धडा १०: स्थिरविद्युतशास्त्र | राज्य मंडळ · इयत्ता 11 · भौतिकशास्त्र

विद्युत प्रभार व त्याचे गुणधर्म

रोजच्या जीवनातून

कोरड्या केसांवर फणी घासली की ती कागदाचे कपटे उचलते. आधीच्या वर्गाशी नाते : इयत्ता 9-10 मधील स्थिर विद्युत व प्रभार येथे कुलॉमचा नियम, विद्युतक्षेत्र व गॉसच्या नियमाने पुढे जातात.

सोपी व्याख्या

विद्युत प्रभार (electric charge) = पदार्थाचा गुणधर्म ज्यामुळे विद्युत बल जाणवते.

आकृतीत : तीन पद्धतींनी प्रभार.

नियम 1 : प्रभाराचे गुणधर्म — क्वांटायझेशन : q = n e (e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C); संरक्षण : एकूण प्रभार स्थिर; बेरीज : बीजगणिती.

सोपे : 1 μC = n × 1.6 × 10⁻¹⁹ ⇒ n = 6.25 × 10¹² इलेक्ट्रॉन.
मध्यम : 5 × 10¹² इलेक्ट्रॉन मिळाले ⇒ q = −0.8 μC.
परीक्षेसाठी (CET) : 3.2 × 10⁻¹⁹ C = ? e (1) 2e (2) 3e (3) 0.5e (4) 1e → उत्तर 1)

नियम 2 : पद्धती — घर्षण : दोन्ही वस्तूंवर समान व विरुद्ध; संपर्क : समान प्रभार; प्रेरण : स्पर्श न करता, विरुद्ध प्रभार.

सोपे : काचदांडा + रेशीम ⇒ काच +, रेशीम −.
मध्यम : ऋण दांडा जवळ आणून उदासीन गोल पृथ्वीला जोडला ⇒ गोल +.
परीक्षेसाठी (CET) : प्रेरणेने मिळणारा प्रभार? (1) विरुद्ध (2) समान (3) शून्य (4) दुप्पट → उत्तर 1)

नियम 3 : वाहक व विसंवाहक — वाहकात मुक्त इलेक्ट्रॉन; विसंवाहकात नाहीत. प्रभार वाहकाच्या पृष्ठभागावर राहतो.

सोपे : तांबे, मीठ पाणी = वाहक; रबर, काच = विसंवाहक.
मध्यम : पृथ्वीशी जोडल्यास प्रभार वाहून जातो.
परीक्षेसाठी (CET) : वाहकात प्रभार कुठे? (1) पृष्ठभागावर (2) आत (3) मध्यभागी (4) सर्वत्र → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : प्रेरणेने प्रभार देणे

पायरी 1 : ऋण दांडा उदासीन गोलाजवळ आणा : गोलात जवळ +, दूर −.
पायरी 2 : गोलाला पृथ्वीशी जोडा : − इलेक्ट्रॉन पृथ्वीत जातात.
पायरी 3 : पृथ्वी जोडणी काढा.
पायरी 4 : दांडा दूर करा ⇒ गोलावर + प्रभार पसरतो.

लक्षात ठेवा

q = n e; एकूण q संरक्षित; सजातीय दूर, विजातीय जवळ.

सामान्य चूक / CET सापळा

प्रभार अर्धा e नसतो; घर्षणात प्रभार निर्माण होत नाही, हलतो.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "क्यू = एन ई".

फरक ओळखा

पद्धत	स्पर्श	प्रभार
घर्षण	होतो	विरुद्ध
संपर्क	होतो	समान
प्रेरण	नाही	विरुद्ध

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1प्रभाराचे क्वांटायझेशन म्हणजे?
2e चे मूल्य?
3प्रेरणा म्हणजे?

मध्यम

42 μC मध्ये किती इलेक्ट्रॉन?
58 × 10⁻¹⁹ C = ? e
6+3 μC व −5 μC स्पर्श केल्यावर प्रत्येकावर?

आव्हानात्मक

7वस्तूला 10¹² इलेक्ट्रॉन मिळाल्यास वस्तुमान बदल?
8प्रभार संरक्षण समजावा.

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1q = n e (पूर्ण पट)
21.6 × 10⁻¹⁹ C
3स्पर्श न करता प्रभार निर्माण
41.25 × 10¹³
55e
6−1 μC प्रत्येक
79.1 × 10⁻¹⁹ kg वाढ
8एकूण q बदलत नाही

कुलॉमचा नियम

रोजच्या जीवनातून

दोन फुगे घासून जवळ आणले की ते एकमेकांना दूर ढकलतात.

सोपी व्याख्या

कुलॉमचा नियम (Coulomb's law) = दोन बिंदू प्रभारांमधील बल.

आकृतीत : F ∝ q₁q₂ व F ∝ 1/r².

नियम 1 : नियम — F = k q₁ q₂ ÷ r²; k = 1/(4π ε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻²; ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² C² N⁻¹ m⁻². सदिश रूपात F₁₂ = k q₁q₂ r̂ ÷ r².

सोपे : 1 μC व 1 μC, 1 m ⇒ F = 9 × 10⁻³ N.
मध्यम : 2 μC व 3 μC, 0.3 m ⇒ F = 0.60 N.
परीक्षेसाठी (CET) : r निम्मे ⇒ F? (1) चौपट (2) दुप्पट (3) निम्मे (4) ¼ → उत्तर 1) युक्ती : उलट वर्ग.

नियम 2 : माध्यमात — F_माध्यम = F_निर्वात ÷ K (K = परवानगी गुणोत्तर; पाणी ≈ 80). F = q₁ q₂ ÷ 4π ε r², ε = K ε₀.

सोपे : वरचे 0.6 N पाण्यात ⇒ 0.0075 N.
मध्यम : K = 4 ⇒ बल ¼.
परीक्षेसाठी (CET) : पाण्यात बल? (1) कमी (2) जास्त (3) समान (4) शून्य → उत्तर 1)

नियम 3 : गुरुत्व बलाशी तुलना — इलेक्ट्रॉन-प्रोटॉन : F_e / F_g ≈ 10³⁹. गुरुत्व वस्तुमानावर, विद्युत बल प्रभारावर; दोन्ही उलट-वर्ग.

सोपे : F_e ÷ F_g = 2.27 × 10³⁹ (r समान).
मध्यम : गुरुत्व केवळ आकर्षक; विद्युत दोन्ही.
परीक्षेसाठी (CET) : F_e ÷ F_g अंदाजे? (1) 10³⁹ (2) 10⁹ (3) 1 (4) 10⁻³⁹ → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : कुलॉमच्या नियमाचे सदिश रूप

पायरी 1 : q₂ वर q₁ चे बल r̂₂₁ दिशेत (q₁ पासून q₂ कडे).
पायरी 2 : परिमाण k |q₁ q₂| / r².
पायरी 3 : चिन्ह : q₁ q₂ > 0 ⇒ दूर, < 0 ⇒ जवळ.
पायरी 4 : F₂₁ = k q₁ q₂ r̂₂₁ ÷ r²; F₁₂ = −F₂₁.

लक्षात ठेवा

F = kq₁q₂/r²; माध्यमात F ÷ K.

सामान्य चूक / CET सापळा

चिन्ह (+/−) बलाची दिशा ठरवते, मूल्य नाही; r मीटरमध्ये.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "के क्यू-क्यू भागिले आर वर्ग".

फरक ओळखा

बल	अवलंबन	दिशा
विद्युत	q₁q₂/r²	आकर्षक/प्रतिकर्षक
गुरुत्व	m₁m₂/r²	आकर्षक

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1कुलॉमचा नियम सांगा.
2k चे मूल्य?
3दोन्ही प्रभार दुप्पट ⇒ F?

मध्यम

45 μC, 4 μC, 0.5 m : F?
5F = 8 N; r तिप्पट : F?
6K = 5 माध्यमात 20 N ⇒ निर्वात F?

आव्हानात्मक

71 C प्रभार 1 km वर : F?
8F_e/F_g का मोठे?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1F = kq₁q₂/r²
29 × 10⁹ N m² C⁻²
3चौपट
40.72 N
58/9 N
6100 N
79 × 10³ N
8m लहान, q च्या तुलनेत

बलांचे अध्यारोपण व समतोल

रोजच्या जीवनातून

तीन मुले एकाच चेंडूला वेगवेगळ्या दिशांनी ढकलतात — एकूण बल सर्वांची बेरीज.

सोपी व्याख्या

अध्यारोपण (superposition) : प्रत्येक प्रभार इतरांच्या अस्तित्वाशिवाय बल देतो; बले जोडा.

आकृतीत : हिरवा : परिणामी बल.

नियम 1 : अध्यारोपण — एकूण बल = सर्व जोड्यांच्या बलांची सदिश बेरीज : F = F₁ + F₂ + … .

सोपे : एका रेषेत : 2 μC (x = 0), −2 μC (x = 0.2), 1 μC (x = 0.1) ⇒ दोन्ही +x ⇒ 1.8 + 1.8 = 3.6 N.
मध्यम : समभुज त्रिकोण a = 0.1 m, q = 1 μC ⇒ F = √3 × 0.9 = 1.56 N.
परीक्षेसाठी (CET) : समान प्रभार, शिरोबिंदू (बाजू a) ⇒ प्रत्येकावर F? (1) √3kq²/a² (2) kq²/a² (3) 2kq²/a² (4) 0 → उत्तर 1)

नियम 2 : समतोल बिंदू — सजातीय q₁, q₂ : समतोल बिंदू मध्ये; x ÷ (d − x) = √(q₁ ÷ q₂) (q₁ पासून x).

सोपे : 4 μC व 1 μC, d = 0.3 m ⇒ x = 0.2 m (4 μC पासून).
मध्यम : 9 μC व 1 μC, d = 0.4 ⇒ x = 0.3 m.
परीक्षेसाठी (CET) : समान q, q ⇒ समतोल बिंदू? (1) मध्य (2) बाहेर (3) नाही (4) q वर → उत्तर 1)

नियम 3 : स्थिर समतोल — समतोलासाठी ΣF = 0. तीन समान q शिरोबिंदूंवर, केंद्रावर Q ⇒ Q = − q ÷ √3.

सोपे : q = 3 μC ⇒ Q = −1.73 μC.
मध्यम : हा समतोल अस्थिर (अर्नशॉ).
परीक्षेसाठी (CET) : केंद्रावरील Q? (1) −q/√3 (2) +q/√3 (3) −q (4) 0 → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : समतोल बिंदू

पायरी 1 : बिंदू x वर q₁ व (d − x) वर q₂ : q₀ वर बले समान.
पायरी 2 : k q₁ q₀ / x² = k q₂ q₀ / (d − x)².
पायरी 3 : q₁/x² = q₂/(d − x)².
पायरी 4 : x ÷ (d − x) = √(q₁ ÷ q₂).

लक्षात ठेवा

F = ΣFᵢ (सदिश); x/(d − x) = √(q₁/q₂).

सामान्य चूक / CET सापळा

कोनात बल बीजगणिताने जोडू नका; सजातीय असतील तरच बिंदू मध्ये.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "सदिश जोडा".

फरक ओळखा

स्थिती	बल
एका रेषेत	बीजगणिती बेरीज
कोनात	सदिश बेरीज
समतोल	ΣF = 0

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1अध्यारोपण तत्त्व?
2समतोल अट?
3समान प्रभारांचा समतोल बिंदू?

मध्यम

41 μC, a = 0.3 m समभुज : F?
516 μC व 4 μC, d = 0.6 : x?
6q = 6 μC : केंद्रावर Q?

आव्हानात्मक

7समतोल अस्थिर का?
8समभुज त्रिकोणाचा F सिद्ध करा.

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1F = ΣFᵢ (सदिश)
2ΣF = 0
3मध्यबिंदू
40.173 N
50.4 m
6−3.46 μC
7थोड्या विस्थापनानंतर परत येत नाही
8दोन F, 60° कोन : 2F cos30°

विद्युतक्षेत्र व बलरेषा

रोजच्या जीवनातून

चुंबकाभोवती लोखंडाचा कीस रेषा बनवतो; प्रभाराभोवतीही क्षेत्र असते.

सोपी व्याख्या

विद्युतक्षेत्र (electric field) = प्रति एकक धन प्रभार लागणारे बल.

आकृतीत : + मधून बाहेर, − मध्ये आत.

Live आकृती

विद्युतक्षेत्र व बलरेषा

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : विद्युतक्षेत्र — E = F ÷ q₀ (N/C = V/m); बिंदू प्रभार : E = k Q ÷ r²; + वरून बाहेर, − कडे आत. बल F = q E.

सोपे : Q = 2 μC, r = 0.3 ⇒ E = 2.0 × 10⁵ N/C.
मध्यम : 5 nC वर F = 5 × 10⁻⁹ × 2 × 10⁵ = 1 × 10⁻³ N.
परीक्षेसाठी (CET) : r दुप्पट ⇒ E? (1) ¼ (2) ½ (3) 2 (4) 4 → उत्तर 1)

नियम 2 : एकसमान क्षेत्र — समांतर पट्ट्यांमध्ये E = V ÷ d; इलेक्ट्रॉनचे त्वरण a = e E ÷ m.

सोपे : V = 500, d = 0.01 ⇒ E = 5 × 10⁴ V/m; a = 8.8 × 10¹⁵ m/s².
मध्यम : प्रोटॉनचे a इलेक्ट्रॉनच्या ≈ 1/1836.
परीक्षेसाठी (CET) : E चे एकक? (1) N/C (2) N (3) C (4) J → उत्तर 1)

नियम 3 : क्षेत्र रेषा — + पासून − कडे; कधी छेदत नाहीत; घनता ∝ E; रेषेची स्पर्शिका = E ची दिशा; बंद लूप नाहीत.

सोपे : रेषा दाट ⇒ E मोठा.
मध्यम : दोन रेषा छेदल्या तर एका बिंदूला दोन E — अशक्य.
परीक्षेसाठी (CET) : रेषा? (1) + ते − (2) − ते + (3) बंद लूप (4) छेदणाऱ्या → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : E = kQ/r²

पायरी 1 : चाचणी प्रभार q₀ ठेवा : कुलॉम F = k Q q₀ / r².
पायरी 2 : E = F / q₀.
पायरी 3 : q₀ रद्द होतो.
पायरी 4 : E = k Q ÷ r² (r̂ दिशेत).

लक्षात ठेवा

E = F/q; E = kQ/r²; F = qE; E = V/d.

सामान्य चूक / CET सापळा

E सदिश आहे; − प्रभारावर बल E च्या विरुद्ध.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "E = बल प्रति प्रभार".

फरक ओळखा

क्षेत्र	E
बिंदू प्रभार	kQ/r²
पट्ट्या	V/d
पत्रा	σ/2ε₀

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1E ची व्याख्या?
2क्षेत्र रेषांचे गुणधर्म?
3F = ?

मध्यम

4Q = 5 μC, r = 0.5 : E?
5E = 3 × 10⁴ : 2 μC वर F?
6V = 200, d = 0.004 : E?

आव्हानात्मक

7E = kQ/r² सिद्ध करा.
8इलेक्ट्रॉन 2 × 10⁴ V/m मध्ये : a?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1E = F/q₀
2+ ते −, छेदत नाहीत
3qE
41.8 × 10⁵ N/C
50.06 N
65 × 10⁴ V/m
7चाचणी प्रभार वापरा
83.5 × 10¹⁵ m/s²

विद्युत अभिवाह व गॉसचा नियम

रोजच्या जीवनातून

पाऊस छत्रीतून किती गेला हे छत्रीच्या दिशेवर ठरते — तसाच अभिवाह.

सोपी व्याख्या

विद्युत अभिवाह (flux) = पृष्ठातून जाणाऱ्या क्षेत्र रेषांचे मोजमाप.

आकृतीत : पृष्ठातून बाहेर जाणारा Φ = q/ε₀.

नियम 1 : अभिवाह — Φ = E A cosθ (N m² C⁻¹); बंद पृष्ठ : Φ = ∮ E·dA. बाहेर जाणारा +.

सोपे : E = 100 N/C, A = 0.5 m², लंब ⇒ Φ = 50 N m²/C.
मध्यम : θ = 60° ⇒ Φ = 25.
परीक्षेसाठी (CET) : समांतर पृष्ठ ⇒ Φ? (1) 0 (2) EA (3) −EA (4) अनंत → उत्तर 1)

नियम 2 : गॉसचा नियम — Φ = ∮ E·dA = q_आत ÷ ε₀; फक्त पृष्ठाच्या आतला प्रभार. घन : प्रभार केंद्रावर ⇒ प्रत्येक पृष्ठ q/(6ε₀).

सोपे : q = 1 μC ⇒ Φ = 1.13 × 10⁵ N m²/C.
मध्यम : घनाचे एक पृष्ठ ⇒ 1.88 × 10⁴.
परीक्षेसाठी (CET) : पृष्ठाबाहेरील प्रभार Φ मध्ये? (1) नाही (2) हो (3) निम्मा (4) दुप्पट → उत्तर 1)

नियम 3 : सममिती उपयोग — गोल/शेल : E = kQ/r² (बाहेर), 0 (आत). रेषा : E = λ/(2π ε₀ r). पत्रा : E = σ/(2ε₀). वाहक पृष्ठ : σ/ε₀.

सोपे : λ = 1 μC/m, r = 0.5 m ⇒ E = 3.60 × 10⁴ N/C.
मध्यम : σ = 1 μC/m² ⇒ E = 5.65 × 10⁴ N/C.
परीक्षेसाठी (CET) : पोकळ शेलमध्ये E? (1) 0 (2) kQ/r² (3) σ/ε₀ (4) अनंत → उत्तर 1) युक्ती : आत शून्य.

सूत्राची उपपत्ती : अनंत रेषेचा E

पायरी 1 : गॉस पृष्ठ : त्रिज्या r, लांबी l चा दंडगोल.
पायरी 2 : E वक्र पृष्ठाला लंब, समान; Φ = E (2π r l).
पायरी 3 : आतील प्रभार q = λ l.
पायरी 4 : E 2π r l = λ l / ε₀ ⇒ E = λ ÷ (2π ε₀ r).

लक्षात ठेवा

Φ = EA cosθ; Φ = q/ε₀; E = λ/2πε₀r; σ/2ε₀.

सामान्य चूक / CET सापळा

गॉस पृष्ठातील फक्त आतला प्रभार; E मात्र सर्व प्रभारांचा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "फ्लक्स = आतला प्रभार ÷ ε₀".

फरक ओळखा

वितरण	E (बाहेर)	आत
गोल शेल	kQ/r²	0
रेषा	λ/2πε₀r	—
पत्रा	σ/2ε₀	—

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1गॉसचा नियम?
2Φ चे सूत्र?
3Φ चे एकक?

मध्यम

4q = 5 μC : Φ?
5σ = 2 μC/m² : E?
6λ = 2 μC/m, r = 1 m : E?

आव्हानात्मक

7गोलाचा E गॉसने सिद्ध करा.
8वाहक पृष्ठाजवळ E = σ/ε₀ का?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1Φ = q_आत/ε₀
2E A cosθ
3N m² C⁻¹
45.65 × 10⁵
51.13 × 10⁵ N/C
63.60 × 10⁴ N/C
7गोल पृष्ठ : E 4πr² = Q/ε₀
8आत E = 0; एक बाजूला फक्त बाहेर E

विद्युत द्विध्रुव

रोजच्या जीवनातून

पाण्याचा रेणू एका बाजूला थोडा +, दुसरीकडे थोडा − असतो.

सोपी व्याख्या

द्विध्रुव (dipole) = समान व विरुद्ध दोन प्रभार, लहान अंतरावर.

आकृतीत : p ची दिशा − कडून + कडे.

नियम 1 : द्विध्रुव आघूर्ण — p = q (2a) (C m); − कडून + कडे. दोन्ही प्रभार समान व विरुद्ध; एकूण q = 0.

सोपे : q = 1 nC, 2a = 2 cm ⇒ p = 2.0 × 10⁻¹¹ C m.
मध्यम : H₂O चा p ≈ 6.2 × 10⁻³⁰ C m.
परीक्षेसाठी (CET) : p चे एकक? (1) C m (2) C (3) N (4) V → उत्तर 1)

नियम 2 : द्विध्रुवाचे क्षेत्र — r ≫ a : अक्षीय E = 2 k p ÷ r³; विषुववृत्तीय E = k p ÷ r³ (p च्या विरुद्ध). E ∝ 1/r³.

सोपे : p = 2 × 10⁻¹¹, r = 0.5 ⇒ अक्षीय 2.88 N/C; विषुव. 1.44.
मध्यम : अक्षीय : विषुव. = 2 : 1.
परीक्षेसाठी (CET) : r दुप्पट ⇒ E? (1) 1/8 (2) ¼ (3) ½ (4) 8 → उत्तर 1)

नियम 3 : एकसमान क्षेत्रात — बल 0; τ = p E sinθ; U = − p E cosθ. θ = 0 स्थिर, 180° अस्थिर समतोल.

सोपे : p = 4 × 10⁻⁹, E = 10⁴, θ = 30° ⇒ τ = 2 × 10⁻⁵ N m.
मध्यम : 0° → 90° फिरवायला W = pE = 4 × 10⁻⁵ J.
परीक्षेसाठी (CET) : θ = 0 ⇒ τ? (1) 0 (2) pE (3) कमाल (4) अनंत → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : अक्षीय क्षेत्र

पायरी 1 : अक्षावर r वर : E = kq [1/(r − a)² − 1/(r + a)²].
पायरी 2 : = kq × 4 a r ÷ (r² − a²)².
पायरी 3 : r ≫ a ⇒ (r² − a²)² ≈ r⁴.
पायरी 4 : E = 4kqa/r³ = 2 k p ÷ r³ (p = 2qa).

लक्षात ठेवा

p = 2qa; अक्षीय 2kp/r³; τ = pE sinθ.

सामान्य चूक / CET सापळा

विषुववृत्तीय E उलट दिशेत; एकसमान क्षेत्रात बल 0 पण τ ≠ 0.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "अक्षीय = दुप्पट".

फरक ओळखा

स्थिती	E	दिशा
अक्षीय	2kp/r³	p सोबत
विषुववृत्तीय	kp/r³	p च्या विरुद्ध

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1p चे सूत्र?
2τ चे सूत्र?
3द्विध्रुवावर एकूण q?

मध्यम

4q = 2 nC, 2a = 1 cm : p?
5p = 10⁻¹⁰, r = 1 m : अक्षीय E?
6p = 3 × 10⁻⁹, E = 2 × 10⁴, 90° : τ?

आव्हानात्मक

7अक्षीय सूत्राची उपपत्ती.
8U कमाल/किमान कधी?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1q × 2a
2pE sinθ
30
42 × 10⁻¹¹ C m
51.8 N/C
66 × 10⁻⁵ N m
7दोन प्रभारांचा फरक, r ≫ a
8180° कमाल (+pE); 0° किमान (−pE)

सलग प्रभार वितरण

रोजच्या जीवनातून

काचेच्या तबकडीवर पसरलेला प्रभार अगणित बिंदू-प्रभारांसारखा मानता येतो.

सोपी व्याख्या

सलग वितरण : प्रभार λ, σ, ρ घनतेने; E = ∫ k dq r̂ / r².

आकृतीत : वलयाच्या अक्षावर E.

नियम 1 : घनता — dq = λ dl (रेषा), σ dA (पृष्ठ), ρ dV (घन). ΔE = ∫ k dq / r² (सदिश).

सोपे : रॉड 0.5 m, λ = 2 μC/m ⇒ Q = 1 μC.
मध्यम : तबकडी r = 0.1, σ = 5 μC/m² ⇒ Q = π r² σ = 0.157 μC.
परीक्षेसाठी (CET) : λ चे एकक? (1) C/m (2) C (3) C/m² (4) C/m³ → उत्तर 1)

नियम 2 : वलयाचा अक्ष — E = k Q x ÷ (x² + R²)^{3/2}; x = 0 वर 0; x ≫ R : kQ/x²; कमाल x = R/√2.

सोपे : Q = 3 μC, R = x = 0.1 ⇒ E = 9.55 × 10⁵ N/C.
मध्यम : कमाल : x = R/√2 = 0.071 m.
परीक्षेसाठी (CET) : वलयाच्या केंद्रावर E? (1) 0 (2) kQ/R² (3) अनंत (4) कमाल → उत्तर 1)

नियम 3 : तबकडी व पत्रा — E = (σ ÷ 2ε₀)[1 − x ÷ √(x² + R²)]; R → ∞ : σ/2ε₀ (अनंत पत्रा).

सोपे : σ = 1 μC/m², x = R ⇒ E = 1.65 × 10⁴ N/C.
मध्यम : x ≪ R ⇒ E ≈ σ/2ε₀.
परीक्षेसाठी (CET) : R → ∞ ⇒ E? (1) σ/2ε₀ (2) 0 (3) σ/ε₀ (4) अनंत → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : वलयाच्या अक्षावर E

पायरी 1 : लहान dq : dE = k dq / (x² + R²); घटक : अक्षीय व लंब.
पायरी 2 : लंब घटक विरुद्ध टोकांवर रद्द.
पायरी 3 : अक्षीय : dE cosθ, cosθ = x/√(x² + R²).
पायरी 4 : ∫dq = Q ⇒ E = kQx ÷ (x² + R²)^{3/2}.

लक्षात ठेवा

E_वलय = kQx/(x² + R²)^{3/2}; E_पत्रा = σ/2ε₀.

सामान्य चूक / CET सापळा

लंब घटक रद्द होतात; x = 0 ला E = 0.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "वलय : x वर, केंद्रावर शून्य".

फरक ओळखा

वितरण	अक्षावर E	मर्यादा
वलय	kQx/(x²+R²)^{3/2}	x ≫ R : kQ/x²
तबकडी	(σ/2ε₀)(1−x/√..)	R → ∞ : σ/2ε₀
अनंत पत्रा	σ/2ε₀	स्थिर

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1dq चे प्रकार?
2वलय केंद्रावर E?
3अनंत पत्र्याचा E?

मध्यम

4Q = 2 μC, R = 0.2, x = 0.2 : E?
5R = 0.3 : कमाल E कुठे?
6σ = 4 μC/m² : पत्र्याचा E?

आव्हानात्मक

7कमाल E चे x सिद्ध करा.
8तबकडीचा E x ≫ R ला?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1λ dl, σ dA, ρ dV
20
3σ/2ε₀
41.59 × 10⁵ N/C
50.212 m
62.26 × 10⁵ N/C
7dE/dx = 0 ⇒ x = R/√2
8kQ/x² (बिंदू प्रभारासारखे)

संपूर्ण धड्याची झटपट उजळणी

संकल्पना	महत्त्वाचे सूत्र / तथ्य	एकक / मितीय सूत्र
प्रभार	q = n e	C; A T
कुलॉम	F = k q₁q₂/r²	N; M L T⁻²
क्षेत्र	E = F/q = kQ/r²	N/C; M L T⁻³ A⁻¹
अभिवाह	Φ = EA cosθ	N m²/C
गॉस	Φ = q/ε₀	N m²/C
रेषा	E = λ/(2πε₀r)	N/C
द्विध्रुव	p = 2qa; τ = pE sinθ	C m; N m
वलय	kQx/(x²+R²)^{3/2}	N/C

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

q = n e; एकूण q संरक्षित.
F = kq₁q₂/r²; माध्यमात ÷ K.
बले सदिशाने जोडा; समतोल ΣF = 0.
E = F/q; रेषा + ते −, छेदत नाहीत.
Φ = q_आत/ε₀; शेलच्या आत E = 0.
अक्षीय E = 2kp/r³, विषुव. kp/r³.
वलय : E = kQx/(x² + R²)^{3/2}.

अभ्यासाचा मंत्र

q → F → E → Φ → द्विध्रुव → सलग वितरण.