, … मिळवा.
मालिका चित्रांतून : त्रिकोणी, वर्ग, घन आणि षटकोनी संख्या
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : चौथी त्रिकोणी संख्या : 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
- मध्यम : सातवी त्रिकोणी संख्या : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.
- परीक्षेसाठी : 36 ठिपक्यांचा 8 ओळींचा त्रिकोण बनतो (1 + 2 + … + 8 = 36). त्यांचा 6 × 6 चौरसही बनतो, म्हणून 36 त्रिकोणीही आहे आणि वर्गही.
नियम 2 : वर्ग, घन आणि षटकोनी संख्या — वर्ग संख्या : संख्येला तिच्याच संख्येने गुणणे (2 वेळा). घन संख्या : संख्येला स्वतःनेच 3 वेळा गुणणे. षटकोनी संख्या : त्रिकोणी संख्येची 6 पट आणि 1 अधिक.
- सोपे : पाचवी वर्ग संख्या : 5 × 5 = 25.
- मध्यम : चौथी घन संख्या : 4 × 4 × 4 = 64.
- परीक्षेसाठी : 100 घन आहे का? 4 × 4 × 4 = 64 आणि 5 × 5 × 5 = 125, म्हणून 100 घन नाही (पण 10 × 10 = 100 वर्ग आहे). षटकोनी तपासणी : 6 × 10 + 1 = 61.
एकच संख्या वेगवेगळ्या भूमिका बजावू शकते : 36 ही त्रिकोणी संख्याही आहे आणि वर्ग संख्याही.
“4 चा वर्ग” आणि “4 × 2” यांची गल्लत : 4 चा वर्ग 4 × 4 = 16 आहे, 8 नाही. 3 चा घन 27 आहे, 9 नाही.
त्रिकोणी : शेवटच्या संख्येत 1, 2, 3, 4, … मिळवत जा. वर्ग : वर्ग संख्यांमधील फरक म्हणजे विषम संख्या 3, 5, 7, 9, … आठवणीची युक्ती : वर्ग = 2 वेळा (सपाट चित्र), घन = 3 वेळा (ठोस चित्र) : गुणण्याच्या वेळा आकाराच्या मिती (2D आणि 3D) इतक्याच असतात.
फरक ओळखा
| मुद्दा | त्रिकोणी | वर्ग | घन |
|---|---|---|---|
| कशी बनते | ओळी 1, 2, 3, … मिळवून | संख्या × संख्या | संख्या × संख्या × संख्या |
| पहिल्या चार | 1, 3, 6, 10 | 1, 4, 9, 16 | 1, 8, 27, 64 |
| चित्र | ठिपक्यांचा त्रिकोण | ठिपक्यांचा चौरस | ठोकळ्यांचा घन |
सरावासाठी प्रश्न
- 1सहावी त्रिकोणी संख्या कोणती?
- 2नववी वर्ग संख्या कोणती?
- 3तिसरी घन संख्या कोणती?
- 4सातव्या त्रिकोणी संख्येवरून आठव्या संख्येकडे जायला किती नवीन ठिपके लागतात?
- 528, 30, 32 पैकी कोणती त्रिकोणी संख्या आहे?
- 6दहावी वर्ग संख्या वजा नववी वर्ग संख्या किती?
- 7दहावी त्रिकोणी संख्या आणि सातवी वर्ग संख्या यांपैकी कोणती मोठी आणि किती ने?
- 861 नंतरच्या दोन षटकोनी संख्या शोधा (6 × त्रिकोणी संख्या + 1 वापरा).
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 121 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
- 281 (9 × 9)
- 327 (3 × 3 × 3)
- 48 (नवी ओळ आठवी ओळ आहे)
- 528 (1 + 2 + … + 7 = 28)
- 6100 − 81 = 19 (पुढची विषम संख्या)
- 7दहावी त्रिकोणी = 55, सातवी वर्ग = 49. त्रिकोणी संख्या 55 − 49 = 6 ने मोठी आहे.
- 891 (6 × 15 + 1) आणि 127 (6 × 21 + 1)
संख्यामालिकांमधील नाते
एक फरशीवाला आधी 1 फरशी ठेवतो, मग 3 फरश्यांची L-आकाराची किनार, मग 5 ची, मग 7 ची. प्रत्येक वेळी जमीन परिपूर्ण चौरसच राहते. वेगवेगळ्या मालिका अनेकदा आश्चर्यकारक पद्धतीने जोडलेल्या असतात आणि चित्र त्याचे कारण दाखवते.
एक मालिका दुसऱ्या मालिकेतून ठरावीक नियमाने बनत असेल तर त्या दोन मालिका संबंधित असतात. संबंध का चालतो (फक्त चालतो हे नाही) हे शोधणे हीच गणिताची खरी मजा आहे, आणि चित्र बहुतेक वेळा कारण देते.
आकृतीत : प्रत्येक रंग म्हणजे एक L-आकाराचा थर. थरांमध्ये 1, 3, 5, 7, 9, 11 ठिपके आहेत आणि मिळून 6 × 6 चौरस बनतो.
आकृतीत : प्रत्येक तिरकस रंगीत रांगेत 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1 ठिपके आहेत : मिळून 5 × 5 चौरस.
नियम 1 : विषम संख्यांची बेरीज = वर्ग — पहिल्या काही विषम संख्या मिळवल्यास नेहमी वर्ग संख्या मिळते : उत्तर = (किती विषम संख्या मिळवल्या) × (तीच संख्या).
संख्यामालिकांमधील नाते
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 1 + 3 + 5 = 9 = 3 × 3 (3 विषम संख्या).
- मध्यम : पहिल्या 9 विषम संख्यांची बेरीज 9 × 9 = 81.
- परीक्षेसाठी : पहिल्या 40 विषम संख्यांची बेरीज 40 × 40 = 1,600. बेरीज 225 = 15 × 15 असेल तर 15 विषम संख्या मिळवल्या.
नियम 2 : वर-खाली बेरीज आणि इतर नाती — 1, 2, 3, … एका सर्वोच्च संख्येपर्यंत आणि परत खाली मिळवल्यास (सर्वोच्च संख्या) × (सर्वोच्च संख्या) मिळते. इतर नाती : लागोपाठच्या दोन त्रिकोणी संख्यांची बेरीज वर्ग असते; 6 × त्रिकोणी + 1 म्हणजे षटकोनी; 1 + 2 + 4 + … अधिक 1 म्हणजे 2 ची पुढची घात.
संख्यामालिकांमधील नाते
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = 4 × 4.
- मध्यम : लागोपाठच्या त्रिकोणी संख्या : 15 + 21 = 36 = 6 × 6.
- परीक्षेसाठी : 25 पर्यंत वर आणि परत खाली : 25 × 25 = 625. तसेच 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 आणि 31 + 1 = 32, ही 2 ची पुढची घात.
संबंध तेव्हाच पूर्ण होतो जेव्हा तो का घडतो हे कळते : L-आकाराचे चित्र प्रत्येक आकारासाठी विषम संख्यांनी वर्ग का बनतो ते सांगते.
संख्या मोजण्याऐवजी शेवटची विषम संख्या वापरणे : पहिल्या 5 विषम संख्या 9 वर संपतात, पण बेरीज 5 × 5 = 25 आहे, 9 × 9 नाही.
विषम संख्या : त्या मोजा आणि मोजलेली संख्या स्वतःने गुणा. वर-खाली : सर्वोच्च संख्या घ्या आणि तिला स्वतःने गुणा. आठवणीची युक्ती : विषम संख्यांसाठी “संख्या × संख्या (गणती)”, वर-खाली साठी “टोक × टोक” : ग-ग आणि टो-टो.
फरक ओळखा
| मुद्दा | विषम संख्या मिळवणे | वर-खाली मिळवणे |
|---|---|---|
| उदाहरण | 1 + 3 + 5 + 7 | 1 + 2 + 3 + 2 + 1 |
| कशाला गुणायचे | गणती 4 × 4 | टोक 3 × 3 |
| उत्तर | 16 | 9 |
सरावासाठी प्रश्न
- 11 + 3 + 5 + 7 + 9 किती?
- 21 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 किती?
- 36 आणि 10 या त्रिकोणी संख्या मिळवा.
- 4पहिल्या 20 विषम संख्यांची बेरीज किती?
- 51 + 2 + 3 + … + 10 + … + 3 + 2 + 1 किती?
- 6त्रिकोणी संख्या 15 ला 6 ने गुणा आणि 1 मिळवा. ती कोणत्या प्रकारची संख्या आहे?
- 7पहिल्या काही विषम संख्यांची बेरीज 169 आहे. किती विषम संख्या मिळवल्या?
- 81 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 काढा आणि मग 1 मिळवा. 2 ची कोणती घात मिळते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 125 (5 × 5)
- 216 (4 × 4)
- 316 (वर्ग संख्या)
- 4400 (20 × 20)
- 5100 (10 × 10)
- 66 × 15 + 1 = 91, षटकोनी संख्या
- 713 (169 = 13 × 13)
- 81 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127; 127 + 1 = 128, ही 64 नंतरची 2 ची घात
आकारांच्या मालिका आणि सुसम बहुभुज
मधमाशीच्या पोळ्यात 6 बाजूंची घरे असतात, थांब फलकाला 8 बाजू असतात आणि कॅरम बोर्डाला 4. आकारही मालिकेत येतात : त्रिकोण, चौकोन, पंचकोन, … प्रत्येकाला आधीच्यापेक्षा एक बाजू जास्त.
आकारांमधील नमुन्यांचा अभ्यास करणाऱ्या गणिताच्या शाखेला भूमिती म्हणतात. बहुभुज म्हणजे सरळ बाजूंचा बंद आकार. सर्व बाजू समान आणि सर्व कोपरे (कोन) समान असतील तेव्हा बहुभुज सुसम असतो. प्रत्येक बंद आकारात बाजूंची संख्या आणि कोपऱ्यांची संख्या सारखीच असते.
आकृतीत : 3, 4, 5, 6, 7 आणि 8 बाजूंचे सुसम बहुभुज : त्रिकोण, चौकोन, पंचकोन, षटकोन, सप्तकोन, अष्टकोन.
नियम 1 : बाजूंच्या संख्येवरून नाव — नाव बाजूंची संख्या सांगते : त्रि 3, चौ 4, पंच 5, षट 6, सप्त 7, अष्ट 8, नव 9, दश 10. त्रिकोणापासून सुरू होणाऱ्या यादीत बाजू प्रत्येक वेळी 1 ने वाढतात.
आकारांच्या मालिका आणि सुसम बहुभुज
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 6 बाजू असलेला आकार षटकोन असतो.
- मध्यम : त्रिकोण, चौकोन, पंचकोन, … या यादीतील सातव्या आकाराला 9 बाजू आहेत : नवकोन.
- परीक्षेसाठी : बाराव्या आकाराला 3 + 11 = 14 बाजू आहेत.
नियम 2 : सुसम बहुभुजाची परिमिती — सर्व बाजू समान असतात, म्हणून परिमिती = (बाजूंची संख्या) × (एका बाजूची लांबी).
- सोपे : सुसम पंचकोन, बाजू 4 सेमी : 5 × 4 = 20 सेमी.
- मध्यम : सुसम अष्टकोन, बाजू 7 सेमी : 8 × 7 = 56 सेमी.
- परीक्षेसाठी : परिमिती 72 सेमी असलेला सुसम नवकोन : प्रत्येक बाजू = 72 ÷ 9 = 8 सेमी.
प्रत्येक बंद आकारात कोपरे = बाजू, म्हणून 10 बाजूंच्या बहुभुजाला 10 कोपरेही असतात.
सर्व बाजू समान असलेल्या प्रत्येक आकाराला “सुसम” म्हणणे. समभुज चौकोनाच्या बाजू समान पण कोन असमान असतात; 6 सेमी × 3 सेमी आयताचे कोन समान पण बाजू असमान असतात. दोन्ही सुसम नाहीत.
सुसम चौकोन = चौरस. सुसम त्रिकोण = समभुज त्रिकोण. आठवणीची युक्ती : ऑक्टोपसला 8 हात, म्हणून octagon = 8. एक दशक = 10 वर्षे, म्हणून decagon = 10. Tri, Quad, Pent, Hex, Hept, Oct, Non, Dec = 3 ते 10.
फरक ओळखा
| मुद्दा | चौरस | आयत (6 × 3) | समभुज चौकोन |
|---|---|---|---|
| सर्व बाजू समान | होय | नाही | होय |
| सर्व कोपरे समान | होय | होय | नाही |
| सुसम? | होय | नाही | नाही |
सरावासाठी प्रश्न
- 1नवकोनाला किती बाजू असतात?
- 27 बाजू असलेल्या बहुभुजाला काय म्हणतात?
- 3षटकोनाला किती कोपरे असतात?
- 4सुसम षटकोनाची प्रत्येक बाजू 9 सेमी आहे. त्याची परिमिती काढा.
- 5त्रिकोण, चौकोन, पंचकोन, … या यादीतील पाचवा आकार कोणता?
- 6सुसम दशकोनाची प्रत्येक बाजू 6 सेमी आहे. त्याची परिमिती काढा.
- 7एका सुसम बहुभुजाची परिमिती 56 सेमी आणि प्रत्येक बाजू 8 सेमी आहे. तो कोणता बहुभुज?
- 8एका आयताचे सर्व कोन 90° आहेत. तो सुसम बहुभुज आहे का? कारण द्या.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 19
- 2सप्तकोन
- 36
- 46 × 9 = 54 सेमी
- 5सप्तकोन (7 बाजू)
- 610 × 6 = 60 सेमी
- 756 ÷ 8 = 7 बाजू : सप्तकोन
- 8चौरस असल्याशिवाय नाही. त्याच्या सर्व बाजू समान नसतात (उदा. 6 सेमी आणि 3 सेमी), म्हणून तो सुसम नाही.
संख्यामालिकांशी जोडलेल्या आकारांच्या मालिका
एका पार्टीत 5 मित्र भेटतात आणि प्रत्येक मित्र इतर प्रत्येकाशी एकदा हस्तांदोलन करतो. 5 बिंदू काढा आणि प्रत्येक जोडी जोडा : रेषा म्हणजे हस्तांदोलने. अशा रेषा मोजल्याने आकार आणि संख्यामालिका जोडल्या जातात.
पूर्ण आलेख म्हणजे प्रत्येक दोन बिंदू रेषेने जोडलेले असतात. एकावर एक रचलेले चौरस आणि त्रिकोण म्हणजे ओळीमागून ओळ बनवलेले आकार. कोच हिमकण त्रिकोणापासून सुरू होतो आणि प्रत्येक रेषाखंडाच्या जागी 4 लहान रेषाखंडांचा “गतिरोधक” वारंवार येतो.
आकृतीत : 2, 3, 4, 5 आणि 6 बिंदूंच्या पूर्ण आलेखांत 1, 3, 6, 10 आणि 15 रेषा आहेत : त्रिकोणी संख्या.
आकृतीत : एकावर एक रचलेल्या चौरसांत 1, 4, 9, 16 लहान चौरस आहेत : वर्ग संख्या.
नियम 1 : पूर्ण आलेखातील रेषा मोजणे — पहिला बिंदू इतर सर्वांशी जोडला जातो; पुढच्या बिंदूच्या नव्या रेषा एकाने कमी; असेच पुढे. म्हणून रेषा = (बिंदू − 1) + (बिंदू − 2) + … + 1, आणि त्रिकोणी संख्या मिळतात.
संख्यामालिकांशी जोडलेल्या आकारांच्या मालिका
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 4 बिंदू : 3 + 2 + 1 = 6 रेषा.
- मध्यम : 6 बिंदू : 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 रेषा.
- परीक्षेसाठी : 10 मित्रांची हस्तांदोलने : 9 + 8 + … + 1 = 45.
नियम 2 : रचलेले आकार वर्ग संख्या देतात — रचलेले चौरस : ओळी × स्तंभ = (संख्या) × (तीच संख्या). रचलेले त्रिकोण : ओळींमध्ये 1, 3, 5, 7, … त्रिकोण असतात आणि विषम संख्यांची बेरीज वर्ग असते.
संख्यामालिकांशी जोडलेल्या आकारांच्या मालिका
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : पाचवा रचलेला चौरस : 5 × 5 = 25 लहान चौरस.
- मध्यम : 7 ओळींचे रचलेले त्रिकोण : 7 × 7 = 49 लहान त्रिकोण.
- परीक्षेसाठी : नवव्या ओळीत 2 × 9 − 1 = 17 त्रिकोण आहेत आणि 9 ओळींचे एकूण 9 × 9 = 81.
नियम 3 : कोच हिमकण : 4 ने गुणा — प्रत्येक रेषाखंडाचे 4 रेषाखंड होतात, म्हणून रेषाखंडांची संख्या प्रत्येक वेळी 4 ने गुणली जाते : 3, 12, 48, 192, … (4 च्या घातींची 3 पट).
संख्यामालिकांशी जोडलेल्या आकारांच्या मालिका
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : दुसरा आकार : 3 × 4 = 12 रेषाखंड.
- मध्यम : चौथा आकार : 3 × 4 × 4 × 4 = 192 रेषाखंड.
- परीक्षेसाठी : सहावा आकार : 3 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 3,072 रेषाखंड.
आकारांची मालिका आणि संख्यामालिका एकच नमुना दोन रूपांत असू शकतात : ठिपके, रेषा किंवा चौरस मोजल्यास संख्या मिळतात.
पूर्ण आलेखाच्या रेषा बिंदू × (बिंदू − 1) अशा मोजणे : 5 बिंदूंसाठी 20 येतात, पण प्रत्येक रेषा दोनदा मोजली जाते. खरे उत्तर 20 ÷ 2 = 10.
हस्तांदोलने : (माणसे − 1) पासून 1 पर्यंत मिळवा. रचलेले आकार : (ओळी) × (ओळी). कोच : सतत 4 ने गुणत रहा. आठवणीची युक्ती : “हस्तांदोलन उलटगणती” : 4, 3, 2, 1 — शेवटच्या माणसाचे नवे हस्तांदोलन नसते. कोच = “प्रत्येक वेळी ×4”.
फरक ओळखा
| आकारांची मालिका | मिळणारी संख्यामालिका | उदाहरण |
|---|---|---|
| सुसम बहुभुज (बाजू) | 3 पासून मोजणीच्या संख्या | 3, 4, 5, 6 |
| पूर्ण आलेख (रेषा) | त्रिकोणी संख्या | 1, 3, 6, 10 |
| रचलेले चौरस / त्रिकोण | वर्ग संख्या | 1, 4, 9, 16 |
| कोच हिमकण (रेषाखंड) | 3 × 4 च्या घाती | 3, 12, 48, 192 |
सरावासाठी प्रश्न
- 15 बिंदूंच्या पूर्ण आलेखात किती रेषा असतात?
- 2सहाव्या रचलेल्या चौरसात किती लहान चौरस असतात?
- 3कोच हिमकणाच्या पहिल्या आकारात किती रेषाखंड असतात?
- 47 मित्र भेटतात आणि प्रत्येक मित्र इतर प्रत्येकाशी एकदा हस्तांदोलन करतो. एकूण किती हस्तांदोलने?
- 58 ओळींच्या रचलेल्या त्रिकोणांत किती लहान त्रिकोण असतात?
- 6कोच हिमकणाच्या तिसऱ्या आकारात किती रेषाखंड असतात?
- 7एका गटात (प्रत्येक जोडी एकदा) हस्तांदोलने एकूण 66 होतात. गटात किती माणसे आहेत?
- 8कोच हिमकणाच्या पाचव्या आकारात किती रेषाखंड असतात?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 110 (4 + 3 + 2 + 1)
- 236 (6 × 6)
- 33 (तो त्रिकोण आहे)
- 421 (6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)
- 564 (8 × 8)
- 648 (12 × 4)
- 712 माणसे (11 + 10 + … + 1 = 66)
- 8768 (3 × 4 × 4 × 4 × 4)