अदिश आणि सदिश
'दुकान 2 km दूर' असे सांगितल्यावर 'कोणत्या दिशेला?' हा प्रश्न येतो — तिथेच सदिश येतो. आधीच्या वर्गाशी नाते : इयत्ता 9-10 मधील बीजगणित, त्रिकोणमिती आणि पायथागोरसचा सिद्धांत येथे सदिश आणि कलनात वापरले जातात.
सदिश (vector) = परिमाण + दिशा; अदिश (scalar) = फक्त परिमाण.
आकृतीत : नारिंगी मार्ग = अंतर; हिरवा बाण = विस्थापन.
नियम 1 : अदिश व सदिश — अदिश : फक्त परिमाण (वस्तुमान, काळ, अंतर, चाल, ऊर्जा, कार्य). सदिश : परिमाण + दिशा (विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, संवेग).
- सोपे : 50 kg वजन : अदिश; 50 N बल उत्तरेकडे : सदिश.
- मध्यम : चाल 20 m/s : अदिश; वेग 20 m/s पूर्वेकडे : सदिश.
- परीक्षेसाठी (CET) : कोणते सदिश? (1) बल (2) ऊर्जा (3) चाल (4) काळ → उत्तर 1) युक्ती : दिशा सांगता येते ते सदिश.
नियम 2 : विस्थापन व अंतर — अंतर = प्रत्यक्ष चाललेला मार्ग (अदिश); विस्थापन = सुरुवात ते शेवट सरळ रेषेतील अंतर व दिशा (सदिश). लंब बाजूंसाठी |विस्थापन| = √(a² + b²).
- सोपे : 4 m पूर्व + 3 m उत्तर ⇒ अंतर 7 m, विस्थापन √(16 + 9) = 5 m.
- मध्यम : पूर्ण वर्तुळ फिरल्यावर विस्थापन 0, अंतर 2π r.
- परीक्षेसाठी (CET) : अंतर कधी |विस्थापन| इतके? (1) सरळ रेषेत (2) वर्तुळात (3) नेहमी (4) कधीच नाही → उत्तर 1)
नियम 3 : सदिशांचे गुणधर्म — समान सदिश : परिमाण व दिशा समान. ऋण सदिश −A : परिमाण समान, दिशा उलट. k A : परिमाण |k| A (k < 0 ⇒ दिशा उलट).
- सोपे : A = 5 m पूर्वेकडे ⇒ −A = 5 m पश्चिमेकडे.
- मध्यम : 3A = 15 m पूर्वेकडे; −2A = 10 m पश्चिमेकडे.
- परीक्षेसाठी (CET) : A + (−A) = ? (1) शून्य सदिश (2) 2A (3) A² (4) 1 → उत्तर 1)
सूत्राची उपपत्ती : विस्थापनाचे परिमाण
- पायरी 1 : A → B : 4 m पूर्वेला, मग 3 m उत्तरेला.
- पायरी 2 : दोन पायऱ्या लंब ⇒ काटकोन त्रिकोण.
- पायरी 3 : पायथागोरस : AB² = 4² + 3² = 25.
- पायरी 4 : |विस्थापन| = 5 m, दिशा : tanθ = 3/4.
|विस्थापन| ≤ अंतर; सदिश = परिमाण + दिशा.
चाल अदिश, वेग सदिश; विद्युतप्रवाह दिशा दाखवतो तरी अदिश आहे.
आठवणीची युक्ती : "दिशा = सदिश".
फरक ओळखा
| गुण | अदिश | सदिश |
|---|---|---|
| परिमाण | आहे | आहे |
| दिशा | नाही | आहे |
| उदा. | चाल, ऊर्जा | वेग, बल |
| बेरीज | सामान्य | त्रिकोण नियम |
सरावासाठी प्रश्न
- 1अदिश म्हणजे?
- 2चाल व वेगात फरक?
- 3−A म्हणजे?
- 46 m पूर्व + 8 m उत्तर : विस्थापन?
- 5त्याचे अंतर?
- 6A = 4 m : 2.5 A?
- 7r = 7 m अर्धवर्तुळ : अंतर व विस्थापन?
- 8सदिश बदलला पण परिमाण तोच : कसा?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1फक्त परिमाण असलेली राशी
- 2वेगाला दिशा असते
- 3उलट दिशेचा समान सदिश
- 410 m
- 514 m
- 610 m
- 722 m; 14 m
- 8दिशा बदलून
सदिशांची बेरीज व वजाबाकी
नदी पार करताना बोट पुढे व प्रवाह बाजूला — दोन्ही मिळून खरी दिशा ठरते.
परिणामी (resultant) = दोन सदिशांचा एकत्रित परिणाम दाखवणारा एकच सदिश.
आकृतीत : A, B चा कर्ण = R.
सदिशांची बेरीज व वजाबाकी
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : त्रिकोण व समांतरभुज नियम — दोन सदिशांची बेरीज : शेपूट-डोके जोडा (त्रिकोण) किंवा समान उगमबिंदूने कर्ण (समांतरभुज). R = √(A² + B² + 2AB cosθ); tanα = B sinθ ÷ (A + B cosθ) (α = R व A मधील कोन).
- सोपे : A = 3, B = 4, θ = 90° ⇒ R = √(9 + 16) = 5.
- मध्यम : A = B = 10, θ = 60° ⇒ R = 17.32 (= 10√3).
- परीक्षेसाठी (CET) : θ = 0° ⇒ R? (1) A + B (2) A − B (3) √(A²+B²) (4) 0 → उत्तर 1) युक्ती : एकाच दिशेत = कमाल.
नियम 2 : कमाल व किमान परिणामी — θ = 0° ⇒ R_max = A + B; θ = 180° ⇒ R_min = |A − B|. त्यामुळे |A − B| ≤ R ≤ A + B.
- सोपे : 7 N व 4 N बलांचा परिणामी 3 N ते 11 N.
- मध्यम : समान परिमाणाचे दोन सदिश 120° वर ⇒ R = परिमाण (उदा. 5, 5 ⇒ 5).
- परीक्षेसाठी (CET) : 5 N व 5 N चा परिणामी 12 N असू शकतो? (1) नाही (2) हो (3) कधी कधी (4) माहीत नाही → उत्तर 1)
नियम 3 : वजाबाकी — A − B = A + (−B). R = √(A² + B² − 2AB cosθ).
- सोपे : A = B = 10, θ = 60° ⇒ |A − B| = 10.
- मध्यम : A = 6, B = 8, θ = 90° ⇒ |A − B| = 10.
- परीक्षेसाठी (CET) : |A − B| चे सूत्रात चिन्ह? (1) − 2AB cosθ (2) + 2AB cosθ (3) 2AB (4) AB → उत्तर 1)
सूत्राची उपपत्ती : परिणामी R चे सूत्र
- पायरी 1 : B ची शेपूट A च्या डोक्यावर; A ला B चा घटक = B cosθ, लंब = B sinθ.
- पायरी 2 : R² = (A + B cosθ)² + (B sinθ)².
- पायरी 3 : = A² + 2AB cosθ + B²(cos²θ + sin²θ).
- पायरी 4 : R = √(A² + B² + 2AB cosθ); tanα = B sinθ ÷ (A + B cosθ).
R = √(A² + B² + 2AB cosθ); |A − B| ≤ R ≤ A + B.
θ म्हणजे दोन सदिशांच्या शेपटींमधील कोन; वजाबाकीत चिन्ह −.
आठवणीची युक्ती : "एकत्र = मोठे; उलट = लहान".
फरक ओळखा
| θ | R | ||
|---|---|---|---|
| 0° | A + B (कमाल) | ||
| 90° | √(A² + B²) | ||
| 180° | A − B | (किमान) |
सरावासाठी प्रश्न
- 1त्रिकोण नियम सांगा.
- 2R_max कधी?
- 3A − B चे सूत्र?
- 4A = 6, B = 8, θ = 90° : R?
- 5A = B = 5, θ = 120° : R?
- 612 N व 5 N कमाल व किमान?
- 7A = 3, B = 4, θ = 90° : α?
- 8A = 2, B = 2, θ = 60° : |A − B|?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1A च्या डोक्याला B ची शेपूट; पहिल्या शेपटीपासून शेवटच्या डोक्यापर्यंत R
- 2θ = 0°
- 3A + (−B)
- 4R = 10
- 5R = 5
- 617 N; 7 N
- 7α = 53.1°
- 82
सदिशांचे विभाजन व एकक सदिश
तिरकी उतरण चढताना पुढे जाणे व उंच जाणे — दोन्ही घटक वेगळे मोजता येतात.
घटक (component) = सदिशाचे अक्षांवरील प्रक्षेपण; एकक सदिश (unit vector) = परिमाण 1 चा दिशादर्शक.
आकृतीत : लाल A चे निळे A_x व हिरवे A_y.
नियम 1 : घटकांत विभाजन — A_x = A cosθ, A_y = A sinθ; A = A_x î + A_y ĵ; |A| = √(A_x² + A_y²); tanθ = A_y ÷ A_x.
- सोपे : A = 10 N, θ = 30° ⇒ A_x = 8.66, A_y = 5.00.
- मध्यम : A = 3î + 4ĵ ⇒ |A| = 5; tanθ = 4/3 ⇒ θ = 53°.
- परीक्षेसाठी (CET) : θ = 45° वर घटक? (1) समान (2) A_x > A_y (3) A_y > A_x (4) शून्य → उत्तर 1)
नियम 2 : एकक सदिश — Â = A ÷ |A|; परिमाण 1, दिशा A ची. î, ĵ, k̂ = x, y, z अक्षांचे एकक सदिश.
- सोपे : A = 3î + 4ĵ ⇒ Â = 0.6î + 0.8ĵ.
- मध्यम : |0.6î + 0.8ĵ| = √(0.36 + 0.64) = 1 ✓.
- परीक्षेसाठी (CET) : एकक सदिशाला एकक? (1) नाही (2) m (3) N (4) s → उत्तर 1)
नियम 3 : घटकांनी बेरीज — A + B : x घटक आणि y घटक स्वतंत्र जोडा. R_x = A_x + B_x, R_y = A_y + B_y.
- सोपे : A = 2î + 3ĵ, B = 4î − ĵ ⇒ A + B = 6î + 2ĵ; |A + B| = √40 = 6.32.
- मध्यम : A − B = −2î + 4ĵ; |A − B| = √20 = 4.47.
- परीक्षेसाठी (CET) : (î + ĵ) + (î − ĵ) = ? (1) 2î (2) 2ĵ (3) 0 (4) î → उत्तर 1)
सूत्राची उपपत्ती : A_x = A cosθ, A_y = A sinθ
- पायरी 1 : A ला कर्ण मानून x-अक्षावर लंब टाका ⇒ काटकोन त्रिकोण.
- पायरी 2 : cosθ = लगतची बाजू ÷ कर्ण = A_x ÷ A.
- पायरी 3 : sinθ = समोरची बाजू ÷ कर्ण = A_y ÷ A.
- पायरी 4 : A_x = A cosθ; A_y = A sinθ; A² = A_x² + A_y².
A_x = A cosθ; A_y = A sinθ; Â = A/|A|; बेरीज घटकांनी.
θ कोणत्या अक्षापासून आहे ते पाहा : y-अक्षापासून असेल तर sin/cos उलटे.
आठवणीची युक्ती : "x = कॉस; y = साइन".
फरक ओळखा
| राशी | सूत्र | एकक | ||
|---|---|---|---|---|
| A_x | A cosθ | A सारखे | ||
| A_y | A sinθ | A सारखे | ||
| A | √(A_x²+A_y²) | A सारखे | ||
| Â | A/ | A | नाही |
सरावासाठी प्रश्न
- 1A_x चे सूत्र?
- 2एकक सदिश म्हणजे?
- 3î, ĵ, k̂ काय?
- 4A = 20, θ = 60° : A_x, A_y?
- 5A = 6î + 8ĵ : |A| व Â?
- 6A = 3î + 2ĵ, B = î − 5ĵ : A + B?
- 7A = 5î − 12ĵ : |A| व कोन?
- 8A = 4î + 3ĵ, B = 2î + 6ĵ : |A − B|?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1A cosθ
- 2परिमाण 1 चा, दिशा दर्शवणारा सदिश
- 3x, y, z अक्षांचे एकक सदिश
- 4A_x = 10, A_y = 17.3
- 510; 0.6î + 0.8ĵ
- 64î − 3ĵ
- 713; −67.4°
- 8√13 = 3.61
अदिश गुणाकार (डॉट गुणाकार)
घसरगुंडीवर बल तिरके लावले तरी जितके बल पुढे जाते तितकेच कार्य होते — प्रक्षेपण.
डॉट गुणाकार (dot product) = दोन सदिशांचा गुणाकार जो अदिश निकाल देतो.
आकृतीत : B चे A वरील प्रक्षेपण = B cosθ.
नियम 1 : अदिश गुणाकार (डॉट) — A·B = A B cosθ = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z. निकाल अदिश. A·B = B·A. î·î = 1; î·ĵ = 0.
- सोपे : A = 3î + 4ĵ, B = 2î − ĵ ⇒ A·B = 6 − 4 = 2.
- मध्यम : F = 10 N, d = 5 m, θ = 60° ⇒ W = 50 cos60° = 25 J.
- परीक्षेसाठी (CET) : लंब सदिशांचा डॉट गुणाकार? (1) 0 (2) AB (3) 1 (4) −1 → उत्तर 1) युक्ती : 90° ⇒ cos = 0.
नियम 2 : कोन व प्रक्षेपण — cosθ = A·B ÷ (A B). A वर B चे प्रक्षेपण = (A·B) ÷ A.
- सोपे : A = î + ĵ, B = î ⇒ cosθ = 1/√2 ⇒ θ = 45°.
- मध्यम : A = 3î + 4ĵ, B = 2î + ĵ ⇒ A·B = 10; B चे A वरील प्रक्षेपण = 10 ÷ 5 = 2.
- परीक्षेसाठी (CET) : A·A = ? (1) A² (2) 0 (3) 2A (4) 1 → उत्तर 1)
नियम 3 : कार्य व शक्ती — W = F·d = F d cosθ; P = F·v. लंब बल ⇒ कार्य शून्य (उदा. वर्तुळाकार गतीत).
- सोपे : F = 20 N, v = 3 m/s समान दिशेत ⇒ P = 60 W.
- मध्यम : F = 5î + 2ĵ, d = 3î ⇒ W = 15 J.
- परीक्षेसाठी (CET) : कार्य शून्य कधी? (1) F ⟂ d (2) F ∥ d (3) θ = 0 (4) कधीही नाही → उत्तर 1)
सूत्राची उपपत्ती : A·B = A_xB_x + A_yB_y
- पायरी 1 : A = A_x î + A_y ĵ, B = B_x î + B_y ĵ.
- पायरी 2 : A·B = A_xB_x(î·î) + A_xB_y(î·ĵ) + A_yB_x(ĵ·î) + A_yB_y(ĵ·ĵ).
- पायरी 3 : î·î = ĵ·ĵ = 1; î·ĵ = ĵ·î = 0.
- पायरी 4 : A·B = A_xB_x + A_yB_y.
A·B = AB cosθ = A_xB_x + A_yB_y; W = F·d.
डॉटचा निकाल अदिश; cosθ वापरा, sinθ नाही; लंब ⇒ 0.
आठवणीची युक्ती : "डॉट = कॉस = अदिश".
फरक ओळखा
| गुण | डॉट A·B | क्रॉस A×B |
|---|---|---|
| निकाल | अदिश | सदिश |
| सूत्र | AB cosθ | AB sinθ n̂ |
| θ = 0° | कमाल | शून्य |
| θ = 90° | शून्य | कमाल |
सरावासाठी प्रश्न
- 1A·B म्हणजे?
- 2î·ĵ = ?
- 3कार्याचे सदिश सूत्र?
- 4A = 2î + 3ĵ, B = 4î + ĵ : A·B?
- 5F = 8 N, d = 4 m, θ = 30° : W?
- 6A = 3î + 4ĵ : A·A?
- 7A = 2î + 2ĵ, B = 3î : कोन?
- 8F = 4î − 2ĵ, v = 3î + 6ĵ : P?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1AB cosθ (अदिश)
- 20
- 3W = F·d
- 411
- 527.7 J
- 625
- 745°
- 80 W
सदिश गुणाकार (क्रॉस गुणाकार)
पाना फिरवताना बल पान्याला लंब लावले की सर्वात सोपे फिरते — क्रॉस गुणाकार.
क्रॉस गुणाकार (cross product) = दोन सदिशांचा गुणाकार जो नवा सदिश देतो (दोन्हींना लंब).
आकृतीत : निळा समांतरभुज = |A × B|; लाल बाण = दिशा.
नियम 1 : सदिश (क्रॉस) गुणाकार — A × B = A B sinθ n̂; n̂ = उजव्या हाताच्या नियमाने A, B दोघांना लंब. परिमाण = A, B ने बनलेल्या समांतरभुजाचे क्षेत्रफळ. A × B = −(B × A); A × A = 0.
- सोपे : A = 3, B = 4, θ = 30° ⇒ |A × B| = 12 sin30° = 6.
- मध्यम : समांतरभुज बाजू 5, 8 व कोन 30° ⇒ क्षेत्रफळ = 20.
- परीक्षेसाठी (CET) : समांतर सदिशांचा क्रॉस गुणाकार? (1) 0 (2) AB (3) 1 (4) −AB → उत्तर 1) युक्ती : 0° ⇒ sin = 0.
नियम 2 : एकक सदिश व घटक — î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ (उलट क्रमात −). x-y प्रतलात : (A × B)_z = A_xB_y − A_yB_x.
- सोपे : A = î + 2ĵ, B = 3î + ĵ ⇒ z = 1·1 − 2·3 = −5 ⇒ A × B = −5k̂; |A × B| = 5.
- मध्यम : ĵ × î = −k̂.
- परीक्षेसाठी (CET) : k̂ × î = ? (1) ĵ (2) −ĵ (3) î (4) 0 → उत्तर 1) युक्ती : चक्र x→y→z→x.
नियम 3 : बलाघूर्ण व कोनीय संवेग — τ = r × F ⇒ τ = r F sinθ; L = r × p.
- सोपे : r = 0.5 m, F = 20 N लंब ⇒ τ = 10 N m.
- मध्यम : r = 2 m, F = 10 N, θ = 30° ⇒ τ = 10 N m.
- परीक्षेसाठी (CET) : τ कमाल कधी? (1) F ⟂ r (2) F ∥ r (3) θ = 0 (4) θ = 180° → उत्तर 1)
सूत्राची उपपत्ती : (A × B)_z = A_xB_y − A_yB_x
- पायरी 1 : A = A_x î + A_y ĵ, B = B_x î + B_y ĵ.
- पायरी 2 : A × B = A_xB_x(î×î) + A_xB_y(î×ĵ) + A_yB_x(ĵ×î) + A_yB_y(ĵ×ĵ).
- पायरी 3 : î×î = ĵ×ĵ = 0; î×ĵ = k̂; ĵ×î = −k̂.
- पायरी 4 : A × B = (A_xB_y − A_yB_x) k̂.
A × B = AB sinθ n̂; (A×B)_z = A_xB_y − A_yB_x; τ = r × F.
क्रम महत्त्वाचा : A × B = −B × A; sinθ वापरा, cosθ नाही.
आठवणीची युक्ती : "क्रॉस = साइन = सदिश".
फरक ओळखा
| गुण | डॉट | क्रॉस |
|---|---|---|
| निकाल | अदिश | सदिश |
| क्रम बदलल्यास | समान | चिन्ह बदलते |
| समांतर | AB | 0 |
| लंब | 0 | AB |
सरावासाठी प्रश्न
- 1क्रॉस गुणाकाराची दिशा कशी ठरते?
- 2î × î = ?
- 3τ चे सदिश सूत्र?
- 4A = 4, B = 5, θ = 90° : |A × B|?
- 5A = 2î + ĵ, B = î + 3ĵ : A × B?
- 6r = 0.4 m, F = 25 N, θ = 90° : τ?
- 7A = 3, B = 4, A·B = 6 : |A × B|?
- 8A × B व B × A मधील संबंध?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1उजव्या हाताच्या नियमाने
- 20
- 3τ = r × F
- 420
- 55k̂
- 610 N m
- 7cosθ = 0.5 ⇒ θ = 60° ⇒ 10.39
- 8A × B = −B × A
अवकलन
स्पीडोमीटर प्रत्येक क्षणाचा वेग दाखवतो — हा स्थानाचा बदलदर, अवकलन.
अवकलज (derivative) dy/dx = y चा x च्या संदर्भात बदलदर.
आकृतीत : लाल स्पर्शिकेचा चढ = dy/dx.
अवकलन
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : अवकलजाची कल्पना — dy/dx = lim (Δx→0) Δy ÷ Δx = वक्राच्या स्पर्शिकेचा चढ. भौतिकीत : v = dx/dt, a = dv/dt.
- सोपे : x = 3t² + 2t ⇒ v = 6t + 2; t = 2 s ⇒ v = 14 m/s.
- मध्यम : a = dv/dt = 6 m/s² (स्थिर).
- परीक्षेसाठी (CET) : v = dx/dt म्हणजे? (1) स्थानाचा बदलदर (2) x × t (3) x/t फक्त (4) a → उत्तर 1)
नियम 2 : अवकलनाचे नियम — d(c)/dx = 0; d(xⁿ)/dx = n xⁿ⁻¹; d(sin x) = cos x; d(cos x) = −sin x; d(eˣ) = eˣ; d(ln x) = 1/x; गुणाकार (uv)' = u'v + uv'; साखळी d f(g)/dx = f'(g) g'.
- सोपे : d(5x⁴)/dx = 20x³.
- मध्यम : d(sin 2x)/dx = 2 cos 2x; d(x² sin x)/dx = 2x sin x + x² cos x.
- परीक्षेसाठी (CET) : d(cos x)/dx = ? (1) −sin x (2) sin x (3) −cos x (4) 1 → उत्तर 1) युक्ती : 'को' आला की ऋण.
नियम 3 : कमाल व किमान — dy/dx = 0 ⇒ अवस्थांतर बिंदू; d²y/dx² < 0 ⇒ कमाल, > 0 ⇒ किमान.
- सोपे : y = −x² + 4x ⇒ dy/dx = −2x + 4 = 0 ⇒ x = 2; y = 4 (कमाल, d²y/dx² = −2).
- मध्यम : h = 20t − 5t² ⇒ dh/dt = 20 − 10t = 0 ⇒ t = 2 s; h_max = 20 m.
- परीक्षेसाठी (CET) : कमाल बिंदूवर dy/dx? (1) 0 (2) 1 (3) अनंत (4) ऋण → उत्तर 1)
सूत्राची उपपत्ती : d(x²)/dx = 2x (प्रथमतत्त्वावरून)
- पायरी 1 : y = x²; (x + h)² − x² = 2xh + h².
- पायरी 2 : Δy ÷ Δx = (2xh + h²) ÷ h = 2x + h.
- पायरी 3 : h → 0 घेतल्यावर h नाहीसे.
- पायरी 4 : dy/dx = 2x; सामान्यत: n xⁿ⁻¹.
d(xⁿ) = n xⁿ⁻¹; v = dx/dt; a = dv/dt; कमाल : dy/dx = 0.
स्थिरांकाचा अवकलज 0; घात 1 ने कमी करा; cos चा अवकलज ऋण.
आठवणीची युक्ती : "घात खाली, घात −1".
फरक ओळखा
| फलन | अवकलज |
|---|---|
| xⁿ | n xⁿ⁻¹ |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| eˣ | eˣ |
| ln x | 1/x |
सरावासाठी प्रश्न
- 1d(x³)/dx = ?
- 2v व a अवकलनातून कसे?
- 3d(c)/dx = ?
- 4x = 4t³ − t : t = 1 वर v?
- 5y = sin 3x : dy/dx?
- 6y = x² + 6x : किमान बिंदू?
- 7x = 2t³ − 3t² : a = 0 केव्हा?
- 8h = 30t − 5t² : कमाल उंची?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 13x²
- 2v = dx/dt; a = dv/dt
- 30
- 411
- 53 cos 3x
- 6x = −3; y = −9
- 7t = 0.5 s
- 845 m
समाकलन
बादलीत नळाचे पाणी किती साचले ते एकेक क्षणाचे प्रवाह जोडून कळते — समाकलन.
समाकलन (integration) = अनेक लहान भाग जोडून एकूण मिळवणे; वक्राखालील क्षेत्रफळ.
आकृतीत : F – x आलेखाखालील क्षेत्रफळ = कार्य.
नियम 1 : अनिश्चित समाकलन — समाकलन = अवकलनाची उलट क्रिया. ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1) + C; ∫sin x = −cos x + C; ∫cos x = sin x + C; ∫eˣ = eˣ + C; ∫dx/x = ln x + C.
- सोपे : ∫3x² dx = x³ + C.
- मध्यम : v = 6t + 2 ⇒ x = ∫v dt = 3t² + 2t + C.
- परीक्षेसाठी (CET) : ∫x dx = ? (1) x²/2 + C (2) x² + C (3) 2x (4) 1 → उत्तर 1)
नियम 2 : निश्चित समाकलन — ∫ₐᵇ f dx = [F]ₐᵇ = F(b) − F(a) = वक्राखालील क्षेत्रफळ. C नाहीसे होते.
- सोपे : ∫₀² 3t² dt = [t³]₀² = 8 .
- मध्यम : ∫₀^π sin x dx = [−cos x]₀^π = 2.
- परीक्षेसाठी (CET) : ∫₁² dx = ? (1) 1 (2) 2 (3) 0 (4) 3 → उत्तर 1)
नियम 3 : भौतिकीतील उपयोग — x = ∫v dt, v = ∫a dt, W = ∫F dx. स्थिर a ⇒ v = u + at, x = ut + ½at².
- सोपे : F = 4x N, 0 ते 3 m ⇒ W = ∫4x dx = 2x² = 18 J.
- मध्यम : a = 6t, u = 0 ⇒ v = 3t²; t = 2 s ⇒ v = 12 m/s.
- परीक्षेसाठी (CET) : W = ? (1) ∫F dx (2) dF/dx (3) F/x (4) F + x → उत्तर 1)
सूत्राची उपपत्ती : x = ut + ½ a t² (समाकलनाने)
- पायरी 1 : a = dv/dt स्थिर ⇒ v = ∫a dt = a t + C₁.
- पायरी 2 : t = 0 वर v = u ⇒ C₁ = u ⇒ v = u + a t.
- पायरी 3 : x = ∫v dt = ∫(u + a t) dt = u t + ½ a t² + C₂.
- पायरी 4 : t = 0 वर x = 0 ⇒ C₂ = 0 ⇒ x = u t + ½ a t².
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C; x = ∫v dt; W = ∫F dx.
अनिश्चित समाकलनात + C विसरू नका; निश्चित मध्ये वरची − खालची मर्यादा.
आठवणीची युक्ती : "घात + 1, भागिले नवा घात".
फरक ओळखा
| फलन | समाकलन |
|---|---|
| xⁿ | xⁿ⁺¹/(n+1) |
| sin x | −cos x |
| cos x | sin x |
| eˣ | eˣ |
| 1/x | ln x |
सरावासाठी प्रश्न
- 1∫x² dx?
- 2समाकलन म्हणजे?
- 3W चे समाकलन सूत्र?
- 4∫₀³ 2x dx?
- 5a = 4 (स्थिर), u = 0 : v = ? t = 3 s
- 6F = 6x, 0 ते 2 m : W?
- 7v = 3t² : t = 0 ते 2 s विस्थापन?
- 8∫₀^(π/2) cos x dx?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1x³/3 + C
- 2अवकलनाची उलट क्रिया
- 3W = ∫F dx
- 49
- 512 m/s
- 612 J
- 78 m
- 81
संपूर्ण धड्याची झटपट उजळणी
| संकल्पना | महत्त्वाचे सूत्र / तथ्य | एकक / मितीय सूत्र | ||
|---|---|---|---|---|
| परिणामी | R = √(A² + B² + 2AB cosθ) | A सारखे | ||
| घटक | A_x = A cosθ; A_y = A sinθ | A सारखे | ||
| एकक सदिश | Â = A/ | A | नाही | |
| डॉट | A·B = AB cosθ | अदिश | ||
| क्रॉस | A×B | = AB sinθ | सदिश | |
| अवकलन | d(xⁿ) = n xⁿ⁻¹ | — | ||
| गती | v = dx/dt; a = dv/dt | m/s; m/s² | ||
| समाकलन | ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) | — |
🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे
- |A − B| ≤ R ≤ A + B.
- घटकांनी बेरीज सोपी.
- लंब सदिश : डॉट = 0.
- समांतर सदिश : क्रॉस = 0.
- क्रॉस क्रमावर अवलंबून : A × B = −B × A.
- कमाल/किमान : dy/dx = 0.
- समाकलन : क्षेत्रफळ; W = ∫F dx.
सदिश : घटक पाडा → बेरीज; डॉट = cos; क्रॉस = sin; कलन : घात खाली / घात + 1.