धडा १: एकके आणि मापन | राज्य मंडळ · इयत्ता 11 · भौतिकशास्त्र

SI एकके आणि कोन

रोजच्या जीवनातून

दुकानात किलो, लीटर, मीटर असे वेगवेगळे मापक वापरतात; शास्त्रज्ञ सर्वांना एकच सामायिक भाषा (SI) देतात. आधीच्या वर्गाशी नाते : इयत्ता 9-10 मधील लांबी, वस्तुमान, काळ यांची मापने व एकके येथे अचूकता, त्रुटी आणि मितीय विश्लेषणापर्यंत पुढे जातात.

सोपी व्याख्या

SI (International System of Units) = सर्व जगासाठी एकच मापन पद्धत; रेडियन (radian) व स्टेरेडियन (steradian) कोन मोजतात.

आकृतीत : चाप = त्रिज्या असेल तर θ = 1 rad.

नियम 1 : SI पद्धतीची मूलभूत एकके — 7 मूलभूत राशी : लांबी (m), वस्तुमान (kg), काळ (s), विद्युतप्रवाह (A), तापमान (K), पदार्थाचे प्रमाण (mol), प्रकाशतीव्रता (cd). बाकी सर्व साधित (derived) एकके, उदा. N = kg m s⁻², J = N m.

सोपे : बल मोजायचे एकक न्यूटन : साधित; मूलभूत नाही.
मध्यम : 1 J = 1 N × 1 m = 1 kg m² s⁻².
परीक्षेसाठी (CET) : खालील पैकी मूलभूत एकक? (1) kelvin (2) newton (3) joule (4) watt → उत्तर 1) युक्ती : K, A, mol, cd = मूलभूत.

नियम 2 : प्रतल कोन (रेडियन) — θ = s ÷ r (s = चाप, r = त्रिज्या); एकक रेडियन (rad), एककहीन. 2π rad = 360°.

सोपे : 30° = 30 × π/180 = 0.5236 rad.
मध्यम : r = 2 m, θ = 0.5 rad ⇒ s = θ r = 1.0 m.
परीक्षेसाठी (CET) : 1 rad ≈ ? (1) 57.3° (2) 180° (3) 360° (4) 3.14° → उत्तर 1)

नियम 3 : घनकोन (स्टेरेडियन) — Ω = A ÷ r² (A = गोलावरील क्षेत्रफळ); एकक sr. संपूर्ण गोल = 4π sr.

सोपे : A = 0.5 m², r = 2 m ⇒ Ω = 0.5 ÷ 4 = 0.125 sr.
मध्यम : सूर्य : व्यास 1.39 × 10⁹ m, अंतर 1.5 × 10¹¹ m ⇒ θ = 0.0093 rad ≈ 0.53°.
परीक्षेसाठी (CET) : संपूर्ण गोलाचा घनकोन? (1) 4π sr (2) 2π sr (3) π sr (4) 360 sr → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : 1 रेडियन = 57.3°

पायरी 1 : संपूर्ण वर्तुळाचा चाप = परिघ = 2π r.
पायरी 2 : θ = s ÷ r = 2π r ÷ r = 2π rad.
पायरी 3 : 2π rad = 360° ⇒ π rad = 180°.
पायरी 4 : 1 rad = 180° ÷ π ≈ 57.3°.

लक्षात ठेवा

θ = s/r; Ω = A/r²; π rad = 180°; 4π sr = पूर्ण गोल.

सामान्य चूक / CET सापळा

rad व sr साधित/पूरक एकके; कोन एककहीन समजून मिती वगळतात; अंश ⇄ रेडियन रूपांतरात π/180 चुकवू नका.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "के-अ-मो-क-से-म-का" (K A mol cd + s m kg).

फरक ओळखा

गुण	प्रतल कोन	घनकोन
सूत्र	s/r	A/r²
एकक	rad	sr
पूर्ण मूल्य	2π rad	4π sr
मिती	एककहीन	एककहीन

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1SI मधील 7 मूलभूत एकके सांगा.
2rad चे सूत्र?
345° रेडियनमध्ये?

मध्यम

4s = 3 m, r = 1.5 m : θ?
5θ = 0.2 rad, r = 5 m : s?
6A = 2 m², r = 4 m : Ω?

आव्हानात्मक

7चंद्र : व्यास 3.5 × 10⁶ m, अंतर 3.8 × 10⁸ m : θ अंशात?
82 rad चा चाप r = 7 m वर? 1 sr साठी A (r = 7 m)?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1m, kg, s, A, K, mol, cd
2s ÷ r
3π/4 = 0.785 rad
4θ = 2 rad
5s = 1 m
6Ω = 0.125 sr
7θ = 0.53°
8s = 14 m; A = 49 m²

लांबी, वस्तुमान आणि काळाचे मापन

रोजच्या जीवनातून

रस्त्यावर पोहोचण्याचे अंतर आधी मोजपट्टीने, दूरचे ताऱ्याचे अंतर त्रिकोणाने — पद्धत वस्तूनुसार बदलते.

सोपी व्याख्या

लंबन (parallax) : दोन ठिकाणांवरून पाहताना वस्तूची दिसणारी स्थिती बदलणे; यातून दूरचे अंतर कळते.

आकृतीत : D = b ÷ θ; θ लहान असावा.

नियम 1 : लंबन पद्धत — दूरच्या वस्तूचे अंतर : दोन निरीक्षण बिंदूंमधील पायाभूत अंतर b व लंबन कोन θ मोजा. D = b ÷ θ (θ रेडियनमध्ये, लहान).

सोपे : b = 10 m, θ = 0.05 rad ⇒ D = 200 m.
मध्यम : ताऱ्याचे अंतर : b = 3 × 10¹¹ m, θ = 2 × 10⁻⁵ rad ⇒ D = 1.5 × 10¹⁶ m ≈ 1.6 प्रकाशवर्ष.
परीक्षेसाठी (CET) : D = ? (1) b/θ (2) bθ (3) θ/b (4) b² → उत्तर 1)

नियम 2 : व्हर्निअर व स्क्रूगेज — व्हर्निअर LC = 1 MSD − 1 VSD; स्क्रूगेज LC = पिच ÷ भाग. वाचन = मुख्य + (चक्री × LC) ± शून्य-त्रुटी.

सोपे : 1 MSD = 1 mm, 10 VSD = 9 MSD ⇒ LC = 0.1 mm.
मध्यम : पिच 1 mm, 100 भाग ⇒ LC = 0.01 mm; मुख्य 4 mm, चक्री 37 ⇒ वाचन = 4.37 mm.
परीक्षेसाठी (CET) : स्क्रूगेज LC = ? (1) पिच/भाग (2) पिच × भाग (3) भाग/पिच (4) 1 mm → उत्तर 1)

नियम 3 : SI व्याख्या — मीटर : प्रकाशाने 1/299 792 458 s मध्ये कापलेले अंतर; सेकंद : Cs-133 च्या 9 192 631 770 कंपने; किलोग्रॅम : h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J s वर आधारित.

सोपे : प्रकाश 1 s मध्ये 299 792 458 m.
मध्यम : 1 u = 1.66 × 10⁻²⁷ kg (अणुवस्तुमान एकक).
परीक्षेसाठी (CET) : सेकंद कशावर आधारित? (1) Cs-133 कंपने (2) पृथ्वी फेरी (3) लंबक (4) चंद्र → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : D = b ÷ θ

पायरी 1 : दोन बिंदू व वस्तू मिळून लांब, अरुंद त्रिकोण.
पायरी 2 : D हा त्रिज्येसारखा; b हा चापासारखा (θ लहान).
पायरी 3 : θ = चाप ÷ त्रिज्या = b ÷ D.
पायरी 4 : D = b ÷ θ.

लक्षात ठेवा

D = b/θ; व्हर्निअर LC = 1 MSD − 1 VSD; स्क्रूगेज LC = पिच/भाग.

सामान्य चूक / CET सापळा

θ अंशात घेऊन D = b/θ वापरू नका; θ रेडियनमध्ये. शून्य-त्रुटी वजा करायला विसरू नका.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "LC = छोटा − मोठा भाग".

फरक ओळखा

साधन	LC सूत्र	LC (उदा.)
मीटर पट्टी	सर्वात लहान भाग	1 mm
व्हर्निअर	1 MSD − 1 VSD	0.1 mm
स्क्रूगेज	पिच ÷ भाग	0.01 mm

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1लंबन म्हणजे?
2LC म्हणजे?
3स्क्रूगेज कशासाठी?

मध्यम

4b = 6 m, θ = 0.03 rad : D?
5पिच 0.5 mm, 50 भाग : LC?
6मुख्य 2.5 mm, चक्री 18, LC 0.01 mm : वाचन?

आव्हानात्मक

7शून्य-त्रुटी +0.05 mm, वाचन 3.27 mm : खरे वाचन?
8D = 2 × 10⁶ m, b = 4 m : θ?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1दोन बिंदूंतून दिसणारी स्थितीतील आभासी बदल
2साधनाने मोजता येणारे सर्वात लहान मूल्य
3लहान जाडी/व्यास मोजायला
4D = 200 m
5LC = 0.01 mm
62.68 mm
73.22 mm
8θ = 2 × 10⁻⁶ rad

मिती आणि मितीय विश्लेषण

रोजच्या जीवनातून

सफरचंद + संत्री बेरीज होत नाही; तसेच मीटर + सेकंद बेरीज होत नाही — मिती सारखी हवी.

सोपी व्याख्या

मिती (dimension) म्हणजे राशी मूलभूत राशींच्या (M, L, T) कोणत्या घातांकाने बनली ते दर्शवणे.

आकृतीत : मिती वापरून T = k l^a g^b वरून a, b शोधा.

नियम 1 : मितीय सूत्र — मूलभूत मिती : M, L, T, (I, K, mol, cd). वेग [L T⁻¹], त्वरण [L T⁻²], बल [M L T⁻²], कार्य/ऊर्जा [M L² T⁻²], शक्ती [M L² T⁻³], दाब [M L⁻¹ T⁻²], संवेग [M L T⁻¹].

सोपे : बल = m a ⇒ [M] [L T⁻²] = [M L T⁻²].
मध्यम : दाब = बल ÷ क्षेत्रफळ = [M L T⁻²] ÷ [L²] = [M L⁻¹ T⁻²].
परीक्षेसाठी (CET) : ऊर्जेची मिती? (1) M L² T⁻² (2) M L T⁻² (3) M L² T⁻³ (4) M L T⁻¹ → उत्तर 1) युक्ती : ऊर्जा = बल × लांबी.

नियम 2 : एकरूपतेचे तत्त्व — समीकरणातील प्रत्येक पदाची मिती सारखी असली पाहिजे. योग्य समीकरण असू शकते; चुकीचे समीकरण नक्की बाद.

सोपे : v = u + a t : [L T⁻¹] = [L T⁻¹] + [L T⁻²][T] ✓.
मध्यम : s = u t + a t : [L] आणि [L T⁻²][T] = [L T⁻¹] ✗ (चूक).
परीक्षेसाठी (CET) : कोणते समीकरण एकरूप? (1) v² = u² + 2as (2) v = u + a (3) s = u + at (4) v = at² → उत्तर 1)

नियम 3 : रूपांतर व सूत्र शोधणे — एका एकक पद्धतीतून दुसरीत : n₁ u₁ = n₂ u₂. 1 N = 10⁵ dyne; 1 J = 10⁷ erg. मर्यादा : अचल (2π) कळत नाही; sin, e^x वर चालत नाही; बेरीज असलेली सूत्रे अवघड.

सोपे : 5 N = 5 × 10⁵ dyne.
मध्यम : 20 J = 20 × 10⁷ erg = 2 × 10⁸ erg.
परीक्षेसाठी (CET) : 1 J = ? (1) 10⁷ erg (2) 10⁵ erg (3) 10³ erg (4) 10⁻⁷ erg → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : T = k √(l ÷ g) (मितीय पद्धतीने)

पायरी 1 : मानू T = k l^a g^b (k एककहीन).
पायरी 2 : मिती : [T] = [L]^a [L T⁻²]^b = L^(a+b) T^(−2b).
पायरी 3 : T : −2b = 1 ⇒ b = −1/2; L : a + b = 0 ⇒ a = 1/2.
पायरी 4 : T = k √(l ÷ g); k = 2π प्रयोगाने.

लक्षात ठेवा

[F] = M L T⁻²; [E] = M L² T⁻²; [P] = M L² T⁻³; एकरूपता तपासा.

सामान्य चूक / CET सापळा

मिती जुळली म्हणजे सूत्र 100% बरोबर नाही (2π, ½ कळत नाहीत); मिती न जुळली तर नक्की चूक.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "बल = MLT⁻²; ऊर्जा = बल × L".

फरक ओळखा

राशी	मितीय सूत्र	एकक
वेग	L T⁻¹	m s⁻¹
बल	M L T⁻²	N
ऊर्जा	M L² T⁻²	J
शक्ती	M L² T⁻³	W
दाब	M L⁻¹ T⁻²	Pa

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1बलाची मिती?
2एकरूपतेचे तत्त्व सांगा.
31 N = ? dyne

मध्यम

4शक्तीची मिती?
5F = m v²/r तपासा.
63 J = ? erg

आव्हानात्मक

7T = 2π√(m/k) मध्ये k ची मिती?
8आवेग व संवेगाची मिती तुलना.

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1M L T⁻²
2प्रत्येक पदाची मिती सारखी
310⁵ dyne
4M L² T⁻³
5[M][L²T⁻²]/[L] = [M L T⁻²] ✓
63 × 10⁷ erg
7k = m/T² : M T⁻²
8दोन्ही M L T⁻¹ – समान

अचूकता, नेमकेपणा आणि त्रुटी

रोजच्या जीवनातून

दोन मुले बाणाने लक्ष्य भेदतात : एकाचे बाण मध्यावर, दुसऱ्याचे सगळे एका बाजूला पण एकमेकांजवळ.

सोपी व्याख्या

त्रुटी (error) = मोजलेले मूल्य व खरे मूल्य यांतील फरक.

आकृतीत : हिरवा : अचूक व नेमके; नारिंगी : नेमके पण अचूक नाही.

नियम 1 : अचूकता व नेमकेपणा — अचूकता = खऱ्या मूल्याच्या जवळ; नेमकेपणा = वारंवार वाचनांमधील जवळीक. दोन्ही स्वतंत्र.

सोपे : सर्व वाचने 9.8 m/s² च्या आसपास (खरे 9.8) ⇒ अचूक.
मध्यम : वाचने 9.3 ते 9.31 पर्यंतच, खरे 9.8 ⇒ नेमके, अचूक नाही.
परीक्षेसाठी (CET) : नेमकेपणा म्हणजे? (1) वाचनांतील जवळीक (2) खऱ्या मूल्याजवळ (3) त्रुटी शून्य (4) मोठे LC → उत्तर 1)

नियम 2 : त्रुटींचे प्रकार — पद्धतशीर (systematic) : साधन/निरीक्षक/पद्धतीची दोष, एकाच दिशेने. यादृच्छिक (random) : अनियमित. स्थूल (gross) : निष्काळजीपणा, वाचन चुकणे.

सोपे : शून्य-त्रुटी असलेले साधन ⇒ पद्धतशीर.
मध्यम : वाऱ्यामुळे वाचन थोडे वर-खाली ⇒ यादृच्छिक.
परीक्षेसाठी (CET) : शून्य-त्रुटी कोणती? (1) पद्धतशीर (2) यादृच्छिक (3) स्थूल (4) दोन्ही → उत्तर 1)

नियम 3 : निरपेक्ष, सापेक्ष व टक्केवारी त्रुटी — Δa_i = |a_mean − a_i|; Δa_mean = (ΣΔa_i) ÷ n; सापेक्ष = Δa_mean ÷ a_mean; टक्केवारी = सापेक्ष × 100. निकाल : a = a_mean ± Δa_mean.

सोपे : T : 4.52, 4.48, 4.55, 4.50, 4.45 s ⇒ a_mean = 4.50 s.
मध्यम : Δa_i = 0.02, 0.02, 0.05, 0.00, 0.05 ⇒ Δa_mean = 0.028 ≈ 0.03 s; टक्केवारी = 0.62%.
परीक्षेसाठी (CET) : सापेक्ष त्रुटीचे एकक? (1) नाही (2) m (3) s (4) %-फक्त → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : सरासरी निरपेक्ष त्रुटी

पायरी 1 : n वाचने a₁, a₂, … aₙ ⇒ a_mean = Σa ÷ n.
पायरी 2 : प्रत्येकाची निरपेक्ष त्रुटी Δa_i = |a_mean − a_i|.
पायरी 3 : सरासरी Δa_mean = (Δa₁ + … + Δaₙ) ÷ n.
पायरी 4 : निकाल a = a_mean ± Δa_mean.

लक्षात ठेवा

Δa_i = |a_mean − a_i|; सापेक्ष = Δa_mean ÷ a_mean; टक्केवारी × 100.

सामान्य चूक / CET सापळा

अचूकता व नेमकेपणा वेगळे; सापेक्ष त्रुटीला एकक नसते; Δa नेहमी धन.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "अचूक = खरे; नेमके = सारखे".

फरक ओळखा

गुण	निरपेक्ष त्रुटी	सापेक्ष त्रुटी	टक्केवारी
सूत्र		a_m − a_i		Δa/a_m	Δa/a_m × 100
एकक	राशीचे	नाही	%

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1अचूकता म्हणजे?
2पद्धतशीर त्रुटीचे उदाहरण?
3सापेक्ष त्रुटी म्हणजे?

मध्यम

4वाचने 2.1, 2.3, 2.2 : सरासरी?
5सरासरी निरपेक्ष त्रुटी?
6a = 50, Δa = 0.5 : टक्केवारी?

आव्हानात्मक

7LC 0.1 cm, वाचन 4.6 cm : टक्केवारी त्रुटी?
8यादृच्छिक त्रुटी कशी कमी करतात?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1खऱ्या मूल्याजवळ असणे
2शून्य-त्रुटी
3Δa_mean ÷ a_mean
42.2
50.067 ≈ 0.07
61%
72.17%
8वाचनांची संख्या वाढवून सरासरी घेऊन

त्रुटींचे संयोजन

रोजच्या जीवनातून

दोन दुकानांच्या बिलांची बेरीज करताना दोन्हींचे थोडे थोडे चुकले तर एकूण बिलात ते साचते.

सोपी व्याख्या

संयोजन : दोन किंवा अधिक मोजलेल्या राशींपासून तिसरी राशी काढताना त्रुटी एकत्र करणे.

आकृतीत : निळा A ± ΔA, हिरवा B ± ΔB, जांभळा बेरीज.

नियम 1 : बेरीज व वजाबाकी — Z = A ± B ⇒ ΔZ = ΔA + ΔB (निरपेक्ष त्रुटी दोन्ही वेळी जोडतात).

सोपे : (12.5 ± 0.1) + (7.2 ± 0.1) = 19.7 ± 0.2.
मध्यम : (12.5 ± 0.1) − (7.2 ± 0.1) = 5.3 ± 0.2 (वजाबाकीतही जोडा).
परीक्षेसाठी (CET) : Z = A − B, ΔA = 0.2, ΔB = 0.1 ⇒ ΔZ? (1) 0.3 (2) 0.1 (3) 0.2 (4) 0.05 → उत्तर 1)

नियम 2 : गुणाकार व भागाकार — Z = A B किंवा A/B ⇒ ΔZ/Z = ΔA/A + ΔB/B (सापेक्ष त्रुटी जोडतात).

सोपे : V = 10 ± 0.2 V, I = 2 ± 0.1 A ⇒ R = V/I : ΔR/R = 0.02 + 0.05 = 0.07 ⇒ 7%.
मध्यम : R = 5 Ω ⇒ ΔR = 0.07 × 5 = 0.35 Ω.
परीक्षेसाठी (CET) : A/B मध्ये सापेक्ष त्रुटी? (1) बेरीज (2) वजाबाकी (3) गुणाकार (4) भागाकार → उत्तर 1)

नियम 3 : घात — Z = Aᵖ Bᵠ ÷ Cʳ ⇒ ΔZ/Z = p ΔA/A + q ΔB/B + r ΔC/C; मोठा घात असलेली राशी सर्वाधिक त्रुटी देते.

सोपे : g = 4π² l / T² : l ची त्रुटी 1%, T ची 2% ⇒ g ची = 1 + 2 × 2 = 5%.
मध्यम : घनाची बाजू 2% त्रुटी ⇒ घनफळ 3 × 2 = 6%.
परीक्षेसाठी (CET) : Z = A²B तर Z ची % त्रुटी? (1) 2a + b (2) a + b (3) a + 2b (4) 2ab → उत्तर 1) (a, b = A, B च्या %).

सूत्राची उपपत्ती : गुणाकारात सापेक्ष त्रुटी

पायरी 1 : Z = A B; Z ± ΔZ = (A ± ΔA)(B ± ΔB).
पायरी 2 : = A B ± A ΔB ± B ΔA ± ΔA ΔB; ΔA ΔB फार लहान ⇒ वगळा.
पायरी 3 : ± ΔZ = ± A ΔB ± B ΔA (कमाल).
पायरी 4 : A B ने भागा : ΔZ/Z = ΔA/A + ΔB/B.

लक्षात ठेवा

± : ΔA + ΔB; × ÷ : ΔA/A + ΔB/B; Aⁿ : n ΔA/A.

सामान्य चूक / CET सापळा

वजाबाकीतही त्रुटी जोडतात; घाताची त्रुटी घातांकाने गुणा; सापेक्ष त्रुटी % मध्ये जोडा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "जोड-तोड नाही; सर्व जोडा".

फरक ओळखा

क्रिया	सूत्र	काय जोडतात
A ± B	ΔA + ΔB	निरपेक्ष
A × B, A ÷ B	ΔA/A + ΔB/B	सापेक्ष
Aⁿ	n ΔA/A	सापेक्ष × n

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1बेरीजेतील त्रुटी?
2भागाकारातील त्रुटी?
3Z = A³ ची सापेक्ष त्रुटी?

मध्यम

4(8.0 ± 0.1) + (3.0 ± 0.2) : ?
5V = 5 ± 0.1, I = 2 ± 0.05 : R ची % त्रुटी?
6त्रिज्येत 1% त्रुटी : गोलाच्या घनफळात?

आव्हानात्मक

7m = 5 ± 0.15 kg, ρ = 5 ± 0.2 : V = m/ρ ची % त्रुटी?
8l = 100 ± 0.1 cm, T = 2 ± 0.01 s : g ची % त्रुटी?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1निरपेक्ष त्रुटी जोडतात
2सापेक्ष त्रुटी जोडतात
33 ΔA/A
411.0 ± 0.3
54.5%
63%
77%
81.1%

सार्थ अंक आणि परिमाणक्रम

रोजच्या जीवनातून

दुकानदार 'अंदाजे अडीच किलो' म्हणतो; विज्ञानात किती अंक भरवशाचे हे सांगावे लागते.

सोपी व्याख्या

सार्थ अंक (significant figures) = निश्चित अंक + पहिला शंकास्पद अंक.

आकृतीत : 2.6 निश्चित, 5 शंकास्पद = 3 सार्थ अंक.

नियम 1 : सार्थ अंकांचे नियम — 1) शून्येतर अंक सर्व सार्थ. 2) दोन शून्येतर अंकांमधील शून्य सार्थ. 3) दशांश चिन्हापुढील आधीची शून्ये (0.0014) सार्थ नाहीत. 4) दशांशासह शेवटची शून्ये (1.500) सार्थ. 5) 12500 मध्ये फक्त 3 (अस्पष्ट) ⇒ 1.25 × 10⁴ लिहा.

सोपे : 178.43 : 5; 165.02 : 5.
मध्यम : 0.001405 : 4; 1.500 : 4; 0.01500 : 4.
परीक्षेसाठी (CET) : 0.00250 मध्ये सार्थ अंक? (1) 3 (2) 5 (3) 2 (4) 6 → उत्तर 1) युक्ती : आधीची शून्ये बाद.

नियम 2 : पूर्णांकन व अंकगणित — पूर्णांकन : टाकायचा अंक > 5 ⇒ वर; < 5 ⇒ तसेच; = 5 ⇒ मागचा विषम तर वर, सम तर तसाच. बेरीज/वजाबाकी : कमीत कमी दशांश स्थाने. गुणाकार/भागाकार : कमीत कमी सार्थ अंक.

सोपे : 2.34 + 1.2 = 3.54 ⇒ 3.5.
मध्यम : 2.5 × 3.14 = 7.85 ⇒ 7.9 (2 सार्थ).
परीक्षेसाठी (CET) : 5.28 × 1.1 ⇒ उत्तर? (1) 5.8 (2) 5.81 (3) 5.808 (4) 6 → उत्तर 1)

नियम 3 : परिमाणक्रम — संख्या A × 10ⁿ मध्ये लिहा, 0.5 ≤ A < 5; n = परिमाणक्रम (पुस्तकानुसार).

सोपे : पृथ्वीची त्रिज्या 6400 km = 6.4 × 10⁶ m = 0.64 × 10⁷ m ⇒ क्रम 7.
मध्यम : e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C ⇒ क्रम −19.
परीक्षेसाठी (CET) : 3 × 10⁸ चा परिमाणक्रम? (1) 8 (2) 9 (3) 7 (4) 3 → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : बेरीजेत सार्थ अंकांचे नियम

पायरी 1 : 2.34 मध्ये शेवटचा 4 शंकास्पद (शतांश).
पायरी 2 : 1.2 मध्ये 2 शंकास्पद (दशांश).
पायरी 3 : उत्तरात दशांश स्थानानंतरचा अंक शंकास्पदामुळे निरर्थक.
पायरी 4 : 3.54 → 3.5 (कमी स्थाने).

लक्षात ठेवा

+/− : कमी दशांश; × ÷ : कमी सार्थ अंक; N = A × 10ⁿ (0.5 ≤ A < 5).

सामान्य चूक / CET सापळा

गुणाकारात दशांश स्थाने मोजू नका, सार्थ अंक मोजा; परिमाणक्रम बाबत पुस्तकाचा नियम वापरा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "+ − = दशांश; × ÷ = अंक".

फरक ओळखा

संख्या	सार्थ अंक	कारण
0.0052	2	आधीची शून्ये बाद
3.050	4	मधले व शेवटचे सार्थ
12500	3 (अस्पष्ट)	1.25 × 10⁴ लिहा
6400 km	2	0.64 × 10⁷ m

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

10.0450 मध्ये सार्थ अंक?
210.20 मध्ये सार्थ अंक?
3परिमाणक्रम म्हणजे?

मध्यम

412.3 + 0.456 : ?
54.5 × 2.34 : ?
62.65 → 2 सार्थ अंकांपर्यंत पूर्णांकन.

आव्हानात्मक

71.5 × 10⁻¹⁹ चा क्रम?
87.6 × 10⁴ चा क्रम?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

13
24
3A × 10ⁿ मधील n
412.8
511
62.6
7−19
85

संपूर्ण धड्याची झटपट उजळणी

संकल्पना	महत्त्वाचे सूत्र / तथ्य	एकक / मितीय सूत्र
प्रतल कोन	θ = s/r	rad
घनकोन	Ω = A/r²	sr
लंबन	D = b/θ	m
व्हर्निअर	LC = 1 MSD − 1 VSD	mm
स्क्रूगेज	LC = पिच/भाग	mm
मिती	बल MLT⁻²; ऊर्जा ML²T⁻²	—
टक्केवारी त्रुटी	Δa/a × 100	%
गुणाकार त्रुटी	ΔZ/Z = ΔA/A + ΔB/B	—
सार्थ अंक	+− : दशांश; ×÷ : अंक	—

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

7 मूलभूत एकके; π rad = 180°; 4π sr = गोल.
D = b/θ (θ rad मध्ये).
मिती : बल MLT⁻², ऊर्जा ML²T⁻², दाब ML⁻¹T⁻².
अचूकता ≠ नेमकेपणा; शून्य-त्रुटी पद्धतशीर.
बेरीज/वजाबाकी : Δ जोडा; गुणाकार : सापेक्ष जोडा.
घात : n ΔA/A.
परिमाणक्रम : A × 10ⁿ, 0.5 ≤ A < 5.

अभ्यासाचा मंत्र

एकक तपासा → मिती जुळवा → त्रुटी जोडा → सार्थ अंक ठेवा.