धडा ५: दोलने | राज्य मंडळ · इयत्ता 12 · भौतिकशास्त्र

आवर्ती गती व सरल आवर्ती गती

रोजच्या जीवनातून

झोपाळा मध्य-बिंदूपासून दूर गेला की तो परत मध्याकडे ओढला जातो; हे पुन्हा पुन्हा होते.

सोपी व्याख्या

सरल आवर्ती गती (SHM) = अशी दोलन गती जिच्यात त्वरण विस्थापनाच्या प्रमाणात आणि त्याच्या उलट दिशेने असते.

आकृतीत : वर्तुळावर फिरणाऱ्या बिंदूचा x-अक्षावरील प्रक्षेप सरळ रेषेत SHM करतो.

Live आकृती

आवर्ती गती व सरल आवर्ती गती

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : SHM ची व्याख्या — स्थिर-स्थानापासूनच्या विस्थापनाच्या प्रमाणात आणि त्याच्या उलट दिशेने बल : F = −k x ⇒ a = −ω² x (ω² = k ÷ m). हेच SHM चे मूळ वैशिष्ट्य.

सोपे : a = −16 x दिले ⇒ ω² = 16, ω = 4 rad/s.
मध्यम : त्याच कणाचा आवर्तकाल T = 2π ÷ 4 = 1.571 s.
परीक्षेसाठी (CET) : a = −9 x ⇒ आवर्तकाल? (1) 2π/3 s (2) 2π/9 s (3) 3 s (4) 9 s → उत्तर 1). युक्ती : ω = √(संख्या) घ्या, नंतर 2π ÷ ω.

नियम 2 : आवर्ती, दोलन आणि SHM — प्रत्येक SHM आवर्ती असते; पण प्रत्येक आवर्ती गती SHM नसते (उदा. पृथ्वीचे परिभ्रमण, F ∝ x नाही). SHM साठी F ∝ −x अनिवार्य.

सोपे : झोपाळा, लंबक, स्प्रिंगवरील वस्तुमान : SHM (लहान दोलनात).
मध्यम : मिनिटकाटा : आवर्ती, पण SHM नाही.
परीक्षेसाठी (CET) : F ∝ −x² असेल तर गती SHM नाही. (पर्याय : 1) SHM 2) SHM नाही 3) अनुनाद 4) अवमंदित → उत्तर 2)

नियम 3 : SHM आणि समान वर्तुळाकार गती — UCM मधील कणाचे व्यासावरील प्रक्षेप SHM करते : x = A sin(ωt + φ). वर्तुळाची त्रिज्या A = आयाम, कोनीय वेग ω = SHM ची कोनीय कंप्रता, φ = प्रारंभिक कला.

सोपे : त्रिज्या 0.2 m, 3 rev/s : A = 0.2 m, ω = 6π rad/s.
मध्यम : t = 0 ला x = 0 व x वाढत आहे ⇒ φ = 0.
परीक्षेसाठी (CET) : एका आवर्तनात वर्तुळावरचा कोन 2π ⇒ T = 2π ÷ ω. (पर्याय : 1) π/ω 2) 2π/ω 3) ω/2π 4) 2πω → उत्तर 2)

सूत्राची उपपत्ती : x = A sin(ωt + φ) कसे मिळते

पायरी 1 : F = −k x आणि F = m d²x/dt² ⇒ d²x/dt² = −(k ÷ m) x = −ω² x.
पायरी 2 : कोणता फलन दोनदा अवकलित केल्यावर −ω² × स्वतः देतो? sin किंवा cos.
पायरी 3 : तपासा : x = A sin(ωt + φ) ⇒ d²x/dt² = −ω² A sin(ωt + φ) = −ω² x ✓.
पायरी 4 : A आणि φ प्रारंभिक स्थितीवरून ठरतात; ω = √(k ÷ m).

लक्षात ठेवा

F = −kx; a = −ω²x; x = A sin(ωt + φ); T = 2π ÷ ω.

सामान्य चूक / CET सापळा

ω (कोनीय कंप्रता) आणि n (कंप्रता) एकच नाहीत : ω = 2πn. SHM चे वर्तुळ काल्पनिक — खरा कण वर्तुळात फिरत नाही.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "a चा उतार −ω² x" – उलटे चिन्ह आणि ω².

फरक ओळखा

राशी	चिन्ह	एकक / मितीय सूत्र
आयाम	A	m; [L]
कोनीय कंप्रता	ω	rad/s; [T⁻¹]
आवर्तकाल	T = 2π/ω	s; [T]
कंप्रता	n = 1/T	Hz; [T⁻¹]
बल-स्थिरांक	k	N/m; [M T⁻²]

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1SHM ची अट सांगा.
2a = −25 x : ω?
3n = 5 Hz : T?

मध्यम

4a = −4 x : आवर्तकाल?
5k = 100 N/m, m = 1 kg : ω?
6आवर्तकाल 0.5 s : ω?

आव्हानात्मक

7UCM त्रिज्या 5 cm, 2 rev/s : SHM चे A आणि ω?
8F ∝ −x³ असल्यास SHM का नाही?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1F ∝ −x (a = −ω² x)
2ω = 5 rad/s
3T = 0.2 s
4ω = 2, T = π = 3.14 s
5ω = √100 = 10 rad/s
6ω = 2π ÷ 0.5 = 12.57 rad/s
7A = 5 cm, ω = 4π = 12.57 rad/s
8बल x च्या प्रमाणात नाही, म्हणून a ∝ −x नाही

SHM ची समीकरणे व आलेख

रोजच्या जीवनातून

झोपाळा मध्यातून जाताना सर्वात वेगात असतो आणि टोकाला क्षणभर थांबतो.

सोपी व्याख्या

x, v, a हे sin–cos वक्र आहेत; त्यांच्यातील कला-संबंध (phase relation) वरून कोणताही प्रश्न सुटतो.

आकृतीत : x (निळा), v (हिरवा, π/2 पुढे), a (लाल, x च्या विरुद्ध).

नियम 1 : v आणि a चे सूत्र — x = A sin ωt ⇒ v = A ω cos ωt = ω √(A² − x²), a = −ω² x. कमाल : v_max = A ω (मध्य बिंदू), a_max = A ω² (टोकाला).

सोपे : A = 0.1 m, T = 2 s : ω = π; v_max = 0.314 m/s.
मध्यम : त्याच कणाचा a_max = 0.1 × π² = 0.987 m/s².
परीक्षेसाठी (CET) : A = 0.1 m, ω = 5 : x = 0.06 m वर v = 5 × √(0.01 − 0.0036) = 0.4 m/s. (पर्याय : 1) 0.4 2) 0.5 3) 0.3 4) 0.8 → उत्तर 1). युक्ती : 6-8-10 त्रिकूट ⇒ √(A² − x²) = 0.08.

नियम 2 : कला-संबंध — v चा x पेक्षा π/2 ने पुढे; a चा x शी π (विरुद्ध कला). x = 0 ला v सर्वाधिक व a = 0; x = ±A ला v = 0 व a सर्वाधिक.

सोपे : x = A वर : v = 0, a = −ω² A.
मध्यम : x = 0 वर : v = ± A ω, a = 0.
परीक्षेसाठी (CET) : v_max ÷ a_max = 1 ÷ ω. (पर्याय : 1) ω 2) 1/ω 3) ω² 4) 1/ω² → उत्तर 2)

नियम 3 : प्रारंभिक कला आणि दोन SHM ची तुलना — कला θ = ωt + φ. दोन SHM मधील कला-फरक Δφ; Δφ = 0 ⇒ एकाच कलेत, Δφ = π ⇒ विरुद्ध कलेत.

सोपे : x₁ = sin ωt आणि x₂ = sin(ωt + π) : विरुद्ध कलेत.
मध्यम : sin आणि cos मध्ये π/2 चा फरक.
परीक्षेसाठी (CET) : दोन्हींची ω सारखी नसेल तर कला-फरक काळानुसार बदलतो. (पर्याय : 1) स्थिर 2) बदलतो 3) शून्य 4) π → उत्तर 2)

सूत्राची उपपत्ती : v = ω √(A² − x²)

पायरी 1 : x = A sin θ आणि v = dx/dt = A ω cos θ.
पायरी 2 : cos θ = √(1 − sin² θ) = √(1 − x² ÷ A²).
पायरी 3 : v = A ω √(1 − x² ÷ A²) = ω √(A² − x²).
पायरी 4 : a = dv/dt = −A ω² sin θ = −ω² x.

लक्षात ठेवा

v = ω√(A² − x²); v_max = Aω; a_max = Aω²; v चा x पेक्षा π/2 पुढे.

सामान्य चूक / CET सापळा

v_max आणि a_max वेगळ्या ठिकाणी असतात. ω आणि n यांचा गोंधळ; ω = 2πn. आलेखात कला (phase) नीट वाचा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "मध्यात वेग, टोकात त्वरण".

फरक ओळखा

राशी	सूत्र	कमाल कुठे
x	A sin(ωt + φ)	टोकाला : A
v	ω √(A² − x²)	x = 0 : Aω
a	−ω² x	टोकाला : Aω²

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1v_max चे सूत्र?
2x = 0 वर a किती?
3x = A वर v किती?

मध्यम

4A = 0.2 m, ω = 3 : v_max?
5A = 0.2 m, ω = 3 : a_max?
6A = 5 cm, ω = 10, x = 3 cm : v?

आव्हानात्मक

7v_max = 4 m/s, a_max = 8 m/s² : ω आणि A?
8x = 0.1 sin(20t) : T?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1A ω
2शून्य
3शून्य
40.6 m/s
51.8 m/s²
6v = 10 × 4 = 40 cm/s
7ω = 8 ÷ 4 = 2 rad/s; A = 4 ÷ 2 = 2 m
8T = 2π ÷ 20 = 0.314 s

सरल आवर्ती गतीतील ऊर्जा

रोजच्या जीवनातून

झोपाळ्यावर मध्यातून जाताना तो वेगात (KE जास्त) आणि टोकाला उंचावर (PE जास्त) असतो; बेरीज तीच.

सोपी व्याख्या

SHM मध्ये ऊर्जा KE आणि PE यांत सतत बदलते; एकूण यांत्रिक ऊर्जा E स्थिर राहते (घर्षण नसेल तर).

आकृतीत : PE पराबोला, KE उलटा पराबोला; दोघांची बेरीज आडवी रेषा E.

नियम 1 : KE, PE आणि एकूण E — KE = ½ m ω² (A² − x²), PE = ½ m ω² x², E = ½ m ω² A² = ½ k A² (स्थिर). मध्य बिंदूला सर्व KE, टोकाला सर्व PE.

सोपे : m = 0.2 kg, A = 0.05 m, ω = 10 : E = ½ × 0.2 × 100 × 0.0025 = 0.025 J.
मध्यम : x = 0.03 m वर PE = ½ × 0.2 × 100 × 0.0009 = 0.009 J; KE = 0.016 J.
परीक्षेसाठी (CET) : आयाम दुप्पट केला ⇒ E किती पट? (1) 2 (2) 4 (3) 8 (4) 1/2 → उत्तर 2). युक्ती : E ∝ A².

नियम 2 : KE = PE चे स्थान — ½ m ω² (A² − x²) = ½ m ω² x² ⇒ x = ± A ÷ √2 ≈ ± 0.707 A. तेथे KE = PE = E ÷ 2.

सोपे : A = 10 cm : KE = PE वर x = 7.07 cm.
मध्यम : x = A ÷ 2 वर KE : PE = (1 − ¼) : ¼ = 3 : 1.
परीक्षेसाठी (CET) : x = A ÷ 2 वर PE = E चा किती अंश? (1) 1/2 (2) 1/4 (3) 3/4 (4) 1/8 → उत्तर 2)

नियम 3 : सरासरी ऊर्जा आणि वारंवारता — एका आवर्तनातील ⟨KE⟩ = ⟨PE⟩ = E ÷ 2. KE आणि PE ची कंप्रता SHM च्या दुप्पट (2n); E स्थिर.

सोपे : n = 4 Hz ⇒ KE ची कंप्रता 8 Hz.
मध्यम : E = 0.1 J ⇒ ⟨KE⟩ = 0.05 J.
परीक्षेसाठी (CET) : T = 2 s च्या SHM मध्ये KE चा आवर्तकाल? (1) 2 s (2) 1 s (3) 4 s (4) 0.5 s → उत्तर 2)

सूत्राची उपपत्ती : E = ½ m ω² A²

पायरी 1 : बल F = −k x; PE = बलाविरुद्ध केलेले कार्य = ∫₀ˣ k x dx = ½ k x².
पायरी 2 : k = m ω² ⇒ PE = ½ m ω² x².
पायरी 3 : KE = ½ m v² = ½ m ω² (A² − x²).
पायरी 4 : बेरीज : E = KE + PE = ½ m ω² A² (x गेला).

लक्षात ठेवा

E = ½ m ω² A²; KE = ½mω²(A² − x²); PE = ½mω²x²; KE = PE ⇒ x = A/√2.

सामान्य चूक / CET सापळा

E ∝ A², A नाही. KE-PE ची कंप्रता 2n. x च्या जागी विस्थापन A आणू नका.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "E चौकोन A" – ऊर्जा आयामाच्या वर्गावर.

फरक ओळखा

ऊर्जा	सूत्र	एकक
KE	½ m ω² (A² − x²)	J; [M L² T⁻²]
PE	½ m ω² x²	J
E	½ m ω² A² = ½ k A²	J

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1E चे सूत्र?
2मध्य बिंदूला PE किती?
3टोकाला KE किती?

मध्यम

4m = 1 kg, ω = 2, A = 0.1 m : E?
5k = 200 N/m, A = 0.05 m : E?
6E = 8 J, x = A/2 वर KE?

आव्हानात्मक

7KE = PE कुठे? A = 20 cm.
8आयाम 3 पट ⇒ E?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1½ m ω² A²
2शून्य
3शून्य
4E = ½ × 1 × 4 × 0.01 = 0.02 J
5E = ½ × 200 × 0.0025 = 0.25 J
6KE = 8 × ¾ = 6 J
7x = 20 ÷ √2 = 14.1 cm
8E 9 पट

स्प्रिंग–वस्तुमान दोलक

रोजच्या जीवनातून

गाडीचा सस्पेन्शन स्प्रिंग रस्त्यातील खड्डा लागला की वर-खाली होतो.

सोपी व्याख्या

स्प्रिंगला बांधलेले वस्तुमान ताणले/दाबले की F = −kx मुळे SHM होते.

आकृतीत : डावीकडे क्षैतिज, उजवीकडे उभे दोलक : T दोन्हीत 2π√(m ÷ k).

नियम 1 : आवर्तकाल — F = −k x ⇒ ω = √(k ÷ m) ⇒ T = 2π √(m ÷ k). T वर आयाम आणि g चा परिणाम नाही; m वाढला की T वाढतो, k वाढला की T कमी.

सोपे : m = 0.5 kg, k = 50 N/m : T = 2π √0.01 = 0.628 s.
मध्यम : m चौपट केला : T दुप्पट.
परीक्षेसाठी (CET) : k = 400 N/m, T = 0.314 s ⇒ m = ? (1) 1 kg (2) 0.1 kg (3) 4 kg (4) 0.4 kg → उत्तर 1). युक्ती : 0.314 = 2π ÷ 20 ⇒ ω = 20, m = k ÷ ω² = 1.

नियम 2 : स्प्रिंगचे जोड — समांतर : k = k₁ + k₂ (T कमी). श्रेणी : 1 ÷ k = 1 ÷ k₁ + 1 ÷ k₂ (T जास्त). स्प्रिंग निम्मी कापली ⇒ प्रत्येक भागाचे k दुप्पट (k ∝ 1 ÷ लांबी).

सोपे : k₁ = k₂ = 100 : समांतर 200; श्रेणी 50 N/m.
मध्यम : श्रेणीतील T ÷ समांतर T = √(200 ÷ 50) = 2.
परीक्षेसाठी (CET) : स्प्रिंग निम्मी कापली : T चे गुणक? (1) ÷√2 (2) ×√2 (3) ×2 (4) ÷2 → उत्तर 1). युक्ती : k × 2 ⇒ T ÷ √2.

नियम 3 : उभा स्प्रिंग — वस्तुमान टांगले की स्प्रिंग Δl = m g ÷ k ने ताणते; नवीन समतोल बिंदूपासून SHM. T = 2π √(Δl ÷ g) = 2π √(m ÷ k) — म्हणजे g चा परिणाम नाही.

सोपे : m = 0.2 kg, k = 20 : Δl = 2 ÷ 20 = 0.1 m; T = 2π √(0.1 ÷ 10) = 0.628 s.
मध्यम : चंद्रावर तोच दोलक : T तोच (m, k तेच).
परीक्षेसाठी (CET) : Δl = 4 cm ⇒ T = ? (g = 10) (1) 0.4 s (2) 0.126 s (3) 1.26 s (4) 0.63 s → उत्तर 1). पडताळा : 2π √(0.04 ÷ 10) = 0.397 s.

सूत्राची उपपत्ती : T = 2π √(m ÷ k)

पायरी 1 : वस्तुमानाला x विस्थापित केले; स्प्रिंगचे बल F = −k x.
पायरी 2 : न्यूटन : m d²x/dt² = −k x ⇒ d²x/dt² = −(k ÷ m) x.
पायरी 3 : SHM शी तुलना (a = −ω² x) ⇒ ω² = k ÷ m.
पायरी 4 : T = 2π ÷ ω = 2π √(m ÷ k).

लक्षात ठेवा

T = 2π√(m/k); समांतर k₁ + k₂; श्रेणी k₁k₂/(k₁ + k₂); निम्मी स्प्रिंग k × 2.

सामान्य चूक / CET सापळा

दोलकाचा T g वर अवलंबून नाही. श्रेणी आणि समांतर सूत्रे उलटू नका (विद्युत संधारित्रासारखेच उलटे).

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "मोठे m = हळू; मोठे k = वेगवान".

फरक ओळखा

जोड	k_eq	T
समांतर	k₁ + k₂	कमी
श्रेणी	k₁k₂ ÷ (k₁ + k₂)	जास्त
निम्मी कापली	2k	T ÷ √2

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1T चे सूत्र?
2k = 80, m = 0.2 : ω?
3समांतर जोडात k_eq?

मध्यम

4m = 2 kg, k = 200 : T?
5k₁ = 30, k₂ = 60 श्रेणी : k_eq?
6m 9 पट ⇒ T?

आव्हानात्मक

7वस्तुमान 0.5 kg ने स्प्रिंग 5 cm ताणते : T? (g = 10)
8चंद्रावर T बदलतो का?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

12π √(m ÷ k)
2ω = √400 = 20 rad/s
3k₁ + k₂
4T = 2π √0.01 = 0.628 s
5k_eq = 1800 ÷ 90 = 20 N/m
6T तिप्पट
7Δl = 0.05 ⇒ T = 2π √(0.05 ÷ 10) = 0.444 s
8नाही (m, k तेच)

साधा लंबक

रोजच्या जीवनातून

घड्याळाचा लंबक नियमित टिक्-टिक् करत झुलतो.

सोपी व्याख्या

साधा लंबक = वजन नसलेल्या दोरीला टांगलेला बिंदुवत गोलक. लहान कोनात त्याची गती SHM असते.

आकृतीत : mg sin θ परत ओढतो; mg cos θ दोरीच्या ताणाशी संतुलित.

Live आकृती

साधा लंबक

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : आवर्तकाल — लहान कोनासाठी sin θ ≈ θ : T = 2π √(L ÷ g). T वर m आणि आयामाचा परिणाम नाही; L ∝ T²; g कमी झाला की T जास्त.

सोपे : L = 1 m, g = 9.8 : T = 2.007 s.
मध्यम : सेकंद-लंबक (T = 2 s) : L = g ÷ π² = 0.993 m ≈ 1 m.
परीक्षेसाठी (CET) : L चौपट केला ⇒ T? (1) ×2 (2) ×4 (3) ×½ (4) ×16 → उत्तर 1). युक्ती : T ∝ √L.

नियम 2 : लिफ्ट / प्रवेगी चौकटीतील लंबक — प्रभावी g' : लिफ्ट वर प्रवेगाने a ⇒ g' = g + a; खाली ⇒ g − a; मुक्तपतनात g' = 0 ⇒ T अनंत. T = 2π √(L ÷ g').

सोपे : g = 10, a = 2.5 वर : g' = 12.5; T/T₀ = √(10 ÷ 12.5) = 0.894.
मध्यम : g' = g − a खाली प्रवेगाला : T जास्त.
परीक्षेसाठी (CET) : मुक्तपतन करणाऱ्या लिफ्टमध्ये लंबक दोलन करतो का? (1) हो (2) नाही (3) T = 2π√(L/g) (4) T = 0 → उत्तर 2)

नियम 3 : तापमान आणि सर्वसाधारण मर्यादा — लहान कोन (< ~10°) सोडला तर T थोडा वाढतो. L ची खरी लांबी = दोरीची लांबी + गोलकाची त्रिज्या (वस्तुमान-केंद्रापर्यंत).

सोपे : दोरी 0.95 m, गोलकाची त्रिज्या 0.05 m : L = 1.00 m.
मध्यम : L वाढवला (उन्हाळ्यात धातूचा दांडा) ⇒ घड्याळ मागे पडते.
परीक्षेसाठी (CET) : पर्वतावर g कमी ⇒ घड्याळ? (1) पुढे (2) मागे (3) बदल नाही (4) बंद → उत्तर 2)

सूत्राची उपपत्ती : T = 2π √(L ÷ g)

पायरी 1 : गोलक θ ने विस्थापित; स्पर्शीय बल F = −m g sin θ.
पायरी 2 : लहान θ : sin θ ≈ θ = x ÷ L ⇒ F = −(m g ÷ L) x.
पायरी 3 : हे F = −k x सारखे ⇒ k = m g ÷ L.
पायरी 4 : T = 2π √(m ÷ k) = 2π √(L ÷ g).

लक्षात ठेवा

T = 2π√(L/g); L ∝ T²; सेकंद-लंबक T = 2 s ⇒ L ≈ 1 m.

सामान्य चूक / CET सापळा

m चा परिणाम नाही. θ अंशात असतो, sin θ ≈ θ फक्त रेडियनमध्ये. L = दोरी + गोलकाची त्रिज्या.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "एल पेक्षा जी – उलटे" (T ∝ √(L/g)).

फरक ओळखा

मुद्दा	लंबक	स्प्रिंग-वस्तुमान
T चे सूत्र	2π√(L/g)	2π√(m/k)
m चा परिणाम	नाही	आहे
g चा परिणाम	आहे	नाही

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1L = 0.9 m, g = 10 : T?
2सेकंद-लंबकाचा T?
3m दुप्पट ⇒ T?

मध्यम

4T = 2 s लंबकाचा L (g = 10)?
5L 1 m → 0.25 m ⇒ T?
6लिफ्ट वर a = g ⇒ T चा गुणक?

आव्हानात्मक

7चंद्रावर g = g_पृथ्वी ÷ 6 ⇒ T चा गुणक?
8T = 1.5 s ने 100 दोलने किती वेळ?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1T = 2π √0.09 = 1.885 s
22 s
3बदल नाही
4L = 10 ÷ π² = 1.013 m
5T निम्मा
6g' = 2g ⇒ ×1/√2
7×√6 = 2.45
8150 s

कोनीय SHM, पिळ-लंबक व कंपन करणारा चुंबक

रोजच्या जीवनातून

हाताच्या घड्याळातील बॅलन्स-व्हील पुढे-मागे फिरते; ती कोनीय दोलने.

सोपी व्याख्या

कोनीय SHM : वस्तू अक्षाभोवती थोडी पुढे-मागे फिरते; प्रत्यानयन बल-आघूर्ण कोनाच्या प्रमाणात असते.

आकृतीत : तार पिळली की तबकडी θ ने फिरते आणि बल-आघूर्ण −Cθ तिला परत ओढतो.

नियम 1 : कोनीय SHM — प्रत्यानयन बल-आघूर्ण τ = −C θ ⇒ α = −(C ÷ I) θ ⇒ ω = √(C ÷ I), T = 2π √(I ÷ C). C = पिळ-स्थिरांक (N m/rad).

सोपे : I = 2 × 10⁻³ kg m², C = 0.05 : T = 2π √0.04 = 1.257 s.
मध्यम : I चौपट ⇒ T दुप्पट.
परीक्षेसाठी (CET) : T ∝ √I. एकके : C चे N m/rad. (पर्याय : T ∝ 1) I 2) √I 3) 1/I 4) I² → उत्तर 2)

नियम 2 : पिळ-लंबक — तारेने टांगलेली तबकडी पिळली की ती कोनीय SHM करते; तारेची C = η π r⁴ ÷ (2 l) तारेच्या लांबी व जाडीवर अवलंबून; T वर आयाम (लहान) चा परिणाम नाही.

सोपे : तार निम्मी लांब ⇒ C निम्मा ⇒ T × √2.
मध्यम : जाड तार ⇒ C मोठा ⇒ T कमी.
परीक्षेसाठी (CET) : तारेची त्रिज्या दुप्पट ⇒ C किती पट? (1) 2 (2) 4 (3) 8 (4) 16 → उत्तर 4). युक्ती : C ∝ r⁴.

नियम 3 : कंपन करणारा चुंबक — चुंबकीय क्षेत्र B मध्ये दंडचुंबक : τ = −m B sin θ ≈ −m B θ ⇒ T = 2π √(I ÷ m B) (m = चुंबकीय आघूर्ण). B जास्त ⇒ T कमी.

सोपे : I = 10⁻⁵ kg m², m = 0.5 A m², B = 2 × 10⁻³ T : T = 2π √(10⁻⁵ ÷ 10⁻³) = 0.628 s.
मध्यम : B चौपट ⇒ T निम्मा.
परीक्षेसाठी (CET) : चुंबकाचा T = 2 s; B 4 पट केला : T = ? (1) 4 s (2) 1 s (3) 0.5 s (4) 2 s → उत्तर 2)

सूत्राची उपपत्ती : T = 2π √(I ÷ C)

पायरी 1 : कोनीय गतीचे समीकरण : I α = τ.
पायरी 2 : τ = −C θ ⇒ I d²θ/dt² = −C θ.
पायरी 3 : d²θ/dt² = −(C ÷ I) θ ⇒ ω² = C ÷ I.
पायरी 4 : T = 2π ÷ ω = 2π √(I ÷ C) (m ↔ I, k ↔ C).

लक्षात ठेवा

τ = −Cθ; T = 2π√(I/C); चुंबक T = 2π√(I/mB).

सामान्य चूक / CET सापळा

C = N m/rad (कोन रेडियनमध्ये). I आणि m (वस्तुमान) चा गोंधळ. चुंबकाच्या सूत्रातील m चुंबकीय आघूर्ण आहे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "m → I, k → C" – रेषीय सूत्रात जुने नाव बदला.

फरक ओळखा

रेषीय SHM	कोनीय SHM
F = −k x	τ = −C θ
m	I
T = 2π√(m/k)	T = 2π√(I/C)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1पिळ-लंबकाचा T?
2C चे एकक?
3चुंबकाच्या T चे सूत्र?

मध्यम

4I = 0.02, C = 0.5 : T?
5I 9 पट ⇒ T?
6B 9 पट ⇒ T?

आव्हानात्मक

7तार 4 पट लांब ⇒ T चा गुणक?
8चुंबकाचे आघूर्ण 4 पट ⇒ T?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

12π√(I/C)
2N m/rad
32π√(I ÷ mB)
4T = 2π √0.04 = 1.257 s
5T तिप्पट
6T ÷ 3
7C ÷ 4 ⇒ T × 2
8T निम्मा

अवमंदित व प्रेरित दोलने, अनुनाद

रोजच्या जीवनातून

झोपाळ्याला योग्य लयीत धक्के दिले की तो उंच जातो; धक्के चुकीच्या लयीत दिले की नाही.

सोपी व्याख्या

अवमंदित दोलनात आयाम कमी होत जातो; प्रेरित दोलनात बाह्य बल ऊर्जा पुरवते; अनुनाद म्हणजे आयाम कमाल होणे.

आकृतीत : ω_d = ω₀ वर शिखर; कमी अवमंदन ⇒ तीक्ष्ण शिखर.

Live आकृती

अवमंदित व प्रेरित दोलने, अनुनाद

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : अवमंदित दोलन — प्रतिरोधी बल −b v मुळे आयाम घटतो : A(t) = A₀ e^(−b t ÷ 2m); ω' = √(ω₀² − (b ÷ 2m)²). ऊर्जा कमी होते (उष्णतेत).

सोपे : A₀ = 10 cm, b ÷ 2m = 0.1 s⁻¹, t = 10 s : A = 10 e⁻¹ = 3.68 cm.
मध्यम : ω₀ = 20, b ÷ 2m = 5 : ω' = √(400 − 25) = 19.36 rad/s.
परीक्षेसाठी (CET) : अवमंदनात ω' ω₀ पेक्षा कसा? (1) जास्त (2) कमी (3) सारखा (4) शून्य → उत्तर 2)

नियम 2 : प्रेरित दोलन — बाह्य आवर्ती बल कंप्रता ω_d ने लावले की प्रणाली ω_d ने दोलन करते (स्वतःच्या ω₀ ने नाही). आयाम ω_d ω₀ जवळ आले की वाढतो.

सोपे : झोपाळ्याला दर 2 s ने धक्का : प्रेरित कंप्रता 0.5 Hz.
मध्यम : सुरुवातीला क्षणिक दोलने; नंतर स्थिर अवस्था ω_d ने.
परीक्षेसाठी (CET) : स्थिर अवस्थेतील कंप्रता? (1) ω₀ (2) ω_d (3) ω' (4) 0 → उत्तर 2)

नियम 3 : अनुनाद — ω_d = ω₀ वर आयाम कमाल : अनुनाद (resonance). अवमंदन कमी ⇒ शिखर तीक्ष्ण व उंच. उपयोग : रेडिओ ट्यूनिंग, संगीत वाद्ये; धोका : पूल, इमारती.

सोपे : ω₀ = √(k ÷ m) = √(40 ÷ 0.1) = 20 : प्रेरित ω_d = 20 वर अनुनाद.
मध्यम : सैनिकांनी पुलावर लय सोडून चालावे.
परीक्षेसाठी (CET) : ω_d = 15 व ω₀ = 20 : अनुनाद नाही; आयाम कमी. (पर्याय : 1) अनुनाद 2) नाही 3) अनंत 4) शून्य ऊर्जा → उत्तर 2)

सूत्राची उपपत्ती : अवमंदित ω'

पायरी 1 : समीकरण : m d²x/dt² = −k x − b dx/dt.
पायरी 2 : उत्तर x = A₀ e^(−γt) cos(ω't), γ = b ÷ 2m.
पायरी 3 : ठेवल्यावर ω'² = k ÷ m − (b ÷ 2m)².
पायरी 4 : ω' = √(ω₀² − (b ÷ 2m)²); b वाढले की ω' घटते आणि आयाम लवकर घटतो.

लक्षात ठेवा

A = A₀e^(−bt/2m); ω' = √(ω₀² − (b/2m)²); अनुनाद ω_d = ω₀.

सामान्य चूक / CET सापळा

प्रेरित दोलन ω_d ने चालते, ω₀ ने नाही. अनुनादात आयाम अनंत होत नाही (अवमंदन मर्यादा घालते).

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "धक्क्यांची लय = स्वतःची लय ⇒ अनुनाद".

फरक ओळखा

प्रकार	कंप्रता	आयाम
मुक्त	ω₀	स्थिर
अवमंदित	ω' < ω₀	घटतो
प्रेरित	ω_d	ω_d ≈ ω₀ वर कमाल

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1अनुनाद कधी?
2अवमंदनात ऊर्जा कुठे जाते?
3प्रेरित दोलन कोणत्या कंप्रतेने?

मध्यम

4ω₀ = 10, b ÷ 2m = 6 : ω'?
5A₀ = 8 cm, b ÷ 2m = 0.5 s⁻¹, t = 2 s : A?
6k = 90, m = 0.1 : अनुनाद ω_d?

आव्हानात्मक

7जास्त अवमंदनाने अनुनाद शिखर कसे बदलते?
8पुलावर अनुनाद का धोकादायक?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1ω_d = ω₀
2उष्णतेत
3ω_d
4ω' = √(100 − 36) = 8 rad/s
5A = 8 e⁻¹ = 2.94 cm
6ω_d = √900 = 30 rad/s
7शिखर खालचे आणि रुंद
8आयाम खूप वाढून पूल तुटू शकतो

संपूर्ण धड्याची झटपट उजळणी

संकल्पना	महत्त्वाचे सूत्र / तथ्य	एकक / मितीय सूत्र
SHM	a = −ω² x; x = A sin(ωt + φ); T = 2π/ω	ω : rad/s; [T⁻¹]
वेग / त्वरण	v = ω√(A² − x²); v_max = Aω; a_max = Aω²	m/s; m/s²
ऊर्जा	E = ½mω²A² = ½kA²; KE = PE ⇒ x = A/√2	J; [M L² T⁻²]
स्प्रिंग	T = 2π√(m/k); k_समांतर = k₁ + k₂	s; N/m
साधा लंबक	T = 2π√(L/g); सेकंद-लंबक L ≈ 1 m	s
कोनीय SHM	τ = −Cθ; T = 2π√(I/C); चुंबक 2π√(I/mB)	N m/rad
अवमंदन / अनुनाद	A = A₀e^(−bt/2m); ω_d = ω₀ वर अनुनाद	rad/s

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

SHM : F ∝ −x, a = −ω²x, T = 2π/ω; v = ω√(A² − x²).
E = ½mω²A² स्थिर; KE = PE वर x = A/√2.
स्प्रिंग T = 2π√(m/k); लंबक T = 2π√(L/g) (m नाही).
श्रेणी/समांतर स्प्रिंग; स्प्रिंग कापली ⇒ k × 2.
लिफ्टमध्ये g' = g ± a; मुक्तपतनात दोलन नाही.
कोनीय SHM : T = 2π√(I/C).
अनुनाद ω_d = ω₀; अवमंदनाने आयाम e^(−bt/2m).

अभ्यासाचा मंत्र

a = −ω²x लिहा → ω काढा → T = 2π/ω → योग्य सूत्र → एकक तपासा.