धडा १: फिरत्या गतीची गतिकी

आधीच्या वर्गाशी नाते : इयत्ता 9-10 मधील गती, बल आणि न्यूटनचे नियम येथे वर्तुळाकार आणि फिरत्या गतीसाठी पुढे नेले आहेत.

आकृतीत : आकृतीत वेग v स्पर्शरेषेत आहे आणि त्वरण a केंद्र O कडे आहे.

नियम 1 : कोनीय वेग, आवर्तकाळ आणि चाल — ω = 2πn = 2π ÷ T आणि v = ω r. n चे एकक rev/s (किंवा Hz), ω चे rad/s.

• सोपे : n = 5 rev/s : ω = 2π × 5 = 31.4 rad/s.
• मध्यम : त्रिज्या 0.5 m, n = 2 rev/s : v = 2π × 2 × 0.5 = 6.28 m/s.
• परीक्षेसाठी (CET) : r = 0.2 m, n = 3 rev/s : ω = 6π = 18.85 rad/s; a = ω² r = 71.1 m/s².

नियम 2 : मध्यगामी बल आणि अपकेंद्री बल — केंद्राकडे जाणाऱ्या खऱ्या बलांचा परिणामी बल म्हणजे मध्यगामी बल : F = m v² ÷ r = m ω² r. ते बलाचा प्रकार नाही, बलाची दिशा सांगणारा शब्द आहे. अपकेंद्री बल (centrifugal force) हे कल्पित नाही पण खरे बलही नाही — ते फिरत्या संदर्भचौकटीतील छद्म बल (pseudo force) आहे, परिमाण m ω² r आणि दिशा केंद्रापासून दूर.

• सोपे : m = 0.5 kg, r = 2 m, v = 4 m/s : F = 0.5 × 16 ÷ 2 = 4 N.
• मध्यम : m = 2 kg, ω = 3 rad/s, r = 0.5 m : F = 2 × 9 × 0.5 = 9 N.
• परीक्षेसाठी (CET) : 1000 kg ची गाडी, v = 20 m/s, r = 100 m : F = 1000 × 400 ÷ 100 = 4000 N.

नियम 3 : कोनीय त्वरण आणि समीकरणे — वेग बदलत असेल तर α = dω/dt आणि स्पर्शरेषीय त्वरण a_T = α r. α स्थिर असताना : ω = ω₀ + α t, θ = ω₀ t + ½ α t², ω² = ω₀² + 2 α θ (रेषीय गतीच्या समीकरणांसारखीच).

• सोपे : विश्रांतीपासून α = 2 rad/s², 5 s : ω = 10 rad/s.
• मध्यम : त्याच 5 s मध्ये θ = ½ × 2 × 25 = 25 rad.
• परीक्षेसाठी (CET) : 25 rad = 25 ÷ 2π = 3.98 फेऱ्या.

सूत्राची उपपत्ती : a = v² ÷ r ची उपपत्ती

• पायरी 1 : लहान वेळ Δt मध्ये वस्तू Δθ कोनातून फिरते; वेगाची दिशा Δθ ने बदलते, लांबी v तीच.
• पायरी 2 : वेगातील बदल Δv = v Δθ (लहान कोनासाठी).
• पायरी 3 : त्वरण a = Δv ÷ Δt = v × (Δθ ÷ Δt) = v ω.
• पायरी 4 : ω = v ÷ r ठेवल्यास a = v² ÷ r = ω² r; दिशा केंद्राकडे.

CET MCQ (वेळ वाचवा) : मोटर 600 rpm ने फिरते; r = 0.1 m. v = ? (1) 6.28 m/s (2) 62.8 m/s (3) 0.628 m/s (4) 3.14 m/s → उत्तर 1). युक्ती : rpm ÷ 60 आधी ⇒ n = 10 rev/s; v = 2πnr = 6.28.

फरक ओळखा

आकृतीत : आकृतीत N चा उभा घटक N cos θ वजनाला तोलतो आणि आडवा घटक N sin θ केंद्राकडे बल देतो.

नियम 1 : आडवा रस्ता — N = m g आणि f_s = m v² ÷ r; f_s ≤ μ N. म्हणून v_max = √(μ r g) (वस्तुमानावर अवलंबून नाही). टायर आणि रस्त्यातील घर्षण स्थितिक असते.

• सोपे : μ = 0.5, r = 20 m : v_max = √(0.5 × 20 × 10) = 10 m/s.
• मध्यम : μ = 0.5, r = 45 m : v_max = √225 = 15 m/s.
• परीक्षेसाठी (CET) : v = 72 km/h = 20 m/s, r = 80 m : आवश्यक μ = v² ÷ (r g) = 400 ÷ 800 = 0.5.

नियम 2 : मृत्यूची विहीर — उभ्या भिंतीवर वाहन आडव्या वर्तुळात फिरते : N = m v² ÷ r (मध्यगामी) आणि घर्षण f_s = m g (वजन तोलते). f_s ≤ μ N वरून v_min = √(r g ÷ μ).

• सोपे : r = 8 m, μ = 0.2 : v_min = √(8 × 10 ÷ 0.2) = 20 m/s.
• मध्यम : r = 2.5 m, μ = 0.25 : v_min = √100 = 10 m/s.
• परीक्षेसाठी (CET) : येथे वेगाला खालची मर्यादा असते; आडव्या रस्त्यावर वरची मर्यादा होती.

नियम 3 : कललेला रस्ता — घर्षण नसताना : N cos θ = m g, N sin θ = m v² ÷ r, म्हणून tan θ = v² ÷ (r g); सुरक्षित वेग v_s = √(r g tan θ). घर्षण असल्यास : v_max = √[r g (tan θ + μ) ÷ (1 − μ tan θ)] आणि v_min = √[r g (tan θ − μ) ÷ (1 + μ tan θ)].

• सोपे : θ = 45°, r = 40 m : v_s = √(40 × 10 × 1) = 20 m/s.
• मध्यम : v = 10 m/s, r = 50 m : tan θ = 100 ÷ 500 = 0.2, θ = 11.3°.
• परीक्षेसाठी (CET) : r = 40 m, tan θ = 0.75, μ = 0.25 : v_s = 17.3 m/s, v_max = 22.2 m/s, v_min = 13.0 m/s.

सूत्राची उपपत्ती : कललेल्या रस्त्याचे tan θ = v² ÷ (r g)

• पायरी 1 : घर्षण नाही. उभे : N cos θ = m g.
• पायरी 2 : आडवे (केंद्राकडे) : N sin θ = m v² ÷ r.
• पायरी 3 : दुसरे समीकरण पहिल्याने भागले : m आणि N जातात.
• पायरी 4 : tan θ = v² ÷ (r g) ⇒ v_s = √(r g tan θ).

CET MCQ (वेळ वाचवा) : कललेला रस्ता r = 100 m, θ = 45°; सुरक्षित वेग? (1) 10 m/s (2) 31.6 m/s (3) 100 m/s (4) 50 m/s → उत्तर 2). युक्ती : tan 45° = 1 ⇒ v = √(r g) = √1000.

फरक ओळखा

आकृतीत : आकृतीत दोरीचा ताण T₀ चा उभा घटक वजन तोलतो आणि आडवा घटक केंद्राकडे बल देतो.

नियम 1 : दोरीचा ताण आणि कोन — T₀ cos θ = m g वरून T₀ = m g ÷ cos θ. θ वाढला की ताण वाढतो; θ = 90° अशक्य, कारण cos 90° = 0 म्हणजे ताण अनंत लागेल.

• सोपे : m = 0.2 kg, θ = 60° : T₀ = 0.2 × 10 ÷ 0.5 = 4 N.
• मध्यम : m = 0.1 kg, cos θ = 0.8 : T₀ = 1 ÷ 0.8 = 1.25 N.
• परीक्षेसाठी (CET) : दोरी आडवी का होऊ शकत नाही? आडव्या दोरीचा ताण वजन तोलू शकत नाही.

नियम 2 : आवर्तकाळ आणि वारंवारता — T = 2π √(L cos θ ÷ g) आणि n = 1 ÷ T. L आणि g दिलेले असताना T फक्त θ वर अवलंबून; वस्तुमानावर नाही.

• सोपे : L = 1 m, θ = 60° : T = 2π √(0.5 ÷ 10) = 1.405 s.
• मध्यम : L = 2.5 m, cos θ = 0.8 : T = 2π √(2 ÷ 10) = 2.81 s.
• परीक्षेसाठी (CET) : त्याच बाबतीत n = 1 ÷ 2.81 = 0.356 Hz.

नियम 3 : वेग आणि त्रिज्या — r = L sin θ आणि v = √(r g tan θ). θ वाढल्यास r, v आणि ताण — तिन्ही वाढतात आणि T कमी होतो.

• सोपे : L = 2.5 m, sin θ = 0.6 : r = 1.5 m.
• मध्यम : त्याच बाबतीत tan θ = 0.75 : v = √(1.5 × 10 × 0.75) = 3.35 m/s.
• परीक्षेसाठी (CET) : θ मोठा केल्यास गोळा जास्त वेगाने आणि मोठ्या त्रिज्येत फिरतो.

सूत्राची उपपत्ती : शंक्वाकृती लंबकाचा आवर्तकाल

• पायरी 1 : T₀ cos θ = m g आणि T₀ sin θ = m ω² r; भागून tan θ = ω² r ÷ g.
• पायरी 2 : r = L sin θ ठेवले : sin θ ÷ cos θ = ω² L sin θ ÷ g.
• पायरी 3 : sin θ रद्द : ω² = g ÷ (L cos θ).
• पायरी 4 : T = 2π ÷ ω ⇒ T = 2π √(L cos θ ÷ g).

CET MCQ (वेळ वाचवा) : शंक्वाकृती लंबक L = 2.5 m, θ = 60°; T = ? (1) 3.14 s (2) 2.22 s (3) 4.44 s (4) 1.57 s → उत्तर 2). युक्ती : cos 60° = 0.5 ⇒ L cos θ = 1.25; T = 2π√(0.125) = 2.22.

फरक ओळखा

आकृतीत : आकृतीत A वर वजन आणि ताण दोन्ही खाली (केंद्राकडे) आहेत, तर B वर ताण वर आणि वजन खाली आहे.

नियम 1 : दोरीला बांधलेला गोळा — दोरी सैल होऊ नये म्हणून A वर T_A ≥ 0. किमान वेग : v_A = √(r g), v_B = √(5 r g), आडव्या स्थितीत v_C = √(3 r g). तसेच T_B − T_A = 6 m g; किमान वेगाला T_A = 0 आणि T_B = 6 m g.

• सोपे : r = 0.9 m : v_A(min) = √9 = 3 m/s.
• मध्यम : त्याच r साठी v_B(min) = √(5 × 9) = 6.71 m/s.
• परीक्षेसाठी (CET) : m = 0.2 kg : किमान वेगाला T_B = 6 × 0.2 × 10 = 12 N.

नियम 2 : दांड्याला बांधलेला गोळा — दांडा ताठ असल्याने A वर ताण नसला तरी चालते; म्हणून A वर किमान वेग जवळजवळ शून्य (v_A ≈ 0). मग v_B(min) = √(4 r g) = 2√(r g). तरीही T_B − T_A = 6 m g.

• सोपे : r = 0.5 m : v_B(min), दांडा = √(4 × 0.5 × 10) = 4.47 m/s.
• मध्यम : त्याच r साठी दोरी असल्यास v_B(min) = √25 = 5 m/s (जास्त).
• परीक्षेसाठी (CET) : दांड्याला कमी वेग का चालतो? कारण दांडा ढकलू शकतो आणि ओढू शकतो.

नियम 3 : उत्तल पूल आणि वक्रता — उत्तल पुलाच्या माथ्यावर N = m g − m v² ÷ r. वेग वाढला की N कमी होतो; संपर्क टिकण्याची मर्यादा v_max = √(r g) (N = 0). खोलगट (concave) बिंदूवर N = m g + m v² ÷ r.

• सोपे : r = 40 m : v_max = √(40 × 10) = 20 m/s.
• मध्यम : m = 1000 kg, v = 10 m/s, r = 40 m : N = 10000 − 1000 × 100 ÷ 40 = 7500 N.
• परीक्षेसाठी (CET) : खोलगटात त्याच वेगाला N = 10000 + 2500 = 12500 N.

सूत्राची उपपत्ती : उभ्या वर्तुळातील किमान वेग

• पायरी 1 : वरच्या बिंदू A वर : m g + T_A = m v_A² ÷ r. दोरी ताणलेली राहण्यासाठी T_A ≥ 0.
• पायरी 2 : किमान वेगाला T_A = 0 ⇒ v_A = √(r g).
• पायरी 3 : ऊर्जा-संरक्षण A → B (उंची 2r कमी) : ½ m v_B² = ½ m v_A² + m g (2r).
• पायरी 4 : v_B² = v_A² + 4 r g = 5 r g ⇒ v_B = √(5 r g).
• पायरी 5 : B वर T_B − m g = m v_B² ÷ r; यातून T_B − T_A = 6 m g.

CET MCQ (वेळ वाचवा) : दोरीला बांधलेला दगड r = 1.6 m च्या उभ्या वर्तुळात; वरच्या बिंदूला किमान वेग? (1) 2 m/s (2) 4 m/s (3) 16 m/s (4) 8 m/s → उत्तर 2). युक्ती : √(r g) = √16 थेट.

फरक ओळखा

आकृतीत : दांडा केंद्राभोवती आणि टोकाभोवती : I = I_C + M h² (h = L ÷ 2).

नियम 1 : सामान्य आकारांचे I (स्वतःच्या अक्षाभोवती) — कडी (ring) M R²; तबकडी (disc) / भरीव दंडगोल ½ M R²; पोकळ दंडगोल M R²; भरीव गोल ⅖ M R²; पोकळ गोल ⅔ M R²; सळई (rod) मध्यातून M L² ÷ 12, टोकातून M L² ÷ 3. समान M आणि R साठी कडीचे I सर्वात जास्त (वस्तुमान सर्व दूर).

• सोपे : M = 2 kg, R = 0.5 m : कडी I = 0.5 kg m²; तबकडी I = 0.25 kg m².
• मध्यम : त्याच M, R साठी भरीव गोल I = ⅖ × 2 × 0.25 = 0.2 kg m².
• परीक्षेसाठी (CET) : तबकडीचे K = R ÷ √2 = 0.5 ÷ 1.414 = 0.354 m; कडीचे K = R = 0.5 m.

नियम 2 : समांतर आणि लंब अक्षांचे प्रमेय — समांतर अक्ष : I = I_C + M h² (I_C = गुरुत्वमध्यातून जाणाऱ्या समांतर अक्षाचे I; h = दोन अक्षांतील अंतर). लंब अक्ष (फक्त सपाट पातळ वस्तूसाठी) : I_z = I_x + I_y. तबकडी/कडीचे व्यासाभोवतीचे I : तबकडी ¼ M R², कडी ½ M R².

• सोपे : सळई M = 3 kg, L = 1.2 m : I_C = 3 × 1.44 ÷ 12 = 0.36 kg m².
• मध्यम : टोकातून : h = 0.6 m, I = 0.36 + 3 × 0.36 = 1.44 kg m² = M L² ÷ 3.
• परीक्षेसाठी (CET) : तबकडी M = 2 kg, R = 0.5 m, स्पर्शरेषेभोवती (पातळीत) I = ¼ M R² + M R² = 0.125 + 0.5 = 0.625 kg m².

नियम 3 : फिरण्याची गतिज ऊर्जा — KE = ½ I ω² = ½ I (2πn)². I हे रेषीय गतीतील m सारखे आहे, ω हे v सारखे.

• सोपे : I = 0.8 kg m², ω = 50 rad/s : KE = ½ × 0.8 × 2500 = 1000 J.
• मध्यम : तबकडी M = 10 kg, R = 0.4 m : I = ½ × 10 × 0.16 = 0.8 kg m².
• परीक्षेसाठी (CET) : ω दुप्पट केल्यास KE चौपट होते (KE ∝ ω²).

सूत्राची उपपत्ती : तबकडीचे I = ½ M R²

• पायरी 1 : तबकडी म्हणजे पातळ कड्यांचा संच; त्रिज्या r, जाडी dr चे कडे.
• पायरी 2 : त्याचे वस्तुमान dm = (M ÷ π R²) × 2π r dr = (2M ÷ R²) r dr.
• पायरी 3 : I = ∫ r² dm = (2M ÷ R²) ∫₀ᴿ r³ dr = (2M ÷ R²) × R⁴ ÷ 4.
• पायरी 4 : I = ½ M R².

CET MCQ (वेळ वाचवा) : भरीव गोल M = 5 kg, R = 0.2 m; स्पर्शरेषेभोवती I = ? (1) 0.08 (2) 0.28 (3) 0.20 (4) 0.48 kg m² → उत्तर 2). युक्ती : स्पर्शरेषेभोवती I = (⅖ + 1) M R² = 7/5 M R².

फरक ओळखा

आकृतीत : हात आत घेतले की I कमी होते आणि ω वाढते; L = I ω तोच राहतो.

नियम 1 : L = I ω आणि τ = I α — I हे m सारखे, ω हे v सारखे, L हे p सारखे आणि τ हे F सारखे. शक्ती P = τ ω.

• सोपे : I = 0.4 kg m², ω = 10 rad/s : L = 4 kg m² s⁻¹.
• मध्यम : I = 2 kg m², τ = 6 N m : α = 3 rad/s²; 4 s नंतर (विश्रांतीपासून) ω = 12 rad/s.
• परीक्षेसाठी (CET) : त्या वेळी KE = ½ × 2 × 144 = 144 J; τ = 5 N m, ω = 20 rad/s असताना P = 100 W.

नियम 2 : कोनीय संवेगाचे संरक्षण — τ_बाह्य = 0 असेल तर L = I ω = 2π I n स्थिर. म्हणून n₂ = n₁ I₁ ÷ I₂. स्केटर, नर्तक, पाण्यात सूर मारणारा खेळाडू (diver) — सर्वांत हेच तत्त्व.

• सोपे : I₁ = 3 kg m², n₁ = 1 rev/s; हात आत घेतल्यावर I₂ = 1 : n₂ = 3 rev/s.
• मध्यम : ω₁ = 12 rad/s, I₁ = 0.5; समान I₂ = 0.5 ची दुसरी तबकडी जोडली : (0.5 + 0.5) ω = 0.5 × 12, ω = 6 rad/s.
• परीक्षेसाठी (CET) : सूर्याभोवतीच्या ग्रहाचा कोनीय संवेग स्थिर असतो; सूर्याजवळ आल्यावर ग्रह वेगाने फिरतो.

नियम 3 : L साठी r × p — कणासाठी L = r p sin θ, θ = r आणि p मधील कोन. वर्तुळाकार गतीत θ = 90°, म्हणून L = m v r = m r² ω.

• सोपे : m = 0.2 kg, v = 5 m/s, r = 2 m : L = 0.2 × 5 × 2 = 2 kg m² s⁻¹.
• मध्यम : त्याच कणासाठी ω = v ÷ r = 2.5 rad/s आणि I = m r² = 0.8; L = I ω = 2 ✓.
• परीक्षेसाठी (CET) : टॉर्कचे एकक N m आहे, पण ते ऊर्जेचे (J) एकक नाही — राशी वेगळ्या आहेत.

सूत्राची उपपत्ती : L संरक्षण व गतिज ऊर्जा

• पायरी 1 : L = I ω ⇒ dL ÷ dt = I α = τ (I स्थिर).
• पायरी 2 : τ_ext = 0 ⇒ dL ÷ dt = 0 ⇒ I₁ ω₁ = I₂ ω₂.
• पायरी 3 : KE = ½ I ω² = L² ÷ (2 I) (कारण ω = L ÷ I).
• पायरी 4 : L स्थिर असताना I अर्धे झाले की KE दुप्पट — हात आत घेताना स्केटर कार्य करते.

CET MCQ (वेळ वाचवा) : स्केटरचे I निम्मे झाले (τ = 0); KE किती पट? (1) तेवढीच (2) दुप्पट (3) निम्मी (4) चौपट → उत्तर 2). युक्ती : KE = L² ÷ 2I ⇒ I ÷ 2 ⇒ KE × 2.

फरक ओळखा

आकृतीत : एकाच उतारावरून सोडलेले गोल, तबकडी, कडे : सर्वात लहान K² ÷ R² चा गोल आधी पोहोचतो.

नियम 1 : K² ÷ R² चे मूल्य — कडे / पोकळ दंडगोल 1; तबकडी / भरीव दंडगोल ½; भरीव गोल ⅖; पोकळ गोल ⅔. K² ÷ R² जेवढे लहान तेवढे उतारावर जास्त त्वरण.

• सोपे : कडे : a = g sin θ ÷ 2; sin θ = 0.5 तर a = 2.5 m/s².
• मध्यम : तबकडी : a = 10 × 0.5 ÷ 1.5 = 3.33 m/s²; भरीव गोल : a = 5 ÷ 1.4 = 3.57 m/s².
• परीक्षेसाठी (CET) : क्रम : गोल > तबकडी > कडे; घसरणारी गुळगुळीत वस्तू g sin θ = 5 m/s² ने सर्वात वेगवान.

नियम 2 : ऊर्जेची विभागणी — रेषीय KE : फिरती KE = 1 : K² ÷ R²; एकूण KE मध्ये रेषीय भाग = 1 ÷ (1 + K² ÷ R²). भरीव गोलासाठी रेषीय : फिरती = 5 : 2, म्हणजे 71.4 % रेषीय.

• सोपे : कडे : 50 % रेषीय, 50 % फिरती.
• मध्यम : पोकळ गोल : 1 : ⅔ = 3 : 2, म्हणजे 60 % रेषीय, 40 % फिरती.
• परीक्षेसाठी (CET) : भरीव गोल M = 2 kg, v = 3 m/s : एकूण KE = ½ × 2 × 9 × 1.4 = 12.6 J (रेषीय 9 J).

नियम 3 : उताराच्या खाली येतानाचा वेग — ऊर्जा-संरक्षणातून v = √[2 g h ÷ (1 + K² ÷ R²)]; M आणि R वर अवलंबून नाही. शुद्ध लोटण्यासाठी स्थितिक घर्षण हवे; ते काम करत नाही म्हणून ऊर्जा नष्ट होत नाही.

• सोपे : भरीव गोल, h = 0.7 m : v = √(14 ÷ 1.4) = √10 = 3.16 m/s.
• मध्यम : समान h साठी कडे : v = √(2gh ÷ 2) = √(g h) = 2.65 m/s.
• परीक्षेसाठी (CET) : गुळगुळीत घसरणाऱ्या वस्तूचा v = √(2gh) = 3.74 m/s (सर्वात जास्त).

सूत्राची उपपत्ती : उतारावरून लोटताना वेग

• पायरी 1 : ऊर्जा-संरक्षण : M g h = ½ M v² + ½ I ω².
• पायरी 2 : I = M K² आणि शुद्ध लोटण्यात ω = v ÷ R.
• पायरी 3 : ½ I ω² = ½ M v² (K² ÷ R²) ⇒ M g h = ½ M v² (1 + K² ÷ R²).
• पायरी 4 : v = √[2 g h ÷ (1 + K² ÷ R²)]; M आणि R नाहीत.

CET MCQ (वेळ वाचवा) : एकाच उतारावर भरीव गोल आणि कडे : a_गोल ÷ a_कडे = ? (1) 7 : 10 (2) 10 : 7 (3) 1 : 1 (4) 5 : 7 → उत्तर 2). युक्ती : a ∝ 1 ÷ (1 + K²/R²) ⇒ (1/1.4) ÷ (1/2) = 10/7.

फरक ओळखा