धडा ३: प्रतलातील गती | राज्य मंडळ · इयत्ता 11 · भौतिकशास्त्र

गतीची समीकरणे व मुक्तपतन

रोजच्या जीवनातून

झाडावरून आंबा पडताना तो रोज वेगाने खाली येतो; तोच नियम सर्व पडणाऱ्या वस्तूंना. आधीच्या वर्गाशी नाते : इयत्ता 9-10 मधील गतीची समीकरणे आणि आलेख येथे सदिश व कलनासह द्विमितीय गतीपर्यंत पुढे जातात.

सोपी व्याख्या

स्थिर त्वरण (constant acceleration) म्हणजे वेगात दर सेकंदाला सारखा बदल.

आकृतीत : 1, 2, 3 s मध्ये 5, 20, 45 m.

नियम 1 : गतीची समीकरणे — स्थिर त्वरणासाठी : v = u + at; s = ut + ½at²; v² = u² + 2as; s_n = u + a(2n − 1) ÷ 2 (n व्या सेकंदातील).

सोपे : u = 10, a = 2, t = 5 ⇒ v = 20; s = 75 m.
मध्यम : ब्रेक : u = 20, a = −5 ⇒ s = u²/2|a| = 40 m; t = 4 s.
परीक्षेसाठी (CET) : v² = u² + 2as मध्ये t नसतो; म्हणून t माहीत नसेल तर कोणते? (1) हे समीकरण (2) v = u + at (3) s = ut (4) कोणतेही नाही → उत्तर 1)

नियम 2 : मुक्तपतन — a = g = 10 m/s² खालीकडे. विरामावरून पडताना : v = gt, h = ½gt², v² = 2gh, t = √(2h/g).

सोपे : 80 m वरून : t = √(2×80/10) = 4 s; v = 40 m/s.
मध्यम : 1, 2, 3 s मध्ये अंतर 5, 20, 45 m; सेकंदागणिक 5 : 15 : 25 = 1 : 3 : 5.
परीक्षेसाठी (CET) : दगड सोडल्यावर 2 s मध्ये? (1) 20 m (2) 10 m (3) 40 m (4) 5 m → उत्तर 1) युक्ती : 5t².

नियम 3 : वर फेकलेला चेंडू — a = −g. कमाल उंची H = u²/2g; वर जाण्याचा वेळ u/g; एकूण वेळ 2u/g; परत येताना वेग u (खाली).

सोपे : u = 20 ⇒ H = 400/20 = 20 m; वर जाण्याचा वेळ 2 s; एकूण 4 s.
मध्यम : कमाल बिंदूवर v = 0 पण a = 10 m/s².
परीक्षेसाठी (CET) : कमाल उंचीवर त्वरण? (1) g (2) 0 (3) −g/2 (4) अनंत → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : v² = u² + 2as

पायरी 1 : v = u + at ⇒ t = (v − u) ÷ a.
पायरी 2 : सरासरी वेग = (u + v) ÷ 2 ⇒ s = (u + v) t ÷ 2.
पायरी 3 : s = (u + v)(v − u) ÷ 2a = (v² − u²) ÷ 2a.
पायरी 4 : v² = u² + 2as.

लक्षात ठेवा

v = u + at; s = ut + ½at²; v² = u² + 2as; H = u²/2g.

सामान्य चूक / CET सापळा

वर जाताना a = −g; चिन्हे ठरवा; समीकरणे फक्त स्थिर a साठी.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "पडताना ५ t²".

फरक ओळखा

समीकरण	काय नसते	कधी वापरा
v = u + at	s	s माहीत नाही
s = ut + ½at²	v	v माहीत नाही
v² = u² + 2as	t	t माहीत नाही

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1स्थिर त्वरणाची तीन समीकरणे?
2मुक्तपतनात a?
3कमाल बिंदूवर v?

मध्यम

4u = 0, a = 4, t = 6 : s?
5u = 15, v = 35, t = 5 : a?
645 m वरून सोडले : t?

आव्हानात्मक

7u = 30 वर फेकले : H व एकूण वेळ?
8मुक्तपतनात 3ऱ्या सेकंदातील अंतर?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1v = u + at; s = ut + ½at²; v² = u² + 2as
2g = 10 m/s²
30
4s = 72 m
5a = 4 m/s²
6t = 3 s
7H = 45 m; 6 s
825 m

गतीचे आलेख, सरासरी व तात्क्षणिक वेग

रोजच्या जीवनातून

बसच्या प्रवासाचा एकूण वेळ पाहून सरासरी चाल कळते; स्पीडोमीटर तात्क्षणिक चाल दाखवतो.

सोपी व्याख्या

तात्क्षणिक वेग (instantaneous velocity) = अतिशय लहान काळातील सरासरी वेग; dx/dt.

आकृतीत : त्रिकोण 25 m + आयत 50 m = 75 m.

Live आकृती

गतीचे आलेख, सरासरी व तात्क्षणिक वेग

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : x – t व v – t आलेख — x – t आलेखाचा चढ = वेग; v – t आलेखाचा चढ = त्वरण; v – t खालील क्षेत्रफळ = विस्थापन.

सोपे : x 0 → 20 m, 4 s ⇒ वेग = 5 m/s.
मध्यम : v 0 → 10 m/s (5 s), मग स्थिर 10 (5 s) ⇒ s = ½·5·10 + 5·10 = 75 m.
परीक्षेसाठी (CET) : सरळ क्षैतिज x – t रेषा ⇒? (1) वस्तू स्थिर (2) a स्थिर (3) v वाढतो (4) a वाढतो → उत्तर 1)

नियम 2 : सरासरी व तात्क्षणिक वेग — सरासरी v = Δx ÷ Δt (विस्थापन ÷ वेळ); सरासरी चाल = एकूण अंतर ÷ वेळ; तात्क्षणिक v = dx/dt.

सोपे : x = 3t² + 2t : t = 2 ते 3 s : सरासरी v = (33 − 16)/1 = 17 m/s; t = 2 वर v = 14.
मध्यम : जाताना 60 km/h, येताना 40 km/h ⇒ सरासरी चाल = 2·60·40/(60+40) = 48 km/h; सरासरी वेग 0.
परीक्षेसाठी (CET) : परत सुरुवातीला आल्यावर सरासरी वेग? (1) 0 (2) चाल इतका (3) अनंत (4) ऋण → उत्तर 1)

नियम 3 : आलेखावरून माहिती — v – t रेषा क्षैतिज ⇒ a = 0; वर जाणारी रेषा ⇒ a > 0; वक्र ⇒ a बदलतो. x – t वक्र वरच्या दिशेने वाकलेले ⇒ v वाढतो.

सोपे : v – t रेषा (0, 0) ते (4, 12) ⇒ a = 3 m/s².
मध्यम : परवलयाकार x – t ⇒ स्थिर a.
परीक्षेसाठी (CET) : v – t आलेखाखालील क्षेत्रफळ? (1) विस्थापन (2) a (3) बल (4) वेळ → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : v – t खालील क्षेत्रफळ = s

पायरी 1 : u पासून v पर्यंत सरळ रेषा ⇒ समलंब चौकोन.
पायरी 2 : क्षेत्रफळ = ½ (u + v) × t.
पायरी 3 : v = u + at ठेवा : ½ (2u + at) t.
पायरी 4 : s = ut + ½at² = विस्थापन.

लक्षात ठेवा

v = dx/dt; a = dv/dt; v – t खालील क्षेत्र = विस्थापन.

सामान्य चूक / CET सापळा

सरासरी चाल ≠ सरासरी वेग; समान अंतरांसाठी चाल = हरात्मक मध्य, (v₁ + v₂)/2 नाही.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "x – t चढ = v; v – t चढ = a".

फरक ओळखा

आलेख	चढ	क्षेत्रफळ
x – t	वेग	—
v – t	त्वरण	विस्थापन
a – t	—	वेगातील बदल

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1x – t चा चढ काय?
2सरासरी चाल व वेग फरक?
3तात्क्षणिक वेग सूत्र?

मध्यम

4x = 5t² : t = 3 वर v?
5v – t : 0 → 8 m/s, 2 s : s?
630 km/h व 60 km/h समान अंतर : सरासरी चाल?

आव्हानात्मक

7v = 4t : 0 ते 3 s विस्थापन?
8x = t³ : t = 2 वर a?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1वेग
2चाल = अंतर÷वेळ; वेग = विस्थापन÷वेळ
3dx/dt
430 m/s
58 m
640 km/h
718 m
812 m/s²

द्विमितीय गती

रोजच्या जीवनातून

मैदानात चेंडू तिरका मारला की तो एकाच वेळी पुढेही जातो आणि वरही — दोन गती एकत्र.

सोपी व्याख्या

द्विमितीय गती : x व y दिशांतील दोन स्वतंत्र गतींचा एकत्रित परिणाम.

आकृतीत : वेगाचे घटक v_x व v_y.

नियम 1 : स्थान, वेग, त्वरण सदिश — r = x î + y ĵ; v = dr/dt = v_x î + v_y ĵ; a = dv/dt. दोन्ही दिशांतील गती स्वतंत्र.

सोपे : r = 3t î + 4t² ĵ ⇒ v = 3î + 8t ĵ; t = 1 ⇒ |v| = √(9 + 64) = 8.54 m/s.
मध्यम : a = dv/dt = 8ĵ m/s².
परीक्षेसाठी (CET) : r = 2t î + t² ĵ चा मार्ग? (1) परवलय (2) सरळ रेषा (3) वर्तुळ (4) बिंदू → उत्तर 1) युक्ती : x = 2t, y = t² ⇒ y = x²/4.

नियम 2 : विस्थापन व सरासरी वेग — Δr = (x₂ − x₁) î + (y₂ − y₁) ĵ; सरासरी वेग = Δr ÷ Δt.

सोपे : (1, 2) → (4, 6) ⇒ Δr = 3î + 4ĵ; |Δr| = 5 m.
मध्यम : 5 s मध्ये ⇒ सरासरी वेग = 1 m/s (दिशा tanθ = 4/3).
परीक्षेसाठी (CET) : Δr चे परिमाण (0,0) → (6,8)? (1) 10 (2) 14 (3) 8 (4) 6 → उत्तर 1)

नियम 3 : स्थिर त्वरणाने द्विमितीय गती — v = u + a t (सदिश); r = u t + ½ a t². घटकानुसार वेगळे सोडवा.

सोपे : u = 4î, a = 2ĵ, t = 3 ⇒ v = 4î + 6ĵ; |v| = 7.21.
मध्यम : r = 12î + 9ĵ (मूळापासून).
परीक्षेसाठी (CET) : a = 0 असल्यास गती? (1) सरळ रेषेत स्थिर वेग (2) वर्तुळ (3) परवलय (4) विरामावस्था → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : v = dr/dt चे घटक

पायरी 1 : r = x î + y ĵ; î, ĵ अचल.
पायरी 2 : dr/dt = (dx/dt) î + (dy/dt) ĵ.
पायरी 3 : म्हणून v_x = dx/dt, v_y = dy/dt.
पायरी 4 : |v| = √(v_x² + v_y²); tanθ = v_y/v_x.

लक्षात ठेवा

v = dr/dt; a = dv/dt; |v| = √(v_x² + v_y²).

सामान्य चूक / CET सापळा

घटक स्वतंत्र पण वेळ t दोन्हींसाठी समान; परिमाण काढताना √ विसरू नका.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "x व y वेगळे, t एकच".

फरक ओळखा

राशी	सूत्र	घटक
वेग	dr/dt	dx/dt, dy/dt
त्वरण	dv/dt	dv_x/dt, dv_y/dt
परिमाण	√(v_x²+v_y²)	—

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

12-D गतीत r, v, a लिहा.
2गतीचे घटक कसे स्वतंत्र?
3|v| चे सूत्र?

मध्यम

4r = 2t î + t² ĵ : t = 2 वर v?
5(0,0) → (5, 12) : |Δr|?
6u = 3î, a = 4ĵ, t = 2 : v?

आव्हानात्मक

7r = 3t î + (4t − 5t²) ĵ : a?
8v = 6î + 8ĵ : |v| व दिशा?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1r = x î + y ĵ; v = dr/dt; a = dv/dt
2एका दिशेतील बल दुसऱ्या दिशेवर परिणाम करत नाही
3√(v_x² + v_y²)
4v = 2î + 4ĵ
513 m
6v = 3î + 8ĵ
7a = −10ĵ
810 m/s; 53.1°

सापेक्ष वेग

रोजच्या जीवनातून

रेल्वेत शेजारची गाडी तुमच्याच वेगाने जात असेल तर ती स्थिर वाटते — सापेक्ष वेग शून्य.

सोपी व्याख्या

सापेक्ष वेग (relative velocity) = एका वस्तूचा दुसऱ्या वस्तूच्या दृष्टीने दिसणारा वेग.

आकृतीत : v_b बोटीचा, v_r प्रवाहाचा, v परिणामी.

Live आकृती

सापेक्ष वेग

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : सापेक्ष वेग — B च्या सापेक्ष A चा वेग : v_AB = v_A − v_B. समान दिशा : वजाबाकी; उलट दिशा : बेरीज.

सोपे : गाड्या 20 व 15 m/s समान दिशेत ⇒ सापेक्ष वेग 5 m/s.
मध्यम : उलट दिशेत ⇒ 20 + 15 = 35 m/s.
परीक्षेसाठी (CET) : समोरासमोर येणाऱ्या गाड्यांचा सापेक्ष वेग? (1) बेरीज (2) वजाबाकी (3) 0 (4) गुणाकार → उत्तर 1)

नियम 2 : नदी–बोट : सर्वात कमी वेळ — बोट प्रवाहाला लंब रोवा : t = d ÷ v_b; वाहवणे = v_r t; परिणामी वेग = √(v_b² + v_r²).

सोपे : v_b = 4, v_r = 3, d = 200 m ⇒ t = 50 s; वाहवणे = 150 m; v = 5 m/s.
मध्यम : रुंदी वाढवली ⇒ t व वाहवणे दोन्ही वाढतात.
परीक्षेसाठी (CET) : किमान वेळेसाठी बोटीची दिशा? (1) प्रवाहाला लंब (2) प्रवाहाविरुद्ध (3) प्रवाहासोबत (4) तिरकी → उत्तर 1)

नियम 3 : नदी–बोट : सर्वात कमी मार्ग — सरळ पलीकडे जाण्यास बोट थोडी प्रवाहाविरुद्ध रोवा : sinθ = v_r ÷ v_b; निव्वळ वेग = √(v_b² − v_r²).

सोपे : v_b = 5, v_r = 3 ⇒ sinθ = 0.6 ⇒ θ = 36.9°; निव्वळ वेग = 4 m/s.
मध्यम : d = 200 m ⇒ t = 200/4 = 50 s.
परीक्षेसाठी (CET) : हे शक्य कधी? (1) v_b > v_r (2) v_b < v_r (3) v_b = 0 (4) नेहमी → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : v_AB = v_A − v_B

पायरी 1 : A चे स्थान x_A, B चे x_B; B च्या सापेक्ष x_AB = x_A − x_B.
पायरी 2 : t च्या संदर्भात अवकलन : dx_AB/dt = dx_A/dt − dx_B/dt.
पायरी 3 : म्हणजे v_AB = v_A − v_B.
पायरी 4 : v_BA = −v_AB.

लक्षात ठेवा

v_AB = v_A − v_B; t = d/v_b; sinθ = v_r/v_b.

सामान्य चूक / CET सापळा

किमान वेळ व किमान मार्ग वेगळे; उलट दिशेत बेरीज करा, वजाबाकी नाही.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "समान = वजा; उलट = जमा".

फरक ओळखा

स्थिती	सापेक्ष वेग
समान दिशा	v₁ − v₂
उलट दिशा	v₁ + v₂
लंब दिशा	√(v₁² + v₂²)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1सापेक्ष वेग म्हणजे?
2v_AB व v_BA संबंध?
3किमान वेळेसाठी दिशा?

मध्यम

460 व 45 km/h समान दिशा : सापेक्ष?
5v_b = 6, v_r = 2, d = 120 : t व वाहवणे?
6v_b = 10, v_r = 6 : सरळ जाण्यास θ?

आव्हानात्मक

7उलट दिशा 54 व 36 km/h (m/s मध्ये सापेक्ष)?
8v_b = 5, v_r = 3 : सरळ जाताना 200 m ला वेळ?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1एकाच्या सापेक्ष दुसऱ्याचा वेग
2v_BA = −v_AB
3प्रवाहाला लंब
415 km/h
5t = 20 s; वाहवणे 40 m
636.9° प्रवाहाविरुद्ध
725 m/s
850 s

प्रक्षेप्य गती

रोजच्या जीवनातून

क्रिकेटचा उंच फटका : चेंडू वर जातो, पुढे जातो आणि वाकडी कमान करून खाली येतो.

सोपी व्याख्या

प्रक्षेप्य (projectile) = फेकलेली वस्तू जिच्यावर फक्त गुरुत्वाकर्षण कार्य करते; मार्ग परवलय.

आकृतीत : निळा मार्ग; H = उंची, R = पल्ला.

Live आकृती

प्रक्षेप्य गती

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : तिरकी प्रक्षेप्य — u कोन θ ने फेकले : u_x = u cosθ (स्थिर), u_y = u sinθ. T = 2u sinθ ÷ g; H = u² sin²θ ÷ 2g; R = u² sin2θ ÷ g.

सोपे : u = 20, θ = 30° ⇒ T = 2 s; H = 5 m; R = 34.64 m.
मध्यम : θ = 45° ⇒ R_max = u²/g = 40 m; θ व (90° − θ) साठी R समान.
परीक्षेसाठी (CET) : कमाल पल्ला कोणत्या कोनावर? (1) 45° (2) 30° (3) 60° (4) 90° → उत्तर 1) युक्ती : sin2θ = 1.

नियम 2 : मार्गाचे समीकरण — y = x tanθ − g x² ÷ (2u² cos²θ) ⇒ परवलय. कमाल बिंदूवर v = u cosθ (क्षैतिज).

सोपे : θ = 45° : y = x − g x²/u².
मध्यम : कमाल बिंदूवर वेग u cosθ = 17.3 m/s (u = 20, θ = 30°).
परीक्षेसाठी (CET) : कमाल बिंदूवर त्वरण? (1) g खाली (2) 0 (3) g वर (4) u cosθ → उत्तर 1)

नियम 3 : क्षैतिज प्रक्षेप्य — h उंचीवरून क्षैतिज वेग u ने : T = √(2h ÷ g); R = u T; पडताना v_y = gT.

सोपे : h = 80, u = 15 ⇒ T = 4 s; R = 60 m.
मध्यम : T फक्त h वर; u वर नाही.
परीक्षेसाठी (CET) : दोन चेंडू एकाच उंचीवरून : एक सोडला, एक क्षैतिज फेकला; पडण्याचा वेळ? (1) समान (2) फेकलेला जास्त (3) सोडलेला जास्त (4) माहीत नाही → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : R = u² sin2θ ÷ g

पायरी 1 : उभी गती : y = 0 वर T = 2u sinθ ÷ g.
पायरी 2 : क्षैतिज गती : R = (u cosθ) × T.
पायरी 3 : R = u cosθ × 2u sinθ ÷ g = u² (2 sinθ cosθ) ÷ g.
पायरी 4 : R = u² sin2θ ÷ g.

लक्षात ठेवा

T = 2u sinθ/g; H = u² sin²θ/2g; R = u² sin2θ/g; R_max = u²/g.

सामान्य चूक / CET सापळा

क्षैतिज वेग स्थिर, उभा वेग बदलतो; sin2θ व sin²θ गोंधळू नका; हवेचा रोध गृहीत नाही.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "R : दुप्पट कोन; H : वर्ग".

फरक ओळखा

राशी	सूत्र	कमाल / विशेष
T	2u sinθ/g	90° वर कमाल
H	u² sin²θ/2g	90° वर कमाल
R	u² sin2θ/g	45° वर कमाल

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1प्रक्षेप्य म्हणजे?
2मार्गाचा आकार?
3R_max चे सूत्र?

मध्यम

4u = 30, θ = 30° : T?
5u = 40, θ = 45° : R?
6h = 45, u = 10 क्षैतिज : T, R?

आव्हानात्मक

7u = 20, θ = 60° : H?
8θ = 30° व 60° : R गुणोत्तर?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1फेकलेली वस्तू जिच्यावर फक्त गुरुत्वाकर्षण
2परवलय
3u²/g
4T = 3 s
5R = 160 m
6T = 3 s; R = 30 m
7H = 15 m
81 : 1

नियमित वर्तुळाकार गती

रोजच्या जीवनातून

पाळण्यातील मुलाची चाल सारखी, तरी दिशा सतत बदलते.

सोपी व्याख्या

नियमित वर्तुळाकार गती (uniform circular motion) = स्थिर चालीने वर्तुळात फिरणे.

आकृतीत : v स्पर्शरेषेवर; ω = 2π/T.

नियम 1 : कोनीय राशी — θ = s ÷ r; ω = dθ/dt = 2π ÷ T = 2π f; v = ω r; T = 1 ÷ f. ω चे एकक rad/s.

सोपे : r = 0.5 m, f = 2 Hz ⇒ ω = 4π = 12.57 rad/s; v = 6.28 m/s.
मध्यम : घड्याळाचा सेकंद काटा : ω = 2π/60 = 0.1047 rad/s.
परीक्षेसाठी (CET) : 1 आवर्तनाचा कोन? (1) 2π rad (2) π rad (3) 1 rad (4) 360 rad → उत्तर 1)

नियम 2 : नियमित गतीचे वैशिष्ट्य — चाल स्थिर, पण दिशा बदलते म्हणून वेग बदलतो (सदिश) ⇒ त्वरण असते. v स्पर्शरेषेवर, r ला लंब.

सोपे : m = 2 kg, v = 5 m/s वर्तुळात : गतिज ऊर्जा स्थिर = 25 J.
मध्यम : वेग बदलतो, चाल नाही.
परीक्षेसाठी (CET) : वर्तुळाकार नियमित गतीत स्थिर? (1) चाल (2) वेग (3) त्वरण (4) संवेग → उत्तर 1)

नियम 3 : पृथ्वीची गती — स्वतःभोवती : T = 24 h ⇒ ω = 2π/86400 = 7.27 × 10⁻⁵ rad/s. विषुववृत्तावर v = ω R = 465 m/s (R = 6400 km).

सोपे : ω = 7.27 × 10⁻⁵ rad/s.
मध्यम : v = 465 m/s.
परीक्षेसाठी (CET) : पृथ्वीचा T (अक्षावर)? (1) 24 h (2) 12 h (3) 365 d (4) 1 h → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : v = ω r

पायरी 1 : चाप s = r θ (θ रेडियनमध्ये).
पायरी 2 : t च्या संदर्भात अवकलन : ds/dt = r dθ/dt.
पायरी 3 : ds/dt = v आणि dθ/dt = ω.
पायरी 4 : v = ω r.

लक्षात ठेवा

ω = 2π/T = 2πf; v = ω r; T = 1/f.

सामान्य चूक / CET सापळा

चाल स्थिर पण वेग बदलतो; θ रेडियनमध्ये घ्या; f व ω गोंधळू नका.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "ω = 2π × f".

फरक ओळखा

राशी	सूत्र	एकक
ω	2π/T = 2πf	rad/s
v	ω r	m/s
T	1/f	s
f	1/T	Hz

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1ω म्हणजे?
2T व f संबंध?
3नियमित वर्तुळाकार गती म्हणजे?

मध्यम

4f = 5 Hz : ω?
5r = 2 m, ω = 3 rad/s : v?
6T = 0.5 s : f व ω?

आव्हानात्मक

7मिनिट काटा : ω?
8v = 20 m/s, r = 5 m : T?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1कोनीय वेग dθ/dt
2T = 1/f
3स्थिर चालेने वर्तुळात गती
4ω = 31.4 rad/s
5v = 6 m/s
6f = 2 Hz; ω = 12.57 rad/s
7ω = 1.75 × 10⁻³ rad/s
8T = 1.57 s

केंद्राभिमुख त्वरण व बल

रोजच्या जीवनातून

वळणावर बस वळताना आपण बाहेरच्या बाजूला झुकतो; खरे बल आतल्या दिशेने कार्य करते.

सोपी व्याख्या

केंद्राभिमुख बल (centripetal force) = वर्तुळाकार गतीसाठी केंद्राकडे लागणारे बल.

आकृतीत : a_c केंद्राकडे, v स्पर्शरेषेवर.

नियम 1 : केंद्राभिमुख त्वरण — a_c = v² ÷ r = ω² r, दिशा केंद्राकडे; v ला लंब.

सोपे : v = 10, r = 5 ⇒ a_c = 20 m/s².
मध्यम : ω = 4, r = 0.5 ⇒ a_c = 8 m/s².
परीक्षेसाठी (CET) : v दुप्पट, r तोच ⇒ a_c? (1) चौपट (2) दुप्पट (3) निम्मे (4) तोच → उत्तर 1)

नियम 2 : केंद्राभिमुख बल — F = m v² ÷ r = m ω² r. स्वतंत्र बल नाही; ताण, घर्षण, गुरुत्व किंवा अभिक्रिया बल पुरवते. केंद्रोत्सारी बल (centrifugal) हे आभासी (फिरत्या चौकटीत).

सोपे : m = 2 kg, v = 10, r = 5 ⇒ F = 40 N.
मध्यम : दोरीला बांधलेला दगड फिरवताना ताण = केंद्राभिमुख बल.
परीक्षेसाठी (CET) : चंद्राला केंद्राभिमुख बल कोण पुरवते? (1) गुरुत्वाकर्षण (2) ताण (3) घर्षण (4) चुंबकत्व → उत्तर 1)

नियम 3 : वळणावर वाहन — सपाट रस्ता : घर्षण = केंद्राभिमुख बल ⇒ μ m g = m v² ÷ r ⇒ v_max = √(μ r g).

सोपे : μ = 0.5, r = 20 m ⇒ v_max = √(0.5 × 20 × 10) = 10 m/s.
मध्यम : r चौपट ⇒ v_max दुप्पट.
परीक्षेसाठी (CET) : v_max कशावर अवलंबून नाही? (1) वस्तुमान (2) μ (3) r (4) g → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : a_c = v² ÷ r

पायरी 1 : दोन बिंदूंवर वेग v₁, v₂ (परिमाण v) व कोन Δθ; Δv = v Δθ.
पायरी 2 : चाप Δs = r Δθ ⇒ Δθ = Δs ÷ r.
पायरी 3 : a = Δv ÷ Δt = v (Δs ÷ r) ÷ Δt = v (Δs/Δt) ÷ r.
पायरी 4 : Δs/Δt = v ⇒ a_c = v² ÷ r, केंद्राकडे.

लक्षात ठेवा

a_c = v²/r = ω²r; F = m v²/r; v_max = √(μ r g).

सामान्य चूक / CET सापळा

केंद्राभिमुख बल नवे बल नाही; केंद्रोत्सारी बल प्रत्यक्ष बल नाही; v_max वर m चा परिणाम नाही.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "आत = खरे; बाहेर = आभास".

फरक ओळखा

राशी	सूत्र	दिशा
a_c	v²/r = ω²r	केंद्राकडे
F	m v²/r	केंद्राकडे
v_max (सपाट)	√(μ r g)	—

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1केंद्राभिमुख त्वरणाची दिशा?
2केंद्राभिमुख बलाचे सूत्र?
3केंद्रोत्सारी बल खरे आहे का?

मध्यम

4v = 6, r = 3 : a_c?
5m = 0.5, v = 4, r = 2 : F?
6μ = 0.4, r = 10 : v_max?

आव्हानात्मक

7m = 1 kg, r = 1 m, T = 2 s : F?
8दोरीची कमाल ताण 50 N, m = 1, r = 2 : v_max?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1केंद्राकडे
2m v²/r
3नाही; आभासी बल
412 m/s²
54 N
6v_max = 6 m/s
7ω = π ⇒ F = 9.87 N
810 m/s

संपूर्ण धड्याची झटपट उजळणी

संकल्पना	महत्त्वाचे सूत्र / तथ्य	एकक / मितीय सूत्र
गती	v = u + at; s = ut + ½at²; v² = u² + 2as	m/s; m
मुक्तपतन	h = ½gt²; v = gt; H = u²/2g	m
सापेक्ष वेग	v_AB = v_A − v_B	m/s
नदी–बोट	t = d/v_b; sinθ = v_r/v_b	s
प्रक्षेप्य	T = 2u sinθ/g; R = u² sin2θ/g	s; m
कोनीय वेग	ω = 2π/T; v = ω r	rad/s
केंद्राभिमुख	a = v²/r; F = mv²/r	m/s²; N
वळण	v_max = √(μ r g)	m/s

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

x – t चढ = v; v – t चढ = a; क्षेत्र = विस्थापन.
a = g = 10 खालीकडे; H = u²/2g.
सरासरी चाल ≠ सरासरी वेग.
समोरासमोर : बेरीज; समान दिशा : वजाबाकी.
R_max 45° वर; R समान θ व 90° − θ.
वर्तुळात चाल स्थिर, वेग बदलतो.
केंद्राभिमुख बल केंद्राकडे; केंद्रोत्सारी आभासी.

अभ्यासाचा मंत्र

स्थिर a ⇒ समीकरण; 2-D ⇒ x, y वेगळे; वर्तुळ ⇒ ω, v = ω r, F = mv²/r.