धडा ३: वायूंचा गतिज सिद्धांत व प्रारण

आधीच्या वर्गाशी नाते : इयत्ता 9-10 मधील उष्णता, तापमान आणि उष्णतेचे प्रारण येथे वायूच्या रेणूंच्या दृष्टीने समजावले आहे.

आकृतीत : पात्रातील अणू वेगवेगळ्या दिशांना जातात; भिंतीवरील आघातांमुळे दाब निर्माण होतो.

नियम 1 : वायू-नियम — बॉइल (T स्थिर) : P V = स्थिर. चार्ल्स (P स्थिर) : V ÷ T = स्थिर. गे-ल्युसॅक (V स्थिर) : P ÷ T = स्थिर. अॅव्होगॅड्रो : समान P, T, V ला अणूंची संख्या समान. T नेहमी केल्विनमध्ये.

• सोपे : 2 atm, 3 L वायू स्थिर T ला 6 L पर्यंत पसरला : P₂ = 2 × 3 ÷ 6 = 1 atm.
• मध्यम : 300 K ला 2 L वायू स्थिर दाबाला 450 K पर्यंत तापवला : V₂ = 2 × 450 ÷ 300 = 3 L.
• परीक्षेसाठी (CET) : 27 °C ला बंद पात्रात दाब P; तापमान 327 °C केल्यास दाब 2P (300 K → 600 K). (पर्याय : 1) P 2) 2P 3) 12P 4) P ÷ 2 → उत्तर 2)

नियम 2 : आदर्श वायू समीकरण — P V = n R T = N k_B T. R = 8.314 J mol⁻¹ K⁻¹; k_B = 1.38 × 10⁻²³ J/K; R = N_A k_B; N_A = 6.022 × 10²³.

• सोपे : n = 2 mol, T = 300 K, V = 0.05 m³ : P = 2 × 8.314 × 300 ÷ 0.05 = 9.98 × 10⁴ Pa.
• मध्यम : P = 10⁵ Pa, V = 1 L = 10⁻³ m³, T = 300 K : N = P V ÷ (k_B T) = 2.42 × 10²² अणू.
• परीक्षेसाठी (CET) : समान P, V, T वर दोन वायूंत अणूंची संख्या समान, वस्तुमान वेगळे असले तरी. (पर्याय : 1) H₂ मध्ये जास्त 2) O₂ मध्ये जास्त 3) समान 4) सांगता येत नाही → उत्तर 3)

नियम 3 : गतिज सिद्धांताचे गृहीतक — अणू लहान आणि गोलाकार; त्यांचे आकारमान नगण्य; टक्करी पूर्ण लवचिक; टक्करीशिवाय बल नाही; गती अव्यवस्थित; दोन टक्करींमधील पथ सरळ; भिंतींशी टक्करी लवचिक.

• सोपे : जास्त दाब आणि कमी T वर वायू आदर्शापासून दूर जातो.
• मध्यम : कमी दाब आणि जास्त T वर वास्तव वायू आदर्शाजवळ.
• परीक्षेसाठी (CET) : आदर्श वायूत आंतरआण्विक बल नसल्याने अंतर्गत ऊर्जा फक्त गतिज ऊर्जा आहे. (पर्याय : 1) गतिज + स्थितिज 2) फक्त स्थितिज 3) फक्त गतिज 4) शून्य → उत्तर 3)

सूत्राची उपपत्ती : P V = n R T चे संयोजन

• पायरी 1 : बॉइल : V ∝ 1/P (T, n स्थिर). चार्ल्स : V ∝ T (P, n स्थिर). अॅव्होगॅड्रो : V ∝ n.
• पायरी 2 : तिन्ही एकत्र : V ∝ n T ÷ P.
• पायरी 3 : स्थिरांक R ने बदलले : P V = n R T. N = n N_A आणि R = N_A k_B वापरून P V = N k_B T.

फरक ओळखा

आकृतीत : अणू सरळ रेषेत जातो आणि टक्कर होताच दिशा बदलतो; दोन टक्करींमधील अंतर λ.

नियम 1 : मध्यमान मुक्त पथ — दोन क्रमवार टक्करींमधील अणूने कापलेले सरासरी अंतर : λ = 1 ÷ (√2 π d² n) = k_B T ÷ (√2 π d² P) (n = संख्या-घनता, d = अणूचा व्यास).

• सोपे : O₂, d = 360 pm, T = 300 K, P = 10⁵ Pa : λ = 7.19 × 10⁻⁸ m ≈ 72 nm.
• मध्यम : दाब 100 पट कमी केला (T स्थिर) : λ 100 पट वाढतो.
• परीक्षेसाठी (CET) : P आणि T दोन्ही दुप्पट केले ⇒ λ ∝ T ÷ P तेवढाच. (पर्याय : 1) दुप्पट 2) निम्मा 3) तेवढाच 4) चौपट → उत्तर 3)

नियम 2 : λ वर अवलंबित्व — λ ∝ T (P स्थिर), λ ∝ 1 ÷ P (T स्थिर), λ ∝ 1 ÷ d²; म्हणजे मोठे अणू आणि दाट वायू ⇒ लहान λ.

• सोपे : d दुप्पट ⇒ λ चौथा भाग.
• मध्यम : T 300 K वरून 600 K (P स्थिर) ⇒ λ दुप्पट.
• परीक्षेसाठी (CET) : निर्वात नळीत λ नळीच्या लांबीपेक्षा मोठा होतो; म्हणून अणू नळीच्या भिंतीलाच आदळतात. (पर्याय : 1) λ लहान 2) λ मोठा 3) λ शून्य 4) λ स्थिर → उत्तर 2)

सूत्राची उपपत्ती : λ = 1 ÷ (√2 π d² n) ची उपपत्ती

• पायरी 1 : एका अणूला इतर स्थिर आणि त्याला d व्यासाचे मानले. v वेगाने t वेळात अणू π d² v t आकारमानाचा दंडगोल झाडतो.
• पायरी 2 : या दंडगोलातील अणूंची संख्या = n π d² v t = टक्करींची संख्या.
• पायरी 3 : λ = कापलेले अंतर ÷ टक्करी = v t ÷ (n π d² v t) = 1 ÷ (n π d²).
• पायरी 4 : सर्व अणू गतिमान असल्याने सापेक्ष वेग √2 पट ⇒ λ = 1 ÷ (√2 π d² n); n = P ÷ (k_B T) ने λ = k_B T ÷ (√2 π d² P).

फरक ओळखा

आकृतीत : घनाकृती पेटीत अणू x-भिंतीवर आदळतो; सर्व अणूंचे आघात मिळून दाब.

नियम 1 : वायूचा दाब — P = ⅓ ρ v_rms² = N m ⟨v²⟩ ÷ (3 V) (ρ = घनता). दाब = अणूंनी प्रति सेकंद प्रति क्षेत्रफळ दिलेला संवेग.

• सोपे : ρ = 1.2 kg/m³, v_rms = 500 m/s : P = ⅓ × 1.2 × 250000 = 1.0 × 10⁵ Pa.
• मध्यम : ρ आणि v_rms दोन्ही दुप्पट : P = 8 पट (ρ दुप्पट, v² चौपट).
• परीक्षेसाठी (CET) : आकारमान निम्मे (T स्थिर) : n दुप्पट ⇒ P दुप्पट. (पर्याय : 1) निम्मा 2) तेवढाच 3) दुप्पट 4) चौपट → उत्तर 3)

नियम 2 : rms वेग — v_rms = √⟨v²⟩ = √(3 k_B T ÷ m) = √(3 R T ÷ M) (M = मोलर वस्तुमान, kg/mol). v_rms ∝ √T आणि ∝ 1 ÷ √M.

• सोपे : O₂ (M = 0.032), 300 K : v_rms = 484 m/s.
• मध्यम : He (M = 0.004), 300 K : v_rms = 1368 m/s.
• परीक्षेसाठी (CET) : समान T ला H₂ आणि O₂ चे v_rms गुणोत्तर = √(32 ÷ 2) = 4. (पर्याय : 1) 16 2) 4 3) 2 4) 8 → उत्तर 2)

नियम 3 : तापमान आणि गतिज ऊर्जा — प्रति अणू सरासरी गतिज ऊर्जा ⟨KE⟩ = ½ m v_rms² = (3/2) k_B T; फक्त T वर अवलंबून, वायूच्या प्रकारावर नाही. म्हणजे तापमान = अणूंच्या सरासरी गतिज ऊर्जेचे माप.

• सोपे : 300 K : ⟨KE⟩ = 1.5 × 1.38 × 10⁻²³ × 300 = 6.21 × 10⁻²¹ J.
• मध्यम : T दुप्पट ⇒ ⟨KE⟩ दुप्पट पण v_rms फक्त √2 पट.
• परीक्षेसाठी (CET) : समान T वर H₂ व O₂ च्या प्रति अणू ⟨KE⟩ समान; v_rms वेगळे. (पर्याय : 1) H₂ ची जास्त 2) O₂ ची जास्त 3) समान 4) शून्य → उत्तर 3)

सूत्राची उपपत्ती : P = N m ⟨v²⟩ ÷ 3V ची उपपत्ती

• पायरी 1 : L बाजूच्या घनात N अणू. एक अणू x-दिशेत vₓ ने भिंतीवर आदळतो आणि परत येतो; संवेग बदल = 2 m vₓ.
• पायरी 2 : अणू एका भिंतीवर 2L ÷ vₓ वेळाने पुन्हा येतो ⇒ प्रति सेकंद आघात = vₓ ÷ 2L.
• पायरी 3 : एका अणूचे बल = 2 m vₓ × vₓ ÷ 2L = m vₓ² ÷ L. सर्व अणूंचे बल F = m Σvₓ² ÷ L = N m ⟨vₓ²⟩ ÷ L.
• पायरी 4 : गती अव्यवस्थित ⇒ ⟨vₓ²⟩ = ⟨v²⟩ ÷ 3; दाब P = F ÷ L² = N m ⟨v²⟩ ÷ (3 L³) = N m ⟨v²⟩ ÷ 3V.
• पायरी 5 : P V = N k_B T शी तुलना : ⅓ N m ⟨v²⟩ = N k_B T ⇒ ½ m ⟨v²⟩ = (3/2) k_B T.

फरक ओळखा

आकृतीत : एकपरमाणुक अणू फक्त 3 दिशांत सरकतो; द्विपरमाणुक अणू 2 अक्षांभोवती फिरू शकतो.

नियम 1 : स्वातंत्र्य मात्रा — अणूची स्थिती सांगण्यास लागणारी स्वतंत्र चले (f). एकपरमाणुक f = 3; द्विपरमाणुक (मध्यम T) f = 5 (3 गती + 2 फिरती); बहुपरमाणुक (वक्र) f = 6. कंपनाच्या मात्रा फक्त खूप उच्च T ला.

• सोपे : He, Ne, Ar : f = 3.
• मध्यम : O₂, N₂, H₂ : f = 5.
• परीक्षेसाठी (CET) : CO₂ रेखीय असूनही सामान्य T ला f = 5 मानतात; H₂O, CH₄ : f = 6. (पर्याय : 1) 3 2) 5 3) 6 4) 7 → H₂O साठी उत्तर 3)

नियम 2 : ऊर्जा-समविभाजन — संतुलनात प्रत्येक वर्ग-पदाला (स्वातंत्र्य मात्रेला) सरासरी ½ k_B T ऊर्जा. म्हणून प्रति अणू f × ½ k_B T आणि n मोल वायूची U = (f ÷ 2) n R T.

• सोपे : 1 mol He, 300 K : U = (3/2) × 8.314 × 300 = 3741 J.
• मध्यम : 2 mol द्विपरमाणुक, 300 K : U = (5/2) × 2 × 8.314 × 300 = 12471 J.
• परीक्षेसाठी (CET) : आदर्श वायूची U फक्त T वर अवलंबून; आकारमान किंवा दाबावर नाही. (पर्याय : 1) फक्त T 2) फक्त P 3) P आणि V 4) V → उत्तर 1)

नियम 3 : विशिष्ट उष्माधारकता — C_V = (f ÷ 2) R; मेयरचा संबंध C_P − C_V = R; γ = C_P ÷ C_V = 1 + 2 ÷ f. एकपरमाणुक γ = 5/3; द्विपरमाणुक γ = 7/5.

• सोपे : एकपरमाणुक : C_V = 1.5 × 8.314 = 12.47; C_P = 20.79 J mol⁻¹ K⁻¹.
• मध्यम : 1 mol एकपरमाणुक वायू स्थिर आकारमानाला 20 K ने तापवला : Q = C_V ΔT = 249.4 J.
• परीक्षेसाठी (CET) : द्विपरमाणुक वायूसाठी C_P ÷ C_V = 1.4. (पर्याय : 1) 1.67 2) 1.4 3) 1.33 4) 1.2 → उत्तर 2)

सूत्राची उपपत्ती : मेयरचा संबंध C_P − C_V = R

• पायरी 1 : 1 मोल आदर्श वायू; स्थिर आकारमानाला dT ने तापवला : dQ₁ = C_V dT (काम शून्य ⇒ फक्त U वाढते).
• पायरी 2 : स्थिर दाबाला त्याच dT साठी : dQ₂ = C_P dT = dU + P dV. U फक्त T वर अवलंबून ⇒ dU = C_V dT.
• पायरी 3 : P V = R T ⇒ स्थिर P ला P dV = R dT.
• पायरी 4 : म्हणून C_P dT = C_V dT + R dT ⇒ C_P − C_V = R.

फरक ओळखा

आकृतीत : पडलेले प्रारण तीन भागांत विभागते : परावर्तित, शोषित, पारगत.

नियम 1 : औष्मिक प्रारण — 0 K वरील प्रत्येक वस्तू विद्युत-चुंबकीय लहरींच्या रूपात ऊर्जा उत्सर्जित करते आणि शोषते; माध्यमाची गरज नाही. पडलेल्या प्रारणाचे भाग : a + r + t = 1 (शोषण, परावर्तन, पारगमन गुणांक).

• सोपे : अपारदर्शक वस्तूसाठी t = 0 ⇒ a + r = 1.
• मध्यम : वस्तू 70 % शोषते आणि 20 % परावर्तित करते : t = 1 − 0.7 − 0.2 = 0.1.
• परीक्षेसाठी (CET) : काळे कपडे उन्हात जास्त तापतात (a मोठा), पांढरे कमी (r मोठा). (पर्याय : 1) काळे कमी 2) काळे जास्त 3) दोन्ही सारखे 4) पांढरे जास्त → उत्तर 2)

नियम 2 : कृष्णवस्तू — पूर्ण कृष्णवस्तू (perfect blackbody) सर्व तरंगलांबीचे सर्व प्रारण शोषते : a = 1, r = t = 0. तसेच तिच्या तापमानावर सर्वाधिक प्रारण उत्सर्जित करते. फेरीची कृष्णवस्तू = आतून काळे केलेले पोकळ गोल/पात्र ज्याला छोटे छिद्र.

• सोपे : छिद्रातून आत गेलेले प्रारण आत वारंवार परावर्तित होऊन शोषले जाते ⇒ छिद्र कृष्ण.
• मध्यम : सूर्य, तापलेली भट्टी जवळजवळ कृष्णवस्तू.
• परीक्षेसाठी (CET) : काजळी a ≈ 0.95–0.99; चकचकीत धातू a ≈ 0.05. (पर्याय : 1) चकचकीत धातू चांगला कृष्ण 2) काजळी चांगली कृष्ण 3) दोन्ही 4) काहीच नाही → उत्तर 2)

नियम 3 : किरचॉफचा नियम — समान तापमानाला, दिलेल्या तरंगलांबीला, उत्सर्जन-क्षमता ÷ शोषण-क्षमता = सर्व वस्तूंसाठी सारखा (= कृष्णवस्तूची उत्सर्जन-क्षमता). म्हणजे चांगला शोषक तोच चांगला उत्सर्जक. उत्सर्जकता e = वस्तूचे R ÷ कृष्णवस्तूचे R (0 ≤ e ≤ 1; e = a).

• सोपे : काळा तवा लवकर तापतो आणि लवकर थंड होतो.
• मध्यम : चहाची चकचकीत किटली चहा जास्त वेळ गरम ठेवते (e लहान).
• परीक्षेसाठी (CET) : a = 0.6 असलेल्या वस्तूची e = 0.6 (समान T, λ). (पर्याय : 1) 0.4 2) 0.6 3) 1 4) 0 → उत्तर 2)

सूत्राची उपपत्ती : किरचॉफचा नियम — कल्पना-प्रयोगातून

• पायरी 1 : बंद पात्र T तापमानाला; आत एक वस्तू आणि एक कृष्णवस्तू; संतुलन आहे.
• पायरी 2 : संतुलनात वस्तू जेवढे शोषते तेवढेच उत्सर्जित करते (नाहीतर तापमान बदलेल) : e_वस्तू = a × (पात्राचे प्रारण E).
• पायरी 3 : कृष्णवस्तूसाठी a = 1 ⇒ E_b = E.
• पायरी 4 : म्हणून e_वस्तू ÷ a = E_b — सर्व वस्तूंसाठी सारखा; e_rel = a.

फरक ओळखा

आकृतीत : तीन तापमानांचे वक्र; तापमान वाढले की शिखर डावीकडे आणि वर जाते.

नियम 1 : वर्णपटीय वितरण — कृष्णवस्तू सर्व तरंगलांबींचे प्रारण देते, पण ऊर्जा समान वाटली जात नाही. प्रत्येक T साठी एक वक्र : एक शिखर. T वाढला की (1) शिखर लहान λ कडे सरकते, (2) शिखराची उंची आणि (3) वक्राखालील क्षेत्रफळ (एकूण प्रारण) वाढते.

• सोपे : 1500 K ची भट्टी लाल दिसते; 6000 K चा तारा पांढरा-निळसर.
• मध्यम : लोखंडी सळई तापवल्यावर लाल → नारंगी → पिवळसर पांढरी होते (T वाढत जाते).
• परीक्षेसाठी (CET) : वक्राखालील क्षेत्रफळ ∝ T⁴; T दुप्पट ⇒ क्षेत्रफळ 16 पट. (पर्याय : 1) 2 पट 2) 4 पट 3) 8 पट 4) 16 पट → उत्तर 4)

नियम 2 : वीनचा विस्थापन नियम — λ_max T = b, b = 2.897 × 10⁻³ m K. शिखराची तरंगलांबी T च्या व्यस्त प्रमाणात; उष्ण वस्तू लहान तरंगलांबीचे प्रारण जास्त देते.

• सोपे : सूर्य T = 5800 K : λ_max = 2.897 × 10⁻³ ÷ 5800 = 499 nm (हिरवट-पिवळा).
• मध्यम : मानवी शरीर 310 K : λ_max = 9.35 μm (अवरक्त).
• परीक्षेसाठी (CET) : तारा λ_max = 580 nm ⇒ T = b ÷ λ_max = 4995 K. (पर्याय : 1) 2500 K 2) 5000 K 3) 7500 K 4) 10000 K → उत्तर 2)

नियम 3 : नियमाचे उपयोग — तारे आणि दूरच्या वस्तूंचे पृष्ठीय तापमान त्यांच्या λ_max वरून काढता येते. दोन वस्तूंसाठी λ₁ T₁ = λ₂ T₂.

• सोपे : λ_max दुप्पट ⇒ T निम्मा.
• मध्यम : A चे λ_max = 400 nm, B चे 800 nm : T_A ÷ T_B = 2. (T_B = 3621 K, T_A = 7242 K).
• परीक्षेसाठी (CET) : लाल तारा थंड आणि निळा तारा गरम. (पर्याय : 1) निळा थंड 2) लाल थंड 3) दोन्ही सारखे 4) सांगता येत नाही → उत्तर 2)

फरक ओळखा

आकृतीत : R–T वक्र T⁴ प्रमाणे वाढतो; T दुप्पट केला की R 16 पट.

नियम 1 : स्टेफन–बोल्टझमन नियम — कृष्णवस्तूचे प्रति एकक क्षेत्रफळ प्रति सेकंद उत्सर्जित प्रारण : R = σ T⁴; σ = 5.67 × 10⁻⁸ W m⁻² K⁻⁴; [M T⁻³ K⁻⁴]. सामान्य वस्तूसाठी R = e σ T⁴. एकूण शक्ती P = e σ A T⁴.

• सोपे : कृष्णवस्तू 300 K : R = 5.67 × 10⁻⁸ × 300⁴ = 459.3 W/m².
• मध्यम : कृष्णवस्तू A = 0.01 m², T = 1000 K : P = σ A T⁴ = 567 W.
• परीक्षेसाठी (CET) : T दुप्पट ⇒ R 16 पट; T 3 पट ⇒ 81 पट. (पर्याय : 1) 4 2) 8 3) 16 4) 81 → T दुप्पटीसाठी उत्तर 3)

नियम 2 : निव्वळ उत्सर्जन — वस्तू (T) सभोवताल (T₀) मध्ये : निव्वळ शक्ती P_net = e σ A (T⁴ − T₀⁴). T > T₀ ⇒ उष्णता गमावते; T = T₀ ⇒ P_net = 0 (संतुलन).

• सोपे : e = 0.8, A = 0.5 m², T = 600 K, T₀ = 300 K : P_net = 0.8 × 5.67 × 10⁻⁸ × 0.5 × (600⁴ − 300⁴) = 2756 W.
• मध्यम : T₀ = 0 K समजल्यास P = e σ A T⁴ (फक्त उत्सर्जन).
• परीक्षेसाठी (CET) : T = T₀ वर वस्तू प्रारण करते पण निव्वळ शून्य; बंद तापमान स्थिर. (पर्याय : 1) प्रारण थांबते 2) निव्वळ शून्य 3) तापमान वाढते 4) तापमान घटते → उत्तर 2)

नियम 3 : उपयोग — सूर्याचे पृष्ठीय तापमान, तारे, विद्युत दिव्याचा तंतू आणि शरीराचा उष्णतेचा ऱ्हास या सर्वांत हे सूत्र वापरतात. तंतूचे स्थिर तापमान : मिळणारी विद्युत शक्ती = e σ A T⁴.

• सोपे : तंतू : e = 0.5, A = 5 × 10⁻⁵ m², शक्ती 60 W : T = [60 ÷ (e σ A)]^¼ = 2551 K.
• मध्यम : त्रिज्या R, तापमान T चा तारा : एकूण शक्ती L = 4π R² σ T⁴.
• परीक्षेसाठी (CET) : दोन गोल कृष्णवस्तू : r₁ ÷ r₂ = 2, T₁ ÷ T₂ = 1 ÷ 2 ⇒ P₁ ÷ P₂ = 4 × (1/16) = ¼. (पर्याय : 1) ¼ 2) 4 3) 1 4) 16 → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : निव्वळ उत्सर्जनाचे सूत्र

• पायरी 1 : वस्तू T तापमानाला e σ A T⁴ शक्ती उत्सर्जित करते.
• पायरी 2 : सभोवताल T₀ तापमानाला e σ A T₀⁴ शक्ती वस्तूवर पडते आणि किरचॉफनुसार (a = e) तेवढीच शोषली जाते.
• पायरी 3 : निव्वळ = उत्सर्जित − शोषित.
• पायरी 4 : P_net = e σ A (T⁴ − T₀⁴).

फरक ओळखा