केप्लरचे ग्रहगतीचे नियम
पृथ्वी हिवाळ्यात सूर्याच्या थोडी जवळ असते व वेगाने फिरते; उन्हाळ्यात दूर व हळू. आधीच्या वर्गाशी नाते : इयत्ता 9-10 मधील गुरुत्वाकर्षण, g आणि कक्षा येथे गणितीय नियमांनी (Kepler, Newton) पुढे जातात.
केप्लरचे नियम (Kepler's laws) ग्रहांच्या कक्षा, वेग व काळाचे तीन नियम देतात.
आकृतीत : हिरवे भाग समान क्षेत्र; सूर्य नाभीवर.
केप्लरचे ग्रहगतीचे नियम
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : पहिला नियम : कक्षा — ग्रह सूर्याभोवती दीर्घवर्तुळात फिरतात; सूर्य एका नाभीवर (focus).
- सोपे : पृथ्वीची कक्षा जवळजवळ वर्तुळाकार.
- मध्यम : जवळचा बिंदू (उपसूर्य) व दूरचा (अपसूर्य).
- परीक्षेसाठी (CET) : कक्षेचा आकार? (1) दीर्घवर्तुळ (2) वर्तुळ फक्त (3) परवलय (4) सरळ → उत्तर 1)
नियम 2 : दुसरा नियम : क्षेत्रफळ — ग्रह-सूर्य रेषा समान काळात समान क्षेत्रफळ पार करते : dA/dt = L ÷ 2m = स्थिर ⇒ कोनीय संवेग संरक्षित, v₁ r₁ = v₂ r₂ (उपसूर्य/अपसूर्य).
- सोपे : r_p = 1, r_a = 4 (एकक), v_p = 20 ⇒ v_a = 5.
- मध्यम : उपसूर्याजवळ वेग जास्त.
- परीक्षेसाठी (CET) : दुसरा नियम कशाचे संरक्षण? (1) कोनीय संवेग (2) ऊर्जा (3) वस्तुमान (4) संवेग → उत्तर 1)
नियम 3 : तिसरा नियम : काळ — T² ∝ a³ (a = अर्ध-दीर्घ अक्ष); T² = 4π² a³ ÷ GM. T₁² ÷ T₂² = a₁³ ÷ a₂³.
- सोपे : मंगळ a = 1.52 AU ⇒ T = 1.52^1.5 = 1.87 वर्षे.
- मध्यम : r चौपट ⇒ T = 4^1.5 = 8 पट.
- परीक्षेसाठी (CET) : T² ∝ ? (1) a³ (2) a² (3) a (4) 1/a → उत्तर 1) युक्ती : 'टी-स्क्वेअर, ए-क्यूब'.
सूत्राची उपपत्ती : T² = 4π² r³ ÷ GM (वर्तुळाकार कक्षा)
- पायरी 1 : गुरुत्वाकर्षण केंद्राभिमुख बल पुरवते : GMm/r² = m ω² r.
- पायरी 2 : ω = 2π/T ⇒ GM/r² = 4π² r ÷ T².
- पायरी 3 : T² = 4π² r³ ÷ GM.
- पायरी 4 : T² ∝ r³; स्थिरांक 4π²/GM फक्त सूर्यावर अवलंबून.
T² ∝ a³; v₁r₁ = v₂r₂; dA/dt = L/2m.
T² ∝ a³ मध्ये a अर्ध-दीर्घ अक्ष; अपसूर्यावर वेग कमी, उपसूर्यावर जास्त.
आठवणीची युक्ती : "टी-स्क्वेअर, ए-क्यूब".
फरक ओळखा
| नियम | विधान | संबंधित संरक्षण |
|---|---|---|
| पहिला | दीर्घवर्तुळ, सूर्य नाभीवर | — |
| दुसरा | समान क्षेत्र समान काळात | कोनीय संवेग |
| तिसरा | T² ∝ a³ | — |
सरावासाठी प्रश्न
- 1केप्लरचे तीन नियम सांगा.
- 2उपसूर्य म्हणजे?
- 3T²/a³ स्थिर कशासाठी?
- 4a₁ = 1, a₂ = 4 : T₂/T₁?
- 5r_p = 2, r_a = 6, v_p = 30 : v_a?
- 6a = 9 AU : T वर्षे?
- 7T = 8 वर्षे : a AU?
- 8दुसरा नियम कोनीय संवेगाशी कसा?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1दीर्घवर्तुळ; समान क्षेत्र; T² ∝ a³
- 2सूर्याच्या सर्वात जवळचा बिंदू
- 3एकाच सूर्याभोवतीच्या ग्रहांसाठी
- 48
- 5v_a = 10
- 627 वर्षे
- 7a = 4 AU
- 8dA/dt = L/2m; L स्थिर ⇒ क्षेत्रवेग स्थिर
न्यूटनचा गुरुत्वाकर्षणाचा नियम
सफरचंद खाली पडते व चंद्र पृथ्वीभोवती फिरतो — दोन्हींमागे एकच बल.
गुरुत्वाकर्षण (gravitation) = सर्व वस्तूंमधील परस्पर आकर्षक बल.
आकृतीत : F = G m₁m₂/r²; दोन्ही बले समान.
नियम 1 : न्यूटनचा नियम — F = G m₁ m₂ ÷ r², आकर्षक, दोन्ही वस्तूंवर समान व विरुद्ध. G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²; मिती [M⁻¹ L³ T⁻²].
- सोपे : 1 kg व 1 kg, 1 m ⇒ F = 6.67 × 10⁻¹¹ N.
- मध्यम : 100 kg व 50 kg, 2 m ⇒ F = 8.34 × 10⁻⁸ N.
- परीक्षेसाठी (CET) : r दुप्पट ⇒ F? (1) ¼ (2) निम्मे (3) दुप्पट (4) चौपट → उत्तर 1) युक्ती : उलट वर्ग.
नियम 2 : गुणधर्म — केंद्रीय व संरक्षी बल; सर्व वस्तूंमध्ये; माध्यमावर अवलंबून नाही; सर्वात दुर्बल मूलभूत बल. अध्यारोपण : एकूण F = सदिश बेरीज.
- सोपे : एकाच रेषेतील दोन बले : जोडा/वजा.
- मध्यम : समान m, समभुज त्रिकोण : प्रत्येकावर F = √3 Gm²/a².
- परीक्षेसाठी (CET) : G चे मूल्य कशावर? (1) स्थिर (2) माध्यम (3) तापमान (4) m → उत्तर 1)
नियम 3 : तुलना — इलेक्ट्रॉन-प्रोटॉन : गुरुत्व बल ≈ 10⁻⁴⁰ पट विद्युत बलापेक्षा. खगोलीय वस्तूंसाठी प्रमुख.
- सोपे : पृथ्वी-चंद्र : F = G M_E M_m / r² = 2.0 × 10²⁰ N.
- मध्यम : दोन्ही वस्तूंवरचे F समान.
- परीक्षेसाठी (CET) : अणूंच्या पातळीवर प्रबळ बल? (1) विद्युत (2) गुरुत्व (3) दोन्ही समान (4) नाही → उत्तर 1)
सूत्राची उपपत्ती : केप्लरवरून उलट वर्ग नियम
- पायरी 1 : वर्तुळाकार कक्षा : F = m v² ÷ r, v = 2πr/T.
- पायरी 2 : F = 4π² m r ÷ T².
- पायरी 3 : केप्लर 3 : T² = k r³ ⇒ F = 4π² m ÷ (k r²).
- पायरी 4 : F ∝ m ÷ r² ⇒ F = G m M ÷ r².
F = G m₁m₂/r²; G = 6.67 × 10⁻¹¹; F ∝ 1/r².
G (सार्वत्रिक) व g (स्थानिक) वेगळे; r म्हणजे केंद्रांमधील अंतर.
आठवणीची युक्ती : "G m m भागिले r वर्ग".
फरक ओळखा
| बल | आकर्षक/प्रतिकर्षक | सापेक्ष शक्ती |
|---|---|---|
| गुरुत्व | आकर्षक | सर्वात दुर्बल |
| विद्युत | दोन्ही | प्रबळ |
| केंद्रकीय | — | सर्वात प्रबळ |
सरावासाठी प्रश्न
- 1न्यूटनचा नियम लिहा.
- 2G चे एकक?
- 3r दुप्पट ⇒ F?
- 4m₁ = m₂ = 10 kg, r = 0.5 m : F?
- 5F = 8 N जेव्हा r = 2 m; r = 4 m : F?
- 6दोन्ही m दुप्पट, r दुप्पट : F?
- 7G ची मिती सिद्ध करा.
- 8m, m, m समभुज त्रिकोणाची बाजू a : प्रत्येकावर F?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1F = Gm₁m₂/r²
- 2N m² kg⁻²
- 3¼
- 42.67 × 10⁻⁸ N
- 52 N
- 6तोच F
- 7[F][L²]/[M²] = M⁻¹L³T⁻²
- 8√3 Gm²/a²
गुरुत्वीय त्वरण व त्यातील बदल
उंच डोंगरावर वजन अगदी थोडे कमी भासते; खाणीत खोल गेल्यावरही.
गुरुत्वीय त्वरण g = मुक्तपतनात वस्तूचे त्वरण; g = GM/R².
आकृतीत : आत g ∝ r; बाहेर g ∝ 1/r².
नियम 1 : g चे सूत्र — g = G M ÷ R² ≈ 9.8 m/s². वस्तुमानावर अवलंबून नाही. मिती [L T⁻²].
- सोपे : g = 6.67 × 10⁻¹¹ × 6 × 10²⁴ ÷ (6.4 × 10⁶)² = 9.77 m/s².
- मध्यम : चंद्रावर g ≈ 1.6 m/s² (पृथ्वीच्या ≈ 1/6).
- परीक्षेसाठी (CET) : g कशावर अवलंबून? (1) M व R (2) पडणाऱ्याचे m (3) आकार (4) रंग → उत्तर 1)
नियम 2 : उंचीवर व खोलीवर — g_h = g R² ÷ (R + h)² ≈ g (1 − 2h/R); g_d = g (1 − d/R). पृथ्वीच्या केंद्रावर g = 0.
- सोपे : h = R ⇒ g_h = g/4 = 2.45 m/s².
- मध्यम : d = R/2 ⇒ g_d = g/2 = 4.9 m/s².
- परीक्षेसाठी (CET) : केंद्रावर g? (1) 0 (2) g (3) 2g (4) अनंत → उत्तर 1)
नियम 3 : अक्षांश व परिवलन — g' = g − ω² R cos²λ; विषुववृत्तावर g − ω² R (किमान), ध्रुवावर g (कमाल). ω = 7.27 × 10⁻⁵ rad/s.
- सोपे : ω²R = 0.034 m/s²; विषुववृत्तावर g ≈ 9.766 m/s².
- मध्यम : ध्रुवावर परिणाम 0.
- परीक्षेसाठी (CET) : g सर्वात जास्त? (1) ध्रुव (2) विषुववृत्त (3) 45° (4) सर्वत्र समान → उत्तर 1)
सूत्राची उपपत्ती : खोलीवर g
- पायरी 1 : एकसंध घनता ρ ⇒ g = G M ÷ R² = (4/3) π G ρ R.
- पायरी 2 : त्रिज्या r (= R − d) आतील वस्तुमान M' = ρ (4/3) π r³.
- पायरी 3 : g_d = G M' ÷ r² = (4/3) π G ρ r.
- पायरी 4 : g_d = g × r ÷ R = g (1 − d/R).
g = GM/R²; g_h = gR²/(R+h)²; g_d = g(1 − d/R).
h = R वर g/2 नाही, g/4; खोलीत g रेषीय कमी, उंचीत वर्गानुसार.
आठवणीची युक्ती : "उंची = उलट वर्ग; खोली = रेषीय".
फरक ओळखा
| स्थान | g |
|---|---|
| पृष्ठभाग | GM/R² |
| उंची h | g R²/(R+h)² |
| खोली d | g(1 − d/R) |
| केंद्र | 0 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1g चे सूत्र?
- 2केंद्रावर g?
- 3g कोठे कमाल?
- 4h = R/2 : g_h?
- 5d = R/4 : g_d?
- 6g' विषुववृत्त : ω²R किती?
- 7h = 3R : g_h?
- 8ग्रह M = 2M_E, R = R_E : g?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1GM/R²
- 20
- 3ध्रुवावर
- 44.36 m/s²
- 57.35 m/s²
- 60.034 m/s²
- 70.61 m/s²
- 819.6 m/s²
गुरुत्वीय क्षेत्र, विभव व स्थितिज ऊर्जा
टेकडीवरून दगड सोडला तर त्याची ऊर्जा बदलते; पण जमिनीपासूनची अचूक ऊर्जा −GMm/r.
गुरुत्वीय विभव (potential) = एकक वस्तुमान अनंतापासून आणण्यास केलेले कार्य (ऋण).
आकृतीत : V अनंतावर 0; जवळ ऋण.
नियम 1 : गुरुत्वीय क्षेत्र — तीव्रता E = F ÷ m = GM ÷ r² (केंद्राकडे, N/kg); पृष्ठभागावर E = g.
- सोपे : r = 2R ⇒ E = g/4 = 2.45 N/kg.
- मध्यम : पृष्ठभागावर E = 9.8 N/kg.
- परीक्षेसाठी (CET) : E चे एकक? (1) N/kg (2) N (3) J (4) kg → उत्तर 1)
नियम 2 : विभव व स्थितिज ऊर्जा — V = −GM ÷ r (J/kg); U = −GMm ÷ r (J). अनंतावर 0; जवळ येताना ऋण होत जाते.
- सोपे : पृष्ठभागावर V = −gR = −6.27 × 10⁷ J/kg.
- मध्यम : 1 kg ला R → 2R : W = GMm(1/R − 1/2R) = mgR/2 = 3.14 × 10⁷ J.
- परीक्षेसाठी (CET) : अनंतावर U? (1) 0 (2) कमाल ऋण (3) +GMm/r (4) mgh → उत्तर 1)
नियम 3 : mgh शी संबंध — लहान h साठी ΔU = U(R + h) − U(R) ≈ mgh.
- सोपे : m = 2 kg, h = 10 m ⇒ ΔU ≈ 196 J.
- मध्यम : h ≪ R असेल तरच mgh.
- परीक्षेसाठी (CET) : mgh केव्हा अचूक? (1) h ≪ R (2) h = R (3) h ≫ R (4) नेहमी → उत्तर 1)
सूत्राची उपपत्ती : ΔU ≈ mgh
- पायरी 1 : ΔU = −GMm/(R + h) + GMm/R = GMm h ÷ [R (R + h)].
- पायरी 2 : h ≪ R ⇒ R + h ≈ R.
- पायरी 3 : ΔU ≈ GMm h ÷ R².
- पायरी 4 : GM/R² = g ⇒ ΔU = m g h.
E = GM/r²; V = −GM/r; U = −GMm/r; ΔU ≈ mgh.
U ऋण असते; mgh फक्त लहान h साठी; V ऊर्जा नाही, ऊर्जा प्रति kg.
आठवणीची युक्ती : "V = −GM/r; U = −GMm/r".
फरक ओळखा
| राशी | सूत्र | एकक |
|---|---|---|
| E | GM/r² | N/kg |
| V | −GM/r | J/kg |
| U | −GMm/r | J |
| ΔU (लहान h) | mgh | J |
सरावासाठी प्रश्न
- 1V चे सूत्र?
- 2E म्हणजे?
- 3U अनंतावर?
- 4r = 3R : E?
- 5r = 2R : V (R = 6.4 × 10⁶)?
- 6m = 5, h = 20 : ΔU?
- 71 kg R → 3R : W?
- 8U ऋण का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1−GM/r
- 2F/m, गुरुत्वीय क्षेत्र तीव्रता
- 30
- 41.09 N/kg
- 5−3.14 × 10⁷ J/kg
- 6980 J
- 74.18 × 10⁷ J
- 8आकर्षक क्षेत्रात अनंतापासून आणताना कार्य ऋण
पलायन वेग
रॉकेटला अवकाशात जायला पृथ्वीच्या खेचातून सुटावे लागते — किमान किती वेग?
पलायन वेग (escape velocity) = अनंतावर पोहोचायला किमान वेग.
आकृतीत : पृथ्वीवर v_e = 11.2 km/s.
पलायन वेग
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : पलायन वेग — अनंतावर पोहोचायला किमान प्रारंभिक वेग : v_e = √(2GM ÷ R) = √(2gR). m वर अवलंबून नाही.
- सोपे : पृथ्वी : √(2 × 9.8 × 6.4 × 10⁶) = 11.2 km/s.
- मध्यम : चंद्र (g = 1.6, R = 1.74 × 10⁶) : 2.4 km/s.
- परीक्षेसाठी (CET) : v_e कशावर? (1) M, R (2) प्रक्षेपित m (3) दिशा (4) रंग → उत्तर 1) युक्ती : 'दोन जी आर'.
नियम 2 : ग्रहानुसार — M चौपट, R समान ⇒ v_e दुप्पट. R दुप्पट, घनता समान ⇒ v_e दुप्पट.
- सोपे : M = 4M_E, R = R_E ⇒ v_e = 22.4 km/s.
- मध्यम : M = M_E, R = 4R_E ⇒ v_e = 5.6 km/s.
- परीक्षेसाठी (CET) : v_e ∝ ? (1) √(M/R) (2) M/R (3) MR (4) R/M → उत्तर 1)
नियम 3 : वातावरणाचा संबंध — चंद्रावर वायू टिकत नाहीत : रेणूंचा वेग v_e शी तुलनेत जास्त. पृथ्वीवर v_e मोठा.
- सोपे : v_e = 2.4 km/s ⇒ हलके वायू निसटतात.
- मध्यम : वेग 11.2 पेक्षा खूप कमी ⇒ वातावरण टिकते.
- परीक्षेसाठी (CET) : चंद्रावर वातावरण नाही कारण? (1) लहान v_e (2) मोठा g (3) जास्त M (4) थंड → उत्तर 1)
सूत्राची उपपत्ती : v_e = √(2GM ÷ R)
- पायरी 1 : ऊर्जा संरक्षण : पृष्ठभागावर KE + U = अनंतावर (KE किमान 0, U = 0).
- पायरी 2 : ½ m v_e² − GMm ÷ R = 0.
- पायरी 3 : v_e² = 2GM ÷ R.
- पायरी 4 : GM = gR² ⇒ v_e = √(2gR).
v_e = √(2GM/R) = √(2gR) = 11.2 km/s.
v_e दिशेवर व m वर अवलंबून नाही; R अंतर केंद्रापासून.
आठवणीची युक्ती : "दोन जी आर".
फरक ओळखा
| ग्रह | v_e |
|---|---|
| पृथ्वी | 11.2 km/s |
| चंद्र | 2.4 km/s |
| M = 4M_E, R = R_E | 22.4 km/s |
सरावासाठी प्रश्न
- 1v_e चे सूत्र?
- 2पृथ्वीचा v_e?
- 3v_e m वर अवलंबून?
- 4g = 4.9, R = 3.2 × 10⁶ : v_e?
- 5M दुप्पट, R समान : v_e?
- 6R चौपट, M समान : v_e?
- 7v_e सिद्ध करा.
- 8पलायन वेग = कक्षीय वेग × ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1√(2gR)
- 211.2 km/s
- 3नाही
- 45.6 km/s
- 5√2 पट = 15.8 km/s
- 6अर्धा = 5.6 km/s
- 7KE + U = 0 वापरा
- 8√2
उपग्रहाचा कक्षीय वेग, काळ व ऊर्जा
एखादा दगड जोरात फेकला की दूर पडतो; पुरेसा जोर असेल तर तो पृथ्वीभोवती फिरू शकतो.
उपग्रह (satellite) = ग्रहाभोवती कक्षेत फिरणारी वस्तू; गुरुत्व = केंद्राभिमुख बल.
आकृतीत : F केंद्राकडे, v स्पर्शरेषेत.
उपग्रहाचा कक्षीय वेग, काळ व ऊर्जा
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : कक्षीय वेग — v₀ = √(GM ÷ r) = √(g R² ÷ r); उपग्रहाच्या m वर अवलंबून नाही. पृष्ठभागाजवळ v₀ = √(gR) ≈ 7.9 km/s.
- सोपे : v₀ = √(9.8 × 6.4 × 10⁶) = 7.9 km/s.
- मध्यम : r = 4R ⇒ v₀ = 7.9 ÷ 2 = 3.95 km/s.
- परीक्षेसाठी (CET) : r वाढला तर v₀? (1) कमी (2) वाढतो (3) समान (4) शून्य → उत्तर 1) युक्ती : उंच = हळू.
नियम 2 : आवर्तकाळ — T = 2π √(r³ ÷ GM); पृष्ठभागाजवळ T = 2π√(R/g) ≈ 84 मिनिटे. T² ∝ r³.
- सोपे : T = 2π√(6.4 × 10⁶ ÷ 9.8) = 85 मिनिटे.
- मध्यम : r चौपट ⇒ T = 8 पट.
- परीक्षेसाठी (CET) : T स्थिर नसतो पण T² ∝ ? (1) r³ (2) r² (3) r (4) 1/r → उत्तर 1)
नियम 3 : ऊर्जा — KE = GMm ÷ 2r, U = −GMm ÷ r, E = −GMm ÷ 2r = −KE. U = −2 KE.
- सोपे : KE = 100 J ⇒ E = −100 J, U = −200 J.
- मध्यम : E ऋण ⇒ उपग्रह बद्ध.
- परीक्षेसाठी (CET) : E = ? (1) −KE (2) +KE (3) 0 (4) 2KE → उत्तर 1)
सूत्राची उपपत्ती : E = −GMm ÷ 2r
- पायरी 1 : GMm/r² = m v² / r ⇒ m v² = GMm / r.
- पायरी 2 : KE = ½ m v² = GMm ÷ 2r.
- पायरी 3 : U = −GMm ÷ r.
- पायरी 4 : E = KE + U = −GMm ÷ 2r.
v₀ = √(GM/r); T = 2π√(r³/GM); E = −GMm/2r.
v₀ व T वर m नाही; उपग्रह वेग वाढवला तर बाहेर जातो, कमी केला तर आत येतो.
आठवणीची युक्ती : "उंच = हळू व जास्त काळ".
फरक ओळखा
| राशी | सूत्र | r वाढल्यास |
|---|---|---|
| v₀ | √(GM/r) | कमी |
| T | 2π√(r³/GM) | वाढ |
| KE | GMm/2r | कमी |
| E | −GMm/2r | वाढ (कमी ऋण) |
सरावासाठी प्रश्न
- 1v₀ चे सूत्र?
- 2पृष्ठभागाजवळ T?
- 3E चे सूत्र?
- 4r = 9R : v₀?
- 5KE = 50 J : E?
- 6r₂ = 4 r₁ : T₂/T₁?
- 7v_e ÷ v₀ = ?
- 8उपग्रहाला ऊर्जा दिली तर r?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1√(GM/r)
- 285 मिनिटे
- 3−GMm/2r
- 42.64 km/s
- 5−50 J
- 68
- 7√2
- 8r वाढतो (E कमी ऋण)
भूस्थिर उपग्रह, वजनरहितता व बंधन ऊर्जा
टीव्हीचा डिश नेहमी एकाच दिशेला असतो — कारण उपग्रह आकाशात एकाच जागी भासतो.
भूस्थिर उपग्रह (geostationary) = पृथ्वीइतक्याच काळात (24 h) फिरणारा, स्थिर भासणारा.
आकृतीत : विषुववृत्तावर, पश्चिमेकडून पूर्वेकडे.
नियम 1 : भूस्थिर उपग्रह — T = 24 h, पूर्वेकडे, विषुववृत्तावर; r = (GM T² ÷ 4π²)^(1/3) ≈ 4.2 × 10⁷ m; h ≈ 3.6 × 10⁴ km.
- सोपे : r = 4.23 × 10⁷ m; h = r − R = 35898 km.
- मध्यम : v = 2πr/T = 3.08 km/s.
- परीक्षेसाठी (CET) : भूस्थिरचा काळ? (1) 24 h (2) 12 h (3) 84 min (4) 365 d → उत्तर 1)
नियम 2 : वजनरहितता — कक्षेत उपग्रह व आतील वस्तू समान त्वरणाने मुक्तपतन करतात ⇒ N = 0, 'वजनरहित'. गुरुत्व असते पण भासत नाही.
- सोपे : लिफ्टचा केबल तुटला ⇒ आत N = 0.
- मध्यम : अंतराळवीर तरंगतात — g ≈ 8.7 m/s² तरी.
- परीक्षेसाठी (CET) : वजनरहित कारण? (1) मुक्तपतन (2) g = 0 (3) हवा नाही (4) थंड → उत्तर 1)
नियम 3 : बंधन ऊर्जा — बंधन ऊर्जा = अनंतावर नेण्यास लागणारी ऊर्जा = −E = GMm ÷ 2r.
- सोपे : m = 100 kg, r = R : GMm/2R = mgR/2 = 3.14 × 10⁹ J.
- मध्यम : E = −B.E.
- परीक्षेसाठी (CET) : बंधन ऊर्जा = ? (1) GMm/2r (2) GMm/r (3) 2GMm/r (4) 0 → उत्तर 1)
सूत्राची उपपत्ती : भूस्थिर कक्षेची त्रिज्या
- पायरी 1 : T = 2π√(r³ ÷ GM) ⇒ r³ = GM T² ÷ 4π².
- पायरी 2 : T = 86400 s; GM = gR².
- पायरी 3 : r = 4.23 × 10⁷ m.
- पायरी 4 : h = r − R ≈ 35898 km.
r = (GMT²/4π²)^(1/3); B.E. = GMm/2r.
वजनरहित ≠ g = 0; भूस्थिर फक्त विषुववृत्तावर.
आठवणीची युक्ती : "24 तास, 36 हजार km".
फरक ओळखा
| कक्षा | T | उंची |
|---|---|---|
| जवळची | 84 मिनिटे | 0 जवळ |
| भूस्थिर | 24 h | ≈ 36000 km |
| चंद्र | 27.3 दिवस | ≈ 3.8 × 10⁵ km |
सरावासाठी प्रश्न
- 1भूस्थिर उपग्रहाचा T?
- 2बंधन ऊर्जा म्हणजे?
- 3वजनरहितता का?
- 4100 kg, r = 2R, B.E.?
- 5भूस्थिर h किती?
- 6भूस्थिरचा v?
- 7भूस्थिर उपग्रह ध्रुवावर शक्य का?
- 8बंधन ऊर्जा सिद्ध करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 124 तास
- 2अनंतावर नेण्यास लागणारी ऊर्जा
- 3मुक्तपतन ⇒ N = 0
- 41.57 × 10⁹ J
- 5≈ 36000 km
- 6≈ 3.07 km/s
- 7नाही; केंद्र समतलातच कक्षा हवी
- 8B.E. = −E = GMm/2r
संपूर्ण धड्याची झटपट उजळणी
| संकल्पना | महत्त्वाचे सूत्र / तथ्य | एकक / मितीय सूत्र |
|---|---|---|
| केप्लर 3 | T² ∝ a³ | — |
| गुरुत्वाकर्षण | F = G m₁m₂/r² | N; M L T⁻² |
| G | 6.67 × 10⁻¹¹ | M⁻¹ L³ T⁻² |
| g | GM/R² | m/s²; L T⁻² |
| विभव | V = −GM/r | J/kg; L² T⁻² |
| पलायन वेग | √(2gR) = 11.2 km/s | m/s; L T⁻¹ |
| कक्षीय वेग | √(GM/r) | m/s |
| कक्षीय ऊर्जा | E = −GMm/2r | J; M L² T⁻² |
🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे
- T² ∝ a³; दुसरा नियम = कोनीय संवेग.
- F = Gm₁m₂/r²; उलट वर्ग.
- g उंचीत 1/r², खोलीत रेषीय कमी.
- V व U अनंतावर 0, इतरत्र ऋण.
- v_e = √2 × v₀ = 11.2 km/s.
- उंच कक्षा = हळू व जास्त T.
- भूस्थिर : 24 h, 36000 km, विषुववृत्त.
केप्लर → न्यूटन → g → V, U → v_e, v₀, E.