K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 12 · भौतिकशास्त्र

धडा २: तरलांचे यांत्रिक गुणधर्म

7 संकल्पना · उत्तरांसह 56 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

स्थिर तरलातील दाब

आधीच्या वर्गाशी नाते : इयत्ता 9-10 मधील दाब, घनता आणि तरंगण्याची (प्लावक बल) संकल्पना येथे वाहत्या द्रवांपर्यंत पुढे नेली आहे.

रोजच्या जीवनातून

खोल पाण्यात उतरताना कानावर दाब जाणवतो आणि धरणाची भिंत तळाशी जास्त जाड ठेवतात, कारण खोलीबरोबर दाब वाढतो.

सोपी व्याख्या

तरल (fluid) म्हणजे वाहू शकणारा द्रव किंवा वायू. दाब (pressure) p = F ÷ A. स्थिर द्रवात खोली h वर p = p₀ + ρ g h.

खोली h वर द्रवाचा दाब सर्व दिशांना सारखाहवेचा दाब p₀hp = p₀ + ρ g hसर्व दिशांना सारखा

आकृतीत : द्रव्यात खोलवर गेलेला बिंदू आणि त्यावरील सर्व दिशांचे बाण; खोली h वाढली की p वाढतो.

नियम 1 : दाबाची व्याख्या — पृष्ठावर लंब लागणारे बल ÷ क्षेत्रफळ : p = F ÷ A. एकक Pa = N/m²; मितीय सूत्र [M L⁻¹ T⁻²]. दाब हा अदिश (scalar) आहे.

  • सोपे : F = 200 N, A = 0.05 m² : p = 200 ÷ 0.05 = 4000 Pa.
  • मध्यम : 60 kg ची व्यक्ती, प्रत्येक पावलाचे क्षेत्रफळ 200 cm² : दोन पावलांवर p = 600 ÷ 0.04 = 15000 Pa; एका पावलावर 30000 Pa.
  • परीक्षेसाठी (CET) : 2 kg चा ठोकळा 10 cm × 20 cm × 5 cm. सर्वात मोठी बाजू खाली : p = 20 ÷ 0.02 = 1000 Pa; सर्वात लहान बाजू खाली : 4000 Pa. गुणोत्तर 1 : 4. (पर्याय : 1) 1000 व 2000 2) 1000 व 4000 3) 500 व 2000 4) 2000 व 4000 → उत्तर 2)

नियम 2 : खोलीनुसार दाब — स्थिर द्रवात खोली h वर p = p₀ + ρ g h. फक्त ρ g h हा गेज दाब. एकाच पातळीवरील सर्व बिंदूंवर दाब सारखा; भांड्याच्या आकारावर अवलंबून नाही.

  • सोपे : पाणी, h = 5 m : गेज दाब = 1000 × 10 × 5 = 50000 Pa.
  • मध्यम : 20 m खोलीवर निरपेक्ष दाब = 1.013 × 10⁵ + 2 × 10⁵ = 3.013 × 10⁵ Pa.
  • परीक्षेसाठी (CET) : पाण्यात किती खोलीवर निरपेक्ष दाब वातावरणीय दाबाच्या दुप्पट? ρ g h = p₀ ⇒ h = 1.013 × 10⁵ ÷ 10⁴ = 10.13 m ≈ 10 m. (पर्याय : 1) 5 m 2) 10.1 m 3) 20 m 4) 76 cm → उत्तर 2)

नियम 3 : भिंतीवरील बल — उभ्या भिंतीवर दाब खोलीबरोबर वाढतो; सरासरी दाब = ½ ρ g H. म्हणून धरणाच्या भिंतीवरील बल F = ½ ρ g H² b (b = भिंतीची रुंदी).

  • सोपे : भिंतीचा सरासरी दाब काढण्यासाठी तळाच्या दाबाचा निम्मा घ्या (वर 0, तळाशी ρ g H).
  • मध्यम : H = 4 m, b = 10 m : F = ½ × 1000 × 10 × 16 × 10 = 800000 N.
  • परीक्षेसाठी (CET) : पाण्याची खोली दुप्पट केली तर भिंतीवरील बल 4 पट होते (F ∝ H²). (पर्याय : 1) 2 पट 2) 4 पट 3) 8 पट 4) तेवढेच → उत्तर 2)

सूत्राची उपपत्ती : p = p₀ + ρ g h सिद्ध करा

  • पायरी 1 : द्रवात उभा काल्पनिक दंडगोल घ्या : आडछेद A, वरचे टोक पृष्ठावर, तळ खोली h वर.
  • पायरी 2 : वर पृष्ठावर हवेचा दाब p₀ असल्याने खाली बल p₀ A; तळावर वरच्या दिशेने बल p A.
  • पायरी 3 : द्रवाचे वजन (खालच्या दिशेने) = ρ A h g.
  • पायरी 4 : संतुलन : p A = p₀ A + ρ A h g ⇒ p = p₀ + ρ g h (A रद्द होतो, म्हणून आकाराचा संबंध नाही).
लक्षात ठेवा

p = F ÷ A; p = p₀ + ρ g h; एकाच पातळीवर दाब सारखा; 1 atm = 1.013 × 10⁵ Pa = 76 cm Hg; पाण्यात दर 10 m खोलीला सुमारे 1 atm वाढतो.

सामान्य चूक / CET सापळा

तळाशी दाब भांड्याच्या आकारावर किंवा द्रवाच्या एकूण वजनावर अवलंबून नाही (हायड्रोस्टॅटिक विरोधाभास). फक्त h, ρ आणि g. 'गेज' आणि 'निरपेक्ष' यांतील फरक विसरू नका; cm चे m करा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "खोल गेलात, दाब वाढला : p = p₀ + ρgh" — पाण्यात दर 10 m = 1 atm अधिक.

फरक ओळखा

मुद्दानिरपेक्ष दाबगेज दाबवातावरणीय दाब
सूत्रp₀ + ρ g hρ g hp₀ = 1.013 × 10⁵ Pa
कुठे मोजतातशून्य दाबापासूनवातावरणापासूनसमुद्रसपाटीला
शून्य केव्हाफक्त निर्वातउघड्या हवेत—

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1F = 500 N, A = 0.25 m² : दाब किती?
  2. 2पाण्यात 3 m खोलीवर गेज दाब किती?
  3. 31 वातावरण (atm) म्हणजे किती Pa?
मध्यम
  1. 4पाण्यात 15 m खोलीवर निरपेक्ष दाब किती? (p₀ = 1.013 × 10⁵ Pa)
  2. 55 kg चा घनाकृती ठोकळा (बाजू 0.1 m) टेबलावर : दाब किती?
  3. 6तेल (ρ = 800 kg/m³) चा किती उंच स्तंभ 4 × 10⁴ Pa गेज दाब देईल?
आव्हानात्मक
  1. 7धरणात पाण्याची खोली 6 m, भिंतीची रुंदी 20 m : भिंतीवरील बल काढा.
  2. 8पाणबुड्याला निरपेक्ष दाब 4 atm जाणवतो. तो किती खोलीवर आहे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1p = 500 ÷ 0.25 = 2000 Pa
  2. 2p = 1000 × 10 × 3 = 30000 Pa
  3. 31.013 × 10⁵ Pa (= 76 cm Hg)
  4. 4p = 1.013 × 10⁵ + 1.5 × 10⁵ = 2.513 × 10⁵ Pa
  5. 5p = 50 ÷ 0.01 = 5000 Pa
  6. 6h = 4 × 10⁴ ÷ (800 × 10) = 5 m
  7. 7F = ½ × 1000 × 10 × 36 × 20 = 3.6 × 10⁶ N
  8. 8गेज = 3 atm = 3.039 × 10⁵ Pa ⇒ h = 3.039 × 10⁵ ÷ 10⁴ = 30.4 m

पास्कलचा नियम, हायड्रॉलिक यंत्रे व दाबमापन

रोजच्या जीवनातून

गॅरेजमध्ये हाताने पंप दाबूनही जड गाडी वर उचलली जाते; ती हायड्रॉलिक उचल आहे.

सोपी व्याख्या

पास्कलचा नियम : बंद द्रवावरील दाब सर्वत्र तेवढाच पोहोचतो. त्यामुळे F₂ = F₁ (A₂ ÷ A₁).

हायड्रॉलिक उचल : लहान बल F₁ मोठे बल F₂ देतेF₁F₂A₁A₂p₁ = p₂

आकृतीत : लहान पिस्टन A₁ वर F₁, मोठ्या पिस्टन A₂ वर F₂; दोन्हीखाली दाब सारखा.

नियम 1 : पास्कलचा नियम — बंद द्रवावर लावलेला दाब द्रवाच्या सर्व भागांत आणि भांड्याच्या भिंतींवर न घटता पोहोचतो.

  • सोपे : बंद सिरिंजच्या पिस्टनवर दाबल्यास दाब सर्वत्र सारखाच वाढतो.
  • मध्यम : लहान पिस्टनवर 10 N/cm² चा दाब वाढवला तर मोठ्या पिस्टनखालीही तेवढाच दाब वाढतो.
  • परीक्षेसाठी (CET) : पास्कलचा नियम द्रवाला असंपीड्य (incompressible) मानतो; वायूत फार थोडा संपीडन झाल्याने हा नियम तितका चांगला चालत नाही.

नियम 2 : हायड्रॉलिक उचल — दोन्ही पिस्टनखाली दाब सारखा : F₁ ÷ A₁ = F₂ ÷ A₂ ⇒ F₂ = F₁ (A₂ ÷ A₁). बल वाढते पण कार्य सारखेच (ऊर्जा-संरक्षण) : F₁ d₁ = F₂ d₂, म्हणून मोठा पिस्टन कमी सरकतो.

  • सोपे : A₁ = 2 cm², A₂ = 200 cm², F₁ = 50 N : F₂ = 50 × 100 = 5000 N.
  • मध्यम : 1200 kg ची गाडी उचलायची, A₂ ÷ A₁ = 50 : F₁ = 12000 ÷ 50 = 240 N.
  • परीक्षेसाठी (CET) : त्याच यंत्रात मोठा पिस्टन 1 cm वर जाण्यासाठी लहान पिस्टन 100 cm खाली दाबावा लागतो. (पर्याय : 1) 1 cm 2) 10 cm 3) 100 cm 4) 50 cm → उत्तर 3)

नियम 3 : दाबमापन — वायुभारमापी (barometer) वातावरणीय दाब मोजतो : p₀ = ρ g h, पाऱ्याचा स्तंभ 76 cm. मॅनोमीटर (manometer) गेज दाब मोजतो : p गेज = ρ g h, h = दोन बाजूंच्या पातळ्यांतील फरक.

  • सोपे : पारा 76 cm : p₀ = 13600 × 10 × 0.76 ≈ 1.03 × 10⁵ Pa (g = 9.8 घेतल्यास 1.013 × 10⁵ Pa).
  • मध्यम : मॅनोमीटरमध्ये पाऱ्याच्या पातळीतील फरक 15 cm : गेज दाब = 13600 × 10 × 0.15 = 20400 Pa.
  • परीक्षेसाठी (CET) : पाऱ्याऐवजी पाणी वापरले तर वायुभारमापीची उंची = 13.6 × 0.76 = 10.34 m ≈ 10.3 m. (पर्याय : 1) 0.76 m 2) 1.03 m 3) 10.3 m 4) 103 m → उत्तर 3)

सूत्राची उपपत्ती : F₂ = F₁ (A₂ ÷ A₁) सिद्ध करा

  • पायरी 1 : लहान पिस्टनवर F₁ लावल्यास त्याखालील द्रवाचा दाब p = F₁ ÷ A₁.
  • पायरी 2 : पास्कलच्या नियमानुसार हा दाब मोठ्या पिस्टनखाली तेवढाच : p = F₂ ÷ A₂.
  • पायरी 3 : दोन्ही समीकरणे समान : F₁ ÷ A₁ = F₂ ÷ A₂ ⇒ F₂ = F₁ (A₂ ÷ A₁). कार्य : F₁ d₁ = F₂ d₂ (द्रव असंपीड्य, V = A₁d₁ = A₂d₂).
लक्षात ठेवा

F₂ = F₁ A₂ ÷ A₁; बल वाढते, कार्य सारखेच; p₀ = ρ g h (barometer); गेज दाब = ρ g h (manometer).

सामान्य चूक / CET सापळा

हायड्रॉलिक उचलीने ऊर्जा मिळत नाही; कार्य F₁d₁ = F₂d₂. क्षेत्रफळ cm² मध्ये दिले तर गुणोत्तरात चालते, पण त्रिज्या दिल्यास क्षेत्रफळ r² प्रमाणे घ्या (त्रिज्यांचे गुणोत्तर वर्गात).

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "लहान बल – मोठे क्षेत्रफळ = मोठे बल; पण अंतर उलट" (F ∝ A, d ∝ 1/A).

फरक ओळखा

यंत्रतत्त्वकाय मोजते / करते
हायड्रॉलिक उचलपास्कलचा नियमलहान बलाने मोठे वजन उचलते
वायुभारमापीp₀ = ρ g hवातावरणीय दाब
मॅनोमीटरp = ρ g hगेज दाब (वायूचा)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1A₁ = 1 cm², A₂ = 50 cm², F₁ = 20 N : F₂ किती?
  2. 2दाब मोजण्याचे वातावरणीय यंत्र कोणते?
  3. 3बंद द्रवावरील दाब कसा पोहोचतो (नियमाचे नाव)?
मध्यम
  1. 4F₂ = 8000 N हवे, A₂ ÷ A₁ = 40 : F₁ किती?
  2. 5मॅनोमीटरमध्ये पाऱ्याचा फरक 10 cm : गेज दाब?
  3. 6मोठ्या पिस्टनचे क्षेत्रफळ लहानाच्या 25 पट; लहान 50 cm सरकल्यास मोठा किती?
आव्हानात्मक
  1. 7मोठ्या पिस्टनवर 4000 N उचलायचे; लहान पिस्टनची त्रिज्या 1 cm, मोठ्याची 10 cm : F₁ किती?
  2. 8पाऱ्याऐवजी ρ = 800 kg/m³ च्या तेलाने 1.0 × 10⁵ Pa दाब मोजायचा; स्तंभ किती उंच?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1F₂ = 20 × 50 = 1000 N
  2. 2वायुभारमापी (barometer)
  3. 3पास्कलचा नियम
  4. 4F₁ = 8000 ÷ 40 = 200 N
  5. 5p = 13600 × 10 × 0.1 = 13600 Pa
  6. 6d₂ = 50 ÷ 25 = 2 cm
  7. 7A₂ ÷ A₁ = (10 ÷ 1)² = 100 ⇒ F₁ = 4000 ÷ 100 = 40 N
  8. 8h = 1.0 × 10⁵ ÷ (800 × 10) = 12.5 m

पृष्ठीय ताण व स्पर्श कोन

रोजच्या जीवनातून

पाण्याच्या पृष्ठावर टाचणी तरंगते, पानावर पाण्याचा थेंब गोल राहतो आणि पारा काचेला चिकटत नाही — हे सर्व पृष्ठीय ताणामुळे.

सोपी व्याख्या

पृष्ठीय ताण (surface tension) S = F ÷ l = W ÷ ΔA. स्पर्श कोन (angle of contact) θ ठरवतो की द्रव घन पृष्ठ ओले करतो की नाही.

स्पर्श कोन : पाणी–काच (लघुकोन) आणि पारा–काच (विशालकोन)θपाणी–काच θ < 90°θपारा–काच θ > 90°

आकृतीत : काचेच्या भिंतीजवळ द्रवाचे पृष्ठ; θ हा द्रवाच्या आतला कोन आहे.

नियम 1 : पृष्ठीय ताण — द्रवाच्या मुक्त पृष्ठावर रेषेला लंब, पृष्ठाला स्पर्शी बल : S = F ÷ l (एकक N/m; [M T⁻²]). तसेच S = W ÷ ΔA (J/m²) म्हणजे प्रति एकक क्षेत्रफळ पृष्ठीय ऊर्जा.

  • सोपे : साबणाच्या पडद्याच्या फ्रेमची लांबी l = 0.1 m, S = 0.03 N/m (दोन पृष्ठे) : F = 2 S l = 0.006 N.
  • मध्यम : पडद्याचे क्षेत्रफळ 20 cm² ने वाढवले (दोन पृष्ठे) : W = S × 2ΔA = 0.03 × 2 × 20 × 10⁻⁴ = 1.2 × 10⁻⁴ J.
  • परीक्षेसाठी (CET) : तापमान वाढले की S कमी होतो; साबण/डिटर्जंट घातल्यावरही कमी होतो. (पर्याय : 1) तापमानाने वाढतो 2) तापमानाने कमी होतो 3) बदलत नाही 4) दुप्पट होतो → उत्तर 2)

नियम 2 : पृष्ठीय ऊर्जा — पृष्ठाचे क्षेत्रफळ वाढवताना केलेले कार्य पृष्ठीय ऊर्जा म्हणून साठते : W = S ΔA. द्रव कमीत कमी क्षेत्रफळ घेतो म्हणून थेंब गोल असतो.

  • सोपे : S = 0.07 N/m, ΔA = 10⁻³ m² : W = 7 × 10⁻⁵ J.
  • मध्यम : त्रिज्या 2 mm चा थेंब : क्षेत्रफळ 4πr² = 5.03 × 10⁻⁵ m²; पृष्ठीय ऊर्जा = 0.07 × 5.03 × 10⁻⁵ = 3.52 × 10⁻⁶ J.
  • परीक्षेसाठी (CET) : दोन्ही पृष्ठे असलेल्या बुडबुड्यासाठी एकूण क्षेत्रफळ 2 × 4πr² घ्या. (पर्याय : 1) 4πr² 2) 8πr² 3) 2πr² 4) πr² → उत्तर 2)

नियम 3 : स्पर्श कोन — द्रव–घन–हवा यांच्या स्पर्श बिंदूवर द्रवाच्या आतल्या बाजूने मोजलेला कोन θ. θ < 90° ⇒ द्रव घन पृष्ठ ओले करतो (पाणी–काच); θ > 90° ⇒ ओले करत नाही (पारा–काच).

  • सोपे : पाणी–काच : θ ≈ 0° (लघुकोन), पृष्ठ अंतर्वक्र (concave).
  • मध्यम : पारा–काच : θ ≈ 135°, पृष्ठ बहिर्वक्र (convex).
  • परीक्षेसाठी (CET) : आसंजक बल (adhesion) जास्त ⇒ θ लहान; संसंजक बल (cohesion) जास्त ⇒ θ मोठा. (पर्याय : 1) पारा–काच : आसंजन > संसंजन 2) पाणी–काच : आसंजन > संसंजन 3) दोन्ही सारखे 4) कशाचाही संबंध नाही → उत्तर 2)

सूत्राची उपपत्ती : S = F ÷ l आणि S = W ÷ ΔA एकच आहेत हे दाखवा

  • पायरी 1 : U-आकाराच्या तारेवर साबणाचा पडदा; सरकती तार लांबी l; पडद्याला दोन पृष्ठे ⇒ ओढणारे बल F = 2 S l.
  • पायरी 2 : तार x अंतर सरकवली : कार्य W = F x = 2 S l x.
  • पायरी 3 : क्षेत्रफळातील वाढ (दोन पृष्ठे) ΔA = 2 l x.
  • पायरी 4 : म्हणून W ÷ ΔA = 2 S l x ÷ 2 l x = S. दोन व्याख्या एकच.
लक्षात ठेवा

S = F ÷ l = W ÷ ΔA; पृष्ठीय ऊर्जा = S × क्षेत्रफळ; θ < 90° ओले करते; S तापमानाने घटतो.

सामान्य चूक / CET सापळा

साबणाच्या पडद्यात दोन पृष्ठे ⇒ F = 2 S l आणि क्षेत्रफळ 2 × ; थेंबात एकच पृष्ठ. पृष्ठीय ताण हा सदिश बल नाही — एकक प्रति लांबी.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "पडदा दोन तोंडी, थेंब एक तोंडी" — पडद्यासाठी 2 ने गुणा.

फरक ओळखा

मुद्दापाणी–काचपारा–काच
स्पर्श कोन< 90° (लघुकोन)> 90° (विशालकोन)
पृष्ठाचा आकारअंतर्वक्रबहिर्वक्र
ओले करतो का?होयनाही

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1S चे SI एकक आणि मितीय सूत्र लिहा.
  2. 2पाणी–काच साठी स्पर्श कोन लघुकोन की विशालकोन?
  3. 3साबणाच्या पडद्याला किती पृष्ठे असतात?
मध्यम
  1. 4l = 0.2 m च्या तारेवर साबणाचा पडदा, S = 0.03 N/m : बल?
  2. 5S = 0.07 N/m, ΔA = 5 × 10⁻⁴ m² : W?
  3. 6तापमान वाढल्यास S कसा बदलतो?
आव्हानात्मक
  1. 7त्रिज्या 1 cm चा साबणाचा बुडबुडा (S = 0.03 N/m) : दोन पृष्ठांसाठी पृष्ठीय ऊर्जा काढा.
  2. 8पारा–काच साठी θ = 135° असेल तर cos θ चे चिन्ह काय? याचा केशनलिकेतील पातळीवर परिणाम?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1एकक N/m; [M T⁻²]
  2. 2लघुकोन (θ < 90°)
  3. 3दोन
  4. 4F = 2 S l = 2 × 0.03 × 0.2 = 0.012 N
  5. 5W = 0.07 × 5 × 10⁻⁴ = 3.5 × 10⁻⁵ J
  6. 6कमी होतो
  7. 7A = 2 × 4π(0.01)² = 2.51 × 10⁻³ m² ⇒ E = 0.03 × A = 7.54 × 10⁻⁵ J
  8. 8cos 135° ऋण; केशनलिकेत पारा खाली जातो (अवनमन).

अतिरिक्त दाब, थेंब, बुडबुडे व केशाकर्षण

रोजच्या जीवनातून

पेपर टॉवेल पाणी शोषतो, दिव्याच्या वातीतून तेल वर चढते आणि फुगवलेला बुडबुडा गोल राहतो — सर्व केशाकर्षण व अतिरिक्त दाबामुळे.

सोपी व्याख्या

वक्र द्रवपृष्ठाच्या आत अतिरिक्त दाब (excess pressure) असतो. अरुंद नळीत द्रवाची पातळी बदलणे म्हणजे केशाकर्षण (capillary action).

केशनलिकेत पाणी वर चढते (h = 2S cos θ ÷ r ρ g)hr

आकृतीत : अरुंद नळीत पाणी h उंचीपर्यंत चढते; पृष्ठ अंतर्वक्र.

नियम 1 : अतिरिक्त दाब — वक्र पृष्ठाच्या आत बाहेरपेक्षा जास्त दाब असतो. थेंब : ΔP = 2S ÷ r; साबणाचा बुडबुडा (दोन पृष्ठे) : ΔP = 4S ÷ r; द्रवातील हवेचा बुडबुडा : ΔP = 2S ÷ r.

  • सोपे : पाण्याचा थेंब r = 1 mm, S = 0.07 N/m : ΔP = 2 × 0.07 ÷ 0.001 = 140 Pa.
  • मध्यम : साबणाचा बुडबुडा r = 1 cm, S = 0.03 N/m : ΔP = 4 × 0.03 ÷ 0.01 = 12 Pa.
  • परीक्षेसाठी (CET) : दोन साबणाच्या बुडबुड्यांच्या त्रिज्या 1 : 2 असतील तर अतिरिक्त दाबांचे गुणोत्तर 2 : 1 (ΔP ∝ 1/r). लहान बुडबुड्यात दाब जास्त. (पर्याय : 1) 1 : 2 2) 2 : 1 3) 1 : 4 4) 4 : 1 → उत्तर 2)

नियम 2 : केशाकर्षण — अरुंद नळीत द्रव वर चढतो किंवा खाली जातो : h = 2 S cos θ ÷ (r ρ g). θ < 90° ⇒ चढ; θ > 90° ⇒ घसरण (अवनमन). h ∝ 1/r : नळी जेवढी अरुंद तेवढा जास्त फरक.

  • सोपे : पाणी, r = 0.5 mm, S = 0.07, θ = 0° : h = 2 × 0.07 ÷ (0.0005 × 1000 × 10) = 2.8 cm.
  • मध्यम : पारा, r = 1 mm, S = 0.465, θ = 135°, ρ = 13600 : h = -4.8 mm (ऋण = खाली).
  • परीक्षेसाठी (CET) : नळीची त्रिज्या निम्मी केली तर h दुप्पट होतो. (पर्याय : 1) निम्मा 2) दुप्पट 3) चौपट 4) तेवढाच → उत्तर 2)

नियम 3 : थेंब फुटणे / जुळणे — मोठा थेंब n लहान थेंबांत फुटला तर पृष्ठक्षेत्रफळ वाढते, म्हणून ऊर्जा खर्च होते : W = S · 4πR² (n^{1/3} − 1). थेंब जुळताना ऊर्जा मुक्त होते.

  • सोपे : आकारमान समान : n r³ = R³ ⇒ r = R ÷ n^{1/3}.
  • मध्यम : R = 2 mm चा थेंब 8 थेंबांत फुटला (r = 1 mm) : W = 0.07 × 4π(0.002)² × (2 − 1) = 3.52 × 10⁻⁶ J.
  • परीक्षेसाठी (CET) : n = 1000 साठी n^{1/3} = 10 ⇒ क्षेत्रफळ 10 पट. (पर्याय : 1) 10 पट 2) 100 पट 3) 1000 पट 4) तेवढेच → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : केशाकर्षणाचे सूत्र h = 2S cos θ ÷ (r ρ g)

  • पायरी 1 : नळीच्या परिघावर (2πr) पृष्ठीय ताणाचे बल S द्रवाला θ कोनात वर ओढते; उभा घटक = S cos θ.
  • पायरी 2 : एकूण वरचे बल = (2πr) S cos θ.
  • पायरी 3 : चढलेल्या द्रवाचे वजन = π r² h ρ g.
  • पायरी 4 : संतुलन : π r² h ρ g = 2π r S cos θ ⇒ h = 2 S cos θ ÷ (r ρ g).
लक्षात ठेवा

थेंब 2S/r; बुडबुडा 4S/r; h = 2S cos θ ÷ r ρ g; W = S·4πR²(n^{1/3} − 1).

सामान्य चूक / CET सापळा

साबणाच्या बुडबुड्यात 4S ÷ r (दोन पृष्ठे), थेंबात 2S ÷ r. केशनलिकेत r ही नळीची त्रिज्या आहे, मेनिस्कसची नाही (θ = 0° असताना सारखी). पाऱ्यासाठी cos θ ऋण ⇒ h ऋण (अवनमन).

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "थेंब – 2, बुडबुडा – 4" (पृष्ठांची संख्या) आणि "अरुंद नळी = जास्त चढ".

फरक ओळखा

प्रकारपृष्ठेΔP
द्रवाचा थेंब12S ÷ r
साबणाचा बुडबुडा24S ÷ r
द्रवातील हवेचा बुडबुडा12S ÷ r

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1थेंबासाठी ΔP चे सूत्र लिहा.
  2. 2पाण्याची केशनलिकेत पातळी वर चढते की खाली जाते?
  3. 3नळीची त्रिज्या अर्धी केली तर h कसा बदलतो?
मध्यम
  1. 4साबणाचा बुडबुडा r = 2 cm, S = 0.03 N/m : ΔP?
  2. 5पाणी, r = 0.2 mm, S = 0.07, θ = 0° : h काढा.
  3. 61 mm त्रिज्येचे 8 थेंब जुळून एक थेंब बनला; नवी त्रिज्या?
आव्हानात्मक
  1. 7R = 3 mm चा थेंब 27 थेंबांत फुटला : W काढा (S = 0.07).
  2. 8दोन बुडबुडे r₁ = 1 cm, r₂ = 3 cm एकत्र (नळीने जोडले) : हवा कुठून कुठे जाईल?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1ΔP = 2S ÷ r
  2. 2वर चढते
  3. 3h दुप्पट होतो
  4. 4ΔP = 4 × 0.03 ÷ 0.02 = 6 Pa
  5. 5h = 2 × 0.07 ÷ (0.0002 × 1000 × 10) = 7 cm
  6. 6R = 1 mm × 8^{1/3} = 2 mm
  7. 727^{1/3} = 3 ⇒ W = 0.07 × 4π(0.003)² × 2 = 1.58 × 10⁻⁵ J
  8. 8लहान बुडबुड्यात दाब जास्त (ΔP ∝ 1/r) ⇒ हवा लहानातून मोठ्याकडे जाते; लहान आणखी लहान होतो.

प्रवाही तरल : सातत्य समीकरण व रेनॉल्ड्स अंक

रोजच्या जीवनातून

बागेच्या पाईपचे तोंड बोटाने अर्धे दाबले की पाणी जास्त वेगाने दूर उडते.

सोपी व्याख्या

आदर्श तरल असंपीड्य, अश्यान आणि स्तरीय प्रवाहात असते. A v = स्थिर. प्रवाह स्तरीय आहे की विक्षुब्ध हे रेनॉल्ड्स अंक ठरवतो.

नळीचे क्षेत्रफळ कमी तिथे वेग जास्त (A₁v₁ = A₂v₂)A₁, v₁A₂, v₂प्रवाह-रेषा एकमेकांना छेदत नाहीत

आकृतीत : नळी अरुंद होते तिथे प्रवाह-रेषा दाट होतात आणि वेग v₂ जास्त असतो.

नियम 1 : स्तरीय व विक्षुब्ध प्रवाह — स्तरीय प्रवाहात (streamline) प्रत्येक कण ठरावीक मार्गाने जातो, मार्ग एकमेकांना छेदत नाहीत. वेग एका मर्यादेपलीकडे (क्रांतिक वेग) गेला की प्रवाह विक्षुब्ध (turbulent) होतो — भोवरे तयार होतात.

  • सोपे : हळू वाहणारे मध पडताना सरळ धार = स्तरीय.
  • मध्यम : धबधब्याखाली फेसाळ पाणी = विक्षुब्ध.
  • परीक्षेसाठी (CET) : विक्षुब्ध प्रवाहात ऊर्जेची हानी जास्त; प्रवाह-रेषा संकल्पना फक्त स्तरीय प्रवाहासाठी. (पर्याय : 1) दोन्हींत सारखी 2) फक्त स्तरीय 3) फक्त विक्षुब्ध 4) कशातच नाही → उत्तर 2)

नियम 2 : सातत्य समीकरण — असंपीड्य तरलासाठी प्रति सेकंद वाहणारे आकारमान स्थिर : A₁ v₁ = A₂ v₂ (= Q, आकारमान प्रवाह दर, m³/s). आडछेद कमी तिथे वेग जास्त.

  • सोपे : नळीचा व्यास 4 cm → 2 cm, v₁ = 1.5 m/s : v₂ = 1.5 × (4 ÷ 2)² = 6 m/s.
  • मध्यम : नळी व्यास 4 cm, v = 1.5 m/s : Q = π(0.02)² × 1.5 = 1.88 × 10⁻³ m³/s ≈ 1.88 लिटर/से.
  • परीक्षेसाठी (CET) : व्यास निम्मा केला तर वेग 4 पट (v ∝ 1/d²). (पर्याय : 1) 2 पट 2) 4 पट 3) 8 पट 4) निम्मा → उत्तर 2)

नियम 3 : रेनॉल्ड्स अंक — Rₑ = ρ v d ÷ η (शुद्ध संख्या, एकक नाही). सुमारे 1000 पेक्षा कमी ⇒ स्तरीय; सुमारे 2000 पेक्षा जास्त ⇒ विक्षुब्ध; मधला भाग अस्थिर (मर्यादा पुस्तकाशी तपासा).

  • सोपे : पाणी, d = 2 cm, v = 0.05 m/s, η = 10⁻³ Pa·s : Rₑ = 1000 × 0.05 × 0.02 ÷ 10⁻³ = 1000.
  • मध्यम : वेग दुप्पट केल्यास Rₑ दुप्पट; म्हणून क्रांतिक वेग v_c = Rₑ η ÷ (ρ d).
  • परीक्षेसाठी (CET) : η मोठा (मध, तेल) ⇒ Rₑ लहान ⇒ प्रवाह स्तरीय राहतो. (पर्याय : 1) मधासाठी विक्षुब्ध सोपा 2) मधासाठी स्तरीय सोपा 3) काही फरक नाही 4) फक्त वायूत → उत्तर 2)

सूत्राची उपपत्ती : सातत्य समीकरण A₁v₁ = A₂v₂

  • पायरी 1 : नळीत आडछेद A₁ वर वेग v₁; Δt वेळेत आत येणारे आकारमान = A₁ v₁ Δt.
  • पायरी 2 : आडछेद A₂ वर Δt मध्ये बाहेर जाणारे आकारमान = A₂ v₂ Δt.
  • पायरी 3 : द्रव असंपीड्य (ρ स्थिर) आणि नळीत साठत नाही ⇒ वस्तुमान आत = बाहेर.
  • पायरी 4 : म्हणून A₁ v₁ = A₂ v₂.
लक्षात ठेवा

A₁v₁ = A₂v₂; Q = A v; Rₑ = ρ v d ÷ η; v ∝ 1/d² (आडछेद गोल असताना).

सामान्य चूक / CET सापळा

सातत्य समीकरणात वेगाचे गुणोत्तर क्षेत्रफळाच्या गुणोत्तराचे व्यस्त असते; व्यास दिला असेल तर क्षेत्रफळ व्यासाच्या वर्गाप्रमाणे. Rₑ मध्ये d हा व्यास आहे, त्रिज्या नाही.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "नळी निमुळती – वेग तिखट (जास्त)"; Rₑ = ρvd/η : जाड + वेगवान + पातळ द्रव ⇒ विक्षुब्ध.

फरक ओळखा

मुद्दास्तरीयविक्षुब्ध
वेगक्रांतिक वेगापेक्षा कमीक्रांतिक वेगापेक्षा जास्त
Rₑलहान (< सुमारे 1000)मोठा (> सुमारे 2000)
मार्गनिश्चित, छेदत नाहीतअनियमित, भोवरे

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1सातत्य समीकरण लिहा.
  2. 2Rₑ ला एकक असते का?
  3. 3नळी अरुंद झाल्यावर वेग कसा बदलतो?
मध्यम
  1. 4A₁ = 10 cm², v₁ = 3 m/s, A₂ = 5 cm² : v₂?
  2. 5d = 1 cm, v = 2 m/s, पाणी (η = 10⁻³) : Rₑ?
  3. 6नळीत Q = 2 × 10⁻³ m³/s आणि A = 4 cm² : v?
आव्हानात्मक
  1. 7व्यास 6 cm ची नळी 2 cm च्या नळीला जोडली; मोठ्या नळीत v = 0.5 m/s : लहान नळीतील v?
  2. 8तेलासाठी η = 0.2 Pa·s, ρ = 900, d = 2 cm : Rₑ = 1000 साठी v?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1A₁ v₁ = A₂ v₂
  2. 2नाही (शुद्ध संख्या)
  3. 3वाढतो
  4. 4v₂ = 3 × 10 ÷ 5 = 6 m/s
  5. 5Rₑ = 1000 × 2 × 0.01 ÷ 10⁻³ = 20000
  6. 6v = 2 × 10⁻³ ÷ 4 × 10⁻⁴ = 5 m/s
  7. 7v₂ = 0.5 × (6 ÷ 2)² = 4.5 m/s
  8. 8v = Rₑ η ÷ (ρ d) = 1000 × 0.2 ÷ (900 × 0.02) = 11.11 m/s

श्यानता, स्टोक्सचा नियम व अंतस्थ वेग

रोजच्या जीवनातून

मधातून चमचा हळू हलतो तर पाण्यातून सहज; पावसाचे थेंब आकाशातून पडूनही हळूच जमिनीवर पोहोचतात, कारण हवेचा श्यान बल त्यांना स्थिर वेग देतो.

सोपी व्याख्या

श्यानता (viscosity) द्रवातील आंतरिक घर्षण. द्रवात पडणारा गोळा शेवटी अंतस्थ वेग (terminal velocity) गाठतो.

द्रवात पडणाऱ्या गोळ्यावरील बले : वजन खाली; उत्प्लावन व श्यान बल वरW = m gउत्प्लावन Bश्यान बल 6πηrvv_t

आकृतीत : गोळ्यावर वजन W खाली, उत्प्लावन B व श्यान बल वर; अंतस्थ वेगावर W = B + F.

नियम 1 : श्यानता — द्रवाच्या थरांमधील सापेक्ष गतीला विरोध करणारा गुण. श्यान बल F = η A (dv ÷ dx). η = श्यानता गुणांक; एकक Pa·s = N s/m²; [M L⁻¹ T⁻¹]. 1 poise = 0.1 Pa·s.

  • सोपे : 2 poise = 0.2 Pa·s.
  • मध्यम : प्लेट A = 0.1 m², अंतर d = 2 mm, वेग 0.5 m/s, η = 0.1 Pa·s : F = 0.1 × 0.1 × 0.5 ÷ 0.002 = 2.5 N.
  • परीक्षेसाठी (CET) : तापमान वाढले की द्रवाचे η कमी होते, वायूचे η वाढते. (पर्याय : 1) दोन्हीचे वाढते 2) द्रव घटते, वायू वाढते 3) द्रव वाढते, वायू घटते 4) दोन्हीचे घटते → उत्तर 2)

नियम 2 : स्टोक्सचा नियम — r त्रिज्येचा गोळा द्रवात v वेगाने जाताना श्यान बल : F = 6π η r v.

  • सोपे : η = 0.5 Pa·s, r = 2 mm, v = 0.1 m/s : F = 6π × 0.5 × 0.002 × 0.1 = 1.88 × 10⁻³ N.
  • मध्यम : वेग दुप्पट केल्यास F दुप्पट (F ∝ v).
  • परीक्षेसाठी (CET) : त्रिज्या आणि वेग दोन्ही दुप्पट ⇒ F चौपट. (पर्याय : 1) 2 पट 2) 3 पट 3) 4 पट 4) 8 पट → उत्तर 3)

नियम 3 : अंतस्थ वेग — जेव्हा वजन = उत्प्लावन + श्यान बल, तेव्हा त्वरण शून्य आणि वेग स्थिर : v_t = 2 r² (ρ − σ) g ÷ (9 η) (ρ गोळ्याची, σ द्रवाची घनता).

  • सोपे : पोलादी गोळा r = 1 mm (ρ = 7800) ग्लिसरीनमध्ये (σ = 1260, η = 0.8) : v_t = 1.82 cm/s.
  • मध्यम : पावसाचा थेंब r = 0.1 mm हवेत (η = 1.8 × 10⁻⁵) : v_t ≈ 1.23 m/s.
  • परीक्षेसाठी (CET) : त्रिज्या दुप्पट ⇒ v_t चौपट (v_t ∝ r²). (पर्याय : 1) 2 पट 2) 4 पट 3) 8 पट 4) निम्मा → उत्तर 2)

सूत्राची उपपत्ती : अंतस्थ वेगाचे सूत्र

  • पायरी 1 : गोळ्याचे वजन W = (4/3)π r³ ρ g (खाली).
  • पायरी 2 : उत्प्लावन B = (4/3)π r³ σ g (वर); श्यान बल F = 6π η r v (वर).
  • पायरी 3 : अंतस्थ वेगावर W = B + F ⇒ (4/3)π r³ (ρ − σ) g = 6π η r v_t.
  • पायरी 4 : सोडवले : v_t = 2 r² (ρ − σ) g ÷ (9 η).
लक्षात ठेवा

F = η A dv/dx; F = 6π η r v; v_t = 2 r² (ρ − σ) g ÷ 9η; η चे एकक Pa·s.

सामान्य चूक / CET सापळा

अंतस्थ वेगावर गोळा थांबत नाही, त्वरण शून्य होते. सूत्रात (ρ − σ) घेताना उत्प्लावन विसरू नका; cm आणि m मिसळू नका. द्रवात η तापमानाने घटतो, वायूत वाढतो.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "वजन – उत्प्लावन = श्यान बल" आणि "r वर्गात, η भाजकात" (v_t ∝ r²/η).

फरक ओळखा

राशीसूत्रएकक
श्यान बलη A (dv/dx)N
स्टोक्स बल6π η r vN
अंतस्थ वेग2r²(ρ−σ)g ÷ 9ηm/s
η—Pa·s

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1η चे SI एकक लिहा.
  2. 23 poise ला Pa·s मध्ये बदला.
  3. 3तापमान वाढल्यावर द्रवाचे η वाढते की कमी होते?
मध्यम
  1. 4η = 0.2, r = 1 mm, v = 0.05 m/s : स्टोक्स बल?
  2. 5अंतस्थ वेगावर गोळ्यावरील परिणामी बल किती?
  3. 6r दुप्पट आणि η दुप्पट : v_t कसा बदलतो?
आव्हानात्मक
  1. 7काचेचा गोळा r = 0.5 mm (ρ = 2500) पाण्यात (σ = 1000, η = 10⁻³) : v_t काढा.
  2. 8गोळ्याची घनता द्रवापेक्षा कमी असेल तर काय होईल?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1Pa·s = N s/m²
  2. 20.3 Pa·s
  3. 3कमी होते
  4. 4F = 6π × 0.2 × 0.001 × 0.05 = 1.88 × 10⁻⁴ N
  5. 5शून्य (संतुलित)
  6. 6v_t ∝ r²/η = 4 ÷ 2 = 2 पट
  7. 7v_t = 2 × (5 × 10⁻⁴)² × 1500 × 10 ÷ (9 × 10⁻³) = 0.83 m/s
  8. 8(ρ − σ) ऋण ⇒ v_t ऋण : गोळा वर तरंगतो (वर जातो).

बर्नुलीचे समीकरण व उपयोग

रोजच्या जीवनातून

विमान आकाशात कसे राहते आणि फवारीतून (अॅटोमायझर) द्रव कसा बाहेर येतो — दोन्हीमागे बर्नुलीचे तत्त्व आहे.

सोपी व्याख्या

बर्नुलीचे तत्त्व (Bernoulli's principle) : प्रवाहात जिथे वेग जास्त तिथे दाब कमी. समीकरण p + ½ρv² + ρgh = स्थिर.

व्हेंच्युरी नळी : अरुंद भागात दाब कमी (p₂ < p₁)p₁p₂A₁, v₁A₂, v₂

आकृतीत : अरुंद भागात वेग v₂ जास्त; नळीतील पातळी कमी म्हणजे दाब p₂ कमी.

Live आकृती

बर्नुलीचे समीकरण व उपयोग

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : बर्नुलीचे समीकरण — आदर्श तरलाच्या स्तरीय प्रवाहात एका प्रवाह-रेषेवर : p + ½ ρ v² + ρ g h = स्थिर (ऊर्जा-संरक्षण). तीन पदे : दाब ऊर्जा, गतिज, स्थितिज (प्रति एकक आकारमान).

  • सोपे : आडव्या नळीत (h स्थिर) : वेग वाढला की दाब कमी.
  • मध्यम : आडवी नळी, A₁ = 20 cm², A₂ = 10 cm², v₁ = 2 m/s ⇒ v₂ = 4 m/s : p₁ − p₂ = ½ × 1000 × (16 − 4) = 6000 Pa.
  • परीक्षेसाठी (CET) : बर्नुली फक्त अश्यान, असंपीड्य, स्तरीय प्रवाहासाठी; श्यानता असल्यास ऊर्जा हानी होते. (पर्याय : 1) सर्व प्रवाहांसाठी 2) फक्त आदर्श तरलासाठी 3) फक्त वायूसाठी 4) फक्त विक्षुब्ध → उत्तर 2)

नियम 2 : टॉरिसेलीचा नियम — टाकीत पृष्ठापासून h खोलीवरील छिद्रातून बाहेर पडणारा वेग : v = √(2 g h) (मुक्त पतन सारखा).

  • सोपे : h = 1.8 m : v = √(2 × 10 × 1.8) = 6 m/s.
  • मध्यम : टाकी 5 m उंच; पृष्ठापासून 1.25 m खाली छिद्र : v = 5 m/s; पडण्याचा वेळ √(2 × 3.75 ÷ 10) = 0.866 s; पल्ला = 4.33 m.
  • परीक्षेसाठी (CET) : पल्ला x = 2√[h (H − h)]; h = H ÷ 2 वर सर्वात जास्त (x = H). (पर्याय : 1) h = H 2) h = H ÷ 2 3) h = H ÷ 4 4) h = 0 → उत्तर 2)

नियम 3 : बर्नुलीचे उपयोग — विमानाचे पंख : वर वेग जास्त ⇒ दाब कमी ⇒ वर्धक (lift). अॅटोमायझर : हवेच्या वेगवान झोताजवळ दाब कमी ⇒ द्रव वर चढतो. व्हेंच्युरीमीटर : अरुंद भागात दाब कमी ⇒ प्रवाह दर मोजतात. चेंडूचे वळण (Magnus).

  • सोपे : पंखावर हवा वरून 80 m/s, खालून 70 m/s (ρ = 1.2) : Δp = ½ × 1.2 × (6400 − 4900) = 900 Pa.
  • मध्यम : पंखाचे क्षेत्रफळ 20 m² : उत्थान = 900 × 20 = 18000 N.
  • परीक्षेसाठी (CET) : जोराच्या वाऱ्यात छप्पर उडते कारण वर दाब कमी, आतला दाब जास्त. (पर्याय : 1) वर दाब जास्त 2) वर दाब कमी 3) दाब सारखा 4) घनता वाढते → उत्तर 2)

सूत्राची उपपत्ती : बर्नुलीचे समीकरण (कार्य-ऊर्जा प्रमेयातून)

  • पायरी 1 : नळीतील द्रवाचा लहान भाग; खालच्या टोकावर (A₁, p₁, v₁, h₁) आणि वरच्या टोकावर (A₂, p₂, v₂, h₂). Δt मध्ये आकारमान ΔV दोन्हीकडे सारखे.
  • पायरी 2 : दाबाने केलेले निव्वळ कार्य = (p₁ − p₂) ΔV.
  • पायरी 3 : गुरुत्वीय कार्य = − ρ ΔV g (h₂ − h₁); गतिज ऊर्जेतील बदल = ½ ρ ΔV (v₂² − v₁²).
  • पायरी 4 : कार्य-ऊर्जा प्रमेय : (p₁ − p₂) ΔV − ρ ΔV g (h₂ − h₁) = ½ ρ ΔV (v₂² − v₁²).
  • पायरी 5 : ΔV ने भागून पदे हलवली : p₁ + ½ρv₁² + ρgh₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgh₂.
लक्षात ठेवा

p + ½ρv² + ρgh = स्थिर; v = √(2gh); आडव्या नळीत वेग↑ ⇒ दाब↓; पल्ला 2√[h(H−h)].

सामान्य चूक / CET सापळा

बर्नुली श्यान किंवा विक्षुब्ध प्रवाहात वापरू नका. h वेगळे ठेवा : टॉरिसेलीमध्ये h = पृष्ठापासून खोली. पल्ल्यासाठी छिद्राची जमिनीपासूनची उंची (H − h) घ्यायला विसरू नका.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "वेग वाढला – दाब झुकला" (v↑ ⇒ p↓).

फरक ओळखा

उपयोगकारणपरिणाम
विमानाचे पंखवर वेग जास्तवर दाब कमी ⇒ उत्थान
अॅटोमायझरझोताजवळ वेग जास्तदाब कमी ⇒ द्रव वर
टॉरिसेलीऊर्जा-संरक्षणv = √(2gh)
व्हेंच्युरीअरुंद भागदाब फरकातून Q

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1बर्नुलीचे समीकरण लिहा.
  2. 2h = 5 m साठी टॉरिसेली वेग?
  3. 3विमानाच्या पंखावर वरच्या बाजूला दाब कमी का असतो?
मध्यम
  1. 4आडवी नळी, v₁ = 1 m/s, v₂ = 3 m/s, पाणी : p₁ − p₂?
  2. 5टाकीत छिद्र पृष्ठापासून 0.8 m खाली : v?
  3. 6h वाढली तर v कसा बदलतो?
आव्हानात्मक
  1. 7टाकी 4 m उंच; पृष्ठापासून 1 m खाली छिद्र : पल्ला? (g = 10)
  2. 8पंख 25 m², ΔP = 600 Pa : उत्थान किती? विमान उडेल का जर वजन 12000 N?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1p + ½ρv² + ρgh = स्थिर
  2. 2v = √(2 × 10 × 5) = 10 m/s
  3. 3वर वेग जास्त ⇒ दाब कमी (बर्नुली)
  4. 4Δp = ½ × 1000 × (9 − 1) = 4000 Pa
  5. 5v = √(2 × 10 × 0.8) = 4 m/s
  6. 6v ∝ √h, वाढतो
  7. 7x = 2√(1 × 3) = 3.46 m
  8. 8उत्थान = 600 × 25 = 15000 N > 12000 N ⇒ उडेल

संपूर्ण धड्याची झटपट उजळणी

संकल्पनामहत्त्वाचे सूत्र / तथ्यएकक / मितीय सूत्र
दाबp = F ÷ A; p = p₀ + ρ g hPa; [M L⁻¹ T⁻²]
पास्कल / हायड्रॉलिकF₂ = F₁ (A₂ ÷ A₁); F₁d₁ = F₂d₂N
पृष्ठीय ताणS = F ÷ l = W ÷ ΔAN/m; [M T⁻²]
अतिरिक्त दाबथेंब 2S ÷ r; बुडबुडा 4S ÷ rPa
केशाकर्षणh = 2 S cos θ ÷ (r ρ g)m
सातत्य / RₑA₁v₁ = A₂v₂; Rₑ = ρ v d ÷ ηm³/s; Rₑ एकक नाही
श्यानता / स्टोक्सF = η A dv/dx; F = 6π η r vη : Pa·s; [M L⁻¹ T⁻¹]
अंतस्थ वेगv_t = 2 r² (ρ − σ) g ÷ 9ηm/s
बर्नुलीp + ½ρv² + ρgh = स्थिर; v = √(2gh)Pa; m/s

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

  • स्थिर द्रवात दाब फक्त खोली, ρ आणि g वर अवलंबून; आकारावर नाही. निरपेक्ष = p₀ + गेज.
  • पास्कलचा नियम : F₂ = F₁ A₂ ÷ A₁; कार्य सारखेच.
  • पृष्ठीय ताण : S = F ÷ l = W ÷ ΔA; साबणाच्या पडद्यात दोन पृष्ठे.
  • थेंब 2S ÷ r, बुडबुडा 4S ÷ r; केशाकर्षणात h ∝ 1/r; पाऱ्यासाठी θ > 90° ⇒ अवनमन.
  • सातत्य समीकरण A v = स्थिर; रेनॉल्ड्स अंक Rₑ = ρ v d ÷ η.
  • अंतस्थ वेग v_t ∝ r²; श्यानता तापमानाने द्रवात घटते, वायूत वाढते.
  • बर्नुली : v↑ ⇒ p↓; टॉरिसेली v = √(2gh); विमानाचे उत्थान, अॅटोमायझर, व्हेंच्युरी.
अभ्यासाचा मंत्र

आधी आकृती काढा → प्रवाह-रेषा/पृष्ठे/बले ओळखा → योग्य सूत्र निवडा → एकके SI मध्ये आणा → उत्तराचे एकक तपासा.