K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 11 · भौतिकशास्त्र

धडा ६: घन पदार्थांचे यांत्रिक गुणधर्म

7 संकल्पना · उत्तरांसह 56 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

प्रत्यास्थता व प्लॅस्टिसिटी

रोजच्या जीवनातून

रबर बँड सोडला की परत येतो; चिकणमाती दाबली की तशीच राहते. आधीच्या वर्गाशी नाते : इयत्ता 9-10 मधील दाब व बल येथे प्रतिबल आणि विकृतीमध्ये पुढे जातात.

सोपी व्याख्या

प्रत्यास्थता (elasticity) = बाह्य बल काढल्यावर मूळ आकार परत मिळवण्याचा गुणधर्म.

प्रत्यास्थ व प्लॅस्टिकLमूळताणलेलेबल काढल्यावर परत = प्रत्यास्थपरत येत नाही = प्लॅस्टिक

आकृतीत : हिरवा भाग ताण; बल काढल्यावर परत येतो.

नियम 1 : प्रत्यास्थता — बल काढल्यावर वस्तू मूळ आकारात येते ती प्रत्यास्थता. स्टील रबरपेक्षा जास्त प्रत्यास्थ (Y मोठा).

  • सोपे : स्प्रिंग ताणून सोडली ⇒ परत येते.
  • मध्यम : स्टील Y = 2 × 10¹¹, रबर ≈ 10⁶-10⁸ Pa.
  • परीक्षेसाठी (CET) : सर्वाधिक प्रत्यास्थ? (1) स्टील (2) रबर (3) चिकणमाती (4) शिसे → उत्तर 1)

नियम 2 : प्रत्यास्थ सीमा — ज्या कमाल प्रतिबलापर्यंत वस्तू परत येते ती प्रत्यास्थ सीमा; त्यापुढे कायमची विकृती.

  • सोपे : वायर थोडी ओढली ⇒ परत; जास्त ⇒ वाकडी राहते.
  • मध्यम : प्लॅस्टिक अवस्था = कायमची विकृती.
  • परीक्षेसाठी (CET) : प्लॅस्टिक वस्तू? (1) चिकणमाती (2) स्टील (3) काच (4) स्प्रिंग → उत्तर 1)

नियम 3 : आणखी शब्द — पुनर्स्थापन बल = मूळ आकाराकडे खेचणारे अंतर्गत बल. थकवा = पुनःपुन्हा ताणल्याने कमकुवत होणे.

  • सोपे : पुल कंपनांमुळे थकतो.
  • मध्यम : परमाणूंमधील बलाने पुनर्स्थापन.
  • परीक्षेसाठी (CET) : थकवा म्हणजे? (1) पुनःपुन्हा ताण (2) एकदा तुटणे (3) गरम होणे (4) आकुंचन → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : पुनर्स्थापन बलाचे मूळ

  • पायरी 1 : संतुलनात परमाणू r₀ अंतरावर; निव्वळ बल 0.
  • पायरी 2 : ताणल्यास r > r₀ ⇒ आकर्षण जास्त.
  • पायरी 3 : दाबल्यास r < r₀ ⇒ प्रतिकर्षण जास्त.
  • पायरी 4 : लहान विस्थापनात F ∝ −x (स्प्रिंगसारखे).
लक्षात ठेवा

प्रत्यास्थ सीमेआत परत; बाहेर प्लॅस्टिक.

सामान्य चूक / CET सापळा

प्रत्यास्थता ≠ ताणण्याची क्षमता; स्टील रबरपेक्षा जास्त प्रत्यास्थ.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "सीमेपर्यंत परत, पुढे कायमचे".

फरक ओळखा

गुणधर्मप्रत्यास्थप्लॅस्टिक
बल काढल्यावरपरत येतेकायमची विकृती
उदा.स्प्रिंगचिकणमाती
सीमाआतपलीकडे

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1प्रत्यास्थता म्हणजे?
  2. 2प्रत्यास्थ सीमा म्हणजे?
  3. 3एक प्लॅस्टिक वस्तू सांगा.
मध्यम
  1. 4रबर की स्टील जास्त प्रत्यास्थ? का?
  2. 5थकवा म्हणजे?
  3. 6पुनर्स्थापन बल कशामुळे?
आव्हानात्मक
  1. 7r < r₀ वर बल कसे?
  2. 8रबर बँड ताणल्यावर Y लहान का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1बल काढल्यावर मूळ आकार
  2. 2कमाल प्रतिबल जिथपर्यंत परत येते
  3. 3चिकणमाती
  4. 4स्टील; Y जास्त
  5. 5पुनःपुन्हा ताणाने कमकुवत
  6. 6परमाणूंमधील बल
  7. 7प्रतिकर्षक
  8. 8थोड्या प्रतिबलात मोठी विकृती

प्रतिबल, विकृती व हूकचा नियम

रोजच्या जीवनातून

जाड तार जास्त वजन पेलते — कारण त्याच बलाला प्रतिबल कमी.

सोपी व्याख्या

प्रतिबल (stress) = प्रति एकक क्षेत्रफळ पुनर्स्थापन बल; विकृती (strain) = लांबीतील सापेक्ष बदल.

प्रतिबल व विकृतीFLΔLप्रतिबल = F ÷ Aविकृती = ΔL ÷ Lप्रतिबल = E × विकृतीएकक : N/m² (Pa)

आकृतीत : F ताण देतो; ΔL लांबी वाढ.

नियम 1 : प्रतिबल — प्रतिबल = F ÷ A (N/m² = Pa); मिती [M L⁻¹ T⁻²]. प्रकार : तन्य/संपीडन, आकारमान (दाब), अपरूपण.

  • सोपे : F = 500 N, A = 2 × 10⁻⁴ m² ⇒ 2.5 × 10⁶ Pa.
  • मध्यम : A निम्मे ⇒ प्रतिबल दुप्पट.
  • परीक्षेसाठी (CET) : प्रतिबलाचे एकक? (1) Pa (2) N (3) J (4) kg → उत्तर 1)

नियम 2 : विकृती — विकृती = ΔL ÷ L (अनुदैर्ध्य); एकक/मिती नाही. प्रकार : अनुदैर्ध्य, आकारमान (ΔV/V), अपरूपण (θ).

  • सोपे : L = 2 m, ΔL = 1 mm ⇒ 5 × 10⁻⁴.
  • मध्यम : विकृतीला एकक नाही.
  • परीक्षेसाठी (CET) : विकृतीची मिती? (1) शून्य (2) M (3) L (4) T → उत्तर 1)

नियम 3 : हूकचा नियम — प्रत्यास्थ सीमेआत प्रतिबल ∝ विकृती; स्थिरांक = प्रत्यास्थ गुणांक E (Pa).

  • सोपे : E = प्रतिबल ÷ विकृती = (2.5 × 10⁶) ÷ (5 × 10⁻⁴) = 5 × 10⁹ Pa.
  • मध्यम : विकृती दुप्पट ⇒ प्रतिबल दुप्पट.
  • परीक्षेसाठी (CET) : हूक कुठे? (1) प्रत्यास्थ सीमेआत (2) सर्वत्र (3) तुटताना (4) कधीच नाही → उत्तर 1) युक्ती : 'सीमेआत सरळ'.

सूत्राची उपपत्ती : E चे एकक व मिती

  • पायरी 1 : E = प्रतिबल ÷ विकृती.
  • पायरी 2 : विकृती अमितीय ⇒ E ची मिती = प्रतिबलाची.
  • पायरी 3 : [F/A] = [M L T⁻²]/[L²] = M L⁻¹ T⁻².
  • पायरी 4 : E : N/m² (Pa), [M L⁻¹ T⁻²].
लक्षात ठेवा

प्रतिबल = F/A; विकृती = ΔL/L; प्रतिबल = E × विकृती.

सामान्य चूक / CET सापळा

विकृती एकक-रहित; हूक फक्त प्रत्यास्थ सीमेआत.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "प्रतिबल = बल ÷ क्षेत्रफळ".

फरक ओळखा

राशीसूत्रएककमिती
प्रतिबलF/APaM L⁻¹ T⁻²
विकृतीΔL/L——
Eप्रतिबल/विकृतीPaM L⁻¹ T⁻²

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1प्रतिबलाचे सूत्र?
  2. 2विकृती कशाला म्हणतात?
  3. 3हूकचा नियम सांगा.
मध्यम
  1. 4F = 1000 N, A = 5 × 10⁻⁴ : प्रतिबल?
  2. 5L = 4 m, ΔL = 2 mm : विकृती?
  3. 6प्रतिबल 4 × 10⁶, विकृती 2 × 10⁻⁴ : E?
आव्हानात्मक
  1. 7E ची मिती सिद्ध करा.
  2. 8दाब व प्रतिबलातील फरक?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1F/A
  2. 2ΔL/L
  3. 3प्रतिबल ∝ विकृती
  4. 42 × 10⁶ Pa
  5. 55 × 10⁻⁴
  6. 62 × 10¹⁰ Pa
  7. 7M L⁻¹ T⁻²
  8. 8दोन्ही F/A; दाब द्रवातून लंब, प्रतिबल आंतरिक

यंगचे गुणांक

रोजच्या जीवनातून

क्रेनची तार जाड व स्टीलची असते — ताणाने कमी लांबते.

सोपी व्याख्या

यंगचे गुणांक (Young's modulus) Y = अनुदैर्ध्य प्रतिबल ÷ अनुदैर्ध्य विकृती.

यंगचे गुणांक : तारML, AF = MgΔLY = FL ÷ AΔLΔL ∝ 1/Yस्टील 2 × 10¹¹ Pa

आकृतीत : भार M ने तार ΔL ताणली जाते.

नियम 1 : सूत्र — Y = (F ÷ A) ÷ (ΔL ÷ L) = F L ÷ (A ΔL); एकक Pa; वायर : A = π d² ÷ 4. ΔL = F L ÷ (A Y).

  • सोपे : F = 200 N, L = 2 m, A = 10⁻⁶ m², Y = 2 × 10¹¹ ⇒ ΔL = 2 mm.
  • मध्यम : M = 10 kg (g = 10), A = 10⁻⁶, L = 1 m, Y = 2 × 10¹¹ ⇒ ΔL = 0.5 mm.
  • परीक्षेसाठी (CET) : L दुप्पट ⇒ ΔL? (1) दुप्पट (2) निम्मे (3) चौपट (4) समान → उत्तर 1) युक्ती : ΔL ∝ L.

नियम 2 : तुलना : ΔL — ΔL ∝ F L ÷ (A Y) ∝ F L ÷ (r² Y). त्रिज्या दुप्पट ⇒ ΔL ¼. Y मोठा ⇒ ΔL लहान.

  • सोपे : r दुप्पट ⇒ ΔL ¼.
  • मध्यम : समान F, L, A : स्टील व तांबे (Y = 1.2 × 10¹¹) : ΔL_तांबे/ΔL_स्टील = 5/3.
  • परीक्षेसाठी (CET) : r दुप्पट ⇒ ΔL? (1) ¼ (2) ½ (3) 2 (4) 4 → उत्तर 1)

नियम 3 : ताण-मर्यादा — तुटणारे प्रतिबल σ_b; सुरक्षित भार : F = σ_b A ÷ सुरक्षा घटक.

  • सोपे : σ_b = 5 × 10⁸, A = 2 × 10⁻⁶ ⇒ F_max = 1000 N.
  • मध्यम : सुरक्षा घटक 5 ⇒ 200 N.
  • परीक्षेसाठी (CET) : सुरक्षित भार? (1) σ_b A / घटक (2) σ_b (3) A (4) E → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : ΔL = F L ÷ (A Y)

  • पायरी 1 : प्रतिबल = F/A.
  • पायरी 2 : विकृती = ΔL/L.
  • पायरी 3 : Y = (F/A) ÷ (ΔL/L).
  • पायरी 4 : पुनर्मांडणी : ΔL = F L ÷ (A Y).
लक्षात ठेवा

Y = FL/(AΔL); ΔL = FL/(AY).

सामान्य चूक / CET सापळा

ΔL ∝ 1/r²; Y पदार्थावर अवलंबून, आकारावर नाही; F = Mg वापरा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "एफ एल भागिले ए डेल्टा एल".

फरक ओळखा

पदार्थY (Pa)
स्टील2 × 10¹¹
तांबे1.2 × 10¹¹
अॅल्युमिनियम7 × 10¹⁰
रबर≈ 10⁷

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1Y चे सूत्र?
  2. 2Y चे एकक?
  3. 3सर्वाधिक Y?
मध्यम
  1. 4F = 400, L = 1.5 m, A = 2 × 10⁻⁶, Y = 2 × 10¹¹ : ΔL?
  2. 5ΔL = 1 mm; L तिप्पट : ΔL?
  3. 6d दुप्पट : ΔL?
आव्हानात्मक
  1. 7σ_b = 6 × 10⁸, d = 2 mm : F_max (π = 3.14)?
  2. 8दोन तारा समान F, L, A : Y₁ = 2Y₂ ⇒ ΔL₁/ΔL₂?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1FL/AΔL
  2. 2Pa
  3. 3स्टील (दिलेल्यांपैकी)
  4. 41.5 mm
  5. 53 mm
  6. 6ΔL मूळच्या ¼ पट
  7. 71884 N
  8. 8½

आकारमान गुणांक, दृढता गुणांक व पॉयसन गुणोत्तर

रोजच्या जीवनातून

खोल समुद्रात पाणी थोडेसे दाबले जाते; पुस्तकाला धक्का दिला की ते कलते — तीन प्रकारची विकृती.

सोपी व्याख्या

K दाबाने आकारमान, η कलण्याने आकार, σ पार्श्व आकुंचन मोजतात.

तीन गुणांकKΔV/Vηθσपार्श्व/अनुK = −ΔP V/ΔV ; η = (F/A)/θ ; σ = −(Δd/d)/(ΔL/L)Y = 3K (1 − 2σ) = 2η (1 + σ)

आकृतीत : K, η, σ व त्यांचे संबंध.

नियम 1 : आकारमान गुणांक — K = −ΔP ÷ (ΔV/V) = −ΔP V ÷ ΔV; संपीड्यता = 1/K. वायूंसाठी K लहान, घन पदार्थांसाठी मोठा.

  • सोपे : पाणी K = 2.2 × 10⁹, ΔP = 10⁷ ⇒ ΔV/V = 4.5 × 10⁻³.
  • मध्यम : ΔP दुप्पट ⇒ ΔV/V दुप्पट.
  • परीक्षेसाठी (CET) : संपीड्यता? (1) 1/K (2) K (3) K² (4) 0 → उत्तर 1)

नियम 2 : दृढता गुणांक — η = (F/A) ÷ θ (θ रेडियनमध्ये); द्रव व वायूंसाठी η = 0.

  • सोपे : F = 10⁴ N, A = 0.01 m², η = 8 × 10¹⁰ ⇒ θ = 1.25 × 10⁻⁵ rad.
  • मध्यम : η मोठा ⇒ θ लहान.
  • परीक्षेसाठी (CET) : द्रवात η? (1) 0 (2) K (3) Y (4) अनंत → उत्तर 1)

नियम 3 : पॉयसन गुणोत्तर — σ = पार्श्व विकृती ÷ अनुदैर्ध्य विकृती (ऋण चिन्ह वगळून); अमितीय; −1 ते 0.5; सामान्यतः 0.2–0.4.

  • सोपे : σ = 0.25, अनु. विकृती 2 × 10⁻³ ⇒ पार्श्व 5 × 10⁻⁴.
  • मध्यम : K = 10¹¹, σ = 0.25 ⇒ Y = 3K(1 − 2σ) = 1.5 × 10¹¹.
  • परीक्षेसाठी (CET) : σ चे एकक? (1) नाही (2) Pa (3) N (4) m → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : आकारमान गुणांक : K

  • पायरी 1 : आकारमान प्रतिबल = ΔP (दाबातील वाढ).
  • पायरी 2 : आकारमान विकृती = −ΔV/V.
  • पायरी 3 : K = प्रतिबल ÷ विकृती.
  • पायरी 4 : K = −ΔP V ÷ ΔV; ऋण चिन्ह = दाबाने V कमी.
लक्षात ठेवा

K = −ΔP V/ΔV; η = (F/A)/θ; Y = 3K(1 − 2σ) = 2η(1 + σ).

सामान्य चूक / CET सापळा

θ रेडियनमध्ये; K मध्ये ऋण चिन्ह; σ ला एकक नाही.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "के = आकारमान, इटा = आकार".

फरक ओळखा

गुणांकप्रतिबलविकृती
YF/A (लंब)ΔL/L
KΔP−ΔV/V
ηF/A (स्पर्शिक)θ

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1K चे सूत्र?
  2. 2η चे सूत्र?
  3. 3σ म्हणजे?
मध्यम
  1. 4ΔP = 2 × 10⁷, K = 2 × 10⁹ : ΔV/V?
  2. 5F = 2 × 10³, A = 0.02, η = 10¹⁰ : θ?
  3. 6σ = 0.3, अनु. विकृती 10⁻³ : पार्श्व?
आव्हानात्मक
  1. 7η = 4 × 10¹⁰, σ = 0.25 : Y?
  2. 8द्रवाला η = 0 का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1−ΔP V/ΔV
  2. 2(F/A)/θ
  3. 3पार्श्व ÷ अनुदैर्ध्य विकृती
  4. 410⁻²
  5. 510⁻⁵ rad
  6. 63 × 10⁻⁴
  7. 7Y = 2η(1 + σ) = 10¹¹
  8. 8द्रव स्पर्शिक प्रतिबलाला विरोध करत नाही

प्रतिबल–विकृती आलेख व उपयोग

रोजच्या जीवनातून

तार ओढत गेलो की आधी परत येते, मग वाकडी राहते, शेवटी तुटते — हेच आलेखावर दिसते.

सोपी व्याख्या

प्रतिबल–विकृती आलेख (stress–strain curve) पदार्थाचे वर्तन दाखवतो.

प्रतिबल–विकृती आलेखPEYUBप्रतिबलविकृतीहूक

आकृतीत : P, E, Y, U, B = महत्त्वाचे बिंदू.

Live आकृती

प्रतिबल–विकृती आलेख व उपयोग

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : आलेखाचे भाग — OP सरळ : हूक (P = आनुपातिक सीमा); E प्रत्यास्थ सीमा; Y नमन बिंदू; U कमाल (अंतिम) प्रतिबल; B तुटणे.

  • सोपे : OP चा ढाल = Y.
  • मध्यम : U नंतर प्रतिबल कमी दिसते (नेकिंग).
  • परीक्षेसाठी (CET) : आलेखाचा सरळ भाग? (1) हूक (2) नमन (3) तुटणे (4) थकवा → उत्तर 1)

नियम 2 : तन्य व भंगुर — तन्य : खूप प्लॅस्टिक भाग (तांबे, सोने). भंगुर : प्लॅस्टिक भाग कमी (काच, कास्ट आयर्न) — अचानक तुटते.

  • सोपे : तारा ओढून बनतात ⇒ तन्य.
  • मध्यम : काच वाकत नाही, तुटते.
  • परीक्षेसाठी (CET) : भंगुर? (1) काच (2) तांबे (3) सोने (4) शिसे → उत्तर 1)

नियम 3 : उपयोग — पूल/क्रेनसाठी सुरक्षा घटक = तुटणारे प्रतिबल ÷ कार्यरत प्रतिबल. शॉक शोषणाला रबर (अवमंदन), कंपासाठी स्टील.

  • सोपे : σ_b = 4 × 10⁸, कार्यरत 10⁸ ⇒ घटक 4.
  • मध्यम : रबर लूप क्षेत्र = ऊर्जा नाश.
  • परीक्षेसाठी (CET) : सुरक्षा घटक? (1) σ_b ÷ σ_कार्य (2) σ_कार्य ÷ σ_b (3) σ_b σ (4) 0 → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : आलेखावरून Y

  • पायरी 1 : OP भागात प्रतिबल = Y × विकृती.
  • पायरी 2 : Y = प्रतिबल ÷ विकृती = ढाल.
  • पायरी 3 : एक बिंदू : प्रतिबल 4 × 10⁸, विकृती 2 × 10⁻³.
  • पायरी 4 : Y = 2 × 10¹¹ Pa.
लक्षात ठेवा

ढाल = Y; तन्य = लांब प्लॅस्टिक भाग; घटक = σ_b ÷ σ_कार्य.

सामान्य चूक / CET सापळा

P व E एकच नाहीत; भंगुर ≠ कमजोर.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "पी-ई-वाय-यू-बी".

फरक ओळखा

बिंदूअर्थ
Pआनुपातिक सीमा
Eप्रत्यास्थ सीमा
Yनमन बिंदू
Uकमाल प्रतिबल
Bभंग

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1P म्हणजे?
  2. 2तन्य पदार्थ सांगा.
  3. 3भंगुर पदार्थ सांगा.
मध्यम
  1. 4OP चा ढाल काय?
  2. 5σ_b = 6 × 10⁸, कार्यरत 2 × 10⁸ : घटक?
  3. 6A = 4 × 10⁻⁶, σ_b = 5 × 10⁸ : F_max?
आव्हानात्मक
  1. 7नेकिंग म्हणजे?
  2. 8आलेखात U नंतर प्रतिबल का घटते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1आनुपातिक सीमा
  2. 2तांबे
  3. 3काच
  4. 4Y (यंगचे गुणांक)
  5. 53
  6. 62000 N
  7. 7U नंतर तारेचा काही भाग निमुळता होतो
  8. 8क्षेत्रफळ कमी होते, मूळ क्षेत्रावर F/A काढल्याने

विकृती ऊर्जा

रोजच्या जीवनातून

धनुष्य ताणले की ऊर्जा साठते व बाण सोडल्यावर बाहेर पडते.

सोपी व्याख्या

विकृती ऊर्जा (strain energy) = ताणलेल्या वस्तूत साठलेली स्थितिज ऊर्जा.

विकृती ऊर्जाΔLF(ΔL, F)U = ½ F ΔLu = ½ × प्रतिबल × विकृती= ½ Y × (विकृती)²

आकृतीत : निळे क्षेत्र = साठलेली ऊर्जा.

नियम 1 : साठवलेली ऊर्जा — U = ½ F ΔL = ½ Y A ΔL² ÷ L (F–ΔL आलेखाखालील क्षेत्र).

  • सोपे : F = 200 N, ΔL = 2 mm ⇒ U = 0.2 J.
  • मध्यम : ΔL दुप्पट ⇒ U चौपट.
  • परीक्षेसाठी (CET) : ΔL दुप्पट ⇒ U? (1) चौपट (2) दुप्पट (3) निम्मे (4) समान → उत्तर 1) युक्ती : U ∝ ΔL².

नियम 2 : ऊर्जा घनता — u = U ÷ (A L) = ½ × प्रतिबल × विकृती = ½ Y × विकृती² (J/m³).

  • सोपे : प्रतिबल 2 × 10⁸, विकृती 10⁻³ ⇒ u = 10⁵ J/m³.
  • मध्यम : आकारमान 2 × 10⁻⁶ × 0.2 J ⇒ 10⁵ J/m³ बरोबर.
  • परीक्षेसाठी (CET) : u चे एकक? (1) J/m³ (2) J (3) N (4) Pa s → उत्तर 1)

नियम 3 : ताणलेली स्प्रिंग/तार — तार/स्प्रिंग : F = k ΔL, k = YA/L; U = ½ k ΔL². तारेचे कार्य : W = U (हळूहळू ताणल्यास).

  • सोपे : k = 10⁵ N/m, ΔL = 2 cm ⇒ U = 20 J.
  • मध्यम : k = YA/L = 2 × 10¹¹ × 10⁻⁶ ÷ 2 = 10⁵ N/m.
  • परीक्षेसाठी (CET) : U = ? (1) ½ k x² (2) k x² (3) k x (4) 2k x → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : U = ½ F ΔL

  • पायरी 1 : ताणताना F 0 पासून F पर्यंत वाढते (F = kx).
  • पायरी 2 : dW = F dx = k x dx.
  • पायरी 3 : W = ∫₀^ΔL k x dx = ½ k ΔL².
  • पायरी 4 : k ΔL = F ⇒ U = ½ F ΔL.
लक्षात ठेवा

U = ½ F ΔL; u = ½ Y × विकृती².

सामान्य चूक / CET सापळा

U = F ΔL नाही (½ विसरू नका); U ∝ ΔL².

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "अर्धा बल गुणिले वाढ".

फरक ओळखा

राशीसूत्रएकक
U½ F ΔLJ
u½ × प्रतिबल × विकृतीJ/m³
kYA/LN/m

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1U चे सूत्र?
  2. 2u चे एकक?
  3. 3U कशाखालील क्षेत्र?
मध्यम
  1. 4F = 100 N, ΔL = 4 mm : U?
  2. 5प्रतिबल 10⁸, विकृती 10⁻³ : u?
  3. 6k = 2 × 10⁴, ΔL = 1 cm : U?
आव्हानात्मक
  1. 7U = ½ F ΔL सिद्ध करा.
  2. 8स्टील की रबर जास्त ऊर्जा साठवते (समान प्रतिबल)? का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1½ F ΔL
  2. 2J/m³
  3. 3F–ΔL
  4. 40.2 J
  5. 55 × 10⁴ J/m³
  6. 61 J
  7. 7W = ∫k x dx = ½ k ΔL²
  8. 8रबर; u = प्रतिबल²/2Y, Y लहान ⇒ u मोठा

घर्षण व कठीणता

रोजच्या जीवनातून

बर्फावर चालणे कठीण — घर्षण कमी; वाळूवर सोपे — घर्षण जास्त.

सोपी व्याख्या

घर्षण (friction) = संपर्क पृष्ठभागांमधील गतीला विरोध करणारे बल.

घर्षण : f वि. Ff_maxf = Ff_k = μ_k Nf_s ≤ μ_s NfF

आकृतीत : f_max पर्यंत f = F; नंतर f_k.

नियम 1 : घर्षण बल — f_s ≤ μ_s N (स्थिर), f_k = μ_k N (गतिक); μ_k < μ_s; क्षेत्रफळावर अवलंबून नाही.

  • सोपे : m = 10 kg, μ_s = 0.5 ⇒ f_max = 50 N (g = 10).
  • मध्यम : 40 N ढकलले ⇒ f = 40 N (हलत नाही).
  • परीक्षेसाठी (CET) : f कशावर? (1) N (2) क्षेत्रफळ (3) वेग (4) आकार → उत्तर 1)

नियम 2 : उतार व repose कोन — tan θ = μ_s (repose कोन). उतारावर घसरताना a = g (sin θ − μ_k cos θ).

  • सोपे : μ_s = 0.5 ⇒ θ = tan⁻¹ 0.5 ≈ 26.6°.
  • मध्यम : θ = 37° (sin 0.6, cos 0.8), μ_k = 0.5 ⇒ a = 10(0.6 − 0.4) = 2 m/s².
  • परीक्षेसाठी (CET) : repose कोन? (1) tan⁻¹ μ_s (2) sin⁻¹ μ_s (3) μ_s (4) 45° → उत्तर 1)

नियम 3 : लोळण घर्षण व कठीणता — लोळण घर्षण स्लायडिंगपेक्षा खूप कमी (चाके, बेअरिंग). कठीणता = ओरखड्याला प्रतिकार; मोह स्केल : टाल्क 1 … हिरा 10.

  • सोपे : चाक लावले ⇒ ओढणे सोपे.
  • मध्यम : हिरा बाकीच्यांना ओरखडतो.
  • परीक्षेसाठी (CET) : सर्वात कठीण? (1) हिरा (2) टाल्क (3) स्टील (4) काच → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : repose कोन : tan θ = μ_s

  • पायरी 1 : उतारावर : N = m g cos θ.
  • पायरी 2 : उताराकडे बल m g sin θ.
  • पायरी 3 : घसरण्याच्या क्षणी m g sin θ = μ_s N = μ_s m g cos θ.
  • पायरी 4 : tan θ = μ_s.
लक्षात ठेवा

f_s ≤ μ_s N; f_k = μ_k N; tan θ = μ_s.

सामान्य चूक / CET सापळा

f क्षेत्रफळावर अवलंबून नाही; N = mg नेहमी नाही (उतारावर mg cos θ).

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "स्थिर जास्त, गतिक कमी, लोळण सर्वात कमी".

फरक ओळखा

प्रकारसूत्रतुलना
स्थिरf_s ≤ μ_s Nजास्त
गतिकf_k = μ_k Nकमी
लोळणf_r = μ_r Nसर्वात कमी

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1f_s चे सूत्र?
  2. 2repose कोन म्हणजे?
  3. 3कठीणता कशी मोजतात?
मध्यम
  1. 4m = 20, μ_s = 0.4 : f_max (g = 10)?
  2. 5μ_s = 1 : repose कोन?
  3. 6θ = 30° (sin 0.5, cos 0.87), μ_k = 0.2 : a?
आव्हानात्मक
  1. 7tan θ = μ_s सिद्ध करा.
  2. 8μ_k < μ_s का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1f_s ≤ μ_s N
  2. 2घसरण्याआधीचा कमाल उतार कोन
  3. 3मोह स्केलने
  4. 480 N
  5. 545°
  6. 63.26 m/s²
  7. 7m g sin θ = μ_s m g cos θ
  8. 8हलत्या पृष्ठभागांचे बंध कमी वेळ टिकतात

संपूर्ण धड्याची झटपट उजळणी

संकल्पनामहत्त्वाचे सूत्र / तथ्यएकक / मितीय सूत्र
प्रतिबलF/APa; M L⁻¹ T⁻²
विकृतीΔL/L—
YFL/(AΔL)Pa
K−ΔP V/ΔVPa
η(F/A)/θPa
संबंधY = 3K(1 − 2σ) = 2η(1 + σ)—
विकृती ऊर्जाu = ½ × प्रतिबल × विकृतीJ/m³
घर्षणf_k = μ_k N; tan θ = μ_sN

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

  • प्रत्यास्थ सीमेआत हूक : प्रतिबल ∝ विकृती.
  • विकृती एकक-रहित; E ची मिती = प्रतिबलाची.
  • ΔL = FL/(AY); ΔL ∝ 1/r².
  • K, η, Y, σ : Y = 3K(1 − 2σ) = 2η(1 + σ).
  • आलेख : P → E → Y → U → B; ढाल = Y.
  • U = ½ F ΔL; u = ½ Y × विकृती².
  • f_s > f_k > f_rolling; tan θ = μ_s.
अभ्यासाचा मंत्र

प्रतिबल ÷ विकृती = गुणांक; ½ F ΔL = ऊर्जा.