उजळणी : घनचौकोन, घन आणि वृत्तचिती
दूध पावडरचा डबा (वृत्तचिती), बिस्किटाचा पुडा (घनचौकोन) आणि फासा (घन). रंग द्यायचा असेल तर पृष्ठफळ लागते; आत किती मावेल हे विचारायचे असेल तर घनफळ.
पृष्ठफळ म्हणजे सर्व पृष्ठभागांचे एकूण क्षेत्रफळ (चौरस एकक). घनफळ म्हणजे आत मावणारी जागा (घनएकक). वक्र पृष्ठफळ म्हणजे फक्त वाकडा भाग, तर एकूण पृष्ठफळ म्हणजे वरचा आणि खालचा भाग धरून सर्व.
आकृतीत : तीन घन आकारांची सूत्रे एकत्र.
उजळणी : घनचौकोन, घन आणि वृत्तचिती
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : घनचौकोन आणि घन — घनचौकोन : एकूण 2(lb + bh + lh), घनफळ l × b × h. घन : एकूण 6 × बाजू², घनफळ बाजू³.
- सोपे : घन, बाजू 6 : एकूण 6 × 36 = 216, घनफळ 216.
- मध्यम : घनचौकोन 8 × 5 × 4 : एकूण 2(40 + 20 + 32) = 184, घनफळ 160.
- परीक्षेसाठी : टाकीची लांबी 5 m, रुंदी 4 m आणि खोली 3 m. आतल्या चार भिंती आणि तळ रंगवायचे : 2(5 + 4) × 3 + 5 × 4 = 54 + 20 = 74 m².
नियम 2 : वृत्तचिती — वक्र पृष्ठफळ 2πrh, एकूण 2πr(r + h), घनफळ πr²h. येथे π = 22/7.
- सोपे : r = 7, h = 10 : वक्र 2 × 22/7 × 7 × 10 = 440.
- मध्यम : त्याच वृत्तचितीचे एकूण 440 + 2 × (22/7 × 49) = 440 + 308 = 748 आणि घनफळ 22/7 × 49 × 10 = 1540.
- परीक्षेसाठी : टिन r = 14 सेमी, h = 20 सेमी : घनफळ 22/7 × 196 × 20 = 12320 सेमी³ = 12.32 लिटर.
नियम 3 : एकक आणि रूपांतर — लांबी सेमी, क्षेत्रफळ सेमी², घनफळ सेमी³. 1 लिटर = 1000 सेमी³ आणि 1 m³ = 1000 लिटर.
- सोपे : 2000 सेमी³ = 2 लिटर.
- मध्यम : 3 m³ = 3000 लिटर.
- परीक्षेसाठी : टाकी 2 m × 1 m × 1.5 m : घनफळ 3 m³ = 3000 लिटर. 12 लिटर रोज वापरले तर 250 दिवस पुरते.
पृष्ठफळ = क्षेत्रफळ (सेमी²), घनफळ = जागा (सेमी³). वक्र पृष्ठफळात वरचा-खालचा भाग नसतो.
त्रिज्या आणि व्यास गोंधळणे. सूत्रात r वापरतात; व्यास दिला की निम्मा करा.
पाणी भरण्याचे प्रश्न घनफळाचे; रंग देण्याचे प्रश्न पृष्ठफळाचे. आठवणीची युक्ती : रंग = पृष्ठफळ (चौरस एकके), पाणी = घनफळ (घन एकके).
फरक ओळखा
| आकार | एकूण पृष्ठफळ | घनफळ |
|---|---|---|
| घन (बाजू a) | 6a² | a³ |
| घनचौकोन | 2(lb + bh + lh) | l × b × h |
| वृत्तचिती | 2πr(r + h) | πr²h |
सरावासाठी प्रश्न
- 1घनाची बाजू 5 असेल तर घनफळ किती?
- 2घनचौकोन 6 × 4 × 3 चे घनफळ किती?
- 35000 सेमी³ म्हणजे किती लिटर?
- 4r = 7, h = 5 च्या वृत्तचितीचे वक्र पृष्ठफळ शोधा.
- 5वरीलच वृत्तचितीचे घनफळ शोधा.
- 6घनचौकोन 10 × 6 × 2 चे एकूण पृष्ठफळ शोधा.
- 7वृत्तचिती टाकीचा व्यास 14 m आणि उंची 5 m. तिचे घनफळ लिटरमध्ये शोधा.
- 8घनाचे एकूण पृष्ठफळ 150 असेल तर त्याची बाजू आणि घनफळ किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1125. 2) 72. 3) 5 लिटर.
- 42 × 22/7 × 7 × 5 = 220. 5) 22/7 × 49 × 5 = 770. 6) 2(60 + 12 + 20) = 184.
- 7r = 7 : 22/7 × 49 × 5 = 770 m³ = 770000 लिटर. 8) 6a² = 150 ⇒ a² = 25 ⇒ a = 5. घनफळ 125.
शंकूचे पृष्ठफळ
आइस्क्रीमचा कोन, जोकरची टोपी आणि पूजेचा दिवा-शंकू. टोपी उघडली तर वर्तुळाचा एक भाग (त्रिज्यखंड) मिळतो. त्याचे क्षेत्रफळ म्हणजेच शंकूचे वक्र पृष्ठफळ.
शंकूला पाया (वर्तुळ, त्रिज्या r), उंची h आणि तिरकस उंची l असते. l² = r² + h². वक्र पृष्ठफळ = πrl, एकूण पृष्ठफळ = πr(r + l) (पाया धरून).
आकृतीत : r = 7, h = 24 ⇒ l = 25. उघडलेल्या भागाची कमान 2πr.
शंकूचे पृष्ठफळ
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : आधी तिरकस उंची l काढा — l = √(r² + h²). काटकोन त्रिकोण r, h, l पायथागोरसप्रमाणे.
- सोपे : r = 3, h = 4 ⇒ l = 5.
- मध्यम : r = 7, h = 24 ⇒ l = √(49 + 576) = 25.
- परीक्षेसाठी : r = 9, h = 12 ⇒ l = √(81 + 144) = 15. r = 5, h = 12 ⇒ l = 13.
नियम 2 : वक्र पृष्ठफळ = πrl — आकारातील प्रत्येक सेंटिमीटर टोपीसाठी लागणारा कागद. जोकरची टोपी बनवायला किती कागद लागेल ते याने काढा.
- सोपे : r = 7, l = 25 ⇒ 22/7 × 7 × 25 = 550.
- मध्यम : r = 3, l = 5 ⇒ 22/7 × 3 × 5 = 330/7 ≈ 47.14.
- परीक्षेसाठी : व्यास 14 सेमी आणि उंची 24 सेमी, टोपी : r = 7, l = 25, वक्र पृष्ठफळ 550 सेमी². 20 टोप्या ⇒ 11000 सेमी².
नियम 3 : एकूण पृष्ठफळ = πr(r + l) — वक्र पृष्ठफळ + पायाचे क्षेत्रफळ πr². उघडा शंकू (टोपी) असेल तर फक्त वक्र पृष्ठफळ घ्या.
- सोपे : r = 7, l = 25 : पाया 22/7 × 49 = 154, एकूण 550 + 154 = 704.
- मध्यम : सूत्राने तपासा : 22/7 × 7 × (7 + 25) = 22 × 32 = 704.
- परीक्षेसाठी : r = 5, h = 12 ⇒ l = 13 : एकूण 22/7 × 5 × 18 = 1980/7 ≈ 282.86.
l² = r² + h². वक्र पृष्ठफळ πrl, एकूण πr(r + l). टोपी = फक्त वक्र पृष्ठफळ.
h च्या जागी l वापरणे. पृष्ठफळासाठी l हवे, घनफळासाठी h.
7-24-25, 5-12-13, 3-4-5 जवळ ठेवा; वर्गमूळ काढायचे राहत नाही. आठवणीची युक्ती : शंकू : तिरकी उंची l = √(r² + h²) ; "तिरकी उंची म्हणजे कर्ण".
फरक ओळखा
| शंकू | सूत्र | r = 7, h = 24 |
|---|---|---|
| तिरकस उंची l | √(r² + h²) | 25 |
| वक्र पृष्ठफळ | πrl | 550 |
| एकूण पृष्ठफळ | πr(r + l) | 704 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1r = 6, h = 8 असेल तर l किती?
- 2r = 7, l = 10 असेल तर वक्र पृष्ठफळ किती?
- 3शंकूचे वक्र पृष्ठफळ कोणत्या अक्षराने मांडतात, h की l?
- 4r = 5, h = 12 असेल तर वक्र पृष्ठफळ शोधा.
- 5r = 14, l = 50 असेल तर वक्र पृष्ठफळ शोधा.
- 6r = 7, l = 25 असेल तर एकूण पृष्ठफळ शोधा.
- 7जोकरची टोपी : पायाचा व्यास 14 सेमी, उंची 24 सेमी. एका टोपीला किती कागद आणि 10 टोप्यांना किती?
- 8शंकूच्या पायाचे क्षेत्रफळ 154 आणि l = 25. त्रिज्या शोधा आणि वक्र पृष्ठफळ शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1l = √(36 + 64) = 10. 2) 22/7 × 7 × 10 = 220. 3) l.
- 4l = 13 ⇒ 22/7 × 5 × 13 = 1430/7 ≈ 204.29. 5) 22/7 × 14 × 50 = 2200. 6) 22/7 × 7 × (7 + 25) = 704.
- 7r = 7, l = 25 ⇒ 550 सेमी² एकासाठी; 10 साठी 5500 सेमी². 8) 22/7 × r² = 154 ⇒ r² = 49 ⇒ r = 7. वक्र पृष्ठफळ 22/7 × 7 × 25 = 550.
शंकूचे घनफळ
आइस्क्रीम कोन आणि समान पायाचा आणि उंचीचा कप. कपात तीन कोन भरून आइस्क्रीम मावते. म्हणजे कोनाचे घनफळ कपाच्या एक तृतीयांश.
शंकूचे घनफळ = ⅓ × πr²h. येथे h म्हणजे उंची (तिरकस उंची नव्हे). समान पाया आणि समान उंचीच्या वृत्तचितीचे घनफळ πr²h असते आणि शंकू त्याचा एक तृतीयांश.
आकृतीत : r = 7, h = 24 ⇒ V = ⅓ × 22/7 × 49 × 24 = 1232.
नियम 1 : सूत्र वापरा : ⅓ πr²h — आधी r² काढा, मग π, मग h आणि शेवटी 3 ने भागा.
- सोपे : r = 3, h = 7 ⇒ ⅓ × 22/7 × 9 × 7 = 66.
- मध्यम : r = 7, h = 24 ⇒ ⅓ × 22/7 × 49 × 24 = 1232.
- परीक्षेसाठी : r = 14, h = 15 ⇒ ⅓ × 22/7 × 196 × 15 = 3080.
नियम 2 : h माहीत नसेल तर l वरून h काढा — h = √(l² − r²). आधी h, मग घनफळ.
- सोपे : l = 5, r = 3 ⇒ h = 4.
- मध्यम : r = 7, l = 25 ⇒ h = 24 ⇒ V = 1232.
- परीक्षेसाठी : r = 6, l = 10 ⇒ h = 8 ⇒ V = ⅓ × 22/7 × 36 × 8 = 2112/7 ≈ 301.71.
नियम 3 : शंकू आणि वृत्तचितीची तुलना — समान r आणि h ⇒ शंकू : वृत्तचिती = 1 : 3. वृत्तचितीतून सर्वात मोठा शंकू कापला तर एक तृतीयांश उरतो आणि दोन तृतीयांश वाया.
- सोपे : वृत्तचितीचे घनफळ 3000 ⇒ त्याच पाया-उंचीच्या शंकूचे 1000.
- मध्यम : शंकूचे घनफळ 154 ⇒ वृत्तचितीचे 462.
- परीक्षेसाठी : r = 7, h = 24 : वृत्तचिती 22/7 × 49 × 24 = 3696 आणि शंकू 1232 ⇒ 3696 ÷ 1232 = 3.
शंकूचे घनफळ = वृत्तचितीचे ÷ 3. घनफळात h (सरळ उंची), पृष्ठफळात l (तिरकस).
घनफळात ⅓ विसरणे किंवा h च्या जागी l घेणे.
तपासा : शंकूचे घनफळ नेहमी वृत्तचितीच्या घनफळाच्या एक तृतीयांश असावे. आठवणीची युक्ती : शंकू म्हणजे वृत्तचितीचा तिसरा भाग ; 3 शंकू = 1 वृत्तचिती.
फरक ओळखा
| वृत्तचिती | शंकू | |
|---|---|---|
| पाया | वर्तुळ r | वर्तुळ r |
| घनफळ | πr²h | ⅓ πr²h |
| r = 7, h = 24 | 3696 | 1232 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1r = 3, h = 7 च्या शंकूचे घनफळ किती?
- 2वृत्तचितीचे घनफळ 90 असेल तर समान पाया-उंचीच्या शंकूचे किती?
- 3शंकूच्या घनफळात h घेतात की l?
- 4r = 7, h = 6 च्या शंकूचे घनफळ शोधा.
- 5r = 6, l = 10 असेल तर h आणि घनफळ शोधा.
- 6r = 14, h = 3 च्या शंकूचे घनफळ शोधा.
- 7शंकूच्या आकाराचा वाळूचा ढीग r = 7 m, h = 12 m आहे. घनफळ आणि तो 20 m³ च्या ट्रकमध्ये भरल्यास किती भार?
- 8शंकू व वृत्तचिती यांच्यात r आणि h समान आणि वृत्तचितीचे घनफळ 2310 आहे. शंकूचे घनफळ किती आणि ते कुठे पडते (r = 7 असल्यास h शोधा)?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 166. 2) 30. 3) h.
- 4⅓ × 22/7 × 49 × 6 = 308. 5) h = 8 ⇒ V = 2112/7 ≈ 301.71. 6) ⅓ × 22/7 × 196 × 3 = 616.
- 7V = ⅓ × 22/7 × 49 × 12 = 616 m³ ; 616 ÷ 20 = 30.8 ⇒ 31 भार. 8) शंकू 2310 ÷ 3 = 770. 22/7 × 49 × h = 2310 ⇒ 154h = 2310 ⇒ h = 15.
गोल आणि अर्धगोल
क्रिकेटचा चेंडू आणि फुटबॉल (गोल). गोलाला मधोमध कापले की दोन समान अर्धगोल मिळतात, जसे कलिंगड अर्धे कापल्यावर वाटीसारखा भाग. वाटी, घुमट आणि टोपले अर्धगोल असतात.
गोलाच्या मध्यापासून पृष्ठभागावरील प्रत्येक बिंदू सारख्या अंतरावर असतो (त्रिज्या r). गोल : पृष्ठफळ 4πr², घनफळ (4/3)πr³. अर्धगोल : वक्र पृष्ठफळ 2πr², एकूण 3πr² (वरचे वर्तुळ धरून), घनफळ (2/3)πr³.
आकृतीत : गोल आणि अर्धगोलाची सूत्रे; r दोन्हीत समान.
गोल आणि अर्धगोल
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : गोलाचे पृष्ठफळ आणि घनफळ — r = 7 : पृष्ठफळ 4 × 22/7 × 49 = 616. r = 21 : घनफळ (4/3) × 22/7 × 9261 = 38808.
- सोपे : r = 7 ⇒ पृष्ठफळ 616.
- मध्यम : r = 21 ⇒ घनफळ (4/3) × 22/7 × 21 × 21 × 21 = 38808.
- परीक्षेसाठी : व्यास 14 सेमी च्या चेंडूचे पृष्ठफळ : r = 7 ⇒ 616 सेमी². व्यास दिला की आधी r काढा.
नियम 2 : अर्धगोलाचे वक्र आणि एकूण पृष्ठफळ — वक्र : 2πr² (गोलाच्या निम्मे), एकूण : 3πr² (वक्र + वर्तुळ πr²). वाटीला आतून रंग द्यायचा असेल तर वक्र पृष्ठफळ.
- सोपे : r = 7 ⇒ वक्र 2 × 22/7 × 49 = 308.
- मध्यम : r = 7 ⇒ एकूण 3 × 22/7 × 49 = 462 (308 + 154).
- परीक्षेसाठी : r = 14 ⇒ वक्र 2 × 22/7 × 196 = 1232 आणि एकूण 1848.
नियम 3 : अर्धगोलाचे घनफळ = (2/3)πr³ — गोलाच्या घनफळाचा निम्मा. वाटीत किती दूध मावते ते याने काढा.
- सोपे : r = 21 ⇒ (2/3) × 22/7 × 9261 = 19404.
- मध्यम : तोच गोल 38808 ⇒ निम्मा 19404 (जुळले).
- परीक्षेसाठी : वाटी r = 7 सेमी : (2/3) × 22/7 × 343 = 718.67 सेमी³ ≈ 0.72 लिटर.
गोल : 4πr² आणि (4/3)πr³. अर्धगोल : वक्र 2πr², एकूण 3πr², घनफळ (2/3)πr³.
अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ 2πr² घेणे. वरचे वर्तुळ πr² जोडल्यावर 3πr².
व्यास दिला तर प्रथम निम्मा करा; सर्व सूत्रांत r वापरतात. आठवणीची युक्ती : गोल 4πr², अर्धगोल (वक्र) 2πr² ; अर्धा गोल पण "तळ" वेगळा मोजा.
फरक ओळखा
| आकार | पृष्ठफळ | घनफळ |
|---|---|---|
| गोल | 4πr² | (4/3)πr³ |
| अर्धगोल (वक्र) | 2πr² | (2/3)πr³ |
| अर्धगोल (एकूण) | 3πr² | (2/3)πr³ |
सरावासाठी प्रश्न
- 1r = 7 च्या गोलाचे पृष्ठफळ किती?
- 2r = 7 च्या अर्धगोलाचे वक्र पृष्ठफळ किती?
- 3गोलाचे घनफळ 100 असेल तर अर्धगोलाचे किती?
- 4व्यास 28 सेमी च्या चेंडूचे पृष्ठफळ शोधा.
- 5r = 14 च्या अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ शोधा.
- 6r = 21 च्या अर्धगोलाचे घनफळ शोधा.
- 7अर्धगोल आकाराच्या वाटीचा आतील व्यास 14 सेमी आहे. आत किती घनफळ मावेल आणि आतून रंगवायला किती क्षेत्रफळ?
- 8गोलाचे पृष्ठफळ 616 असेल तर r शोधा आणि घनफळ शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1616. 2) 308. 3) 50.
- 4r = 14 ⇒ 4 × 22/7 × 196 = 2464. 5) 3 × 22/7 × 196 = 1848. 6) (2/3) × 22/7 × 9261 = 19404.
- 7r = 7 ⇒ घनफळ ≈ 718.67 सेमी³ ; आतील क्षेत्रफळ 2πr² = 308 सेमी². 8) 4πr² = 616 ⇒ r² = 49 ⇒ r = 7. घनफळ (4/3) × 22/7 × 343 = 1437.33.