K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 12 · भौतिकशास्त्र

धडा ६: तरंगांचे अध्यारोपण

7 संकल्पना · उत्तरांसह 56 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

प्रगामी तरंग, तरंग समीकरण व परावर्तन

रोजच्या जीवनातून

पाण्यात दगड टाकला की वलये बाहेर जातात; पाणी जागेवरच वर-खाली होते, फक्त तरंग पुढे जातो.

सोपी व्याख्या

प्रगामी तरंग (progressive wave) माध्यमातून ऊर्जा पुढे नेतो; कण जागेवर कंपन करतात.

प्रगामी तरंग : आयाम A आणि तरंगलांबी λAλvv = f λ = ω ÷ k

आकृतीत : निळा तरंग उजवीकडे जातो; A = आयाम, λ = एका चक्राची लांबी.

नियम 1 : तरंग समीकरण — +x दिशेने जाणारा तरंग : y = A sin(ωt − kx); k = 2π ÷ λ, ω = 2π f, वेग v = f λ = ω ÷ k. −x दिशेसाठी (ωt + kx).

  • सोपे : y = 0.05 sin(40π t − 2π x) : ω = 40π ⇒ f = 20 Hz; k = 2π ⇒ λ = 1 m; v = 20 m/s.
  • मध्यम : f = 200 Hz, λ = 0.5 m ⇒ v = 100 m/s.
  • परीक्षेसाठी (CET) : y = 2 sin(100π t − 0.5π x) cm : v = ω ÷ k = 100π ÷ 0.5π = 200 cm/s. (पर्याय : 1) 200 cm/s 2) 50 3) 100 4) 20 → उत्तर 1)

नियम 2 : तरंगाचा वेग — ताणलेल्या तारेत v = √(T ÷ μ) (T = ताण, μ = एकक लांबीचे वस्तुमान). हवेत ध्वनी ≈ 340 m/s; वेग माध्यमावर, f स्रोतावर अवलंबून.

  • सोपे : T = 100 N, μ = 0.01 kg/m ⇒ v = 100 m/s.
  • मध्यम : T चौपट ⇒ v दुप्पट.
  • परीक्षेसाठी (CET) : माध्यम बदलले : f? (1) तोच (2) दुप्पट (3) निम्मा (4) शून्य → उत्तर 1). युक्ती : f स्रोताची.

नियम 3 : परावर्तन — स्थिर टोकावर परावर्तन : कला-बदल π (शिखर → गर्त). मुक्त टोकावर : कला-बदल नाही. परावर्तित तरंगाचे A, f, v तेच.

  • सोपे : दोरी भिंतीला बांधली : परावर्तित स्पंद उलटा.
  • मध्यम : दोरी मोकळ्या कडीला : स्पंद सरळ परततो.
  • परीक्षेसाठी (CET) : स्थिर टोकावर कला-बदल? (1) 0 (2) π/2 (3) π (4) 2π → उत्तर 3)

सूत्राची उपपत्ती : v = f λ

  • पायरी 1 : एका आवर्तकाळात T तरंग एक तरंगलांबी λ पुढे जातो.
  • पायरी 2 : वेग = अंतर ÷ वेळ = λ ÷ T.
  • पायरी 3 : 1 ÷ T = f ⇒ v = f λ.
  • पायरी 4 : ω = 2π f, k = 2π ÷ λ ⇒ v = ω ÷ k.
लक्षात ठेवा

y = A sin(ωt − kx); v = fλ = ω/k; v = √(T/μ).

सामान्य चूक / CET सापळा

माध्यम बदलले तर f तोच, v आणि λ बदलतात. (ωt − kx) आणि (ωt + kx) च्या दिशा उलट. स्थिर टोक ⇒ π, मुक्त ⇒ 0.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "वेग = कंप्रता × लांबी" (v = fλ).

फरक ओळखा

राशीचिन्हएकक / मितीय सूत्र
तरंगलांबीλm; [L]
कंप्रताfHz; [T⁻¹]
तरंग-सदिशk = 2π/λrad/m; [L⁻¹]
वेगv = fλm/s; [L T⁻¹]
μM ÷ Lkg/m; [M L⁻¹]

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1v = fλ मध्ये f = 50, λ = 4 : v?
  2. 2k चे सूत्र?
  3. 3स्थिर टोकावर कला-बदल?
मध्यम
  1. 4y = sin(10t − 2x) : v?
  2. 5T = 36 N, μ = 4 g/m : v?
  3. 6f = 170 Hz, v = 340 : λ?
आव्हानात्मक
  1. 7तारेचा ताण 9 पट ⇒ v?
  2. 8तरंग पाण्यातून हवेत : f, v, λ कोणते बदलतात?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1v = 200 m/s
  2. 2k = 2π ÷ λ
  3. 3π
  4. 4v = ω ÷ k = 5 m/s
  5. 5μ = 0.004 ⇒ v = √9000 = 94.9 m/s
  6. 6λ = 2 m
  7. 7v तिप्पट
  8. 8v आणि λ बदलतात; f तोच

अध्यारोपणाचे तत्त्व व व्यतिकरण

रोजच्या जीवनातून

पाण्यावर दोन खडे टाकले की वलये एकमेकांवर पडतात; काही जागी लाटा उंच, काही जागी सपाट.

सोपी व्याख्या

व्यतिकरण (interference) म्हणजे दोन तरंगांच्या अध्यारोपणाने तीव्रतेचे पुनर्वितरण.

व्यतिकरण : रचनात्मक आणि विनाशीरचनात्मक : A = A₁ + A₂विनाशी : A = |A₁ − A₂|

आकृतीत : वर रचनात्मक (दुप्पट आयाम), खाली विनाशी (शून्य).

Live आकृती

अध्यारोपणाचे तत्त्व व व्यतिकरण

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : अध्यारोपणाचे तत्त्व — दोन तरंग एकाच ठिकाणी आले की परिणामी विस्थापन = वैयक्तिक विस्थापनांची बेरीज : y = y₁ + y₂. नंतर ते एकमेकांना न बदलता पुढे जातात.

  • सोपे : y₁ = +3 cm, y₂ = −1 cm ⇒ y = 2 cm.
  • मध्यम : दोन समान स्पंद भेटले की शिखर दुप्पट.
  • परीक्षेसाठी (CET) : दोन तरंग भेटल्यावर नंतर? (1) नष्ट (2) अपरिवर्तित पुढे (3) एक होतात (4) थांबतात → उत्तर 2)

नियम 2 : रचनात्मक व विनाशी व्यतिकरण — कला-फरक φ = 0, 2π… किंवा पथ-फरक Δ = nλ ⇒ रचनात्मक (A = A₁ + A₂). φ = π, 3π… किंवा Δ = (n + ½)λ ⇒ विनाशी (A = |A₁ − A₂|). तीव्रता I ∝ A².

  • सोपे : A₁ = 3, A₂ = 4 : A_max = 7, A_min = 1; I_max ÷ I_min = 49 ÷ 1.
  • मध्यम : λ = 0.4 m, Δ = 1.0 m = 2.5 λ ⇒ विनाशी.
  • परीक्षेसाठी (CET) : I₁ : I₂ = 9 : 1 ⇒ A₁ : A₂ = 3 : 1 ⇒ I_max : I_min = (4)² : (2)² = ? (1) 4 : 1 (2) 16 : 4 (3) 2 : 1 (4) 9 : 1 → उत्तर 1)

नियम 3 : परिणामी आयाम — कला-फरक φ असल्यास A = √(A₁² + A₂² + 2 A₁ A₂ cos φ). φ = 0 ⇒ बेरीज; φ = π ⇒ फरक; φ = π/2 ⇒ √(A₁² + A₂²).

  • सोपे : A₁ = 3, A₂ = 4, φ = 90° ⇒ A = 5.
  • मध्यम : A₁ = A₂ = A, φ = 120° ⇒ A_res = A.
  • परीक्षेसाठी (CET) : A₁ = A₂ = 2, φ = 60° ⇒ A = ? (1) 2√3 (2) 4 (3) 2 (4) 0 → उत्तर 1). युक्ती : 2A cos(φ/2) = 4 cos 30° = 2√3.

सूत्राची उपपत्ती : परिणामी आयामाचे सूत्र

  • पायरी 1 : y₁ = A₁ sin ωt, y₂ = A₂ sin(ωt + φ); y = y₁ + y₂.
  • पायरी 2 : y = (A₁ + A₂ cos φ) sin ωt + (A₂ sin φ) cos ωt = R sin(ωt + δ).
  • पायरी 3 : R cos δ = A₁ + A₂ cos φ, R sin δ = A₂ sin φ.
  • पायरी 4 : वर्गांची बेरीज : R² = A₁² + A₂² + 2 A₁ A₂ cos φ.
लक्षात ठेवा

y = y₁ + y₂; Δ = nλ ⇒ रचनात्मक; (n+½)λ ⇒ विनाशी; I ∝ A².

सामान्य चूक / CET सापळा

तीव्रता बेरजेने नव्हे, आयामांच्या बेरजेच्या वर्गाने काढा. विनाशी व्यतिकरणात ऊर्जा नष्ट होत नाही, पुनर्वितरित होते.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "पूर्ण λ = जोडी; अर्धा λ = जोडी तुटते".

फरक ओळखा

स्थितीकला-फरक φपथ-फरक Δआयाम
रचनात्मक0, 2π…nλA₁ + A₂
विनाशीπ, 3π…(n+½)λA₁ − A₂

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1रचनात्मक व्यतिकरणाची अट?
  2. 2A₁ = 2, A₂ = 5 : A_max?
  3. 3त्यांचा A_min?
मध्यम
  1. 4Δ = 1.5 λ : प्रकार?
  2. 5तीव्रता I कशाच्या प्रमाणात?
  3. 6A₁ = 6, A₂ = 8, φ = 90° : A?
आव्हानात्मक
  1. 7A₁ : A₂ = 4 : 1 ⇒ I_max : I_min?
  2. 8φ = 120°, A₁ = A₂ = 5 : A?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1Δ = nλ (φ = 2nπ)
  2. 27
  3. 33
  4. 4विनाशी
  5. 5A²
  6. 6A = 10
  7. 7(5)² : (3)² = 25 : 9
  8. 8A = 5

अप्रगामी तरंग

रोजच्या जीवनातून

गिटारची तार छेडली की ती जागेवर कंपन करते आणि काही बिंदू स्थिर दिसतात.

सोपी व्याख्या

अप्रगामी तरंग (stationary wave) : समान तरंगांच्या उलट दिशेने जाण्याने तयार होतो; त्यात निस्पंद आणि स्पंद असतात.

अप्रगामी तरंग : निस्पंद (N) व स्पंद (A)NNNNAAAλ ÷ 2

आकृतीत : N = निस्पंद (आयाम 0), A = स्पंद (आयाम 2A); N–N = λ/2.

नियम 1 : समीकरण — समान आयाम व f चे दोन विरुद्ध दिशेचे तरंग : y = 2A sin(kx) cos(ωt). आयाम स्थानानुसार 2A |sin kx|; सर्व कण एकाच कलेत, पण वेगळ्या आयामाने.

  • सोपे : A = 1 cm ⇒ स्पंदांवर आयाम 2 cm, निस्पंदावर 0.
  • मध्यम : y = 4 sin(πx) cos(100πt) : निस्पंद x = 0, 1, 2 …; λ = 2 m.
  • परीक्षेसाठी (CET) : दोन लगतच्या निस्पंदांतील अंतर 25 cm ⇒ λ = ? (1) 50 cm (2) 25 cm (3) 12.5 cm (4) 100 cm → उत्तर 1). युक्ती : λ = 2 × अंतर.

नियम 2 : निस्पंद व स्पंद — निस्पंद : x = nλ/2 (आयाम 0, ताण जास्त). स्पंद : x = (2n + 1) λ/4 (आयाम 2A). लगतचे निस्पंद-स्पंद अंतर λ/4; दोन निस्पंद λ/2. निस्पंदातून ऊर्जा जात नाही.

  • सोपे : λ = 0.8 m : निस्पंद 0, 0.4, 0.8 m; स्पंद 0.2, 0.6 m.
  • मध्यम : बंद टोकावर निस्पंद; मुक्त टोकावर स्पंद.
  • परीक्षेसाठी (CET) : स्पंद-निस्पंद अंतर 10 cm ⇒ λ? (1) 20 cm (2) 40 cm (3) 10 cm (4) 5 cm → उत्तर 2)

नियम 3 : प्रगामी व अप्रगामी तरंगांची तुलना — प्रगामी : ऊर्जा पुढे वाहते, सर्व कणांचा आयाम सारखा, कला बदलते. अप्रगामी : ऊर्जा स्थिर (वाहत नाही), आयाम बदलतो, एका लूपमध्ये कण एकाच कलेत.

  • सोपे : झोपाळ्याच्या तारेची कंपने अप्रगामी.
  • मध्यम : पाण्यावरची वलये प्रगामी.
  • परीक्षेसाठी (CET) : अप्रगामी तरंगात ऊर्जा? (1) वाहते (2) वाहत नाही (3) वाढते (4) नष्ट → उत्तर 2)

सूत्राची उपपत्ती : y = 2A sin kx cos ωt

  • पायरी 1 : पुढे जाणारा : y₁ = A sin(ωt − kx); स्थिर टोकावर परावर्तित (कला-बदल π) : y₂ = −A sin(ωt + kx).
  • पायरी 2 : बेरीज : y = A [sin(ωt − kx) − sin(ωt + kx)].
  • पायरी 3 : sin P − sin Q = 2 cos((P+Q)/2) sin((P−Q)/2) वापरले.
  • पायरी 4 : y = −2A sin(kx) cos(ωt) : आयाम 2A |sin kx|; निस्पंद sin kx = 0 ⇒ x = nλ/2.
लक्षात ठेवा

y = 2A sin kx cos ωt; निस्पंद nλ/2; स्पंद (2n+1)λ/4; N–N = λ/2.

सामान्य चूक / CET सापळा

N–N अंतर λ आहे असे समजू नका; λ/2. निस्पंदावर विस्थापन 0 पण ताण सर्वाधिक.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "निस्पंद = स्थिर; स्पंद = दुप्पट".

फरक ओळखा

मुद्दाप्रगामीअप्रगामी
ऊर्जावाहतेस्थिर
आयामसर्वत्र सारखास्थानानुसार बदलतो
निस्पंदनाहीतआहेत

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1निस्पंदावर आयाम?
  2. 2दोन निस्पंदांतील अंतर?
  3. 3बंद टोक निस्पंद की स्पंद?
मध्यम
  1. 4λ = 1.2 m : निस्पंद-स्पंद अंतर?
  2. 5A = 3 cm : स्पंदावर आयाम?
  3. 6v = 300, f = 150 : निस्पंद अंतर?
आव्हानात्मक
  1. 7y = 2 sin(0.5πx) cos(50t) : λ?
  2. 8अप्रगामी तरंगात एका लूपमधील कणांची कला?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1शून्य
  2. 2λ/2
  3. 3निस्पंद
  4. 40.3 m
  5. 56 cm
  6. 6λ = 2 m ⇒ λ/2 = 1 m
  7. 70.5π = 2π ÷ λ ⇒ λ = 4 m
  8. 8सर्व एकाच कलेत

हवेचे स्तंभ : सुसंवादी, अधिस्वर व टोक-सुधारणा

रोजच्या जीवनातून

बाटलीच्या तोंडावर फुंकर मारली की सूर निघतो; पाणी भरले की सूर उंच होतो.

सोपी व्याख्या

नळीतील हवेचा स्तंभ ठराविक कंप्रतांनी (सुसंवादी, harmonics) अनुनादित होतो; सर्वात कमी कंप्रता मूलभूत, बाकीचे अधिस्वर (overtones).

बंद व मोकळी नळी : मूलभूत स्वरL = λ ÷ 4f = v ÷ 4LL = λ ÷ 2f = v ÷ 2Lबंद (एक टोक)मोकळी (दोन टोके)

आकृतीत : डावीकडे बंद नळी (L = λ/4), उजवीकडे मोकळी (L = λ/2).

Live आकृती

हवेचे स्तंभ : सुसंवादी, अधिस्वर व टोक-सुधारणा

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : बंद नळी — एक टोक बंद : बंद टोकावर निस्पंद, मोकळ्यावर स्पंद. f_n = (2n − 1) v ÷ 4L — फक्त विषम सुसंवादी (f, 3f, 5f …).

  • सोपे : v = 340 m/s, L = 0.5 m ⇒ f₁ = 340 ÷ 2 = 170 Hz; पुढचे 510 Hz.
  • मध्यम : L अर्धा ⇒ f दुप्पट.
  • परीक्षेसाठी (CET) : बंद नळीचे पहिले दोन अधिस्वर : f₁ चे? (1) 3f, 5f (2) 2f, 3f (3) 2f, 4f (4) 3f, 6f → उत्तर 1). युक्ती : सम गायब.

नियम 2 : मोकळी नळी — दोन्ही टोकांवर स्पंद : f_n = n v ÷ 2L (n = 1, 2, 3 …) — सर्व सुसंवादी. समान लांबीच्या बंद नळीपेक्षा f दुप्पट.

  • सोपे : L = 0.5 m, v = 340 ⇒ f₁ = 340 Hz; 680, 1020 …
  • मध्यम : बासरी : मोकळी नळी.
  • परीक्षेसाठी (CET) : समान L च्या मोकळ्या आणि बंद नळीचे f₁ चे गुणोत्तर? (1) 2 : 1 (2) 1 : 2 (3) 1 : 1 (4) 4 : 1 → उत्तर 1)

नियम 3 : टोक-सुधारणा आणि अनुनाद-नळी — स्पंद नळीच्या थोडा बाहेर तयार होतो : e ≈ 0.3 d. दोन अनुनाद L₁, L₂ वरून v = 2 f (L₂ − L₁) (e रद्द).

  • सोपे : f = 512 Hz, L₁ = 0.16 m, L₂ = 0.50 m ⇒ v = 2 × 512 × 0.34 = 348 m/s.
  • मध्यम : d = 4 cm ⇒ e = 1.2 cm.
  • परीक्षेसाठी (CET) : L₂ − L₁ = λ ÷ 2. (पर्याय : 1) λ 2) λ/2 3) λ/4 4) 2λ → उत्तर 2)

सूत्राची उपपत्ती : बंद नळीची कंप्रता

  • पायरी 1 : बंद टोक निस्पंद, मोकळे टोक स्पंद ⇒ अंतर = λ/4 चे विषम गुणाकार.
  • पायरी 2 : L = (2n − 1) λ ÷ 4 ⇒ λ = 4L ÷ (2n − 1).
  • पायरी 3 : f = v ÷ λ.
  • पायरी 4 : f_n = (2n − 1) v ÷ 4L.
लक्षात ठेवा

बंद : f = (2n−1)v/4L; मोकळी : f = nv/2L; v = 2f(L₂ − L₁).

सामान्य चूक / CET सापळा

बंद नळीत सम सुसंवादी नसतात. L आणि λ चे संबंध (λ/4 आणि λ/2) उलटू नका. e विसरू नका.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "बंद = विषम; मोकळी = सर्व".

फरक ओळखा

नळीLf_nसुसंवादी
बंद(2n−1)λ/4(2n−1)v/4Lविषम
मोकळीnλ/2nv/2Lसर्व

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1बंद नळीचे f₁?
  2. 2मोकळ्या नळीचे f₁?
  3. 3e चे सूत्र?
मध्यम
  1. 4L = 0.85 m, बंद, v = 340 : f₁?
  2. 5L = 0.85 m, मोकळी : f₁?
  3. 6L₁ = 20 cm, L₂ = 60 cm, f = 400 : v?
आव्हानात्मक
  1. 7बंद नळीचे तिसरे सुसंवादी f₁ च्या किती पट?
  2. 8नळीची लांबी 1% ने वाढली : f?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1v ÷ 4L
  2. 2v ÷ 2L
  3. 30.3 d
  4. 4f₁ = 340 ÷ 3.4 = 100 Hz
  5. 5f₁ = 340 ÷ 1.7 = 200 Hz
  6. 6v = 2 × 400 × 0.4 = 320 m/s
  7. 75 पट (5f₁)
  8. 8f 1% ने कमी

कंपन करणाऱ्या तारा, सोनोमीटर व अनुनाद

रोजच्या जीवनातून

गिटारचा सूर तार घट्ट केली की उंच होतो; बोट दाबून लांबी कमी केली तरी उंच होतो.

सोपी व्याख्या

सोनोमीटर (sonometer) : तारेची कंप्रता L, T, μ यांच्याशी तपासण्याचे साधन.

सोनोमीटर : तार, पूल आणि 3 लूपTf = (n ÷ 2L) √(T ÷ μ)L

आकृतीत : दोन पुलांमधील तार; येथे तिसरा सुसंवादी (3 लूप).

नियम 1 : तारेची कंप्रता — दोन्ही टोके निस्पंद : f_n = (n ÷ 2L) √(T ÷ μ), n = 1, 2, 3 … f ∝ 1 ÷ L, f ∝ √T, f ∝ 1 ÷ √μ.

  • सोपे : L = 0.6 m, T = 100 N, μ = 0.01 kg/m : v = 100; f₁ = 100 ÷ 1.2 = 83.3 Hz.
  • मध्यम : तिसरा सुसंवादी = 3 × 83.3 = 250 Hz.
  • परीक्षेसाठी (CET) : L निम्मा केल्यावर f? (1) दुप्पट (2) निम्मा (3) तोच (4) चौपट → उत्तर 1)

नियम 2 : सोनोमीटरचे नियम — (1) लांबीचा नियम : f L = स्थिर. (2) ताणाचा नियम : f ÷ √T = स्थिर. (3) वस्तुमानाचा नियम : f √μ = स्थिर.

  • सोपे : f = 200 Hz, L = 0.5 m ⇒ L = 0.4 m वर f = 250 Hz.
  • मध्यम : T चौपट ⇒ f दुप्पट.
  • परीक्षेसाठी (CET) : तार दुप्पट जाड (μ चौपट) ⇒ f? (1) निम्मा (2) दुप्पट (3) चौपट (4) ¼ → उत्तर 1)

नियम 3 : तार आणि सूर-काट्याची जोडणी — सूर-काट्याची f_काटा आणि तारेची f यांत अनुनाद झाला की L मोजून f_काटा = (1 ÷ 2L) √(T ÷ μ). ट्यूनिंगमध्ये ताण बदलला जातो.

  • सोपे : L = 0.5 m, T = 64 N, μ = 4 × 10⁻³ ⇒ f = (1 ÷ 1) × √16000 = 126.5 Hz.
  • मध्यम : पाने फिरवून ताण वाढवला ⇒ सूर उंच.
  • परीक्षेसाठी (CET) : सोनोमीटरवर अनुनाद झाल्याची खूण? (1) कागदी स्वार उडून पडतो (2) तार तुटते (3) स्वार स्थिर राहतो (4) आवाज बंद → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : f = (n/2L)√(T/μ)

  • पायरी 1 : दोन्ही टोके निस्पंद ⇒ L = n λ ÷ 2 ⇒ λ = 2L ÷ n.
  • पायरी 2 : तारेतील वेग v = √(T ÷ μ).
  • पायरी 3 : f = v ÷ λ = (n ÷ 2L) v.
  • पायरी 4 : v ठेवून f_n = (n ÷ 2L) √(T ÷ μ).
लक्षात ठेवा

f = (n/2L)√(T/μ); f ∝ 1/L; f ∝ √T; f ∝ 1/√μ.

सामान्य चूक / CET सापळा

μ = वस्तुमान ÷ लांबी (kg/m), g नाही. लांबी L = पुलांमधील तार. पूर्ण T ताण (N), kg नाही.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "लहान, घट्ट, हलकी = उंच सूर".

फरक ओळखा

घटकf वर परिणाम
L वाढf कमी (1/L)
T वाढf वाढ (√T)
μ वाढf कमी (1/√μ)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1तारेचे f₁?
  2. 2T वाढवल्यास f?
  3. 3लांबीचा नियम?
मध्यम
  1. 4L = 1 m, v = 200 : f₁?
  2. 5f = 300 Hz, L = 0.6 : L = 0.4 वर f?
  3. 6T 16 पट ⇒ f?
आव्हानात्मक
  1. 7L = 0.5 m, T = 36 N, μ = 1 g/m : f₁ आणि f₂?
  2. 82 सुसंवादी तारेच्या मध्यात स्पंद का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1(1/2L)√(T/μ)
  2. 2f वाढतो (√T)
  3. 3f L = स्थिर
  4. 4f₁ = 100 Hz
  5. 5f = 450 Hz
  6. 6f ×4
  7. 7v = 189.7 ⇒ f₁ = 189.7 Hz; f₂ = 379.5 Hz
  8. 8निस्पंद

विस्पंद

रोजच्या जीवनातून

दोन जवळच्या सुरांच्या तारा एकत्र वाजवल्या की आवाज "वू-वू-वू" असा चढ-उतार करतो.

सोपी व्याख्या

विस्पंद (beats) : जवळच्या कंप्रतांच्या दोन ध्वनींच्या अध्यारोपणाने तीव्रतेचा नियमित चढ-उतार.

विस्पंद : दोन जवळच्या कंप्रतांचे अध्यारोपणf_beat = |f₁ − f₂|

आकृतीत : निळा तरंग लाल आवरणाने (envelope) बांधलेला दिसतो.

Live आकृती

विस्पंद

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : विस्पंद कंप्रता — दोन जवळच्या कंप्रता f₁, f₂ : तीव्रता वर-खाली होते. प्रति सेकंद विस्पंद = |f₁ − f₂|; परिणामी तरंग : 2A cos(π(f₁ − f₂)t) sin(π(f₁ + f₂)t).

  • सोपे : f₁ = 256, f₂ = 260 ⇒ 4 विस्पंद/s.
  • मध्यम : विस्पंद-काल = 1 ÷ 4 = 0.25 s.
  • परीक्षेसाठी (CET) : 512 Hz आणि 508 Hz चे विस्पंद? (1) 4 (2) 2 (3) 8 (4) 1020 → उत्तर 1)

नियम 2 : अज्ञात कंप्रता शोधणे — अज्ञात f ला ज्ञात f₀ बरोबर विस्पंद b. f = f₀ ± b. निर्णय : अज्ञात काट्यावर मेण लावणे (f कमी) किंवा रेती (f वाढ) आणि विस्पंद बदल पाहणे.

  • सोपे : f₀ = 300, b = 5 : f = 295 किंवा 305.
  • मध्यम : मेण लावल्यावर b कमी झाला ⇒ f > f₀ (305).
  • परीक्षेसाठी (CET) : मेण लावल्यावर b वाढला ⇒ ? (1) f > f₀ (2) f < f₀ (3) f = f₀ (4) अनिश्चित → उत्तर 2)

नियम 3 : उपयोग — पियानो/तंबोरा ट्यूनिंग (विस्पंद शून्य होईपर्यंत); रेडिओ ट्यूनिंग; उपग्रह/वाहन वेग मोजणारी उपकरणे.

  • सोपे : विस्पंद शून्य ⇒ दोन्ही कंप्रता सारख्या.
  • मध्यम : दोन 440 Hz काटे + एकावर मेण ⇒ विस्पंद ऐकू येतात.
  • परीक्षेसाठी (CET) : विस्पंद ऐकू येण्यासाठी कमाल फरक साधारण? (1) 10 Hz (2) 100 Hz (3) 1000 Hz (4) 0 → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : विस्पंद कंप्रता |f₁ − f₂|

  • पायरी 1 : y₁ = A sin 2π f₁ t, y₂ = A sin 2π f₂ t; y = y₁ + y₂.
  • पायरी 2 : y = 2A cos[π(f₁ − f₂)t] sin[π(f₁ + f₂)t].
  • पायरी 3 : आयाम 2A |cos π(f₁ − f₂)t| ; तीव्रता ∝ आयामाचा वर्ग.
  • पायरी 4 : एका सेकंदात आयाम |f₁ − f₂| वेळा कमाल ⇒ f_beat = |f₁ − f₂|.
लक्षात ठेवा

f_beat = |f₁ − f₂|; f = f₀ ± b; आयाम 2A cos(π Δf t).

सामान्य चूक / CET सापळा

विस्पंद कंप्रता बेरीज नव्हे, फरक. ± चिन्हाचा निर्णय मेण/रेती चाचणीने. फरक जास्त असेल तर विस्पंद ऐकू येत नाहीत.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "फरक = विस्पंद".

फरक ओळखा

मुद्दासूत्रएकक
विस्पंद कंप्रताf₁ − f₂Hz
विस्पंद-काल1 ÷f₁ − f₂s
सरासरी कंप्रता(f₁ + f₂) ÷ 2Hz

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1विस्पंद म्हणजे?
  2. 2f₁ = 400, f₂ = 404 : विस्पंद?
  3. 3विस्पंद-काल?
मध्यम
  1. 4f₀ = 512, b = 3 : f?
  2. 5A आणि B : 6 विस्पंद; A = 300; B?
  3. 6मेण लावल्यावर विस्पंद वाढले : काय?
आव्हानात्मक
  1. 7f₁ = 200, f₂ = 202, कमाल आयाम A प्रत्येक : A_max?
  2. 8दोन कंप्रता 100 Hz ने भिन्न : विस्पंद ऐकू येतात का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1तीव्रतेचे नियमित चढ-उतार
  2. 24
  3. 30.25 s
  4. 4f = 509 किंवा 515
  5. 5B = 294 किंवा 306
  6. 6अज्ञात f < f₀
  7. 72A
  8. 8नाही (खूप जलद)

डॉप्लर परिणाम व ध्वनीची वैशिष्ट्ये

रोजच्या जीवनातून

जवळ येणाऱ्या रुग्णवाहिकेचा सायरन उंच आणि दूर जाताना खालचा ऐकू येतो.

सोपी व्याख्या

डॉप्लर परिणाम (Doppler effect) : स्रोत आणि श्रोता यांच्या सापेक्ष गतीमुळे ऐकू येणारी कंप्रता बदलते.

डॉप्लर परिणाम : स्रोत उजवीकडे सरकतोv_sf वाढतेf कमीf' = f (v ± v₀) ÷ (v ∓ v_s)

आकृतीत : पुढे सरकणाऱ्या स्रोताच्या तरंगाग्रांचे अंतर समोर कमी, मागे जास्त.

Live आकृती

डॉप्लर परिणाम व ध्वनीची वैशिष्ट्ये

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : डॉप्लर परिणाम — f' = f (v ± v₀) ÷ (v ∓ v_s). श्रोता स्रोताकडे ⇒ वर (+); स्रोत श्रोत्याकडे ⇒ खाली (−). जवळ ⇒ f' जास्त, दूर ⇒ कमी. v = ध्वनीचा वेग.

  • सोपे : स्रोत 34 m/s ने जवळ, f = 500, v = 340 : f' = 500 × 340 ÷ 306 = 555.6 Hz.
  • मध्यम : श्रोता 17 m/s ने जवळ : f' = 500 × 357 ÷ 340 = 525 Hz.
  • परीक्षेसाठी (CET) : स्रोत 34 m/s ने दूर, f = 500 : f' = ? (1) 454.5 (2) 545 (3) 500 (4) 400 → उत्तर 1). युक्ती : 340 ÷ 374 = 10/11.

नियम 2 : ध्वनीची वैशिष्ट्ये — तारत्व (pitch) ↔ कंप्रता; प्रबलता (loudness) ↔ तीव्रता; गुणवत्ता (timbre) ↔ तरंगाचा आकार / अधिस्वर. तीव्रता पातळी β = 10 log₁₀(I ÷ I₀) dB; I₀ = 10⁻¹² W/m².

  • सोपे : I = 10⁻⁶ W/m² ⇒ β = 10 log(10⁶) = 60 dB.
  • मध्यम : I दुप्पट ⇒ β + 3 dB (10 log 2).
  • परीक्षेसाठी (CET) : I दहा पट ⇒ β? (1) + 10 dB (2) × 10 (3) + 1 dB (4) + 100 dB → उत्तर 1)

नियम 3 : ध्वनीचे वेग व तीव्रता — हवेत v ≈ 331 + 0.6 t (°C) m/s; I = P ÷ A (शक्ती ÷ क्षेत्रफळ); बिंदू-स्रोतासाठी I ∝ 1 ÷ r².

  • सोपे : t = 30 °C ⇒ v = 331 + 18 = 349 m/s.
  • मध्यम : अंतर दुप्पट ⇒ I चौथाई.
  • परीक्षेसाठी (CET) : r 3 पट ⇒ I? (1) 1/9 (2) 1/3 (3) 9 (4) 3 → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : स्रोत जवळ येताना f'

  • पायरी 1 : स्रोत f कंप्रतेने ध्वनी पाठवतो; एका आवर्तकात ध्वनी v T पुढे जातो आणि स्रोत v_s T पुढे सरकतो.
  • पायरी 2 : नवी तरंगलांबी λ' = v T − v_s T = (v − v_s) ÷ f.
  • पायरी 3 : श्रोत्याला कंप्रता f' = v ÷ λ' = f v ÷ (v − v_s).
  • पायरी 4 : स्रोत दूर जाताना v_s चे चिन्ह उलटे ⇒ f' = f v ÷ (v + v_s).
लक्षात ठेवा

f' = f(v ± v₀)/(v ∓ v_s); β = 10 log(I/I₀); I ∝ 1/r².

सामान्य चूक / CET सापळा

चिन्ह : श्रोता जवळ ⇒ वरचा + ; स्रोत जवळ ⇒ खालचा −. प्रत्यक्ष कंप्रता बदलत नाही; ऐकू येणारी बदलते. dB लघुगणकी, बेरीज नाही.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "जवळ = उंच, दूर = खाली".

फरक ओळखा

वैशिष्ट्यसंबंधित राशीएकक
तारत्वकंप्रता fHz
प्रबलतातीव्रता IW/m²; dB
गुणवत्तातरंग-आकार—

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1डॉप्लर परिणाम म्हणजे?
  2. 2तारत्व कशावर?
  3. 3I₀ किती?
मध्यम
  1. 4स्रोत 20 m/s ने जवळ, f = 340, v = 340 : f'?
  2. 5I = 10⁻⁸ W/m² : β?
  3. 6t = 20 °C : v?
आव्हानात्मक
  1. 7श्रोता 34 m/s ने दूर, f = 600, v = 340 : f'?
  2. 8बिंदू-स्रोत 2 m वर 60 dB; 20 m वर β? (I ∝ 1/r²)
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1स्रोत/श्रोत्याच्या गतीमुळे कंप्रतेतील स्पष्ट बदल
  2. 2कंप्रता
  3. 310⁻¹² W/m²
  4. 4f' = 340 × 340 ÷ 320 = 361.25 Hz
  5. 5β = 40 dB
  6. 6v = 343 m/s
  7. 7f' = 600 × 306 ÷ 340 = 540 Hz
  8. 8I ÷ 100 ⇒ β = 60 − 20 = 40 dB

संपूर्ण धड्याची झटपट उजळणी

संकल्पनामहत्त्वाचे सूत्र / तथ्यएकक / मितीय सूत्र
प्रगामी तरंगy = A sin(ωt − kx); v = fλ; v = √(T/μ)m/s; [L T⁻¹]
व्यतिकरणΔ = nλ रचनात्मक; (n+½)λ विनाशी; I ∝ A²W/m²
अप्रगामी तरंगN–N = λ/2; y = 2A sin kx cos ωtm
हवेचे स्तंभबंद (2n−1)v/4L; मोकळी nv/2L; e = 0.3dHz
तारf = (n/2L)√(T/μ)Hz; μ : kg/m
विस्पंदf_b =f₁ − f₂Hz
डॉप्लरf' = f(v ± v₀)/(v ∓ v_s)Hz
तीव्रता पातळीβ = 10 log(I/I₀), I₀ = 10⁻¹²dB

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

  • v = fλ; तारेत v = √(T/μ); माध्यम बदलले तर f तोच.
  • व्यतिकरण : Δ = nλ रचनात्मक; I ∝ A².
  • अप्रगामी : N–N = λ/2; निस्पंदावर आयाम 0.
  • बंद नळी विषम, मोकळी सर्व सुसंवादी; v = 2f(L₂ − L₁).
  • तार : f ∝ 1/L, √T, 1/√μ.
  • विस्पंद = |f₁ − f₂|; ± साठी मेणाची चाचणी.
  • डॉप्लर चिन्हे; β = 10 log(I/I₀).
अभ्यासाचा मंत्र

तरंग प्रकार ओळखा → सीमा-अट (निस्पंद/स्पंद) → योग्य सूत्र → एकके तपासा.