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CBSE · कक्षा 5 · गणित मेला

अध्याय 1: हम यात्री — I (बड़ी संख्याएँ)

5 अवधारणाएँ · उत्तर सहित 40 अभ्यास प्रश्न · पढ़ना मुफ़्त

यह पाठ इन भाषाओं में भी: मराठी · English

बड़ी संख्याएँ पढ़ना और लिखना

रोज़मर्रा के जीवन से

बस-अड्डे के बोर्ड पर लिखा है कि इस महीने 63,497 यात्रियों ने स्टेशन का उपयोग किया। इतनी बड़ी संख्या कैसे पढ़ें? इसके लिए हम स्थानीय मान तालिका का उपयोग करते हैं : इकाई, दहाई, सैकड़ा, हज़ार और दस हज़ार।

सरल परिभाषा

हर स्थान अपने दाईं ओर के स्थान का 10 गुना होता है : 10 इकाई = 1 दहाई, 10 दहाई = 1 सैकड़ा, 10 सैकड़े = 1 हज़ार और 10 हज़ार = 1 दस हज़ार (10,000)। 5 अंकों की संख्या में TTh, Th, H, T, O स्थान होते हैं (TTh = दस हज़ार)।

सूत्र : संख्या-नाम = (TTh Th भाग) हज़ार + (H अंक) सैकड़ा + (अंतिम दो अंक)।

TTh6×10Th3×10H4×10T9×10O763,497

आकृति में : हर खाना अपने दाईं ओर के खाने का 10 गुना है। 63,497 में TTh पर 6, Th पर 3, H पर 4, T पर 9 और O पर 7 है।

नियम 1 : बाईं ओर से पढ़ें — अल्पविराम से पहले का भाग पढ़ें और "हज़ार" बोलें; फिर अंतिम तीन अंक पढ़ें।

Live आकृति

बड़ी संख्याएँ पढ़ना और लिखना

ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।

ऐप में खोलें
  • आसान : 6,308 = छह हज़ार तीन सौ आठ।
  • मध्यम : 37,040 = सैंतीस हज़ार चालीस।
  • परीक्षा-प्रकार : 80,106 = अस्सी हज़ार एक सौ छह।

नियम 2 : नाम से अंक लिखें — सुने हुए हर भाग के अंक लिखें और जिस स्थान का नाम नहीं आया, वहाँ 0 लिखें।

  • आसान : पंद्रह हज़ार सात = 15,007 (सैकड़े, दहाई पर 0)।
  • मध्यम : तीस हज़ार छह सौ = 30,600।
  • परीक्षा-प्रकार : साठ हज़ार साठ = 60,060 (6,060 नहीं और 60,600 नहीं)।
याद रखें

अल्पविराम केवल पढ़ने में आसानी के लिए है : इसे हज़ार के बाद लिखें (63,497)। यह अंक नहीं है।

सामान्य गलती

"दस हज़ार पाँच" को 1,005 या 10,050 लिखना। स्थान गिनें : 10,005 में पाँच अंक हैं — 1, 0, 0, 0, 5।

शॉर्टकट

सबसे बड़ा भाग (हज़ार) पहले बोलें और 0 वाला स्थान कभी न छोड़ें। याद रखने की युक्ति : दाईं ओर से बोलें "O‑T‑H‑Th‑TTh" — बाईं ओर हर कदम पर मान 10 गुना हो जाता है।

अंतर पहचानें

बिंदु10,00510,050
संख्या-नामदस हज़ार पाँचदस हज़ार पचास
दहाई का अंक05
इकाई का अंक50

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 15,914 को शब्दों में लिखिए।
  2. 263,497 में दस हज़ार के स्थान पर कौन-सा अंक है?
  3. 3"इकतालीस हज़ार पाँच सौ बीस" को अंकों में लिखिए।
मध्यम
  1. 427,356 में अंक 7 का मान क्या है?
  2. 570,008 का संख्या-नाम लिखिए।
  3. 6"अड़तीस हज़ार दो सौ चौंसठ" को अंकों में लिखिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 7एक संख्या में TTh पर 8, Th पर 0, H पर 5, T पर 0 और O पर 2 है। इसे अंकों और शब्दों में लिखिए।
  2. 8सबसे बड़ी 4 अंकों की संख्या से 1 अधिक संख्या लिखिए और उसका नाम बताइए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 1पाँच हज़ार नौ सौ चौदह
  2. 26
  3. 341,520
  4. 47,000 (7 हज़ार के स्थान पर है)
  5. 5सत्तर हज़ार आठ
  6. 638,264
  7. 780,502 = अस्सी हज़ार पाँच सौ दो
  8. 89,999 + 1 = 10,000 = दस हज़ार

विस्तारित रूप और पुनः समूहन

रोज़मर्रा के जीवन से

एक खजांची को ₹5,280 दिए जाते हैं। वह सोचती है : 5 हज़ार, 2 सौ और 8 दहाई। संख्या को इस तरह स्थानीय मान के अनुसार तोड़ने से नोट गिनना आसान हो जाता है।

सरल परिभाषा

विस्तारित रूप यानी संख्या को उसके अंकों के मानों के योग के रूप में लिखना। संख्या का पुनः समूहन भी हो सकता है : 1 सैकड़ा = 10 दहाई और 1 हज़ार = 10 सैकड़े = 100 दहाई।

सूत्र : n = (Th अंक × 1,000) + (H अंक × 100) + (T अंक × 10) + (O अंक)।

60,000+3,000+400+90+763,497

आकृति में : 63,497 = 60,000 + 3,000 + 400 + 90 + 7 : हर अंक अपने स्थानीय मान के साथ लिखा गया है।

नियम 1 : विस्तारित रूप लिखें — हर गैर-शून्य अंक को उसके स्थानीय मान के साथ लिखें और भागों को + से जोड़ें। शून्य छोड़ दें।

Live आकृति

विस्तारित रूप और पुनः समूहन

ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।

ऐप में खोलें
  • आसान : 3,092 = 3,000 + 90 + 2।
  • मध्यम : 51,008 = 50,000 + 1,000 + 8।
  • परीक्षा-प्रकार : 20,603 = 20,000 + 600 + 3 (हज़ार नहीं, दहाई नहीं)।

नियम 2 : दहाई और सैकड़ों में पुनः समूहन करें — दहाई में गिनना हो तो 10 से भाग दें; सैकड़ों में गिनना हो तो 100 से भाग दें। जो बचे वह इकाई (या दहाई) के रूप में रहता है।

  • आसान : ₹3,400 के ₹100 के नोट : 3,400 ÷ 100 = 34 नोट।
  • मध्यम : 783 = 70 दहाई + 83 इकाई (70 दहाई = 700)।
  • परीक्षा-प्रकार : 5,926 = 3 हज़ार + 29 सैकड़े + 2 दहाई + 6 इकाई (3,000 + 2,900 + 20 + 6)।
याद रखें

विस्तारित रूप में शून्य वाले अंक छोड़ दिए जाते हैं : 3,092 में सैकड़े का भाग नहीं है।

सामान्य गलती

9,053 को 9,000 + 500 + 3 लिखना। अंक 5 दहाई के स्थान पर है, इसलिए यह 50 है।

शॉर्टकट

₹10 के नोट : अंतिम अंक हटाएँ। ₹100 के नोट : अंतिम दो अंक हटाएँ। याद रखने की युक्ति : "दहाई के लिए एक शून्य कम, सैकड़ों के लिए दो शून्य कम" — दाईं ओर से अंक काटें।

अंतर पहचानें

बिंदुविस्तारित रूपपुनः समूहन
उदाहरण9,053 = 9,000 + 50 + 39,053 = 905 tens + 3 ones
आधारहर अंक का स्थानीय मानबड़ी इकाई (दहाई, सैकड़ा)
क्रियाभाग जोड़ें10 या 100 से भाग दें

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 17,408 का विस्तारित रूप लिखिए।
  2. 2₹830 में ₹10 के कितने नोट होते हैं?
  3. 374 = ___ दहाई + 4 इकाई। रिक्त स्थान भरिए।
मध्यम
  1. 460,309 का विस्तारित रूप लिखिए।
  2. 5592 = 50 दहाई + ___ इकाई। रिक्त स्थान भरिए।
  3. 6₹8,600 में ₹100 के कितने नोट होते हैं?
चुनौतीपूर्ण
  1. 77,342 = 5 हज़ार + ___ सैकड़े + 4 दहाई + 2 इकाई। लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए।
  2. 8कौन-सा अधिक है : 28 सैकड़े या 285 दहाई?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 17,000 + 400 + 8
  2. 283
  3. 37
  4. 460,000 + 300 + 9
  5. 592 (50 दहाई = 500 और 592 − 500 = 92)
  6. 686
  7. 723 (7,342 − 5,000 − 42 = 2,300 = 23 सैकड़े)
  8. 8285 दहाई = 2,850, 28 सैकड़े = 2,800 से अधिक है

संख्याओं की तुलना और क्रम

रोज़मर्रा के जीवन से

मीना के स्कूल की बस 48,350 km चली है और रवि की बस 9,980 किमी। कौन-सी बस ज़्यादा चली? हम दोनों संख्याओं की अंक-दर-अंक तुलना करते हैं।

सरल परिभाषा

चरण 1 : अंक गिनें — जिस संख्या में अधिक अंक हों वह बड़ी है। चरण 2 : अंक बराबर हों तो बाईं ओर से तुलना करें; पहला अलग अंक तय करता है। बढ़ता क्रम = छोटी से बड़ी, घटता क्रम = बड़ी से छोटी। चिह्न : >, <, =।

TTh4Th89H39T58O00AB▲ 4 > 0

आकृति में : 48,350 में 5 अंक हैं और 9,980 में 4 अंक (TTh का खाना खाली), इसलिए 48,350 बड़ी है : 4 दस हज़ार बनाम एक भी नहीं।

नियम 1 : पहले अंक गिनें, फिर बाईं ओर से तुलना करें — अंकों की संख्या अलग : अधिक अंकों वाली संख्या जीतती है। अंकों की संख्या समान : बाईं ओर का पहला अलग अंक तय करता है।

Live आकृति

संख्याओं की तुलना और क्रम

ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।

ऐप में खोलें
  • आसान : 9,980 < 48,350 क्योंकि 4 अंक, 5 अंकों से कम हैं।
  • मध्यम : 31,246 < 31,264 : पहला अंतर दहाई के स्थान पर है (4 < 6)।
  • परीक्षा-प्रकार : 64,712 < 65,102 : दस हज़ार समान (6 = 6); हज़ार तय करते हैं (4 < 5)।

नियम 2 : बढ़ता, घटता क्रम और अंकों की अदला-बदली — हर बार सबसे छोटी (या बड़ी) संख्या ढूँढ़कर आगे लिखें। अदला-बदली में सबसे बड़ा अंक सबसे ऊँचे स्थान पर लाएँ।

  • आसान : बढ़ता क्रम : 570, 5,070, 50,700 (3, 4 और 5 अंक)।
  • मध्यम : घटता क्रम : 62,150, 62,051, 26,510, 26,105।
  • परीक्षा-प्रकार : 37,926 के दो अंक बदलकर सबसे बड़ी : 3 और 9 बदलें → 97,326।
याद रखें

अधिक अंकों वाली संख्या हमेशा बड़ी होती है (यदि शुरू में 0 न हो)।

सामान्य गलती

9, 4 से बड़ा है इसलिए 9,980 को 48,350 से बड़ा कहना। पहले अंक गिनें!

शॉर्टकट

दोनों संख्याएँ स्थानीय मान तालिका में लिखें; बाईं ओर से जिस पहले स्तंभ में अंक अलग हों, वही तय करता है। याद रखने की युक्ति : "लंबी जीतती है, फिर बाईं ओर का अंतर जीतता है" — लंबाई और बाएँ से।

अंतर पहचानें

बिंदुबढ़ता क्रमघटता क्रम
दिशाछोटी → बड़ीबड़ी → छोटी
शुरुआतसबसे छोटी संख्यासबसे बड़ी संख्या
संख्याएँ 3, 5, 93, 5, 99, 5, 3

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1कौन-सी बड़ी है : 7,520 या 39,410?
  2. 2>, < या = लगाइए : 70,926 ___ 70,962।
  3. 3बढ़ते क्रम में लिखिए : 8,030; 830; 80,300।
मध्यम
  1. 4सबसे बड़ी कौन-सी है : 51,832; 51,382; 58,132; 58,312?
  2. 5घटते क्रम में लिखिए : 91,206; 19,602; 92,106; 29,610।
  3. 631,420 और 32,075 के बीच की कोई 3 संख्याएँ लिखिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 725,874 के दो अंकों की अदला-बदली करके सबसे बड़ी संख्या बनाइए।
  2. 838,200 और 46,900 के बीच कितनी संख्याओं के इकाई, दहाई और सैकड़े पर 0 है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 139,410 (इसमें अधिक अंक हैं)
  2. 270,926 < 70,962 (2 दहाई < 6 दहाई)
  3. 3830, 8,030, 80,300
  4. 458,312
  5. 592,106, 91,206, 29,610, 19,602
  6. 6जैसे 31,500; 32,000; 32,050
  7. 785,274 (2 और 8 बदलें)
  8. 88 (39,000, 40,000, … , 46,000)

निकटतम दहाई, सैकड़ा और हज़ार

रोज़मर्रा के जीवन से

एक दुकानदार कहता है कि गोदाम में "लगभग 3,300 आम" हैं, जबकि ठीक गिनती 3,284 है। इस तरह पास की सुविधाजनक संख्या लेना ही पूर्णांकन (राउंडिंग) कहलाता है।

सरल परिभाषा

निकटतम दहाई, सैकड़ा या हज़ार में बदलने के लिए उस स्थान के दाईं ओर का अंक देखें। 0 से 4 : स्थान का अंक वही रखें और बाकी अंक 0 कर दें (नीचे)। 5 से 9 : स्थान के अंक में 1 जोड़ें और बाकी अंक 0 कर दें (ऊपर)।

सूत्र : निकटतम दहाई : इकाई का अंक देखें। निकटतम सैकड़ा : दहाई का अंक देखें। निकटतम हज़ार : सैकड़े का अंक देखें।

4,6204,6254,6304,6282

आकृति में : 4,628 संख्या 4,620 और 4,630 के बीच है। यह 4,630 के पास है, केवल 2 छलाँग दूर, इसलिए निकटतम दहाई 4,630 है।

नियम 1 : दो पड़ोसी संख्याएँ ढूँढ़ें — संख्या दो गोल संख्याओं के बीच होती है। जो पास हो वही उत्तर है; ठीक बीच वाली संख्या ऊपर जाती है।

Live आकृति

निकटतम दहाई, सैकड़ा और हज़ार

ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।

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  • आसान : 4,628 : पड़ोसी 4,620 और 4,630 → निकटतम दहाई 4,630 (2 छलाँग)।
  • मध्यम : 6,953 : पड़ोसी 6,950 और 6,960 → निकटतम दहाई 6,950 (3 छलाँग)।
  • परीक्षा-प्रकार : 7,405 ठीक 7,400 और 7,410 के बीच में है, इसलिए यह ऊपर 7,410 बनती है।

नियम 2 : सैकड़े और हज़ार में पूर्णांकन करें — एक अंक से निर्णय लें : सैकड़े के लिए दहाई का अंक, हज़ार के लिए सैकड़े का अंक। फिर दाईं ओर के अंक 0 कर दें।

  • आसान : 6,953 निकटतम सैकड़े में : दहाई का अंक 5 है, इसलिए ऊपर → 7,000।
  • मध्यम : 3,284 : निकटतम सैकड़ा 3,300 (दहाई का अंक 8); निकटतम हज़ार 3,000 (सैकड़े का अंक 2)।
  • परीक्षा-प्रकार : जिस संख्या का निकटतम सैकड़ा 5,000 और निकटतम हज़ार 5,000 : जैसे 4,980 या 5,030 (4,950 से 5,049 के बीच कोई भी)।
याद रखें

केवल एक अंक तय करता है : जिस स्थान पर पूर्णांकन करना है उसके ठीक दाईं ओर का अंक।

सामान्य गलती

3,284 का निकटतम सैकड़ा 3,200 बनाना क्योंकि सैकड़े का अंक 2 है। दहाई का अंक 8 देखें : 8, 5 या उससे अधिक है, इसलिए उत्तर 3,300।

शॉर्टकट

5 या अधिक : ऊपर। 4 या कम : नीचे। याद रखने की युक्ति : "पाँच या ज़्यादा, ऊपर चलो; चार या कम, नीचे रहो।"

अंतर पहचानें

बिंदुनिकटतम दहाईनिकटतम सैकड़ानिकटतम हज़ार
देखने का अंकइकाईदहाईसैकड़ा
3,284 बनता है3,2803,3003,000
3,284 में जाँचा गया अंक482

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 15,172 को निकटतम दहाई में पूर्णांकित कीजिए।
  2. 24,380 को निकटतम सैकड़े में पूर्णांकित कीजिए।
  3. 36,240 को निकटतम हज़ार में पूर्णांकित कीजिए।
मध्यम
  1. 48,962 को निकटतम सैकड़े में पूर्णांकित कीजिए।
  2. 5खरगोश 7,396 पर है। निकटतम दहाई तक कितनी छलाँगें?
  3. 62,508 को निकटतम सैकड़े और निकटतम हज़ार में पूर्णांकित कीजिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 7ऐसी दो संख्याएँ लिखिए जिनका निकटतम सैकड़ा और निकटतम हज़ार दोनों 8,000 हों।
  2. 8प्रिया 6,497 को निकटतम सैकड़े में और अरुण निकटतम हज़ार में पूर्णांकित करता है। किसका उत्तर बड़ा है और कितना?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 15,170
  2. 24,400
  3. 36,000
  4. 49,000 (दहाई का अंक 6 → ऊपर)
  5. 54 छलाँगें (7,400 तक)
  6. 62,500 और 3,000 (सैकड़े का अंक 5 है, इसलिए ऊपर)
  7. 7जैसे 7,980 और 8,020 (7,950 से 8,049 के बीच कोई भी)
  8. 8प्रिया : 6,500; अरुण : 6,000। प्रिया का उत्तर 500 अधिक है।

यात्रा और बड़ी संख्याओं के प्रश्न

रोज़मर्रा के जीवन से

एक स्कूल यात्रा में 600 बच्चों के लिए वाहन चाहिए। एक बस में 50 बच्चे बैठते हैं और वह हर घंटे 40 km चलती है। कितनी बसें चाहिए और 3 घंटे में वे कितनी दूर जाएँगी? हर यात्रा में बड़ी संख्याएँ आती हैं।

सरल परिभाषा

दूरी = चाल × समय। समय = दूरी ÷ चाल। वाहनों की संख्या निकालने के लिए लोगों को सीटों की संख्या से भाग दें; कुछ लोग बच जाएँ तो एक वाहन और चाहिए। 1 km = 1,000 मी।

सूत्र : दूरी = चाल × समय ; वाहन = लोग ÷ सीटें (ऊपर पूर्णांकन)।

018 km1818 km3618 km5418 km7218 × 4 = 72 km

आकृति में : हर घंटे 18 km चलने वाला साइकिल सवार 18, 36, 54 और 72 km पहुँचता है : 4 घंटे × 18 km = 72 किमी।

नियम 1 : दूरी = चाल × समय का प्रयोग करें — एक घंटे की दूरी को घंटों से गुणा करें। समय निकालना हो तो भाग दें।

  • आसान : एक रेलगाड़ी 1 घंटे में 80 km चलती है : 5 घंटे में 80 × 5 = 400 किमी।
  • मध्यम : 60 km प्रति घंटा की चाल से 360 km जाने में 360 ÷ 60 = 6 घंटे लगते हैं।
  • परीक्षा-प्रकार : हवाई जहाज़ प्रति घंटा 800 km उड़ता है : 3 घंटे में 800 × 3 = 2,400 किमी।

नियम 2 : वाहनों की संख्या निकालें — सभी लोगों को जोड़ें, एक वाहन की सीटों से भाग दें और कुछ बचे तो एक वाहन और लें।

  • आसान : 120 लोग, कार में 4 : 120 ÷ 4 = 30 कारें।
  • मध्यम : 145 लोग, नाव में 20 : 145 ÷ 20 = 7, शेष 5, इसलिए 8 नावें।
  • परीक्षा-प्रकार : 260 लड़कियाँ और 190 लड़के, मिनीबस में 25 : 450 ÷ 25 = 18 मिनीबस, ठीक।
याद रखें

हमेशा इकाई जाँचें : km प्रति घंटा की चाल से दूरी km में मिलती है। 1 km = 1,000 मी।

सामान्य गलती

बचे हुए लोगों को भूल जाना : 145 ÷ 20 = 7, शेष 5 का अर्थ 7 नावें नहीं है। उन 5 लोगों को भी नाव चाहिए, इसलिए 8।

शॉर्टकट

चाल, समय और दूरी : त्रिभुज D = S × T में जो चाहिए उसे ढक दें और बाकी दो पढ़ें। याद रखने की युक्ति : "कुछ बचा? एक और!" — शेष बचे तो एक वाहन अधिक।

अंतर पहचानें

प्रश्नदूरीवाहनों की संख्या
क्रियाचाल × समय गुणा करेंलोग ÷ सीटें भाग दें
शेषनहीं होताएक वाहन और लें
उदाहरण40 × 3 = 120 km600 ÷ 50 = 12 buses

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1एक बस 1 घंटे में 40 km चलती है। 3 घंटे में कितनी दूर?
  2. 27 km में कितने मीटर होते हैं?
  3. 3एक जहाज़ 1 घंटे में 36 km चलता है। 5 घंटे में कितनी दूर?
मध्यम
  1. 4एक मोटरसाइकिल सवार हर घंटे 50 km चलता है। 300 km चलने में कितना समय लगेगा?
  2. 5180 लोग यात्रा पर जा रहे हैं। एक टेम्पो ट्रैवलर में 10 लोग बैठते हैं। कितने चाहिए?
  3. 6एक पुस्तक में लगभग 120 पृष्ठ हैं और हर पृष्ठ पर लगभग 80 शब्द हैं। कुल लगभग कितने शब्द?
चुनौतीपूर्ण
  1. 7एक विद्यालय के 238 लड़कियाँ और 192 लड़के यात्रा पर जा रहे हैं। मिनीबस में 25 लोग बैठते हैं। कितनी मिनीबस चाहिए?
  2. 8एक अंतरिक्ष यान हर घंटे कम से कम 28,000 km चलता है। 3 घंटे में कम से कम दूरी कितनी? क्या यह 5 अंकों की संख्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 1120 km
  2. 27,000 m
  3. 3180 km
  4. 4300 ÷ 50 = 6 घंटे
  5. 5180 ÷ 10 = 18
  6. 6120 × 80 = 9,600 शब्द
  7. 7238 + 192 = 430; 430 ÷ 25 = 17, शेष 5, इसलिए 18 मिनीबस
  8. 828,000 × 3 = 84,000 km; हाँ, इसमें 5 अंक हैं