समतुल्य भिन्न
आधी रोटी और उसी रोटी के 2 चौथाई टुकड़े खाने में बराबर होते हैं। अलग दिखने वाली भिन्नें पूर्ण का वही भाग दिखा सकती हैं।
समतुल्य भिन्न वे भिन्नें हैं जो पूर्ण का वही भाग दिखाती हैं, जैसे 1/2, 2/4 और 4/8। अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा (या भाग) करने पर ऐसी भिन्न मिलती है।
सूत्र : a/b = (a × k)/(b × k) = (a ÷ k)/(b ÷ k)।
आकृति में : तीनों पट्टियों में रंगी लंबाई समान है, इसलिए 1/2 = 2/4 = 4/8।
नियम 1 : गुणा करके समतुल्य भिन्न बनाएँ — अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (2, 3, 4, …) से गुणा करें।
समतुल्य भिन्न
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 2/5 = (2 × 3)/(5 × 3) = 6/15।
- मध्यम : 3/4 = (3 × 2)/(4 × 2) = 6/8 और 9/12 भी (× 3)।
- परीक्षा-प्रकार : 1/6 = 4/24, क्योंकि 6 × 4 = 24 और 1 × 4 = 4।
नियम 2 : भाग देकर सरल करें — अंश और हर दोनों को ऐसी संख्या से भाग दें जो दोनों को भाग देती हो। जब तक कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड बचे, यह करते रहें।
- आसान : 8/12 = (8 ÷ 4)/(12 ÷ 4) = 2/3।
- मध्यम : 15/20 = 3/4 (5 से भाग दें)।
- परीक्षा-प्रकार : 18/24 → ÷ 2 → 9/12 → ÷ 3 → 3/4; या एक ही बार में ÷ 6 → 3/4।
ऊपर और नीचे हमेशा एक ही क्रिया करें। तब भिन्न का मान नहीं बदलता।
समान संख्या जोड़ना : 1/2 → (1 + 2)/(2 + 2) = 3/4। यह गलत है! गुणा करें, जोड़ें नहीं : 1/2 = 2/4।
a/b और c/d जाँचने के लिए देखें कि a × d = b × c है या नहीं (तिरछा गुणा)। याद रखने की युक्ति : "ऊपर वही, नीचे वही" — अलग कपड़े पहनने पर भी भिन्न वही रहती है।
अंतर पहचानें
| बिंदु | Multiply | Add |
|---|---|---|
| 2/3 बनती है | 4/6 (× 2) | 4/5 (+ 2) |
| मान समान? | Yes | No |
अभ्यास के प्रश्न
- 12/3 की एक समतुल्य भिन्न लिखिए।
- 2भरें : 1/4 = ___/12
- 36/8 को सरल कीजिए।
- 4भरें : 3/5 = 12/___
- 520/30 को पूरी तरह सरल कीजिए।
- 6क्या 4/6 और 10/15 समतुल्य हैं? कारण दिखाइए।
- 75/7 की तीन समतुल्य भिन्नें लिखिए जिनके हर 30 से छोटे हों।
- 8एक पिज़्ज़ा 12 बराबर टुकड़ों में कटा है और नेहा 9 टुकड़े खाती है। उसका हिस्सा सबसे सरल रूप में लिखिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 14/6 (or 6/9, 8/12)
- 23 (4 × 3 = 12, so 1 × 3 = 3)
- 33/4
- 420 (3 × 4 = 12, so 5 × 4 = 20)
- 52/3 (÷ 10)
- 6हाँ : 4/6 = 2/3 और 10/15 = 2/3।
- 710/14, 15/21, 20/28
- 89/12 = 3/4
समान हर या समान अंश वाली भिन्नों की तुलना
दो दोस्त एक जैसी चॉकलेट बार बाँटकर खाते हैं। एक 8 में से 3 टुकड़े और दूसरा 8 में से 5 टुकड़े खाता है। किसने ज़्यादा खाया? टुकड़े एक आकार के हैं, इसलिए तय करना आसान है।
समान हर : बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी। समान अंश : छोटे हर वाली भिन्न बड़ी (कम, बड़े टुकड़े)।
सूत्र : समान हर : a/d > b/d यदि a > b। समान अंश : n/a > n/b यदि a < b।
आकृति में : दोनों पट्टियों में 8 बराबर भाग हैं; 5 रंगे भाग 3 से ज़्यादा हैं, इसलिए 5/8 > 3/8।
नियम 1 : समान हर — टुकड़े समान आकार के होते हैं, इसलिए बस टुकड़े गिनें : अंशों की तुलना करें।
समान हर या समान अंश वाली भिन्नों की तुलना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 4/9 < 7/9 क्योंकि 4 < 7।
- मध्यम : 11/13 > 6/13 क्योंकि 11 > 6।
- परीक्षा-प्रकार : बढ़ते क्रम में : 2/10, 5/10, 8/10, 9/10।
नियम 2 : समान अंश — हर जितना बड़ा, हर टुकड़ा उतना छोटा। इसलिए बड़ा हर यानी छोटी भिन्न।
- आसान : 3/4 > 3/6 क्योंकि चौथाई छठे भाग से बड़े होते हैं।
- मध्यम : 5/8 < 5/7 क्योंकि 8 > 7।
- परीक्षा-प्रकार : घटते क्रम में : 2/3, 2/5, 2/7, 2/11।
समान हर → ऊपर के अंक देखें। समान अंश → नीचे के अंक देखें, पर क्रम उलट जाता है।
8 > 5 है इसलिए 1/8 को 1/5 से बड़ा मानना। याद रखें : बड़ा हर यानी छोटे टुकड़े, इसलिए 1/8 < 1/5।
टुकड़ों की कल्पना करें : केक बाँटने वाले ज़्यादा हों तो हर किसी का टुकड़ा छोटा। याद रखने की युक्ति : "नीचे समान → बड़ा ऊपर जीतता है; ऊपर समान → छोटा नीचे जीतता है।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | 3/8 and 5/8 | 3/4 and 3/6 |
|---|---|---|
| क्या समान? | Denominator | Numerator |
| तुलना करें | 3 and 5 | 4 and 6 |
| बड़ी | 5/8 | 3/4 |
अभ्यास के प्रश्न
- 16/11 और 9/11 में कौन-सी बड़ी है?
- 25/6 और 5/9 में कौन-सी छोटी है?
- 3सही चिह्न लगाइए : 7/10 ___ 3/10
- 4बढ़ते क्रम में लगाइए : 5/12, 11/12, 2/12, 7/12।
- 5घटते क्रम में लगाइए : 4/5, 4/9, 4/3, 4/7।
- 6कौन-सा चिह्न : 2/7 ___ 2/5?
- 7रिया ने 3/5 L रस और तारा ने 3/8 L रस पिया। किसने ज़्यादा पिया? कैसे जाना?
- 8अंश 5 वाली ऐसी भिन्न लिखिए जो 5/9 से छोटी पर 5/12 से बड़ी हो।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 19/11
- 25/9
- 3>
- 42/12, 5/12, 7/12, 11/12
- 54/3, 4/5, 4/7, 4/9
- 6< (sevenths are smaller than fifths)
- 7रिया — अंश समान 3, और पाँचवाँ भाग आठवें से बड़ा।
- 85/10 or 5/11
1 से बड़ी भिन्नें : अनुचित और मिश्रित
माँ हर पराठे को 4 बराबर टुकड़ों में काटती हैं। दादाजी 7 टुकड़े खाते हैं। उन्होंने एक पराठे से ज़्यादा खाया : 7/4 = 1 पूरा पराठा और 3 टुकड़े और।
अनुचित भिन्न में अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है (7/4)। मिश्रित संख्या में पूर्ण भाग और भिन्न भाग होता है (1 3/4)। दोनों एक ही मात्रा दिखाते हैं।
सूत्र : n/d : n ÷ d का भागफल और शेष : भागफल शेष/d। w r/d = (w × d + r)/d।
आकृति में : एक पूरी पट्टी (4/4) और 3 चौथाई टुकड़े और : 7/4 = 1 3/4।
नियम 1 : अनुचित → मिश्रित — अंश को हर से भाग दें। भागफल पूर्ण भाग और शेष नया अंश होता है।
1 से बड़ी भिन्नें : अनुचित और मिश्रित
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 9/2 : 9 ÷ 2 = 4, शेष 1, इसलिए 9/2 = 4 1/2।
- मध्यम : 13/5 : 13 ÷ 5 = 2, शेष 3, इसलिए 13/5 = 2 3/5।
- परीक्षा-प्रकार : 20/6 : 20 ÷ 6 = 3, शेष 2, इसलिए 20/6 = 3 2/6 = 3 1/3।
नियम 2 : मिश्रित → अनुचित — पूर्ण भाग को हर से गुणा करें, अंश जोड़ें और हर वही रखें।
- आसान : 2 3/4 = (2 × 4 + 3)/4 = 11/4।
- मध्यम : 5 1/3 = (5 × 3 + 1)/3 = 16/3।
- परीक्षा-प्रकार : 3 2/7 = (3 × 7 + 2)/7 = 23/7।
नियम 3 : संख्या रेखा पर — 0 और 1 के बीच d बराबर भाग बनाइए। 1 के आगे भी उसी आकार के भाग गिनते रहिए : n/d वाँ चिह्न n/d है।
- आसान : 7/3 तिहाई का 7वाँ चिह्न है : यह 2 और 3 के बीच आती है।
- मध्यम : 5/5 पाँचवाँ चिह्न है : यह ठीक 1 है।
- परीक्षा-प्रकार : 11/4 = 2 3/4 यह 2 और 3 के बीच आती है।
दोनों रूपों में हर वही रहता है। 1 पूर्ण = d/d, इसलिए 3 पूर्ण = 3d/d।
7/4 को 3 1/4 लिखना (भागफल और शेष की अदला-बदली)। भागफल 1 पूर्ण भाग है : 7/4 = 1 3/4।
वापस बदलकर जाँचें : 1 3/4 → 1 × 4 + 3 = 7 → 7/4 ✓। याद रखने की युक्ति : "भाग दो तो मिश्रित; गुणा-जोड़ो तो अनुचित।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | Improper fraction | Mixed number |
|---|---|---|
| उदाहरण | 11/4 | 2 3/4 |
| अंश और हर | Numerator ≥ denominator | Whole part + proper fraction |
| मान | 2.75 wholes | 2.75 wholes |
अभ्यास के प्रश्न
- 18/3 को मिश्रित संख्या में लिखिए।
- 23 1/2 को अनुचित भिन्न में लिखिए।
- 31/5 के कितने टुकड़े मिलकर 3 पूर्ण बनते हैं?
- 417/6 को मिश्रित संख्या में लिखिए।
- 54 2/5 को अनुचित भिन्न में लिखिए।
- 619/4 किन दो पूर्ण संख्याओं के बीच है?
- 7एक रिबन के हर एक 1/3 m के टुकड़े किए गए। ऐसे 11 टुकड़े हैं। रिबन कितने मीटर है? मिश्रित संख्या में लिखिए।
- 813/4 और 3 1/2 में कौन-सी बड़ी है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 12 2/3
- 27/2
- 315
- 42 5/6
- 522/5
- 64 and 5 (19/4 = 4 3/4)
- 711/3 = 3 2/3 metres
- 813/4 = 3 1/4 and 3 1/2 is bigger, so 3 1/2.
1 को संदर्भ मानकर भिन्नों की तुलना
आशा स्कूल के रास्ते का 5/6 भाग चल चुकी है और रवि लंबे रास्ते से उस दूरी का 9/8 भाग चल चुका है। एक ने अभी पूरा सफ़र नहीं किया, दूसरा उससे आगे निकल गया। 1 से तुलना करने पर जल्दी पता चलता है।
हर भिन्न की 1 से तुलना करें। अंश < हर हो तो भिन्न 1 से छोटी; बराबर हो तो 1; अंश बड़ा हो तो 1 से बड़ी। 1 से बड़ी कोई भी संख्या 1 से छोटी किसी भी संख्या से बड़ी होती है।
सूत्र : अं < ह → 1 से छोटी; अं = ह → 1; अं > ह → 1 से बड़ी।
आकृति में : संख्या रेखा पर 5/6, 1 से पहले और 9/8, 1 के बाद आती है, इसलिए 5/6 < 1 < 9/8।
नियम 1 : 1 को पड़ाव मानें — तय करें कि कौन-सी भिन्नें 1 से छोटी और कौन-सी बड़ी हैं। "1 से बड़ी" वाला समूह बड़ा होता है।
1 को संदर्भ मानकर भिन्नों की तुलना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 7/8 < 1 और 9/8 > 1, इसलिए 9/8 > 7/8।
- मध्यम : 5/3, 4/5 से बड़ी है (5/3, 1 से बड़ी; 4/5, 1 से छोटी)।
- परीक्षा-प्रकार : 2/3, 6/5, 3/4 में सबसे बड़ी : केवल 6/5, 1 से बड़ी है।
नियम 2 : मिश्रित संख्याएँ : पहले पूर्ण भाग — पहले पूर्ण भागों की तुलना करें। यदि वे बराबर हों तो भिन्न भागों की तुलना करें।
- आसान : 3 1/2 > 2 5/6 क्योंकि 3 > 2।
- मध्यम : 4 2/5 > 4 1/5 : पूर्ण भाग बराबर और 2/5 > 1/5।
- परीक्षा-प्रकार : 1 3/4 और 7/4 : 7/4 = 1 3/4, इसलिए ये बराबर हैं।
1 वह रेखा है जो "अभी पूरा नहीं" (1 से छोटी) और "पूरा या ज़्यादा" को अलग करती है।
बड़ा अंश हमेशा बड़ी भिन्न होती है, ऐसा मानना। 9/10 का अंश बड़ा है फिर भी वह 1 से छोटी है, जबकि 5/4, 1 से बड़ी है।
यदि एक भिन्न 1 से नीचे और दूसरी 1 से ऊपर हो तो उत्तर तैयार — हिसाब की ज़रूरत नहीं। याद रखने की युक्ति : "रेखा के नीचे, रेखा के ऊपर — ऊपर वाली जीतती है।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | 5/6 | 9/8 |
|---|---|---|
| अंश और हर | 5 < 6 | 9 > 8 |
| 1 से तुलना | Less than 1 | More than 1 |
| बड़ी | — | 9/8 |
अभ्यास के प्रश्न
- 16/7, 1 से छोटी, 1 के बराबर या 1 से बड़ी है?
- 24/5 और 5/4 में कौन-सी बड़ी है?
- 31 को हर 9 वाली भिन्न के रूप में लिखिए।
- 4सबसे बड़ी कौन-सी है : 3/4, 7/6, 5/8, 1/2?
- 52 3/5 और 2 4/5 में कौन-सी बड़ी है?
- 65/3 और 1 2/3 की तुलना कीजिए।
- 7बढ़ते क्रम में लगाइए : 5/4, 2/3, 1, 7/8।
- 8मोना 7/5 km और रोहन 9/10 km दौड़ा। कौन ज़्यादा दौड़ा? मोना 1 km से कितना ज़्यादा दौड़ी?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1Less than 1
- 25/4
- 39/9
- 47/6
- 52 4/5
- 65/3 = 1 2/3, so they are equal.
- 72/3, 7/8, 1, 5/4
- 8मोना (1 km से ज़्यादा); 7/5 = 1 2/5, यानी 1 km से 2/5 km ज़्यादा।