धडा ४: गतीचे नियम | राज्य मंडळ · इयत्ता 11 · भौतिकशास्त्र

न्यूटनचे नियम व जडत्व

रोजच्या जीवनातून

कार अचानक थांबली की आपण पुढे झुकतो; शरीराला चालू गती टिकवायची असते. आधीच्या वर्गाशी नाते : इयत्ता 9-10 मधील न्यूटनचे नियम, संवेग व कार्य-ऊर्जा येथे सदिश व कलनाने अधिक खोलात जातात.

सोपी व्याख्या

बल (force) = वस्तूचा वेग किंवा आकार बदलणारा परिणाम; न्यूटनचे नियम बल व गतीचा संबंध देतात.

आकृतीत : डावीकडे F = ma; उजवीकडे क्रिया-प्रतिक्रिया.

नियम 1 : पहिला नियम व जडत्व — बाह्य बल नसल्यास वस्तू विराम किंवा सरळ रेषेतील स्थिर वेगातच राहते. जडत्व (inertia) = हा बदलाला विरोध; मोजमाप वस्तुमान m.

सोपे : बस अचानक सुरू होते ⇒ प्रवासी मागे झुकतात.
मध्यम : जास्त वस्तुमानाच्या वस्तूचे जडत्व जास्त : ट्रकला थांबवणे कठीण.
परीक्षेसाठी (CET) : जडत्वाचे माप? (1) वस्तुमान (2) वेग (3) बल (4) वजन → उत्तर 1)

नियम 2 : दुसरा नियम — F = dp/dt; स्थिर m साठी F = m a. 1 N = 1 kg m s⁻²; मितीय सूत्र [M L T⁻²].

सोपे : F = 20 N, m = 4 kg ⇒ a = 5 m/s².
मध्यम : m = 2 kg, a = 3î + 4ĵ ⇒ F = 6î + 8ĵ; |F| = 10 N.
परीक्षेसाठी (CET) : F दुप्पट, m दुप्पट ⇒ a? (1) तोच (2) दुप्पट (3) निम्मे (4) चौपट → उत्तर 1)

नियम 3 : तिसरा नियम — प्रत्येक क्रियेला समान व विरुद्ध प्रतिक्रिया : F₁₂ = − F₂₁. ही बले दोन वेगळ्या वस्तूंवर असतात, म्हणून ती एकमेकांना रद्द करत नाहीत.

सोपे : बंदुकीचा धक्का : गोळीवर बल पुढे, बंदुकीवर मागे.
मध्यम : चालताना पाय जमिनीला मागे ढकलतो; जमीन आपल्याला पुढे.
परीक्षेसाठी (CET) : क्रिया व प्रतिक्रिया? (1) वेगळ्या वस्तूंवर (2) एकाच वस्तूवर (3) रद्द होतात (4) वेगळे परिमाण → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : F = dp/dt वरून F = ma

पायरी 1 : संवेग p = m v.
पायरी 2 : F = d(mv)/dt.
पायरी 3 : m स्थिर ⇒ F = m dv/dt.
पायरी 4 : dv/dt = a ⇒ F = m a.

लक्षात ठेवा

F = dp/dt = ma; F₁₂ = −F₂₁; 1 N = 1 kg m s⁻².

सामान्य चूक / CET सापळा

क्रिया-प्रतिक्रिया वेगळ्या वस्तूंवर असतात, म्हणून रद्द होत नाहीत; जडत्व म्हणजे बल नव्हे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "पहिला = जडत्व; दुसरा = ma; तिसरा = जोडी".

फरक ओळखा

नियम	सूत्र / कल्पना	उदाहरण
पहिला	F = 0 ⇒ v स्थिर	बस अचानक थांबणे
दुसरा	F = ma	ट्रक जड, कार हलकी
तिसरा	F₁₂ = −F₂₁	रॉकेट

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1जडत्व म्हणजे?
2F = ma कधी वैध?
3तिसरा नियम सांगा.

मध्यम

4m = 5 kg, F = 30 N : a?
5m = 3 kg, a = 4 m/s² : F?
6F = 12 N, a = 3 m/s² : m?

आव्हानात्मक

7m = 2 kg, F = 6î + 8ĵ : |a|?
8घोडा गाडी ओढतो; क्रिया-प्रतिक्रिया असून गाडी का सरकते?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1बदलाला विरोध
2m स्थिर असताना
3क्रिया = प्रतिक्रिया, विरुद्ध दिशा
46 m/s²
512 N
64 kg
7a = 5 m/s²
8बले वेगळ्या वस्तूंवर; जमिनीवरील घर्षण निर्णायक

बलांचे प्रकार व बलाने केलेले कार्य

रोजच्या जीवनातून

पेटी ढकलताना हात, जमीन, गुरुत्व — अनेक बले एकाच वेळी कार्य करतात.

सोपी व्याख्या

कार्य (work) = बल × बलाच्या दिशेतील विस्थापन; ऊर्जा = कार्य करण्याची क्षमता.

आकृतीत : N, mg, F, f : मुक्त वस्तू आकृती.

नियम 1 : बलांचे प्रकार — गुरुत्वीय (mg), अभिलंब N, ताण T, घर्षण f, स्प्रिंग बल (F = −kx), विद्युत/चुंबकीय. मुक्त वस्तू आकृती (FBD) मध्ये सर्व बले दाखवा.

सोपे : स्थिर ठोकळा : N = mg (m = 5 kg ⇒ 50 N).
मध्यम : स्प्रिंग k = 200 N/m, x = 0.1 m ⇒ F = 20 N.
परीक्षेसाठी (CET) : दोरीतील बल? (1) ताण (2) अभिलंब (3) घर्षण (4) गुरुत्व → उत्तर 1)

नियम 2 : बलाने केलेले कार्य — W = F · s = F s cosθ (J = N m). F ⟂ s ⇒ W = 0. गुरुत्वाविरुद्ध : W = mgh.

सोपे : F = 50 N, θ = 60°, s = 10 m ⇒ W = 250 J.
मध्यम : m = 4 kg, h = 3 m ⇒ W = 4 × 10 × 3 = 120 J.
परीक्षेसाठी (CET) : कार्य शून्य? (1) F ⟂ s (2) F ∥ s (3) θ = 0 (4) s मोठे → उत्तर 1)

नियम 3 : कार्य-ऊर्जा प्रमेय व शक्ती — W = ½mv² − ½mu²; KE = ½mv²; PE = mgh; P = W ÷ t = F v (W).

सोपे : m = 2 kg, F = 10 N, s = 5 m, u = 0 ⇒ v = √(2W/m) = 7.07 m/s.
मध्यम : F = 20 N, v = 3 m/s ⇒ P = 60 W.
परीक्षेसाठी (CET) : 1 hp = ? (1) 746 W (2) 1000 W (3) 100 W (4) 10 W → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : कार्य-ऊर्जा प्रमेय

पायरी 1 : W = F s = m a s.
पायरी 2 : v² = u² + 2as ⇒ a s = (v² − u²) ÷ 2.
पायरी 3 : W = m (v² − u²) ÷ 2.
पायरी 4 : W = ½mv² − ½mu² = ΔKE.

लक्षात ठेवा

W = F s cosθ; W = ΔKE; P = Fv; PE = mgh.

सामान्य चूक / CET सापळा

वर्तुळाकार गतीत केंद्राभिमुख बलाचे कार्य 0; वजन (N) व वस्तुमान (kg) वेगळे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "कार्य = बल × दिशेतील अंतर".

फरक ओळखा

राशी	सूत्र	एकक / मिती
W	F s cosθ	J; M L² T⁻²
KE	½mv²	J
PE	mgh	J
P	W/t = Fv	W; M L² T⁻³

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1कार्याचे सूत्र?
2कार्य-ऊर्जा प्रमेय?
3शक्तीचे एकक?

मध्यम

4F = 30 N, s = 4 m, θ = 0° : W?
5m = 1 kg, v = 10 : KE?
6W = 600 J, t = 20 s : P?

आव्हानात्मक

7m = 2 kg, u = 3, v = 5 : W?
8m = 60 kg, 10 m उंच जिना 20 s : P?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1F s cosθ
2W = ΔKE
3वॅट
4120 J
550 J
630 W
716 J
8300 W

न्यूटनच्या नियमांचे उपयोग

रोजच्या जीवनातून

लिफ्ट वर निघताना पाय जड वाटतात; खाली येताना हलके — बल बदलते, वस्तुमान नाही.

सोपी व्याख्या

अनुप्रयोग : मुक्त वस्तू आकृती काढून प्रत्येक वस्तूला F = ma लावा.

आकृतीत : m₁ > m₂ ⇒ m₁ खाली, m₂ वर.

Live आकृती

न्यूटनच्या नियमांचे उपयोग

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : लिफ्टमधील वस्तू — R = m (g + a) वर जाताना वाढत्या वेगाने; R = m (g − a) खाली जाताना वाढत्या वेगाने; मुक्तपतन ⇒ R = 0 (वजनरहित).

सोपे : m = 60 kg, a = 2 : वर ⇒ R = 720 N; खाली ⇒ 480 N.
मध्यम : स्थिर वेग ⇒ R = mg = 600 N.
परीक्षेसाठी (CET) : तुटलेल्या लिफ्टमध्ये R? (1) 0 (2) mg (3) 2mg (4) अनंत → उत्तर 1)

नियम 2 : ऍटवुड यंत्र — m₁ > m₂ : a = (m₁ − m₂) g ÷ (m₁ + m₂); T = 2 m₁ m₂ g ÷ (m₁ + m₂).

सोपे : m₁ = 3, m₂ = 2 ⇒ a = 2 m/s²; T = 24 N.
मध्यम : m₁ = m₂ ⇒ a = 0; T = mg.
परीक्षेसाठी (CET) : m₁ = 2m₂ असल्यास a? (1) g/3 (2) g/2 (3) g (4) 0 → उत्तर 1)

नियम 3 : उतरण — गुळगुळीत : a = g sinθ; N = mg cosθ. खडबडीत : a = g (sinθ − μ cosθ).

सोपे : θ = 30°, गुळगुळीत ⇒ a = 5 m/s²; N = mg cos30° = 0.866 mg.
मध्यम : μ = 0.2, θ = 30° ⇒ a = 3.27 m/s².
परीक्षेसाठी (CET) : उतरणीवर N = ? (1) mg cosθ (2) mg sinθ (3) mg (4) 0 → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : ऍटवुड : a व T

पायरी 1 : m₁ : m₁g − T = m₁a.
पायरी 2 : m₂ : T − m₂g = m₂a.
पायरी 3 : बेरीज : (m₁ − m₂) g = (m₁ + m₂) a ⇒ a = (m₁ − m₂) g ÷ (m₁ + m₂).
पायरी 4 : T = m₂ (g + a) = 2 m₁ m₂ g ÷ (m₁ + m₂).

लक्षात ठेवा

R = m(g ± a); a = (m₁ − m₂)g/(m₁ + m₂); a = g sinθ.

सामान्य चूक / CET सापळा

लिफ्टमध्ये खरे वजन बदलत नाही, भासमान वजन (R) बदलते; T दोन्हीकडे सारखा (हलकी दोरी).

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "वर = जड; खाली = हलके".

फरक ओळखा

स्थिती	सूत्र
लिफ्ट वर (a)	m(g + a)
लिफ्ट खाली (a)	m(g − a)
गुळगुळीत उतरण	g sinθ
खडबडीत उतरण	g(sinθ − μcosθ)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1स्थिर वेगाने लिफ्ट : R?
2ऍटवुड यंत्रात a चे सूत्र?
3उतरणीवर a?

मध्यम

4m = 50, लिफ्ट वर a = 1 : R?
5m₁ = 5, m₂ = 3 : a?
6θ = 37° गुळगुळीत : a? (sin37° = 0.6)

आव्हानात्मक

7m₁ = 5, m₂ = 3 : T?
8θ = 30°, μ = 0.3 : a?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1mg
2(m₁ − m₂)g/(m₁ + m₂)
3g sinθ
4550 N
52.5 m/s²
66 m/s²
737.5 N
82.40 m/s²

संवेग, आवेग व संरक्षण

रोजच्या जीवनातून

वेगाने येणारा चेंडू थांबवणे कठीण; हळू आलेला सोपा — वस्तुमान × वेग म्हणजे संवेग.

सोपी व्याख्या

संवेग (momentum) = वस्तुमान × वेग; आवेग (impulse) = बल × लहान काळ.

आकृतीत : MV + mv = 0.

नियम 1 : संवेग व आवेग — p = m v (kg m/s); आवेग J = F Δt = Δp. F–t आलेखाखालील क्षेत्रफळ = आवेग.

सोपे : m = 0.15 kg, v = 20 m/s ⇒ p = 3 kg m/s.
मध्यम : चेंडू 0.15 kg, 20 m/s वरून उलट 20 m/s : Δp = 6 kg m/s; Δt = 0.02 s ⇒ F = 300 N.
परीक्षेसाठी (CET) : आवेगाचे एकक? (1) N s (2) N (3) J (4) W → उत्तर 1)

नियम 2 : संवेग संरक्षण — बाह्य बल शून्य ⇒ Σp स्थिर : m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂.

सोपे : बंदूक 5 kg, गोळी 0.05 kg, 400 m/s ⇒ धक्का V = -4 m/s.
मध्यम : 3 kg 4 m/s व 1 kg स्थिर एकत्र : v = 12/4 = 3 m/s.
परीक्षेसाठी (CET) : बंदूक व गोळी प्रणालीचे एकूण संवेग? (1) 0 (2) mv (3) MV (4) अनंत → उत्तर 1)

नियम 3 : रॉकेट व वेगाच्या युक्त्या — रॉकेट वायू मागे फेकतो ⇒ रॉकेट पुढे. आवेग वाढवण्यास Δt वाढवा ⇒ F कमी (उशी, क्रिकेट कॅच).

सोपे : कॅच घेताना हात मागे ओढल्याने Δt वाढून F कमी.
मध्यम : Δp = 6, Δt = 0.1 ⇒ F = 60 N (0.02 s ⇒ 300 N).
परीक्षेसाठी (CET) : Δt वाढल्यास F? (1) कमी (2) जास्त (3) तोच (4) 0 → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : आवेग-संवेग संबंध

पायरी 1 : F = dp/dt.
पायरी 2 : F dt = dp; समाकलन ∫F dt = ∫dp.
पायरी 3 : ∫F dt = p₂ − p₁ = Δp.
पायरी 4 : स्थिर F : J = F Δt = Δp.

लक्षात ठेवा

p = mv; J = FΔt = Δp; बाह्य बल 0 ⇒ Σp स्थिर.

सामान्य चूक / CET सापळा

संवेग सदिश आहे, दिशेसह चिन्ह ठरवा; संवेग संरक्षित असला तरी ऊर्जा नेहमी नाही.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "आवेग = F × Δt = Δp".

फरक ओळखा

राशी	सूत्र	एकक
संवेग	m v	kg m/s
आवेग	F Δt = Δp	N s
संरक्षण	Σp आधी = Σp नंतर	—

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1संवेग म्हणजे?
2आवेग म्हणजे?
3संवेग संरक्षण कधी?

मध्यम

4m = 2, v = 8 : p?
5F = 50 N, Δt = 0.2 s : J?
6Δp = 12, Δt = 0.03 : F?

आव्हानात्मक

7बंदूक 4 kg, गोळी 20 g, 500 m/s : धक्का?
82 kg 6 m/s व 4 kg 1 m/s (समान दिशा) एकत्र : v?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1m v
2F Δt = संवेगातील बदल
3बाह्य बल शून्य असताना
416 kg m/s
510 N s
6400 N
72.5 m/s
8v = 16/6 = 2.67 m/s

टक्कर

रोजच्या जीवनातून

कॅरम सोंगटी एकमेकांना आदळली की ऊर्जा देवाण-घेवाण होते; मातीचे गोळे आदळले की चिकटतात.

सोपी व्याख्या

टक्कर (collision) = दोन वस्तूंचा अल्प काळातील परस्परसंपर्क.

आकृतीत : आधी u₁ वेगाने m₁; नंतर दोन्ही हलतात.

Live आकृती

टक्कर

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : टकरीचे प्रकार — लवचिक : संवेग व KE दोन्ही संरक्षित, e = 1. अलवचिक : संवेग संरक्षित, KE कमी, 0 < e < 1. पूर्ण अलवचिक : वस्तू चिकटतात, e = 0.

सोपे : कार-कार धडक : अलवचिक; बिलियर्ड बॉल : जवळजवळ लवचिक.
मध्यम : e = (v₂ − v₁) ÷ (u₁ − u₂) : सापेक्ष वेग नंतर ÷ आधी.
परीक्षेसाठी (CET) : सर्व टकरींत संरक्षित? (1) संवेग (2) KE (3) वेग (4) e → उत्तर 1)

नियम 2 : एकमितीय लवचिक टक्कर — v₁ = [(m₁ − m₂) u₁ + 2 m₂ u₂] ÷ (m₁ + m₂); v₂ = [(m₂ − m₁) u₂ + 2 m₁ u₁] ÷ (m₁ + m₂). समान वस्तुमान ⇒ वेग अदलाबदल.

सोपे : m₁ = m₂ = 2, u₁ = 6, u₂ = 0 ⇒ v₁ = 0, v₂ = 6.
मध्यम : m₁ = 1, m₂ = 3, u₁ = 8, u₂ = 0 ⇒ v₁ = -4, v₂ = 4 m/s.
परीक्षेसाठी (CET) : समान m ची लवचिक टक्कर, दुसरा स्थिर : पहिला नंतर? (1) स्थिर (2) उलट जातो (3) दुप्पट (4) तसाच → उत्तर 1)

नियम 3 : पूर्ण अलवचिक टक्कर — v = (m₁u₁ + m₂u₂) ÷ (m₁ + m₂); KE चा ऱ्हास = ½ [m₁m₂ ÷ (m₁ + m₂)] (u₁ − u₂)².

सोपे : m₁ = m₂ = 2, u₁ = 6, u₂ = 0 ⇒ v = 3; KE 36 J → 18 J; ऱ्हास 18 J.
मध्यम : चिकटलेला गोळा : गोळी 0.02 kg, 300 m/s, ठोकळा 1.98 kg ⇒ v = 3 m/s.
परीक्षेसाठी (CET) : पूर्ण अलवचिक टकरीत e? (1) 0 (2) 1 (3) > 1 (4) ½ → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : लवचिक टकरीचे v₁, v₂ (समान सुरुवात u₂ = 0)

पायरी 1 : संवेग : m₁u₁ = m₁v₁ + m₂v₂.
पायरी 2 : KE : ½m₁u₁² = ½m₁v₁² + ½m₂v₂² ⇒ m₁(u₁² − v₁²) = m₂v₂².
पायरी 3 : भागा : u₁ + v₁ = v₂ (सापेक्ष वेग उलट).
पायरी 4 : येथून v₁ = (m₁ − m₂) u₁ ÷ (m₁ + m₂), v₂ = 2 m₁ u₁ ÷ (m₁ + m₂).

लक्षात ठेवा

Σp सर्वत्र संरक्षित; लवचिक : KE संरक्षित, e = 1; चिकटले : e = 0.

सामान्य चूक / CET सापळा

KE कमी होते म्हणून संवेग कमी होत नाही; दिशेचे चिन्ह घ्या.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "समान m = वेग अदलाबदल".

फरक ओळखा

प्रकार	संवेग	KE	e
लवचिक	संरक्षित	संरक्षित	1
अलवचिक	संरक्षित	कमी	0 ते 1
पूर्ण अलवचिक	संरक्षित	जास्तीत जास्त कमी	0

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1लवचिक टक्कर म्हणजे?
2e चे सूत्र?
3पूर्ण अलवचिक टक्कर म्हणजे?

मध्यम

4m₁ = m₂ = 1, u₁ = 4, u₂ = 0 (लवचिक) : v₁, v₂?
53 kg 5 m/s + 2 kg स्थिर (चिकटतात) : v?
6u₁ = 10, u₂ = 0, v₁ = 2, v₂ = 6 : e?

आव्हानात्मक

73 kg 5 m/s व 2 kg स्थिर चिकटतात : KE ऱ्हास?
8m₁ = 2, m₂ = 1, u₁ = 3, u₂ = 0 लवचिक : v₁, v₂?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1संवेग व KE दोन्ही संरक्षित
2(v₂ − v₁)/(u₁ − u₂)
3वस्तू चिकटून एकत्र
4v₁ = 0, v₂ = 4
53 m/s
6e = 0.4
715.0 J
8v₁ = 1, v₂ = 4 m/s

टॉर्क, बलयुग्म व समतोल

रोजच्या जीवनातून

दार बिजागरीजवळ ढकलले तर जड वाटते; कडेला ढकलले तर सोपे — बलाघूर्ण.

सोपी व्याख्या

बलाघूर्ण (torque) = बलाचा फिरवण्याचा परिणाम; समतोल = हालचाल व फिरणे दोन्ही नसणे.

आकृतीत : F₁ d₁ = F₂ d₂; आधार N = F₁ + F₂.

नियम 1 : बलाघूर्ण — τ = r × F; परिमाण τ = r F sinθ = F × लंब अंतर. एकक N m; मिती [M L² T⁻²].

सोपे : पाना 0.3 m, F = 40 N लंब ⇒ τ = 12 N m.
मध्यम : r = 0.5 m, F = 20 N, θ = 30° ⇒ τ = 5.0 N m.
परीक्षेसाठी (CET) : दारातील बलाघूर्ण कमाल कधी? (1) बल बिजागरीपासून दूर व लंब (2) जवळ (3) समांतर (4) शून्य → उत्तर 1)

नियम 2 : बलयुग्म — समान, विरुद्ध, भिन्न रेषेतील दोन बले : τ = F × d; निव्वळ बल शून्य, फक्त फिरवते (स्टीअरिंग, नळ).

सोपे : F = 10 N, d = 0.2 m ⇒ τ = 2 N m.
मध्यम : स्टीअरिंग व्यास 0.4 m, प्रत्येक हाताने 5 N ⇒ τ = 5 × 0.4 = 2 N m.
परीक्षेसाठी (CET) : बलयुग्माचे निव्वळ बल? (1) 0 (2) 2F (3) F (4) F/2 → उत्तर 1)

नियम 3 : समतोल — ΣF = 0 (स्थानांतरण) व Στ = 0 (घूर्णन). उत्तोलक : F₁ d₁ = F₂ d₂.

सोपे : सी-सॉ : 40 kg वर 1.5 m ⇒ दुसरीकडे 1 m वर m = 60 kg.
मध्यम : आधार प्रतिक्रिया N = (40 + 60) × 10 = 1000 N.
परीक्षेसाठी (CET) : समतोलात? (1) ΣF = 0 व Στ = 0 (2) फक्त ΣF = 0 (3) फक्त Στ = 0 (4) कोणतेच नाही → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : उत्तोलकाचे तत्त्व

पायरी 1 : आधाराभोवती Στ = 0 घ्या.
पायरी 2 : F₁ घड्याळ-विरुद्ध, F₂ घड्याळाच्या दिशेने.
पायरी 3 : F₁ d₁ − F₂ d₂ = 0.
पायरी 4 : F₁ d₁ = F₂ d₂; N = F₁ + F₂.

लक्षात ठेवा

τ = r F sinθ; बलयुग्म τ = F d; ΣF = 0, Στ = 0.

सामान्य चूक / CET सापळा

d म्हणजे आधारापासून बलरेषेचे लंब अंतर; बलयुग्मात दोन बले मिळून एकच τ.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "लांब हात = सोपे फिरणे".

फरक ओळखा

गुण	बलाघूर्ण	बलयुग्म
बले	एक किंवा अनेक	दोन समान-विरुद्ध
निव्वळ F	असू शकते	शून्य
सूत्र	r F sinθ	F d

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1बलाघूर्णाचे सूत्र?
2बलयुग्म म्हणजे?
3समतोलाच्या दोन अटी?

मध्यम

4r = 0.4, F = 25 N लंब : τ?
5F = 8 N, d = 0.5 : बलयुग्माचे τ?
6F₁ = 50 N, d₁ = 0.6 : F₂ जेव्हा d₂ = 0.3?

आव्हानात्मक

750 kg मूल 2 m वर; 40 kg मूल कोठे समतोल?
81 m दांडा 10 kg, टोकाला 20 kg : आधार कोठे?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1r F sinθ
2दोन समान, विरुद्ध, वेगळ्या रेषेतील बले
3ΣF = 0, Στ = 0
410 N m
54 N m
6100 N
72.5 m
820 kg पासून x : 20 x = 10 (1 − x) ⇒ x = 0.33 m

वस्तुमान केंद्र व गुरुत्वमध्य

रोजच्या जीवनातून

एकसंध पट्टी एका बोटावर तोलता येते — तोच तोल बिंदू वस्तुमान केंद्र.

सोपी व्याख्या

वस्तुमान केंद्र (centre of mass) = ज्या बिंदूवर वस्तुमान एकवटलेले मानता येते.

आकृतीत : CM जड m₂ च्या जवळ.

नियम 1 : वस्तुमान केंद्र — x_cm = Σ mᵢ xᵢ ÷ Σ mᵢ (y, z साठी तसेच). जड वस्तूकडे सरकते. सममित एकसंध वस्तूत भौमितिक केंद्र.

सोपे : 2 kg x = 0 वर, 3 kg x = 5 वर ⇒ x_cm = (0 + 15)/5 = 3 m.
मध्यम : एकसंध दांडा : मध्यावर.
परीक्षेसाठी (CET) : समान m च्या दोन कणांचे CM? (1) मधोमध (2) एकावर (3) बाहेर (4) अनंत → उत्तर 1)

नियम 2 : CM ची गती — v_cm = Σ mv ÷ M; बाह्य बल शून्य ⇒ CM स्थिर वेगाने; F_ext = M a_cm.

सोपे : बॉम्ब फुटला : तुकडे वेगळे, CM पूर्वीच्या मार्गावर.
मध्यम : 2 kg 3 m/s व 3 kg −2 m/s ⇒ v_cm = (6 − 6)/5 = 0.
परीक्षेसाठी (CET) : बाह्य बल शून्य; CM चा वेग? (1) स्थिर (2) वाढतो (3) शून्य नेहमी (4) बदलतो → उत्तर 1)

नियम 3 : गुरुत्वमध्य — वस्तूच्या सर्व भागांचे वजन ज्या बिंदूतून एकत्र कार्य करते असे मानता येते तो बिंदू. एकसमान g मध्ये CG = CM. CG खाली ⇒ स्थैर्य जास्त.

सोपे : बस खाली जड सामान ⇒ उलटण्याची शक्यता कमी.
मध्यम : रिकामी बाटली मध्य, भरलेली खालीकडे.
परीक्षेसाठी (CET) : स्थैर्य वाढवायला? (1) CG खाली (2) CG वर (3) पाया लहान (4) वस्तुमान कमी → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : दोन कणांचे CM

पायरी 1 : स्थान x₁, x₂; वस्तुमान m₁, m₂.
पायरी 2 : CM हा भारित सरासरी बिंदू : m₁(x_cm − x₁) = m₂(x₂ − x_cm).
पायरी 3 : x_cm (m₁ + m₂) = m₁x₁ + m₂x₂.
पायरी 4 : x_cm = (m₁x₁ + m₂x₂) ÷ (m₁ + m₂).

लक्षात ठेवा

x_cm = Σmx/Σm; v_cm = Σmv/M; F_ext = M a_cm.

सामान्य चूक / CET सापळा

CM दोन्ही कणांमध्येच (जड कडे); अंतरे एकाच संदर्भ बिंदूपासून मोजा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "CM = जडाकडे झुकते".

फरक ओळखा

गुण	CM	CG
आधार	वस्तुमान	वजन
सूत्र	Σmx/Σm	Σ(mg)x/Σ(mg)
g बदलल्यास	तोच	बदलू शकतो

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1वस्तुमान केंद्र म्हणजे?
2CM चे सूत्र?
3CG म्हणजे?

मध्यम

41 kg x = 0, 4 kg x = 5 : x_cm?
52 kg 4 m/s व 2 kg 0 : v_cm?
6m = 3 (0, 0), 3 (4, 0) : CM?

आव्हानात्मक

7दांडा 1 m, 2 kg, टोकाला 2 kg : CM?
8बॉम्ब फुटल्यावर CM चे काय?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1एकूण वस्तुमान ज्या बिंदूत एकवटलेले मानता येते
2Σmx/Σm
3वजन कार्य करणारा बिंदू
4x_cm = 4 m
52 m/s
6(2, 0)
7टोकाला वस्तुमान असलेल्या बाजूपासून 0.25 m
8CM पूर्वीच्याच मार्गावर

संपूर्ण धड्याची झटपट उजळणी

संकल्पना	महत्त्वाचे सूत्र / तथ्य	एकक / मितीय सूत्र
दुसरा नियम	F = dp/dt = ma	N; M L T⁻²
कार्य	W = F s cosθ = ΔKE	J; M L² T⁻²
शक्ती	P = F v	W; M L² T⁻³
ऍटवुड	a = (m₁ − m₂)g/(m₁ + m₂)	m/s²
आवेग	J = F Δt = Δp	N s
टक्कर	e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂)	—
बलाघूर्ण	τ = r F sinθ	N m
वस्तुमान केंद्र	x_cm = Σmx/Σm	m

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

जडत्व = वस्तुमान; F = ma; क्रिया-प्रतिक्रिया वेगळ्या वस्तूंवर.
लिफ्ट : R = m(g ± a).
आवेग = Δp; Δt वाढले ⇒ F कमी.
सर्व टकरींत संवेग संरक्षित; लवचिक : KE संरक्षित.
समतोल : ΣF = 0 व Στ = 0.
बलयुग्मात निव्वळ F = 0.
CM जड कणाकडे; बाह्य बल 0 ⇒ v_cm स्थिर.

अभ्यासाचा मंत्र

FBD काढा → F = ma → संवेग/ऊर्जा संरक्षण → ΣF, Στ = 0.