धडा ७: तरंग प्रकाशिकी | राज्य मंडळ · इयत्ता 12 · भौतिकशास्त्र

प्रकाशाचे स्वरूप, तरंगाग्र व हायगेन्सचे तत्त्व

रोजच्या जीवनातून

शांत तळ्यात दगड टाकला की गोल वलये पसरतात; प्रकाशाचा प्रसारही असाच तरंगाग्रांच्या रूपात होतो.

सोपी व्याख्या

तरंगाग्र (wavefront) म्हणजे सारख्या कलेतील बिंदूंचा पृष्ठभाग; हायगेन्सचे तत्त्व पुढचे तरंगाग्र कसे तयार होते हे सांगते.

आकृतीत : डावे तरंगाग्र → दुय्यम तरंगिका → उजवे नवे तरंगाग्र (अंतर c t).

नियम 1 : तरंगाग्र — एकाच कलेत असलेल्या बिंदूंचा पृष्ठभाग. प्रकार : गोलाकार (बिंदू-स्रोत), दंडगोलाकार (रेषीय स्रोत), प्रतल (दूरचा स्रोत). किरण तरंगाग्राला लंब.

सोपे : सूर्याचा प्रकाश पृथ्वीवर जवळजवळ प्रतल तरंगाग्र.
मध्यम : दिव्याभोवती गोलाकार तरंगाग्रे.
परीक्षेसाठी (CET) : प्रतल तरंगाग्राची किरणे? (1) समांतर (2) अपसारी (3) अभिसारी (4) वर्तुळाकार → उत्तर 1)

नियम 2 : हायगेन्सचे तत्त्व — तरंगाग्रावरील प्रत्येक बिंदू नवा दुय्यम स्रोत; त्यांच्या तरंगिकांचे स्पर्शी आवरण (envelope) t वेळानंतर नवे तरंगाग्र. अंतर = v t.

सोपे : v = 3 × 10⁸ m/s, t = 2 ns ⇒ तरंगाग्र 0.6 m पुढे.
मध्यम : तरंगिका फक्त पुढच्या दिशेने (back-wave नाही).
परीक्षेसाठी (CET) : नवे तरंगाग्र? (1) स्पर्शी आवरण (2) सर्व तरंगिकांचे केंद्र (3) अर्धे (4) नाही → उत्तर 1)

नियम 3 : माध्यमातील प्रकाश — n = c ÷ v; माध्यमात f तोच, λ' = λ ÷ n, v = c ÷ n. प्रकाश क्षेत्रीय (EM) तरंग, अनुप्रस्थ.

सोपे : n = 1.5 : v = 3 × 10⁸ ÷ 1.5 = 2 × 10⁸ m/s.
मध्यम : हवेत 600 nm प्रकाश काचेत : λ' = 600 ÷ 1.5 = 400 nm.
परीक्षेसाठी (CET) : पाणी (n = 4/3) : v = ? (1) 2.25 × 10⁸ (2) 4 × 10⁸ (3) 3 × 10⁸ (4) 1.5 × 10⁸ → उत्तर 1). युक्ती : 3 ÷ (4/3) = 9/4.

सूत्राची उपपत्ती : λ' = λ ÷ n

पायरी 1 : माध्यम बदलले तरी स्रोताची कंप्रता f तीच.
पायरी 2 : हवेत c = f λ; माध्यमात v = f λ'.
पायरी 3 : भागले : λ' ÷ λ = v ÷ c = 1 ÷ n.
पायरी 4 : λ' = λ ÷ n.

लक्षात ठेवा

n = c/v; λ' = λ/n; f तोच; तरंगाग्र = स्पर्शी आवरण.

सामान्य चूक / CET सापळा

माध्यमात f नव्हे, λ आणि v बदलतात. किरण तरंगाग्राला लंब असतात, समांतर नव्हे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "माध्यमात λ लहान" (λ' = λ/n).

फरक ओळखा

राशी	हवा	माध्यम (n)
वेग	c	c ÷ n
तरंगलांबी	λ	λ ÷ n
कंप्रता	f	f (तीच)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1प्रतल तरंगाग्र कधी?
2n = c ÷ v चा अर्थ?
3माध्यमात f बदलतो का?

मध्यम

4n = 2 : v?
5λ = 500 nm, n = 1.25 : λ'?
6t = 5 ns, v = 2 × 10⁸ : अंतर?

आव्हानात्मक

7हायगेन्सचे तत्त्व सांगा.
8f = 5 × 10¹⁴ Hz, n = 1.5 : λ' (c = 3 × 10⁸)?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1स्रोत खूप दूर असताना
2प्रकाशाचा वेग हवेत ÷ माध्यमात
3नाही
4v = 1.5 × 10⁸ m/s
5λ' = 400 nm
6d = 1 m
7प्रत्येक बिंदू दुय्यम स्रोत; स्पर्शी आवरण = नवे तरंगाग्र
8λ = 600 nm ⇒ λ' = 400 nm

हायगेन्सच्या तत्त्वानुसार परावर्तन व अपवर्तन

रोजच्या जीवनातून

पाण्यात ठेवलेली काठी वाकलेली दिसते; प्रकाश माध्यमाच्या सीमेवर दिशा बदलतो.

सोपी व्याख्या

हायगेन्सच्या तत्त्वाने परावर्तन (reflection) आणि अपवर्तन (refraction) चे नियम सिद्ध होतात.

आकृतीत : i आपाती कोन, r अपवर्तन कोन; दुसऱ्या माध्यमात किरण अभिलंबाकडे.

नियम 1 : परावर्तनाचा नियम — हायगेन्सने सिद्ध : i = r, आपाती किरण, परावर्तित किरण आणि अभिलंब एकाच प्रतलात. परावर्तनात v, λ, f तेच.

सोपे : i = 35° ⇒ r = 35°; किरणांमधील कोन 70°.
मध्यम : आरशाला लंब आपाती किरण : परत त्याच मार्गाने.
परीक्षेसाठी (CET) : आपाती कोन 0° असेल तर r = ? (1) 0° (2) 90° (3) 45° (4) 180° → उत्तर 1)

नियम 2 : स्नेलचा नियम — sin i ÷ sin r = n₂ ÷ n₁ = v₁ ÷ v₂ = λ₁ ÷ λ₂. विरल → घन : किरण अभिलंबाकडे; घन → विरल : अभिलंबापासून दूर.

सोपे : हवा → काच (1.5), i = 30° : sin r = 0.5 ÷ 1.5 ⇒ r = 19.47°.
मध्यम : i = 45°, r = 30° : n = sin 45° ÷ sin 30° = 1.414; v = 2.12 × 10⁸ m/s.
परीक्षेसाठी (CET) : i = 60°, n = √3 : sin r = (√3/2) ÷ √3 = 1/2 ⇒ r = 30°. (1) 30° (2) 45° (3) 60° (4) 15° → उत्तर 1)

नियम 3 : अपवर्तनात बदलणाऱ्या राशी — अपवर्तनात f तोच; v आणि λ n ने भागले जातात. तरंगाग्राचा एक भाग लवकर पोहोचतो म्हणून ते वळते (दिशा बदलते).

सोपे : हवा → काच : v कमी, λ कमी, f तोच.
मध्यम : काच → हवा : v जास्त, λ जास्त.
परीक्षेसाठी (CET) : अपवर्तनात कोणता बदलत नाही? (1) v (2) λ (3) f (4) दिशा → उत्तर 3)

सूत्राची उपपत्ती : स्नेलचा नियम (हायगेन्स)

पायरी 1 : समतल तरंगाग्र AB आपाती कोन i ने पृष्ठावर; A आधी पोहोचतो.
पायरी 2 : B ला पृष्ठ गाठायला t वेळ : BC = v₁ t. त्याच t मध्ये A पासून माध्यम-2 मध्ये तरंगिका AD = v₂ t.
पायरी 3 : त्रिकोण ABC : sin i = BC ÷ AC; त्रिकोण ADC : sin r = AD ÷ AC.
पायरी 4 : भागले : sin i ÷ sin r = v₁ ÷ v₂ = n₂ ÷ n₁.

लक्षात ठेवा

i = r; sin i/sin r = n₂/n₁ = v₁/v₂ = λ₁/λ₂; f तोच.

सामान्य चूक / CET सापळा

कोन अभिलंबाशी मोजा, पृष्ठाशी नाही. n₂/n₁ चे गुणोत्तर उलटू नका.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "घन = वेग कमी, λ कमी, किरण अभिलंबाकडे".

फरक ओळखा

बदल	परावर्तन	अपवर्तन
f	तोच	तोच
v, λ	तेच	बदलतात
दिशा	i = r	स्नेल

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1परावर्तनाचा नियम?
2स्नेलचा नियम?
3अपवर्तनात f?

मध्यम

4i = 60°, r = 30° : n?
5n₁ = 1, n₂ = 2, i = 30° : r?
6n = 1.5 : v₁ ÷ v₂ (हवा → काच)?

आव्हानात्मक

7काचेत λ = 400 nm, n = 1.5 : हवेत λ?
8किरण अभिलंबाकडे वाकतो : माध्यम कसे?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1i = r
2sin i ÷ sin r = n₂ ÷ n₁
3तोच
4n = 0.866 ÷ 0.5 = 1.73
5sin r = 0.25 ⇒ r = 14.5°
61.5
7λ = 600 nm
8घन माध्यम

ध्रुवीकरण व मॅलसचा नियम

रोजच्या जीवनातून

पोलरॉइड गॉगल्समुळे रस्त्यावरील चकाकी कमी दिसते.

सोपी व्याख्या

ध्रुवीकरण (polarisation) म्हणजे प्रकाशाची कंपने एकाच दिशेत मर्यादित करणे.

आकृतीत : अध्रुवित प्रकाश ध्रुवकातून निम्मा होतो; विश्लेषक त्याला cos²θ ने कमी करतो.

नियम 1 : ध्रुवीकरण — प्रकाश अनुप्रस्थ तरंग असल्याचा पुरावा. ध्रुवक (polariser) फक्त एका दिशेतील कंपने जाऊ देतो. अध्रुवित प्रकाशाची तीव्रता ध्रुवकातून निम्मी : I₀ ÷ 2.

सोपे : I₀ = 80 W/m² ⇒ ध्रुवकानंतर 40 W/m².
मध्यम : ध्वनी तरंग ध्रुवित होत नाही (अनुदैर्ध्य).
परीक्षेसाठी (CET) : अध्रुवित प्रकाश ध्रुवकातून : तीव्रता? (1) I₀/2 (2) I₀ (3) I₀/4 (4) 0 → उत्तर 1)

नियम 2 : मॅलसचा नियम — ध्रुवित प्रकाश (I₀) विश्लेषकातून, अक्षांमधील कोन θ : I = I₀ cos² θ. θ = 0° ⇒ I₀; 90° ⇒ 0; 45° ⇒ I₀ ÷ 2.

सोपे : I₀ = 40, θ = 60° ⇒ I = 40 × ¼ = 10.
मध्यम : θ = 30° ⇒ I = ¾ I₀.
परीक्षेसाठी (CET) : θ = 45° : I ÷ I₀ = ? (1) 1/2 (2) 1/4 (3) 1/√2 (4) 1 → उत्तर 1). युक्ती : cos²45° = ½.

नियम 3 : दोन किंवा तीन ध्रुवक — अध्रुवित I₀ → P₁ (I₀/2) → P₂ (θ) ⇒ (I₀/2) cos²θ. दोन आडवे (90°) ध्रुवक प्रकाश अडवतात; मध्ये तिसरा 45° वर ठेवला की I₀/8.

सोपे : I₀ = 80, θ = 60° ⇒ (80/2) × ¼ = 10.
मध्यम : आडवे ध्रुवक + मध्ये 45° : I₀/2 × ½ × ½ = I₀/8.
परीक्षेसाठी (CET) : आडव्या दोन ध्रुवकांतून? (1) 0 (2) I₀/2 (3) I₀/4 (4) I₀ → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : मॅलसचा नियम

पायरी 1 : ध्रुवक अक्षाशी θ कोनात E₀ दिशा; विश्लेषकातून फक्त घटक E₀ cos θ जातो.
पायरी 2 : तीव्रता ∝ (क्षेत्र)².
पायरी 3 : I = k (E₀ cos θ)² = k E₀² cos²θ.
पायरी 4 : k E₀² = I₀ ⇒ I = I₀ cos²θ.

लक्षात ठेवा

अध्रुवित → I₀/2; I = I₀cos²θ; आडवे ध्रुवक ⇒ 0.

सामान्य चूक / CET सापळा

पहिल्या ध्रुवकातून नेहमी निम्मे; cos² नाही. θ दोन अक्षांतील कोन; कंपन-दिशेचा नाही.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "पहिल्याने अर्धे, पुढच्याने cos²".

फरक ओळखा

स्थिती	θ	I
समांतर अक्ष	0°	I₀
45°	45°	I₀/2
आडवे अक्ष	90°	0

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1ध्रुवीकरण कशाचा पुरावा?
2मॅलसचा नियम?
3θ = 90° : I?

मध्यम

4I₀ = 100, θ = 30° : I?
5अध्रुवित 100 → P₁ → P₂ 60° : I?
6I = I₀ ÷ 4 : θ?

आव्हानात्मक

7तीन ध्रुवक 0°, 45°, 90° : अध्रुवित I₀ → I?
8ध्वनी ध्रुवित का होत नाही?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1प्रकाश अनुप्रस्थ तरंग
2I = I₀ cos²θ
3शून्य
4I = 75
5I = 50 × 0.25 = 12.5
6cos²θ = ¼ ⇒ θ = 60°
7I₀/8
8ध्वनी अनुदैर्ध्य आहे

ब्रूस्टरचा नियम व प्रकीर्णनाने ध्रुवीकरण

रोजच्या जीवनातून

पाण्यावरील सूर्यप्रकाशाची चकाकी ठराविक कोनात जास्त ध्रुवित असते म्हणून पोलरॉइडने कमी होते.

सोपी व्याख्या

ब्रूस्टर कोन (Brewster angle) : ज्या आपाती कोनाला परावर्तित प्रकाश पूर्ण ध्रुवित होतो.

आकृतीत : i_p वर परावर्तित (लाल) आणि अपवर्तित (हिरवा) किरणांमध्ये 90°.

नियम 1 : ब्रूस्टरचा नियम — विशिष्ट आपाती कोनाला (i_p) परावर्तित किरण पूर्ण ध्रुवित : tan i_p = n. तेव्हा i_p + r = 90° (परावर्तित ⊥ अपवर्तित).

सोपे : काच n = 1.5 ⇒ i_p = tan⁻¹ 1.5 = 56.31°.
मध्यम : पाणी n = 4/3 ⇒ i_p = 53.13°.
परीक्षेसाठी (CET) : n = √3 ⇒ i_p = ? (1) 60° (2) 30° (3) 45° (4) 90° → उत्तर 1). युक्ती : tan 60° = √3.

नियम 2 : ब्रूस्टरच्या नियमाची उपपत्ती व परिणाम — अपवर्तित कोन r = 90° − i_p; परावर्तित प्रकाश पूर्ण ध्रुवित, कंपने आपाती प्रतलाला लंब; अपवर्तित प्रकाश आंशिक ध्रुवित.

सोपे : i_p = 57° ⇒ r = 33°.
मध्यम : तलावावरील चकाकी पोलरॉइडने कमी.
परीक्षेसाठी (CET) : i_p वर अपवर्तित प्रकाश? (1) आंशिक ध्रुवित (2) पूर्ण ध्रुवित (3) अध्रुवित (4) नाही → उत्तर 1)

नियम 3 : प्रकीर्णनाने ध्रुवीकरण — हवेतील कणांनी प्रकीर्ण झालेला सूर्यप्रकाश (आकाश) 90° वर पूर्ण ध्रुवित; आकाश निळे — लहान λ चे जास्त प्रकीर्णन (∝ 1 ÷ λ⁴).

सोपे : निळा (450 nm) विरुद्ध लाल (650 nm) : (650 ÷ 450)⁴ = 4.35 पट जास्त प्रकीर्णन.
मध्यम : सूर्योदयाला आकाश लाल (लांब पथ).
परीक्षेसाठी (CET) : प्रकीर्णन ∝ ? (1) 1/λ⁴ (2) λ (3) 1/λ (4) λ⁴ → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : tan i_p = n

पायरी 1 : स्नेल : n = sin i_p ÷ sin r.
पायरी 2 : ब्रूस्टर स्थिती : परावर्तित व अपवर्तित किरण लंब ⇒ i_p + r = 90° ⇒ sin r = cos i_p.
पायरी 3 : n = sin i_p ÷ cos i_p.
पायरी 4 : n = tan i_p.

लक्षात ठेवा

tan i_p = n; i_p + r = 90°; प्रकीर्णन ∝ 1/λ⁴.

सामान्य चूक / CET सापळा

i_p वर फक्त परावर्तित किरण पूर्ण ध्रुवित; अपवर्तित नाही. tan i_p = n (sin नव्हे).

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "टॅन = एन; दोन किरण काटकोनात".

फरक ओळखा

पदार्थ	n	i_p
काच	1.5	56.3°
पाणी	1.33	53.1°
हिरा	2.42	67.5°

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1ब्रूस्टरचा नियम?
2i_p + r = ?
3आकाश निळे का?

मध्यम

4n = 1 : i_p?
5i_p = 53° : n? (tan 53° = 1.33)
6i_p = 60° : r?

आव्हानात्मक

7n = 1.73 : i_p आणि r?
8(700 ÷ 400)⁴ = ?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1tan i_p = n
290°
3लहान λ चे जास्त प्रकीर्णन
4i_p = 45°
5n = 1.33
6r = 30°
7i_p = 60°, r = 30°
89.38

व्यतिकरण व यंगचा द्विफट प्रयोग

रोजच्या जीवनातून

साबणाच्या फुग्यावरचे रंग प्रकाशाच्या व्यतिकरणाने दिसतात.

सोपी व्याख्या

यंगचा प्रयोग : एका स्रोतातील प्रकाश दोन जवळच्या फटींतून पडद्यावर उजळ–काळे पट्टे तयार करतो.

आकृतीत : S₁, S₂ मधून आलेले किरण पडद्यावर पथ-फरकानुसार उजळ/काळे पट्टे देतात.

Live आकृती

व्यतिकरण व यंगचा द्विफट प्रयोग

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : कलासंगत स्रोत — स्थिर कला-फरक आणि समान f असलेले स्रोत. एकाच स्रोतातून दोन फटी (S₁, S₂) उजळवून कलासंगत स्रोत मिळवतात. फटी एकमेकांजवळ (d लहान) आणि अरुंद.

सोपे : दोन वेगळे बल्ब कलासंगत नाहीत.
मध्यम : लेसर : उत्तम कलासंगत स्रोत.
परीक्षेसाठी (CET) : व्यतिकरण टिकण्यासाठी आवश्यक? (1) कलासंगतता (2) जास्त वेग (3) वेगळे f (4) ध्रुवीकरण → उत्तर 1)

नियम 2 : फ्रिंज रुंदी — उजळ फ्रिंज : x = n λ D ÷ d; काळ्या : x = (n + ½) λ D ÷ d. β = λ D ÷ d (समान). पडद्यावर समान अंतराचे पट्टे.

सोपे : λ = 600 nm, D = 1.5 m, d = 0.3 mm : β = 3 mm.
मध्यम : पाचवा उजळ फ्रिंज : x = 5 β = 15 mm.
परीक्षेसाठी (CET) : d निम्मा केला ⇒ β? (1) दुप्पट (2) निम्मा (3) तोच (4) चौपट → उत्तर 1). युक्ती : β ∝ 1/d.

नियम 3 : माध्यम, तीव्रता व उपपत्ती — पाण्यात संपूर्ण उपकरण : β' = β ÷ n. तीव्रता : I_max ÷ I_min = (√I₁ + √I₂)² ÷ (√I₁ − √I₂)². पांढऱ्या प्रकाशात मध्यभागी पांढरा, कडा रंगीत.

सोपे : पाणी n = 4/3 : β' = 3 × 3/4 = 2.25 mm.
मध्यम : I₁ : I₂ = 4 : 1 ⇒ √ = 2 : 1 ⇒ I_max : I_min = 9 : 1.
परीक्षेसाठी (CET) : फटी तीव्रता 9 : 1 ⇒ I_max : I_min? (1) 4 : 1 (2) 16 : 4 (3) 9 : 1 (4) 10 : 8 → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : β = λ D ÷ d

पायरी 1 : पडद्यावर बिंदू P, मध्यापासून x; पथ-फरक Δ = S₂P − S₁P.
पायरी 2 : लहान कोनासाठी Δ ≈ d x ÷ D.
पायरी 3 : उजळ फ्रिंज : Δ = n λ ⇒ x_n = n λ D ÷ d.
पायरी 4 : लगतच्या फ्रिंजांतील अंतर β = x_{n+1} − x_n = λ D ÷ d.

लक्षात ठेवा

β = λD/d; x_n = nλD/d; β ∝ λ, D, 1/d; माध्यमात β/n.

सामान्य चूक / CET सापळा

d (फटींमधील अंतर) आणि a (फटीची रुंदी) गोंधळू नका. दोन्ही मोजण्यात एकक सारखे (m). पाण्यात फक्त λ बदलतो.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "लांब λ, लांब D, लहान d ⇒ रुंद पट्टे".

फरक ओळखा

राशी	सूत्र	एकक / मितीय सूत्र
β	λ D ÷ d	m; [L]
उजळ फ्रिंज	x = nλD/d	m
काळा फ्रिंज	x = (n+½)λD/d	m
पथ-फरक	d x ÷ D	m

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1कलासंगत स्रोत म्हणजे?
2β चे सूत्र?
3D वाढवल्यास β?

मध्यम

4λ = 500 nm, D = 2 m, d = 1 mm : β?
5त्यांचा तिसरा उजळ फ्रिंज x?
6β = 2 mm हवेत; पाण्यात (n = 4/3) β'?

आव्हानात्मक

7λ = 600 nm → 400 nm : β चे गुणोत्तर?
8I₁ : I₂ = 1 : 16 : I_max : I_min?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1स्थिर कला-फरक व समान f चे स्रोत
2λD/d
3β वाढतो
4β = 1 mm
5x = 3 mm
6β' = 1.5 mm
7β ÷ β' = 3 : 2
8√ = 1 : 4 ⇒ (5)² : (3)² = 25 : 9

एकाच फटीमुळे होणारे विवर्तन

रोजच्या जीवनातून

दिव्याकडे बोटांच्या बारीक फटीतून पाहिले की प्रकाशाच्या आजूबाजूला पट्टे दिसतात.

सोपी व्याख्या

विवर्तन (diffraction) : फटीतून जाताना प्रकाशाचे भौमितिक सावलीत पसरणे.

आकृतीत : फट a, पडदा D अंतरावर; मध्य पट्टा रुंद आणि तेजस्वी.

Live आकृती

एकाच फटीमुळे होणारे विवर्तन

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : विवर्तन — अडथळा/फटीच्या कडेला प्रकाश वाकून सावलीत पोहोचतो. स्पष्ट दिसण्यासाठी फटीची रुंदी a ≈ λ. जेवढी a लहान तेवढे विवर्तन जास्त.

सोपे : ध्वनी (λ ≈ 1 m) दरवाज्यातून वाकतो; प्रकाश नाही (λ ≈ 5 × 10⁻⁷ m).
मध्यम : रेडिओ लहरी इमारतींच्या मागे पोहोचतात.
परीक्षेसाठी (CET) : a ≫ λ असल्यास विवर्तन? (1) नगण्य (2) जास्त (3) 100 % (4) अनंत → उत्तर 1)

नियम 2 : एका फटीतील मंदक व मध्य उजळ पट्टा — a sin θ = n λ (n = ±1, ±2 …) अंधारे. मध्य उजळ पट्ट्याची कोनीय अर्ध-रुंदी θ ≈ λ ÷ a; रेषीय रुंदी 2 λ D ÷ a.

सोपे : λ = 500 nm, a = 0.1 mm, D = 2 m : θ = 5 × 10⁻³ rad; रुंदी = 20 mm.
मध्यम : a निम्मा ⇒ रुंदी दुप्पट.
परीक्षेसाठी (CET) : a दुप्पट केल्यावर मध्य पट्ट्याची रुंदी? (1) निम्मी (2) दुप्पट (3) तीच (4) चौपट → उत्तर 1)

नियम 3 : विवर्तन व व्यतिकरणाची तुलना — व्यतिकरण : समान रुंदीचे पट्टे, सर्व उजळ पट्टे समान तीव्रतेचे (आदर्श). विवर्तन : मध्य पट्टा रुंद व सर्वात तेजस्वी; दोन्ही बाजूंचे पट्टे अरुंद व मंद (दुय्यम शिखरे 4.5 %, 1.6 %…).

सोपे : दुय्यम शिखराची तीव्रता मध्य शिखराच्या सुमारे 4.5 %.
मध्यम : यंगचा प्रयोग प्रत्यक्षात दोन्हींचा संयोग.
परीक्षेसाठी (CET) : मध्य उजळ पट्टा कसा? (1) सर्वात रुंद व तेजस्वी (2) सर्वात अरुंद (3) मंद (4) काळा → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : a sin θ = n λ

पायरी 1 : फट AB रुंदी a; तिचे दोन समान भाग (मध्यातून) — प्रत्येकी a/2.
पायरी 2 : वरच्या अर्ध्याचा बिंदू आणि खालच्या अर्ध्याचा संबंधित बिंदू यांच्यातील पथ-फरक (a/2) sin θ.
पायरी 3 : विनाशी : (a/2) sin θ = λ/2 ⇒ a sin θ = λ (पहिला मंदक).
पायरी 4 : सामान्यतः a sin θ = n λ; लहान θ : θ = nλ ÷ a ⇒ पट्टा रुंदी 2λD ÷ a.

लक्षात ठेवा

a sin θ = nλ; मध्य रुंदी 2λD/a; θ ≈ λ/a.

सामान्य चूक / CET सापळा

a वाढले की पट्टा अरुंद (उलट). यंगच्या β = λD/d शी सूत्र गोंधळू नका; येथे 2λD/a.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "फट अरुंद ⇒ पट्टा रुंद".

फरक ओळखा

मुद्दा	व्यतिकरण (यंग)	विवर्तन (एक फट)
पट्टे	समान रुंदी	मध्य रुंद
तीव्रता	जवळजवळ समान	झपाट्याने कमी
अट	दोन कलासंगत स्रोत	फटीची a ≈ λ

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1विवर्तन म्हणजे?
2मंदकाची अट?
3a कमी ⇒ विवर्तन?

मध्यम

4λ = 600 nm, a = 0.2 mm : θ (पहिला मंदक)?
5त्याच D = 1 m : मध्य पट्टा रुंदी?
6a दुप्पट ⇒ θ?

आव्हानात्मक

7λ = 500 nm : a sin θ = 2λ वर a = 0.2 mm; θ?
8लाल की निळा : कोणाचे विवर्तन जास्त?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1अडथळ्याच्या कडेला प्रकाशाचे वाकणे
2a sin θ = nλ
3जास्त
4θ = 3 × 10⁻³ rad
52 × 3 × 10⁻³ × 1 = 6 mm
6θ निम्मा
7θ = 2 × 5 × 10⁻⁷ ÷ 2 × 10⁻⁴ = 5 × 10⁻³ rad
8लाल (λ जास्त)

प्रकाशीय उपकरणांची विभेदन क्षमता

रोजच्या जीवनातून

दूरून दोन जवळच्या हेडलाइट्स एकाच दिव्यासारख्या दिसतात.

सोपी व्याख्या

विभेदन क्षमता (resolving power) : दोन जवळच्या वस्तू वेगळ्या दाखवण्याची उपकरणाची क्षमता; विवर्तन ती मर्यादित करते.

आकृतीत : दोन प्रतिमा जवळ आल्या की एकमेकांत मिसळतात; Δθ = 1.22λ/D ही मर्यादा.

नियम 1 : रेले निकष — दोन वस्तू फक्त विभेदित = एकाच्या विवर्तन-प्रतिमेचा पहिला मंदक दुसऱ्याच्या मध्य उजळ पट्ट्याशी जुळतो. गोलाकार छिद्रासाठी किमान कोन Δθ = 1.22 λ ÷ D.

सोपे : D = 2 mm डोळा, λ = 550 nm : Δθ = 1.22 × 5.5 × 10⁻⁷ ÷ 2 × 10⁻³ = 3.4 × 10⁻⁴ rad.
मध्यम : 10 m वरून ही कोनीय मर्यादा : 3.4 mm अंतर.
परीक्षेसाठी (CET) : Δθ ∝ ? (1) λ/D (2) D/λ (3) λD (4) 1/(λD) → उत्तर 1)

नियम 2 : दुर्बिणीची विभेदन क्षमता — R = 1 ÷ Δθ = D ÷ (1.22 λ). मोठा वस्तुमुख (D) ⇒ जास्त R; लहान λ ⇒ जास्त R.

सोपे : D = 0.5 m, λ = 550 nm : Δθ = 1.34 × 10⁻⁶ rad.
मध्यम : D दुप्पट ⇒ R दुप्पट.
परीक्षेसाठी (CET) : लाल की निळ्या प्रकाशात R जास्त? (1) निळ्या (2) लाल (3) सारखा (4) नाही → उत्तर 1)

नियम 3 : सूक्ष्मदर्शकाची विभेदन क्षमता — किमान अंतर a = 0.61 λ ÷ (n sin θ) = 0.61 λ ÷ N.A.; R = 1 ÷ a = N.A. ÷ (0.61 λ). तेलात बुडवलेला वस्तुमुख (n जास्त) ⇒ N.A. जास्त.

सोपे : λ = 500 nm, N.A. = 1.2 : a = 2.54 × 10⁻⁷ m.
मध्यम : लहान λ वापरणे (इलेक्ट्रॉन-सूक्ष्मदर्शक) ⇒ a अत्यंत लहान.
परीक्षेसाठी (CET) : N.A. दुप्पट ⇒ a? (1) निम्मा (2) दुप्पट (3) तोच (4) चौपट → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : दुर्बिणीची R = D ÷ (1.22 λ)

पायरी 1 : वर्तुळाकार छिद्र D साठी पहिला मंदक sin θ = 1.22 λ ÷ D.
पायरी 2 : रेले : किमान विभेदन कोन = पहिल्या मंदकाचा कोन ⇒ Δθ = 1.22 λ ÷ D (लहान कोन).
पायरी 3 : विभेदन क्षमता R = 1 ÷ Δθ.
पायरी 4 : R = D ÷ (1.22 λ).

लक्षात ठेवा

Δθ = 1.22λ/D; R(दुर्बीण) = D/(1.22λ); a = 0.61λ/N.A.

सामान्य चूक / CET सापळा

दुर्बिणीत R कोनावर तर सूक्ष्मदर्शकात अंतरावर आधारित; सूत्रे उलटू नका. λ लहान ⇒ R जास्त (दोन्हीत).

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "मोठे D, लहान λ = तीक्ष्ण".

फरक ओळखा

उपकरण	मर्यादा	R
दुर्बीण	Δθ = 1.22λ/D	D/(1.22λ)
सूक्ष्मदर्शक	a = 0.61λ/N.A.	N.A./(0.61λ)
डोळा	D ≈ 2 mm	—

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1रेले निकष सांगा.
2दुर्बिणीची R?
3N.A. = ?

मध्यम

4D = 1 m, λ = 500 nm : Δθ?
5λ = 600 nm, N.A. = 1.0 : a?
6D 4 पट ⇒ R?

आव्हानात्मक

7λ निम्मा केला ⇒ सूक्ष्मदर्शकाची R?
8दोन तारे 2 × 10⁻⁷ rad अंतरावर; D = 1 m, λ = 500 nm : विभेदित?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1एकाचा पहिला मंदक दुसऱ्याच्या मध्य उजळ पट्ट्यावर
2D ÷ 1.22λ
3n sin θ
4Δθ = 6.1 × 10⁻⁷ rad
5a = 3.66 × 10⁻⁷ m
6R ×4
7R दुप्पट
8मर्यादा 6.1 × 10⁻⁷ rad > 2 × 10⁻⁷ ⇒ विभेदित नाही

संपूर्ण धड्याची झटपट उजळणी

संकल्पना	महत्त्वाचे सूत्र / तथ्य	एकक / मितीय सूत्र
प्रकाश	n = c/v; λ' = λ/n; f तोच	एकक नाही
स्नेल	sin i/sin r = n₂/n₁ = v₁/v₂	—
मॅलस	I = I₀cos²θ; अध्रुवित → I₀/2	W/m²
ब्रूस्टर	tan i_p = n; i_p + r = 90°	—
यंग	β = λD/d; x_n = nλD/d	m; [L]
एक फट	a sin θ = nλ; रुंदी = 2λD/a	m
दुर्बीण	Δθ = 1.22λ/D; R = D/1.22λ	rad
सूक्ष्मदर्शक	a = 0.61λ/(n sin θ)	m

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

माध्यमात f तोच; λ' = λ/n; v = c/n.
स्नेल : sin i/sin r = n₂/n₁ (हायगेन्सने सिद्ध).
मॅलस : I = I₀cos²θ; पहिल्या ध्रुवकातून अर्धे.
ब्रूस्टर : tan i_p = n; परावर्तित ⊥ अपवर्तित.
यंग : β = λD/d; पाण्यात β/n.
एक फट : a sin θ = nλ; मध्य रुंदी 2λD/a.
विभेदन : Δθ = 1.22λ/D; सूक्ष्मदर्शक a = 0.61λ/N.A.

अभ्यासाचा मंत्र

तरंगप्रकार ओळखा → पथ-फरक काढा → योग्य सूत्र → λ, D, d एकके (m) → उत्तर.