धडा ११: चालकांमधून विद्युतप्रवाह | राज्य मंडळ · इयत्ता 11 · भौतिकशास्त्र

विद्युतप्रवाह व अपवाह वेग

रोजच्या जीवनातून

नळातून पाणी वाहते; वायरमध्ये इलेक्ट्रॉन वाहतात. आधीच्या वर्गाशी नाते : इयत्ता 9-10 मधील विद्युतप्रवाह, ओहमचा नियम व रोध येथे अपवाह वेग व विशिष्ट रोधासह पुढे जातात.

सोपी व्याख्या

विद्युतप्रवाह (current) = प्रति सेकंद पार जाणारा प्रभार.

आकृतीत : E मुळे इलेक्ट्रॉन हळू विरुद्ध दिशेत सरकतात.

नियम 1 : विद्युतप्रवाह — I = Q ÷ t (A = C/s); दिशा : धन प्रभाराची (पारंपरिक). 1 A = 6.25 × 10¹⁸ इलेक्ट्रॉन/s.

सोपे : Q = 120 C, t = 1 min ⇒ I = 2 A.
मध्यम : I = 0.5 A, t = 10 s ⇒ Q = 5 C ⇒ n = 3.12 × 10¹⁹ इलेक्ट्रॉन.
परीक्षेसाठी (CET) : प्रवाहाची दिशा? (1) + कडून − कडे (2) इलेक्ट्रॉनांची दिशा (3) दोन्ही (4) नाही → उत्तर 1)

नियम 2 : अपवाह वेग — I = n e A v_d; तांब्यात n = 8.5 × 10²⁸ m⁻³. v_d अतिशय लहान (≈ 10⁻⁴ m/s).

सोपे : I = 1 A, A = 1 mm² ⇒ v_d = 7.4 × 10⁻⁵ m/s.
मध्यम : A दुप्पट ⇒ v_d निम्मा.
परीक्षेसाठी (CET) : स्विच दाबताच दिवा लगेच लागतो कारण? (1) E क्षेत्र प्रकाश-वेगाने पसरते (2) v_d मोठा (3) उष्णता (4) चुंबक → उत्तर 1)

नियम 3 : गतिशीलता — v_d = e E τ ÷ m; गतिशीलता μ = v_d ÷ E = e τ ÷ m (m² V⁻¹ s⁻¹).

सोपे : E = 1 V/m, τ = 2.5 × 10⁻¹⁴ s ⇒ v_d = 4.4 × 10⁻³ m/s.
मध्यम : μ = 4.4 × 10⁻³ m²/Vs.
परीक्षेसाठी (CET) : τ दुप्पट ⇒ μ? (1) दुप्पट (2) निम्मे (3) समान (4) ¼ → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : I = n e A v_d

पायरी 1 : लांबी v_d t च्या भागात n A v_d t इलेक्ट्रॉन.
पायरी 2 : वेळ t मध्ये पार जाणारा प्रभार Q = n e A v_d t.
पायरी 3 : I = Q / t.
पायरी 4 : I = n e A v_d.

लक्षात ठेवा

I = Q/t; I = neAv_d; v_d = eEτ/m.

सामान्य चूक / CET सापळा

v_d लहान, क्षेत्र प्रसार वेगवान; इलेक्ट्रॉन दिशा = प्रवाहाच्या उलट.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "आय = एन ई ए वी".

फरक ओळखा

वेग	मूल्य	अर्थ
अपवाह	≈ 10⁻⁴ m/s	सरासरी
औष्णिक	≈ 10⁵ m/s	अनियमित
क्षेत्र प्रसार	3 × 10⁸ m/s	दिवा लगेच

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1I ची व्याख्या?
2अपवाह वेग म्हणजे?
3μ चे एकक?

मध्यम

4Q = 300 C, t = 2 min : I?
5I = 2 A, A = 2 mm², n = 8.5 × 10²⁸ : v_d?
6τ = 10⁻¹⁴, e/m = 1.76 × 10¹¹ : μ?

आव्हानात्मक

7I = nAev_d सिद्ध करा.
8v_d लहान तरी दिवा लगेच का?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1Q/t
2क्षेत्रामुळे इलेक्ट्रॉनांचा सरासरी वेग
3m² V⁻¹ s⁻¹
42.5 A
57.4 × 10⁻⁵ m/s
61.76 × 10⁻³ m²/Vs
7Q = nAv_d t e
8E क्षेत्र प्रकाशवेगाने पसरते

ओहमचा नियम व रोध

रोजच्या जीवनातून

पातळ नळीतून पाणी कमी वाहते; पातळ तारेतून प्रवाह कमी.

सोपी व्याख्या

रोध (resistance) = प्रवाहाला विरोध; R = V/I.

आकृतीत : सरळ आलेख = ओहमीय.

नियम 1 : ओहमचा नियम — स्थिर तापमानाला V = I R; R = स्थिर (ओहमीय). एकक Ω = V/A; मिती [M L² T⁻³ A⁻²].

सोपे : V = 12 V, I = 3 A ⇒ R = 4 Ω.
मध्यम : R = 20 Ω, I = 0.5 A ⇒ V = 10 V.
परीक्षेसाठी (CET) : V–I आलेख सरळ रेषा ⇒ ? (1) ओहमीय (2) अ-ओहमीय (3) अर्धवाहक (4) दिवा → उत्तर 1)

नियम 2 : रोध व आकार — R = ρ L ÷ A. L दुप्पट ⇒ R दुप्पट; A दुप्पट ⇒ R निम्मा; त्रिज्या दुप्पट ⇒ R ¼.

सोपे : R = 10 Ω ची तार तिप्पट ताणली (आकारमान समान) ⇒ R × 9 = 90 Ω.
मध्यम : तांबे ρ = 1.7 × 10⁻⁸, L = 10 m, A = 1 mm² ⇒ R = 0.17 Ω.
परीक्षेसाठी (CET) : तार n पट ताणली ⇒ R? (1) n² पट (2) n पट (3) 1/n (4) समान → उत्तर 1) युक्ती : L × n, A ÷ n ⇒ n².

नियम 3 : सूक्ष्म रूप — J = σ E (J = I/A, σ = 1/ρ). ρ = m ÷ (n e² τ).

सोपे : J = 2 × 10⁶ A/m², σ = 5.9 × 10⁷ ⇒ E = 0.034 V/m.
मध्यम : 1 mm² तारेत I = 3 A ⇒ J = 3 × 10⁶ A/m².
परीक्षेसाठी (CET) : J चे एकक? (1) A/m² (2) A (3) V/m (4) Ω → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : ρ = m ÷ (n e² τ)

पायरी 1 : v_d = e E τ / m.
पायरी 2 : J = n e v_d = n e² τ E / m.
पायरी 3 : J = σ E ⇒ σ = n e² τ / m.
पायरी 4 : ρ = 1/σ = m ÷ (n e² τ).

लक्षात ठेवा

V = IR; R = ρL/A; J = σE.

सामान्य चूक / CET सापळा

ताणण्यात आकारमान समान : R ∝ L²; ओहम सर्वत्र लागू नाही.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "व्ही = आय आर".

फरक ओळखा

आलेख	ढाल	उदा.
सरळ	स्थिर R	तांबे तार
वक्र	बदलता R	दिवा, डायोड

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1ओहमचा नियम?
2Ω चे सूत्र?
3J म्हणजे?

मध्यम

4V = 24, I = 6 : R?
5L = 5 m, A = 0.5 mm², ρ = 1.7 × 10⁻⁸ : R?
6तारेची त्रिज्या दुप्पट केली : R?

आव्हानात्मक

7तार 2 पट ताणली : R?
8ρ सिद्ध करा.

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1V ∝ I (स्थिर तापमान)
2V/A
3I/A
44 Ω
50.17 Ω
6R/4
74R
8σ = ne²τ/m वरून

विशिष्ट रोध व त्याचे तापमानावरील अवलंबन

रोजच्या जीवनातून

बल्ब चालू केल्यावर तो थंड असताना जास्त प्रवाह घेतो; गरम झाल्यावर कमी.

सोपी व्याख्या

विशिष्ट रोध (resistivity) ρ = पदार्थाचा रोध (1 m लांब, 1 m² आडछेदाच्या).

आकृतीत : धातू वर, अर्धवाहक खाली.

नियम 1 : तापमान गुणांक — R_t = R₀ (1 + α ΔT); α = (R_t − R₀) ÷ (R₀ ΔT) (K⁻¹). धातू : α + (≈ 4 × 10⁻³).

सोपे : R₀ = 100 Ω, α = 4 × 10⁻³, ΔT = 50 ⇒ R = 120 Ω.
मध्यम : R₁ (20 °C) = 10 Ω ⇒ R₂ (100 °C) = 10 × (1 + 0.004 × 100)/(1 + 0.004 × 20) = 12.96 Ω.
परीक्षेसाठी (CET) : तापमान वाढल्यास धातूचा R? (1) वाढतो (2) घटतो (3) समान (4) शून्य → उत्तर 1)

नियम 2 : पदार्थानुसार — धातू : T ↑ ⇒ τ ↓ ⇒ ρ ↑. अर्धवाहक : T ↑ ⇒ n ↑ ⇒ ρ ↓ (α −). मिश्रधातू (मँगॅनिन, नायक्रोम) : α अत्यल्प, ρ मोठा.

सोपे : थर्मिस्टर (अर्धवाहक) तापमान मापतो.
मध्यम : मँगॅनिन रोधक मानक रोधासाठी.
परीक्षेसाठी (CET) : हीटरची तार? (1) नायक्रोम (2) तांबे (3) चांदी (4) अॅल्युमिनियम → उत्तर 1)

नियम 3 : विशिष्ट रोध मूल्ये — तांबे 1.7 × 10⁻⁸, नायक्रोम 1.1 × 10⁻⁶ Ω m; विसंवाहक ≈ 10¹⁰–10¹⁴.

सोपे : नायक्रोम L = 2 m, A = 0.2 mm² ⇒ R = 11 Ω.
मध्यम : ρ चे एकक Ω m.
परीक्षेसाठी (CET) : ρ चे एकक? (1) Ω m (2) Ω (3) Ω/m (4) S → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : R_t = R₀ (1 + α ΔT)

पायरी 1 : प्रयोग : R बदल ∝ R₀ व ΔT.
पायरी 2 : R_t − R₀ = α R₀ ΔT.
पायरी 3 : R_t = R₀ + α R₀ ΔT.
पायरी 4 : R_t = R₀ (1 + α ΔT).

लक्षात ठेवा

R_t = R₀(1 + αΔT); ρ = m/(ne²τ).

सामान्य चूक / CET सापळा

ρ आकारावर नाही, पदार्थावर; α अर्धवाहकात ऋण.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "धातू गरम = रोध जास्त".

फरक ओळखा

पदार्थ	α	R तापमानाने
धातू	+	वाढतो
अर्धवाहक	−	घटतो
मिश्रधातू	≈ 0	जवळजवळ स्थिर

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1α ची व्याख्या?
2अर्धवाहकाचा α?
3हीटर तार?

मध्यम

4R₀ = 50, α = 5 × 10⁻³, ΔT = 80 : R?
5R = 8 → 10.4, ΔT = 100 : α?
6नायक्रोम L = 1, A = 0.1 mm² : R?

आव्हानात्मक

7अर्धवाहकात ρ का घटतो?
8तारांचे R 0 °C व 100 °C : 10, 14 : α?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1(R_t − R₀)/(R₀ΔT)
2ऋण
3नायक्रोम
470 Ω
53 × 10⁻³ K⁻¹
611 Ω
7वाहक n वाढतो
84×10⁻³ K⁻¹

विद्युत ऊर्जा, शक्ती व उष्णता परिणाम

रोजच्या जीवनातून

इस्त्री व हीटर गरम होतात — तारेतील I² R उष्णतेमुळे.

सोपी व्याख्या

शक्ती (power) = प्रति सेकंद वापरलेली विद्युत ऊर्जा.

आकृतीत : P = VI = I²R = V²/R.

नियम 1 : शक्ती — P = V I = I² R = V² ÷ R (W); ऊर्जा W = P t; 1 kWh = 3.6 × 10⁶ J.

सोपे : 100 W दिवा 5 तास ⇒ 0.5 kWh.
मध्यम : 2 kW हीटर, 220 V ⇒ I = 9.09 A, R = 24.2 Ω.
परीक्षेसाठी (CET) : 220 V/100 W दिवा 110 V वर ⇒ P? (1) 25 W (2) 50 W (3) 100 W (4) 200 W → उत्तर 1) युक्ती : P ∝ V².

नियम 2 : जूलचा नियम — H = I² R t (J); I दुप्पट ⇒ H चौपट. H = I² R t ÷ 4.2 cal.

सोपे : I = 2 A, R = 5 Ω, t = 10 s ⇒ H = 200 J.
मध्यम : 1 kW हीटर 2 kg पाणी 30 K ⇒ t = 252 s.
परीक्षेसाठी (CET) : H ∝ ? (1) I² (2) I (3) 1/I (4) √I → उत्तर 1)

नियम 3 : उपकरणे — फ्यूज : कमी वितळबिंदू (जास्त I ने वितळतो). तार जाड ⇒ R कमी ⇒ H कमी. वीज बिल = kWh.

सोपे : 1.5 kW गीझर, 2 तास ⇒ 3 kWh.
मध्यम : 5 A फ्यूज : 1100 W उपकरण 220 V वर ⇒ I = 5 A.
परीक्षेसाठी (CET) : फ्यूजची तार? (1) कमी वितळबिंदू (2) जास्त (3) जाड (4) चुंबकीय → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : P = V I = I² R

पायरी 1 : प्रभार q ला V पार केल्यावर कार्य W = q V.
पायरी 2 : शक्ती P = W/t = V (q/t).
पायरी 3 : q/t = I ⇒ P = V I.
पायरी 4 : V = I R ⇒ P = I² R = V²/R.

लक्षात ठेवा

P = VI = I²R = V²/R; H = I²Rt; 1 kWh = 3.6 × 10⁶ J.

सामान्य चूक / CET सापळा

समांतरात V²/R, श्रेणीत I²R वापरा; kWh = ऊर्जा, शक्ती नाही.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "श्रेणी = आय-स्क्वेअर आर".

फरक ओळखा

सूत्र	केव्हा	उदा.
I² R	श्रेणीत (समान I)	जास्त R ⇒ जास्त P
V²/R	समांतरात (समान V)	कमी R ⇒ जास्त P
V I	सामान्य	—

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1P ची सूत्रे?
21 kWh = ? J
3जूलचा नियम?

मध्यम

460 W, 220 V दिव्याचा R?
5I = 3 A, R = 10, t = 1 min : H?
62 kW, 3 h : युनिट?

आव्हानात्मक

7220 V/100 W दिवा 110 V वर : P?
8फ्यूज का वापरतात?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1VI, I²R, V²/R
23.6 × 10⁶
3H = I²Rt
4807 Ω
55400 J
66 kWh
725 W
8जास्त I वर वितळून सर्किट तोडतो

रोधकांची मालिका व समांतर जोडणी

रोजच्या जीवनातून

घरातले दिवे समांतर असतात — एक उडाला तरी बाकीचे चालतात.

सोपी व्याख्या

मालिका = एकामागून एक; समांतर = सर्वांना समान V.

आकृतीत : वरती श्रेणी, खाली समांतर.

नियम 1 : श्रेणी — R = R₁ + R₂ + …; I समान, V विभागतो (V ∝ R); R सर्वांत मोठ्यापेक्षा मोठा.

सोपे : 2, 3, 5 Ω श्रेणीत ⇒ 10 Ω.
मध्यम : V = 12, R = 2 + 4 ⇒ I = 2 A; V = 4 V व 8 V.
परीक्षेसाठी (CET) : श्रेणीत समान काय? (1) I (2) V (3) R (4) P → उत्तर 1)

नियम 2 : समांतर — 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …; V समान, I विभागतो (I ∝ 1/R); R सर्वांत लहानापेक्षा लहान.

सोपे : 6 व 3 Ω ⇒ R = 2 Ω; V = 12 ⇒ I = 2 A व 4 A.
मध्यम : 4 Ω × 3 समांतर ⇒ 1.33 Ω.
परीक्षेसाठी (CET) : समान n रोधक R समांतर ⇒ ? (1) R/n (2) nR (3) R (4) n/R → उत्तर 1) युक्ती : 2 समान ⇒ निम्मा.

नियम 3 : शक्ती वितरण — श्रेणीत P ∝ R (I² R); समांतरात P ∝ 1/R (V²/R). मालिका दिवे : मोठा R जास्त चमकतो.

सोपे : 3 Ω व 6 Ω श्रेणी, 9 V ⇒ I = 1 A; P = 3 W व 6 W.
मध्यम : समांतर, 9 V ⇒ P = 27 W व 13.5 W.
परीक्षेसाठी (CET) : समांतरात जास्त P? (1) लहान R (2) मोठा R (3) समान (4) शून्य → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : समांतर रोधक

पायरी 1 : दोन्हीवर V समान; I = I₁ + I₂.
पायरी 2 : V/R = V/R₁ + V/R₂.
पायरी 3 : V ने भागा.
पायरी 4 : 1/R = 1/R₁ + 1/R₂.

लक्षात ठेवा

श्रेणी R = ΣR; समांतर 1/R = Σ1/R.

सामान्य चूक / CET सापळा

समांतरात R लहान होतो; दोन समान ⇒ निम्मा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "श्रेणी जमा, समांतर उलट जमा".

फरक ओळखा

जोडणी	R	समान	विभागते
श्रेणी	ΣR	I	V
समांतर	1/R = Σ1/R	V	I

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1श्रेणीचा R?
2समांतरचा R?
3घरात जोडणी कोणती?

मध्यम

45 व 20 Ω समांतर : R?
512 Ω × 3 श्रेणी : R?
610 V, 4 व 6 Ω श्रेणी : I?

आव्हानात्मक

710 Ω तार 5 तुकडे करून समांतर : R?
8श्रेणी दिव्यांपैकी एक उडाल्यास?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1R₁ + R₂ + …
21/R = Σ1/R
3समांतर
44 Ω
536 Ω
61 A
70.4 Ω
8सर्व बंद (सर्किट तुटते)

सेलचा emf व अंतर्गत रोध

रोजच्या जीवनातून

जुना सेल लावल्यावर टॉर्च मंद होतो — सेलचा अंतर्गत रोध वाढलेला असतो.

सोपी व्याख्या

emf (ε) = खुल्या सर्किटमध्ये सेलचा V; अंतर्गत रोध r = सेलच्या आतला रोध.

आकृतीत : सेल + r, बाह्य R.

Live आकृती

सेलचा emf व अंतर्गत रोध

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : emf व अंतर्गत रोध — ε = V + I r; I = ε ÷ (R + r); टर्मिनल V = ε − I r. खुल्या सर्किटमध्ये V = ε.

सोपे : ε = 12 V, r = 1 Ω, R = 5 Ω ⇒ I = 2 A; V = 10 V.
मध्यम : शॉर्ट सर्किट : I = ε/r = 12 A.
परीक्षेसाठी (CET) : खुल्या सर्किटमध्ये V? (1) ε (2) 0 (3) ε/2 (4) Ir → उत्तर 1)

नियम 2 : r मोजणे — r = R (ε ÷ V − 1); चार्जिंगमध्ये V = ε + I r.

सोपे : ε = 1.5, R = 7 Ω, V = 1.4 ⇒ r = 0.5 Ω.
मध्यम : चार्जिंग : ε = 12, I = 2, r = 0.5 ⇒ V = 13 V.
परीक्षेसाठी (CET) : चार्जिंगमध्ये V? (1) ε + Ir (2) ε − Ir (3) ε (4) 0 → उत्तर 1)

नियम 3 : कमाल शक्ती — बाह्य रोधकाला P = ε² R ÷ (R + r)²; R = r ला कमाल : P_max = ε² ÷ 4r; कार्यक्षमता η = R/(R + r).

सोपे : ε = 12, r = 1 ⇒ P_max = 36 W (R = 1 Ω).
मध्यम : R = r ⇒ η = 50 %.
परीक्षेसाठी (CET) : P कमाल कधी? (1) R = r (2) R = 0 (3) R = ∞ (4) R = 2r → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : P_max = ε² / 4r

पायरी 1 : I = ε/(R + r); P = I² R = ε² R / (R + r)².
पायरी 2 : dP/dR = 0 ⇒ (R + r)² − 2R (R + r) = 0.
पायरी 3 : R + r = 2R ⇒ R = r.
पायरी 4 : P = ε² r / (4 r²) = ε² ÷ 4r.

लक्षात ठेवा

V = ε − Ir; I = ε/(R + r); P_max = ε²/4r.

सामान्य चूक / CET सापळा

emf ≠ टर्मिनल V; r विसरू नका.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "ε = V + Ir".

फरक ओळखा

स्थिती	V	I
खुले	ε	0
सामान्य	ε − Ir	ε/(R + r)
शॉर्ट	0	ε/r

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1emf म्हणजे?
2टर्मिनल V चे सूत्र?
3शॉर्ट सर्किट I?

मध्यम

4ε = 9, r = 0.5, R = 4.5 : I, V?
5ε = 3, V = 2.7, R = 9 : r?
6ε = 24, r = 2 : P_max?

आव्हानात्मक

7P_max सिद्ध करा.
8चार्जिंगमध्ये V का जास्त?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1सेलाने प्रति एकक प्रभार दिलेली ऊर्जा (खुल्यात V)
2ε − Ir
3ε/r
4I = 1.8 A; V = 8.1 V
5r = 1 Ω
672 W
7dP/dR = 0
8बाह्य स्रोताला Ir वर मात करावे लागते

सेलची मालिका व समांतर जोडणी, सेलचे प्रकार

रोजच्या जीवनातून

टॉर्चमध्ये दोन-तीन सेल एकापुढे एक लावतात — व्होल्टेज वाढवायला.

सोपी व्याख्या

बॅटरी = सेलांचा गट; जोडणीने ε व r बदलतात.

आकृतीत : मालिका वर, समांतर पंक्ती बाजूला.

नियम 1 : मालिका गट — ε_eq = n ε, r_eq = n r; I = n ε ÷ (R + n r). R ≫ r ⇒ मालिका फायद्याची.

सोपे : 4 सेल ε = 1.5, r = 0.5, R = 4 ⇒ I = 6 ÷ (4 + 2) = 1 A.
मध्यम : 6 सेल 2 V ⇒ 12 V (लेड-अॅसिड बॅटरी).
परीक्षेसाठी (CET) : मालिकेत ε? (1) nε (2) ε (3) ε/n (4) 0 → उत्तर 1)

नियम 2 : समांतर गट — ε_eq = ε, r_eq = r ÷ n; I = ε ÷ (R + r/n). R ≪ r ⇒ समांतर फायद्याचे (जास्त काळ टिकतो).

सोपे : 4 सेल समांतर, R = 4 ⇒ I = 1.5 ÷ (4 + 0.125) = 0.364 A.
मध्यम : समांतरात emf वाढत नाही.
परीक्षेसाठी (CET) : समांतरात r_eq? (1) r/n (2) nr (3) r (4) 0 → उत्तर 1)

नियम 3 : मिश्र गट व सेलचे प्रकार — m पंक्ती, प्रत्येकी n सेल : ε = nε, r = nr/m; कमाल I : R = nr/m. प्राथमिक (लेक्लांशे 1.5 V), द्वितीयक (लेड-अॅसिड 2 V, चार्ज होतो), इंधन सेल.

सोपे : 12 सेल, 3 पंक्ती × 4 : ε = 6 V, r = 0.667 Ω (r = 0.5 प्रत्येकी).
मध्यम : R = nr/m = 0.667 Ω ⇒ कमाल I = 4.5 A.
परीक्षेसाठी (CET) : पुन्हा चार्ज होणारा? (1) लेड-अॅसिड (2) लेक्लांशे (3) डॅनियल (4) ड्राय → उत्तर 1)

सूत्राची उपपत्ती : समांतर गटाचा r

पायरी 1 : n सेल समांतर : प्रत्येकातून I/n.
पायरी 2 : V = ε − (I/n) r.
पायरी 3 : तुलना V = ε_eq − I r_eq.
पायरी 4 : ε_eq = ε, r_eq = r/n.

लक्षात ठेवा

मालिका nε, nr; समांतर ε, r/n; मिश्र nε, nr/m.

सामान्य चूक / CET सापळा

समांतरात emf वाढत नाही; R = nr/m ला कमाल I.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "मालिका = व्होल्ट, समांतर = टिकाव".

फरक ओळखा

गट	ε_eq	r_eq
मालिका (n)	nε	nr
समांतर (n)	ε	r/n
मिश्र (m×n)	nε	nr/m

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1मालिका गटाचा ε व r?
2समांतर गट केव्हा वापरतात?
3द्वितीयक सेल म्हणजे?

मध्यम

45 सेल 1.5 V, r = 0.2, R = 2 : I?
53 सेल समांतर 1.5 V, r = 0.6 : r_eq?
62 पंक्ती × 3 सेल (ε = 2, r = 1) : ε, r?

आव्हानात्मक

7मिश्र गटात कमाल I साठी R?
8समांतर r_eq सिद्ध करा.

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1nε; nr
2R लहान असताना
3पुन्हा चार्ज होणारा सेल
42.50 A
50.2 Ω
6ε = 6 V; r = 1.5 Ω
7R = nr/m
8V = ε − (I/n)r

संपूर्ण धड्याची झटपट उजळणी

संकल्पना	महत्त्वाचे सूत्र / तथ्य	एकक / मितीय सूत्र
प्रवाह	I = Q/t = nAev_d	A; A
ओहम	V = IR; R = ρL/A	Ω; M L² T⁻³ A⁻²
ρ	m/(ne²τ)	Ω m
तापमान	R_t = R₀(1 + αΔT)	K⁻¹
शक्ती	P = VI = I²R = V²/R	W; M L² T⁻³
श्रेणी/समांतर	ΣR; 1/R = Σ1/R	Ω
सेल	V = ε − Ir	V; M L² T⁻³ A⁻¹
कमाल P	R = r; ε²/4r	W

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

I = nAev_d; v_d लहान, क्षेत्र वेगवान.
V = IR; ताणलेली तार R ∝ L².
धातू α +, अर्धवाहक α −.
P = VI = I²R = V²/R; 1 kWh = 3.6 × 10⁶ J.
श्रेणी ΣR (I समान); समांतर 1/R = Σ1/R (V समान).
V = ε − Ir; R = r ला P कमाल.
मिश्र गट : nε, nr/m.

अभ्यासाचा मंत्र

I → V = IR → ρ → P → श्रेणी/समांतर → ε, r → सेल गट.