K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 9 · गणित भाग २

धडा ८: त्रिकोणमिती

4 संकल्पना · उत्तरांसह 32 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

काटकोन त्रिकोणाची गुणोत्तरे : sin, cos, tan

रोजच्या जीवनातून

शिडी भिंतीला टेकवली की शिडीचा कोन जसा बदलतो तसा शिडीचा वरचा टोक किती उंचीवर जाईल हेही बदलते. कोन आणि बाजूंच्या गुणोत्तराचा हा संबंध म्हणजे त्रिकोणमिती.

सोपी व्याख्या

काटकोन त्रिकोणात कर्ण सर्वात मोठी बाजू. निवडलेल्या कोन θ च्या समोरची बाजू समोरची, त्याला लागून (कर्ण सोडून) असलेली लगतची. sin θ = समोरची ÷ कर्ण, cos θ = लगतची ÷ कर्ण, tan θ = समोरची ÷ लगतची.

काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंवरून sin, cos आणि tanकाटकोन त्रिकोणाच्या बाजू आणि तीन गुणोत्तरेBCAθलगतची 4समोरची 3कर्ण 5sin θ = समोरची ÷ कर्ण= 3/5cos θ = लगतची ÷ कर्ण= 4/5tan θ = समोरची ÷ लगतची= 3/4

आकृतीत : बाजू 3, 4, 5 : θ साठी sin = 3/5, cos = 4/5, tan = 3/4.

Live आकृती

काटकोन त्रिकोणाची गुणोत्तरे : sin, cos, tan

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : आधी समोरची आणि लगतची ओळखा — कोन बदलला की समोरची आणि लगतची बाजू अदलाबदल होते. कर्ण मात्र नेहमी काटकोनासमोरची बाजू.

  • सोपे : बाजू 3, 4, 5 : θ साठी sin = 3/5, cos = 4/5, tan = 3/4.
  • मध्यम : त्याच त्रिकोणात दुसऱ्या कोनासाठी (समोरची 4, लगतची 3) : sin = 4/5, cos = 3/5, tan = 4/3.
  • परीक्षेसाठी : 5, 12, 13 : मोठ्या कोनासाठी sin = 12/13, cos = 5/13, tan = 12/5; लहान कोनासाठी sin = 5/13 आणि cos = 12/13. एका कोनाचा sin दुसऱ्याचा cos.

नियम 2 : एक गुणोत्तर माहीत असेल तर तिसरी बाजू पायथागोरसने — sin θ = 8/17 म्हणजे समोरची 8 आणि कर्ण 17. लगतची = √(17² − 8²) = 15. आता cos आणि tan सहज मिळतात.

  • सोपे : sin θ = 3/5 ⇒ लगतची 4 ⇒ cos θ = 4/5.
  • मध्यम : cos θ = 5/13 ⇒ समोरची 12 ⇒ sin θ = 12/13, tan θ = 12/5.
  • परीक्षेसाठी : tan θ = 7/24 ⇒ कर्ण √(49 + 576) = 25 ⇒ sin θ = 7/25, cos θ = 24/25.

नियम 3 : गुणोत्तर कोनावर अवलंबून; त्रिकोणाच्या आकारावर नाही — समरूप त्रिकोणांत बाजू मोठ्या झाल्या तरी गुणोत्तर तेच राहते. 6, 8, 10 मध्येही sin = 6/10 = 3/5.

  • सोपे : 3, 4, 5 आणि 6, 8, 10 : tan दोन्हीमध्ये 3/4.
  • मध्यम : एका त्रिकोणात समोरची 9 आणि कर्ण 15 : sin = 9/15 = 3/5.
  • परीक्षेसाठी : वरीलच त्रिकोणात लगतची √(225 − 81) = 12, cos = 12/15 = 4/5, tan = 9/12 = 3/4.
लक्षात ठेवा

sin = समोरची ÷ कर्ण, cos = लगतची ÷ कर्ण, tan = समोरची ÷ लगतची. sin आणि cos चे मूल्य 1 पेक्षा मोठे कधीही नाही.

सामान्य चूक

समोरची आणि लगतची उलटी घेणे, किंवा कर्ण नसताना sin/cos काढणे.

शॉर्टकट

तालबद्ध स्मरण : "समोर-कर्ण", "लगत-कर्ण", "समोर-लगत" (sin, cos, tan). आठवणीची युक्ती : सोह-काह-टोआ : sin = समोर/कर्ण, cos = लगत/कर्ण, tan = समोर/लगत.

फरक ओळखा

गुणोत्तरसूत्र3-4-5 मध्ये (θ समोर 3)
sin θसमोरची ÷ कर्ण3/5
cos θलगतची ÷ कर्ण4/5
tan θसमोरची ÷ लगतची3/4

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 15, 12, 13 त्रिकोणात 12 समोर असलेल्या कोनाचा sin किती?
  2. 2तोच cos किती?
  3. 3तोच tan किती?
मध्यम
  1. 4sin θ = 4/5 असेल तर cos θ किती?
  2. 5cos θ = 8/17 असेल तर sin θ किती?
  3. 6एका त्रिकोणात समोरची 6 आणि लगतची 8; tan आणि sin किती?
आव्हानात्मक
  1. 7tan θ = 5/12 असेल तर sin θ आणि cos θ शोधा.
  2. 8समोरची 20 आणि कर्ण 25 असेल तर लगतची, cos आणि tan शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 112/13. 2) 5/13. 3) 12/5.
  2. 4समोरची 4, कर्ण 5 ⇒ लगतची 3 ⇒ cos θ = 3/5. 5) लगतची 8, कर्ण 17 ⇒ समोरची 15 ⇒ sin θ = 15/17. 6) कर्ण 10. tan = 6/8 = 3/4 आणि sin = 6/10 = 3/5.
  3. 7कर्ण 13. sin θ = 5/13, cos θ = 12/13. 8) लगतची √(625 − 400) = 15. cos = 15/25 = 3/5 आणि tan = 20/15 = 4/3.

उलटी गुणोत्तरे आणि सूत्रे

रोजच्या जीवनातून

नाणे पाडणाऱ्या यंत्राला जशी उलट बाजूही असते तशीच प्रत्येक गुणोत्तराची एक उलट जोडी आहे. समोरची ÷ कर्ण याचे उलट कर्ण ÷ समोरची.

सोपी व्याख्या

तीन उलटी गुणोत्तरे : cosec θ = 1 ÷ sin θ, sec θ = 1 ÷ cos θ, cot θ = 1 ÷ tan θ. तसेच दोन महत्त्वाची सूत्रे : tan θ = sin θ ÷ cos θ आणि sin²θ + cos²θ = 1.

cosec, sec, cot हे sin, cos, tan चे उलट आहेततीन जोड्या : एकमेकांचे उलटsin θcosec θcosec θ = 1 ÷ sin θcos θsec θsec θ = 1 ÷ cos θtan θcot θcot θ = 1 ÷ tan θtan θ = sin θ ÷ cos θ आणि sin²θ + cos²θ = 1

आकृतीत : sin-cosec, cos-sec, tan-cot या तीन जोड्या एकमेकांचे उलट.

नियम 1 : उलट म्हणजे अपूर्णांक उलटा करणे — sin θ = 3/5 ⇒ cosec θ = 5/3. म्हणून एक मिळाले की दुसरे लगेच.

  • सोपे : sin θ = 3/5 ⇒ cosec θ = 5/3.
  • मध्यम : cos θ = 4/5 ⇒ sec θ = 5/4 ; tan θ = 3/4 ⇒ cot θ = 4/3.
  • परीक्षेसाठी : sin θ = 5/13 आणि cos θ = 12/13 असेल तर cosec θ = 13/5, sec θ = 13/12, cot θ = 12/5.

नियम 2 : tan θ = sin θ ÷ cos θ — दोन्ही गुणोत्तरे कर्णाने भागलेली असल्याने कर्ण रद्द होतो आणि समोरची ÷ लगतची उरते.

  • सोपे : sin = 3/5, cos = 4/5 ⇒ tan = (3/5) ÷ (4/5) = 3/4.
  • मध्यम : sin = 12/13, cos = 5/13 ⇒ tan = 12/5.
  • परीक्षेसाठी : sin = 8/17, cos = 15/17 ⇒ tan = 8/15 आणि cot = 15/8.

नियम 3 : sin²θ + cos²θ = 1 — sin² म्हणजे sin चा वर्ग. हे पायथागोरसच्या सूत्राचेच दुसरे रूप. यावरून एक माहीत असेल तर दुसरे काढता येते.

  • सोपे : sin = 3/5 : (3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1.
  • मध्यम : sin = 5/13 ⇒ cos² = 1 − 25/169 = 144/169 ⇒ cos = 12/13.
  • परीक्षेसाठी : cos = 7/25 ⇒ sin² = 1 − 49/625 = 576/625 ⇒ sin = 24/25 ⇒ tan = 24/7.
लक्षात ठेवा

cosec, sec, cot हे sin, cos, tan चे उलट. sin² + cos² = 1 हे सर्वात महत्त्वाचे सूत्र.

सामान्य चूक

cosec ला cos चा उलट समजणे. cosec हा sin चा उलट आहे; sec हा cos चा उलट.

शॉर्टकट

पडताळा : नावाचे पहिले अक्षर जुळत नाही : cosec ↔ sin आणि sec ↔ cos. आठवणीची युक्ती : उलटे : cosec ↔ sin, sec ↔ cos, cot ↔ tan ; एकात "co" असेल तर जोडीत नसते.

फरक ओळखा

गुणोत्तरउलटसूत्र
sin θcosec θ1 ÷ sin θ
cos θsec θ1 ÷ cos θ
tan θcot θ1 ÷ tan θ

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1sin θ = 4/5 असेल तर cosec θ किती?
  2. 2cos θ = 12/13 असेल तर sec θ किती?
  3. 3tan θ = 2/3 असेल तर cot θ किती?
मध्यम
  1. 4sin = 3/5, cos = 4/5 वरून cot θ शोधा.
  2. 5sin θ = 12/13 असेल तर cos θ शोधा.
  3. 6cos θ = 3/5 असेल तर sin θ आणि tan θ शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7sin θ = 7/25 असेल तर cos θ, tan θ आणि sec θ शोधा.
  2. 8cosec θ = 17/8 असेल तर sin θ, cos θ आणि tan θ शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1cosec θ = 5/4. 2) sec θ = 13/12. 3) cot θ = 3/2.
  2. 4tan = 3/4 ⇒ cot = 4/3. 5) cos² = 1 − 144/169 = 25/169 ⇒ cos = 5/13. 6) sin² = 1 − 9/25 = 16/25 ⇒ sin = 4/5 ; tan = 4/3.
  3. 7cos² = 1 − 49/625 = 576/625 ⇒ cos = 24/25 ; tan = 7/24 ; sec = 25/24. 8) sin = 8/17 ⇒ cos² = 1 − 64/289 = 225/289 ⇒ cos = 15/17 ; tan = 8/15.

30°, 45°, 60° ची मूल्ये

रोजच्या जीवनातून

सेट-स्क्वेअरच्या दोन पट्ट्या (45°-45°-90° आणि 30°-60°-90°) जवळ ठेवा. दोन्हींच्या बाजूंचे गुणोत्तर नेहमी तेच असते, म्हणून या तीन कोनांची मूल्ये एकदा पाठ झाली की संपली.

सोपी व्याख्या

45°-45°-90° त्रिकोणाच्या बाजू 1 : 1 : √2 आणि 30°-60°-90° त्रिकोणाच्या बाजू 1 : √3 : 2 (30° समोर 1, 60° समोर √3, कर्ण 2). यातून 30°, 45°, 60° ची सर्व मूल्ये काढता येतात.

45°-45°-90° आणि 30°-60°-90° त्रिकोणांच्या बाजूंचे गुणोत्तर30°, 45°, 60° साठी लक्षात ठेवायचे दोन त्रिकोण11√245°45°√31230°60°1 : 1 : √21 : √3 : 2

आकृतीत : दोन त्रिकोणांच्या बाजू 1 : 1 : √2 आणि 1 : √3 : 2.

नियम 1 : 30° आणि 60° — 30° : sin = 1/2, cos = √3/2, tan = 1/√3. 60° : sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3. (30° चा sin हा 60° चा cos.)

  • सोपे : sin 30° = 1/2 (समोरची 1, कर्ण 2).
  • मध्यम : cos 60° = 1/2 आणि tan 60° = √3 ÷ 1 = √3.
  • परीक्षेसाठी : sin 60° × cos 30° = (√3/2) × (√3/2) = 3/4.

नियम 2 : 45° — 45° : sin = 1/√2, cos = 1/√2, tan = 1. समान बाजूंचे त्रिकोण म्हणून tan 45° = 1.

  • सोपे : tan 45° = 1.
  • मध्यम : sin 45° × cos 45° = (1/√2) × (1/√2) = 1/2.
  • परीक्षेसाठी : sin²45° + cos²45° = 1/2 + 1/2 = 1 (सूत्र पडताळले).

नियम 3 : मूल्यांची बेरीज-गुणाकार करणे — मूल्ये अपूर्णांकात बदलून मांडा. सोपा क्रम : प्रथम कंस, गुणाकार/भागाकार, मग बेरीज.

  • सोपे : sin 30° + cos 60° = 1/2 + 1/2 = 1.
  • मध्यम : 2 × sin 30° × cos 30° = 2 × 1/2 × √3/2 = √3/2 ( = sin 60°).
  • परीक्षेसाठी : tan 60° × tan 30° = √3 × 1/√3 = 1. आणि sin²30° + cos²30° = 1/4 + 3/4 = 1.
लक्षात ठेवा

45° : tan = 1. 30° आणि 60° : sin आणि cos ची मूल्ये अदलाबदल होतात (1/2 आणि √3/2).

सामान्य चूक

sin 30° = √3/2 लिहिणे. 30° ची समोरची बाजू सर्वात लहान (1), म्हणून sin 30° = 1/2.

शॉर्टकट

सोपी युक्ती : sin 0°, 30°, 45°, 60°, 90° साठी √0, √1, √2, √3, √4 ला 2 ने भागा. आठवणीची युक्ती : sin : √0, √1, √2, √3, √4 ला 2 ने भागा ; cos उलट क्रमाने.

फरक ओळखा

कोनsincostan
30°1/2√3/21/√3
45°1/√21/√21
60°√3/21/2√3

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1sin 30° किती?
  2. 2tan 45° किती?
  3. 3cos 60° किती?
मध्यम
  1. 4sin 30° + cos 60° शोधा.
  2. 5tan 60° × tan 30° किती?
  3. 6sin 60° ÷ cos 60° किती?
आव्हानात्मक
  1. 7sin²60° + cos²60° ची किंमत शोधा.
  2. 82 sin 30° + tan 45° − cos 60° ची किंमत शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 11/2. 2) 1. 3) 1/2.
  2. 41/2 + 1/2 = 1. 5) √3 × 1/√3 = 1. 6) (√3/2) ÷ (1/2) = √3 (हेच tan 60°).
  3. 73/4 + 1/4 = 1. 8) 2 × 1/2 + 1 − 1/2 = 1 + 1 − 1/2 = 1.5.

उंची आणि अंतर

रोजच्या जीवनातून

झाडाची उंची मोजायला कोणी वर चढत नाही. जमिनीवर काही अंतरावर उभे राहून झाडाच्या टोकाकडे पाहिले की कोन आणि अंतरावरून उंची काढता येते.

सोपी व्याख्या

क्षितिज रेषेपासून वर पाहताना होणारा कोन म्हणजे उन्नत कोन आणि खाली पाहताना होणारा कोन म्हणजे अवनत कोन. दोन्ही नेहमी आडव्या रेषेपासून मोजतात. यातून काटकोन त्रिकोण बनतो आणि tan वापरून उंची किंवा अंतर काढता येते : tan θ = उंची ÷ अंतर.

वर पाहताना उन्नत कोन, खाली पाहताना अवनत कोन; दोन्ही क्षितिज रेषेपासून मोजतातउन्नत कोन आणि अवनत कोनθउन्नत कोनवर पाहतानाαअवनत कोनखाली पाहताना

आकृतीत : दोन्ही कोन आडव्या रेषेपासून. वर पाहताना उन्नत, खाली पाहताना अवनत.

Live आकृती

उंची आणि अंतर

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : tan वापरून उंची काढा — उंची = अंतर × tan θ. 45° असेल तर उंची = अंतर, 60° असेल तर उंची = अंतर × √3, 30° असेल तर उंची = अंतर ÷ √3.

  • सोपे : अंतर 20 m, उन्नत कोन 45° ⇒ उंची 20 × 1 = 20 m.
  • मध्यम : अंतर 30 m, कोन 30° ⇒ उंची 30 ÷ √3 = 10√3 ≈ 17.3 m.
  • परीक्षेसाठी : अंतर 12 m, कोन 60° ⇒ उंची 12√3 ≈ 20.8 m. वाढलेल्या कोनामुळे उंची मोठी.

नियम 2 : अंतर काढा — अंतर = उंची ÷ tan θ. उंची आणि कोन माहीत असतील तर बिंदूपासून पायापर्यंतचे अंतर मिळते.

  • सोपे : उंची 15 m, कोन 45° ⇒ अंतर 15 m.
  • मध्यम : उंची 20 m, कोन 60° ⇒ अंतर 20 ÷ √3 ≈ 11.5 m.
  • परीक्षेसाठी : उंची 9 m, कोन 30° ⇒ अंतर 9 ÷ (1/√3) = 9√3 ≈ 15.6 m.

नियम 3 : अवनत कोन आणि दोन निरीक्षणे — अवनत कोन खालच्या बिंदूशी आतला कोन म्हणून तितकाच असतो (उलट कोन). उंचीवरून दिसणारी वस्तूपर्यंतचे अंतर वरीलप्रमाणेच काढा. डोळ्याची उंची जोडायला विसरू नका.

  • सोपे : टॉवरची उंची 30 m, खाली दिसणाऱ्या नावेचा अवनत कोन 45° ⇒ नावेचे अंतर 30 m.
  • मध्यम : टॉवर 24 m, अवनत कोन 60° ⇒ अंतर 24 ÷ √3 = 8√3 ≈ 13.9 m.
  • परीक्षेसाठी : एका मुलाची डोळ्याची उंची 1.5 m आणि झाडाचे अंतर 10 m, कोन 45° ⇒ झाडाची उंची 10 + 1.5 = 11.5 m.
लक्षात ठेवा

tan θ = उंची ÷ अंतर. 45° ⇒ उंची = अंतर. कोन नेहमी आडव्या रेषेपासून. डोळ्याची उंची शेवटी जोडा.

सामान्य चूक

कोन उभ्या रेषेपासून मोजणे. उन्नत आणि अवनत कोन आडव्या रेषेपासूनच असतात.

शॉर्टकट

पहिल्यांदा आकृती काढा आणि काटकोन त्रिकोण दाखवा; उंची समोरची बाजू आणि अंतर लगतची बाजू. आठवणीची युक्ती : तीस लांब, साठ उंच : 30° वर अंतर मोठे, 60° वर उंची मोठी.

फरक ओळखा

कोनtanउंची (अंतर d)
30°1/√3d ÷ √3
45°1d
60°√3d × √3

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1अंतर 25 m आणि उन्नत कोन 45° असेल तर उंची किती?
  2. 2उंची 40 m आणि कोन 45° असेल तर अंतर किती?
  3. 3उन्नत कोन कोणत्या रेषेपासून मोजतात?
मध्यम
  1. 4अंतर 15 m आणि कोन 60° असेल तर उंची किती (√3 = 1.73)?
  2. 5उंची 12 m आणि कोन 30° असेल तर अंतर किती (√3 = 1.73)?
  3. 6टॉवर 50 m, अवनत कोन 45° : वस्तूचे अंतर किती?
आव्हानात्मक
  1. 7मुलाची डोळ्याची उंची 1.5 m आहे. 18 m अंतरावर उभे राहून तो 30° कोनातून इमारतीचे टोक पाहतो. इमारतीची उंची शोधा (√3 = 1.73).
  2. 8एका झाडाची उंची 10 m आहे. त्याच्या पायापासून 10 m अंतरावर आणि 10√3 m अंतरावर उभे राहिले तर दोन्ही उन्नत कोन किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 125 × 1 = 25 m. 2) 40 m. 3) आडव्या रेषेपासून.
  2. 415 × 1.73 = 25.95 m. 5) 12 ÷ (1/√3) = 12 × 1.73 = 20.76 m. 6) 50 m.
  3. 718 ÷ 1.73 ≈ 10.4 आणि 1.5 जोडा ⇒ ≈ 11.9 m. 8) 10 m वरून tan = 10/10 = 1 ⇒ 45°. 10√3 वरून tan = 10/(10√3) = 1/√3 ⇒ 30°.