K2KARAKORAM
मराठीEnglishहिंदी
ॲप उघडा

CBSE · इयत्ता 5 · गणित मेळा

प्रकरण 2: अपूर्णांक

4 संकल्पना · उत्तरांसह 32 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English · हिंदी

समतुल्य अपूर्णांक

रोजच्या जीवनातून

अर्धी पोळी आणि त्याच पोळीचे 2 चतुर्थांश तुकडे खायला सारखेच असतात. वेगळे दिसणारे अपूर्णांक पूर्णाचा तोच भाग दाखवू शकतात.

सोपी व्याख्या

समतुल्य अपूर्णांक म्हणजे पूर्णाचा तोच भाग दाखवणारे अपूर्णांक, जसे 1/2, 2/4 आणि 4/8. अंश आणि छेद दोन्हींना एकाच संख्येने गुणले (किंवा भागले) की असा अपूर्णांक मिळतो.

सूत्र : a/b = (a × k)/(b × k) = (a ÷ k)/(b ÷ k).

1/2 = 2/4 = 4/81/22/44/8

आकृतीत : तिन्ही पट्ट्यांत रंगवलेली लांबी सारखीच आहे, म्हणून 1/2 = 2/4 = 4/8.

नियम 1 : गुणून समतुल्य अपूर्णांक बनवा — अंश आणि छेद दोन्हींना एकाच संख्येने (2, 3, 4, …) गुणा.

Live आकृती

समतुल्य अपूर्णांक

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : 2/5 = (2 × 3)/(5 × 3) = 6/15.
  • मध्यम : 3/4 = (3 × 2)/(4 × 2) = 6/8 आणि 9/12 सुद्धा (× 3).
  • परीक्षेसाठी : 1/6 = 4/24, कारण 6 × 4 = 24 आणि 1 × 4 = 4.

नियम 2 : भागून सोपे करा — अंश आणि छेद दोन्हींना भाग जाणाऱ्या संख्येने दोघांना भागा. सामाईक विभाजक उरत नाही तोवर हे करा.

  • सोपे : 8/12 = (8 ÷ 4)/(12 ÷ 4) = 2/3.
  • मध्यम : 15/20 = 3/4 (5 ने भागा).
  • परीक्षेसाठी : 18/24 → ÷ 2 → 9/12 → ÷ 3 → 3/4; किंवा एकदम ÷ 6 → 3/4.
लक्षात ठेवा

वर आणि खाली नेहमी तेच करा. मग अपूर्णांकाची किंमत बदलत नाही.

सामान्य चूक

समान संख्या मिळवणे : 1/2 → (1 + 2)/(2 + 2) = 3/4. हे चूक! गुणा करा, मिळवू नका : 1/2 = 2/4.

शॉर्टकट

a/b आणि c/d तपासायला a × d = b × c आहे का ते पाहा (आडवे गुणा). आठवणीची युक्ती : "वर तेच, खाली तेच" — वेगळा पोशाख घातला तरी अपूर्णांक तोच असतो.

फरक ओळखा

मुद्दाMultiplyAdd
2/3 होतो4/6 (× 2)4/5 (+ 2)
किंमत समान?YesNo

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 12/3 शी समतुल्य एक अपूर्णांक लिहा.
  2. 2भरा : 1/4 = ___/12
  3. 36/8 सोपे करा.
मध्यम
  1. 4भरा : 3/5 = 12/___
  2. 520/30 पूर्णपणे सोपे करा.
  3. 64/6 आणि 10/15 समतुल्य आहेत का? कारण दाखवा.
आव्हानात्मक
  1. 75/7 शी समतुल्य तीन अपूर्णांक लिहा ज्यांचे छेद 30 पेक्षा लहान आहेत.
  2. 8एक पिझ्झा 12 समान भागांत कापला आहे आणि नेहा 9 भाग खाते. तिचा वाटा सर्वांत सोप्या रूपात लिहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 14/6 (or 6/9, 8/12)
  2. 23 (4 × 3 = 12, so 1 × 3 = 3)
  3. 33/4
  4. 420 (3 × 4 = 12, so 5 × 4 = 20)
  5. 52/3 (÷ 10)
  6. 6होय : 4/6 = 2/3 आणि 10/15 = 2/3.
  7. 710/14, 15/21, 20/28
  8. 89/12 = 3/4

समान छेद किंवा समान अंश असलेल्या अपूर्णांकांची तुलना

रोजच्या जीवनातून

दोन मित्र सारख्याच चॉकलेट बार वाटून खातात. एक 8 पैकी 3 तुकडे आणि दुसरा 8 पैकी 5 तुकडे खातो. कोणी जास्त खाल्ले? तुकडे सारख्या आकाराचे असल्याने ठरवणे सोपे.

सोपी व्याख्या

समान छेद : मोठा अंश असलेला अपूर्णांक मोठा. समान अंश : लहान छेद असलेला अपूर्णांक मोठा (कमी, मोठे तुकडे).

सूत्र : समान छेद : a/d > b/d जर a > b. समान अंश : n/a > n/b जर a < b.

Same denominator 8: 3/8 < 5/83/85/8

आकृतीत : दोन्ही पट्ट्यांत 8 समान भाग आहेत; 5 रंगवलेले भाग 3 पेक्षा जास्त आहेत, म्हणून 5/8 > 3/8.

नियम 1 : समान छेद — तुकडे सारख्या आकाराचे असतात, म्हणून फक्त तुकडे मोजा : अंशांची तुलना करा.

Live आकृती

समान छेद किंवा समान अंश असलेल्या अपूर्णांकांची तुलना

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : 4/9 < 7/9 कारण 4 < 7.
  • मध्यम : 11/13 > 6/13 कारण 11 > 6.
  • परीक्षेसाठी : चढत्या क्रमाने : 2/10, 5/10, 8/10, 9/10.

नियम 2 : समान अंश — छेद जितका मोठा तितका प्रत्येक तुकडा लहान. म्हणून मोठा छेद म्हणजे लहान अपूर्णांक.

  • सोपे : 3/4 > 3/6 कारण चतुर्थांश सहाव्यांपेक्षा मोठे असतात.
  • मध्यम : 5/8 < 5/7 कारण 8 > 7.
  • परीक्षेसाठी : उतरत्या क्रमाने : 2/3, 2/5, 2/7, 2/11.
लक्षात ठेवा

समान छेद → वरचे अंक पाहा. समान अंश → खालचे अंक पाहा, पण क्रम उलटा होतो.

सामान्य चूक

8 > 5 म्हणून 1/8 हा 1/5 पेक्षा मोठा असे समजणे. लक्षात ठेवा : मोठा छेद म्हणजे लहान तुकडे, म्हणून 1/8 < 1/5.

शॉर्टकट

तुकडे डोळ्यासमोर आणा : केक वाटून घेणारे जास्त म्हणजे प्रत्येकाचा तुकडा लहान. आठवणीची युक्ती : "खाली सारखे → मोठे वरचे जिंकते; वर सारखे → लहान खालचे जिंकते."

फरक ओळखा

मुद्दा3/8 and 5/83/4 and 3/6
काय समान?DenominatorNumerator
तुलना करा3 and 54 and 6
मोठा5/83/4

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 16/11 आणि 9/11 पैकी कोणता मोठा?
  2. 25/6 आणि 5/9 पैकी कोणता लहान?
  3. 3योग्य चिन्ह लावा : 7/10 ___ 3/10
मध्यम
  1. 4चढत्या क्रमाने मांडा : 5/12, 11/12, 2/12, 7/12.
  2. 5उतरत्या क्रमाने मांडा : 4/5, 4/9, 4/3, 4/7.
  3. 6कोणते चिन्ह : 2/7 ___ 2/5?
आव्हानात्मक
  1. 7रियाने 3/5 लिटर रस आणि ताराने 3/8 लिटर रस प्यायला. कोणी जास्त प्यायले? कसे ओळखले?
  2. 8अंश 5 असलेला असा अपूर्णांक लिहा जो 5/9 पेक्षा लहान पण 5/12 पेक्षा मोठा आहे.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 19/11
  2. 25/9
  3. 3>
  4. 42/12, 5/12, 7/12, 11/12
  5. 54/3, 4/5, 4/7, 4/9
  6. 6< (sevenths are smaller than fifths)
  7. 7रिया — अंश सारखा 3, आणि पंचमांश अष्टमांशापेक्षा मोठे.
  8. 85/10 or 5/11

1 पेक्षा मोठे अपूर्णांक : विषम आणि मिश्र

रोजच्या जीवनातून

आई प्रत्येक पराठा 4 समान तुकड्यांत कापते. दादाजी 7 तुकडे खातात. त्यांनी एका पराठ्यापेक्षा जास्त खाल्ले : 7/4 = 1 पूर्ण पराठा आणि आणखी 3 तुकडे.

सोपी व्याख्या

विषम अपूर्णांकात अंश छेदापेक्षा मोठा किंवा तेवढाच असतो (7/4). मिश्र संख्येत पूर्ण भाग आणि अपूर्णांक भाग असतो (1 3/4). दोन्ही तेवढेच प्रमाण दाखवतात.

सूत्र : n/d : n ÷ d चा भागाकार आणि बाकी : भागाकार बाकी/d. w r/d = (w × d + r)/d.

7/4 = 1 3/413/4

आकृतीत : एक पूर्ण पट्टी (4/4) आणि आणखी 3 चतुर्थांश तुकडे : 7/4 = 1 3/4.

नियम 1 : विषम → मिश्र — अंशाला छेदाने भागा. भागाकार हा पूर्ण भाग आणि बाकी हा नवीन अंश.

Live आकृती

1 पेक्षा मोठे अपूर्णांक : विषम आणि मिश्र

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : 9/2 : 9 ÷ 2 = 4, बाकी 1, म्हणून 9/2 = 4 1/2.
  • मध्यम : 13/5 : 13 ÷ 5 = 2, बाकी 3, म्हणून 13/5 = 2 3/5.
  • परीक्षेसाठी : 20/6 : 20 ÷ 6 = 3, बाकी 2, म्हणून 20/6 = 3 2/6 = 3 1/3.

नियम 2 : मिश्र → विषम — पूर्ण भागाला छेदाने गुणा, अंश मिळवा आणि छेद तोच ठेवा.

  • सोपे : 2 3/4 = (2 × 4 + 3)/4 = 11/4.
  • मध्यम : 5 1/3 = (5 × 3 + 1)/3 = 16/3.
  • परीक्षेसाठी : 3 2/7 = (3 × 7 + 2)/7 = 23/7.

नियम 3 : संख्यारेषेवर — 0 आणि 1 मध्ये d समान भाग करा. 1 च्या पुढेही तेवढ्याच आकाराचे भाग मोजत राहा : n/d हे n वे चिन्ह.

  • सोपे : 7/3 हे तृतीयांशांचे 7 वे चिन्ह : ते 2 आणि 3 दरम्यान येते.
  • मध्यम : 5/5 हे 5 वे चिन्ह : ते बरोबर 1 आहे.
  • परीक्षेसाठी : 11/4 = 2 3/4 हे 2 आणि 3 दरम्यान येते.
लक्षात ठेवा

दोन्ही रूपांत छेद तोच राहतो. 1 पूर्ण = d/d, म्हणून 3 पूर्ण = 3d/d.

सामान्य चूक

7/4 हे 3 1/4 असे लिहिणे (भागाकार आणि बाकी उलटवणे). भागाकार 1 हा पूर्ण भाग : 7/4 = 1 3/4.

शॉर्टकट

परत बदलून तपासा : 1 3/4 → 1 × 4 + 3 = 7 → 7/4 ✓. आठवणीची युक्ती : "भागा म्हणजे मिश्र; गुणा-मिळवा म्हणजे विषम."

फरक ओळखा

मुद्दाImproper fractionMixed number
उदाहरण11/42 3/4
अंश आणि छेदNumerator ≥ denominatorWhole part + proper fraction
किंमत2.75 wholes2.75 wholes

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 18/3 मिश्र संख्येत लिहा.
  2. 23 1/2 विषम अपूर्णांकात लिहा.
  3. 31/5 चे किती तुकडे मिळून 3 पूर्ण होतात?
मध्यम
  1. 417/6 मिश्र संख्येत लिहा.
  2. 54 2/5 विषम अपूर्णांकात लिहा.
  3. 619/4 कोणत्या दोन पूर्ण संख्यांच्या दरम्यान आहे?
आव्हानात्मक
  1. 7एका फितीचे प्रत्येकी 1/3 मीटरचे तुकडे केले आहेत. असे 11 तुकडे आहेत. फीत किती मीटर? मिश्र संख्येत लिहा.
  2. 813/4 आणि 3 1/2 पैकी कोणते मोठे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 12 2/3
  2. 27/2
  3. 315
  4. 42 5/6
  5. 522/5
  6. 64 and 5 (19/4 = 4 3/4)
  7. 711/3 = 3 2/3 metres
  8. 813/4 = 3 1/4 and 3 1/2 is bigger, so 3 1/2.

1 ला संदर्भ मानून अपूर्णांकांची तुलना

रोजच्या जीवनातून

आशा शाळेच्या वाटेचा 5/6 भाग चालली आहे आणि रवि लांब वाटेने त्या अंतराच्या 9/8 भाग चालला आहे. एकाने अजून पूर्ण प्रवास केला नाही, दुसरा त्याच्या पुढे गेला. 1 शी तुलना केली की पटकन कळते.

सोपी व्याख्या

प्रत्येक अपूर्णांकाची 1 शी तुलना करा. अंश < छेद तर अपूर्णांक 1 पेक्षा लहान; सारखे तर 1; अंश मोठा तर 1 पेक्षा मोठा. 1 पेक्षा मोठी कोणतीही संख्या 1 पेक्षा लहान कोणत्याही संख्येपेक्षा मोठी असते.

सूत्र : अं < छे → 1 पेक्षा लहान; अं = छे → 1; अं > छे → 1 पेक्षा मोठा.

0125/69/85/6 < 1 < 9/8

आकृतीत : संख्यारेषेवर 5/6 हा 1 च्या आधी आणि 9/8 हा 1 च्या नंतर येतो, म्हणून 5/6 < 1 < 9/8.

नियम 1 : 1 हा टप्पा माना — कोणते अपूर्णांक 1 पेक्षा लहान आणि कोणते मोठे ते ठरवा. "1 पेक्षा मोठा" गट मोठा असतो.

Live आकृती

1 ला संदर्भ मानून अपूर्णांकांची तुलना

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : 7/8 < 1 आणि 9/8 > 1, म्हणून 9/8 > 7/8.
  • मध्यम : 5/3 हा 4/5 पेक्षा मोठा (5/3 हा 1 पेक्षा मोठा; 4/5 हा 1 पेक्षा लहान).
  • परीक्षेसाठी : 2/3, 6/5, 3/4 मध्ये सर्वांत मोठा : फक्त 6/5 हा 1 पेक्षा मोठा.

नियम 2 : मिश्र संख्या : आधी पूर्ण भाग — आधी पूर्ण भागांची तुलना करा. ते सारखे असतील तर अपूर्णांक भागांची तुलना करा.

  • सोपे : 3 1/2 > 2 5/6 कारण 3 > 2.
  • मध्यम : 4 2/5 > 4 1/5 : पूर्ण भाग सारखे आणि 2/5 > 1/5.
  • परीक्षेसाठी : 1 3/4 आणि 7/4 : 7/4 = 1 3/4, म्हणून ते समान आहेत.
लक्षात ठेवा

1 ही "अजून पूर्ण नाही" (1 पेक्षा लहान) आणि "पूर्ण किंवा जास्त" यातील रेषा आहे.

सामान्य चूक

मोठा अंश म्हणजे नेहमी मोठा अपूर्णांक असे समजणे. 9/10 चा अंश मोठा आहे तरी तो 1 पेक्षा लहानच आहे, तर 5/4 हा 1 पेक्षा मोठा आहे.

शॉर्टकट

एक अपूर्णांक 1 खाली आणि दुसरा 1 वर असेल तर उत्तर तयार — हिशोब करायची गरज नाही. आठवणीची युक्ती : "रेषेच्या खाली, रेषेच्या वर — वर असलेला जिंकतो."

फरक ओळखा

मुद्दा5/69/8
अंश आणि छेद5 < 69 > 8
1 शी तुलनाLess than 1More than 1
मोठा—9/8

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 16/7 हा 1 पेक्षा लहान, 1 एवढा की मोठा?
  2. 24/5 आणि 5/4 पैकी कोणता मोठा?
  3. 31 हा छेद 9 असलेल्या अपूर्णांकाच्या रूपात लिहा.
मध्यम
  1. 4सर्वांत मोठा कोणता : 3/4, 7/6, 5/8, 1/2?
  2. 52 3/5 आणि 2 4/5 पैकी कोणते मोठे?
  3. 65/3 आणि 1 2/3 ची तुलना करा.
आव्हानात्मक
  1. 7चढत्या क्रमाने मांडा : 5/4, 2/3, 1, 7/8.
  2. 8मोनाने 7/5 किमी आणि रोहनने 9/10 किमी धावले. कोण जास्त धावले? मोना 1 किमी पेक्षा किती जास्त धावली?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1Less than 1
  2. 25/4
  3. 39/9
  4. 47/6
  5. 52 4/5
  6. 65/3 = 1 2/3, so they are equal.
  7. 72/3, 7/8, 1, 5/4
  8. 8मोना (1 किमी पेक्षा जास्त); 7/5 = 1 2/5, म्हणजे 1 किमी पेक्षा 2/5 किमी जास्त.