K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 9 · गणित भाग २

धडा ७: निर्देशक भूमिती

4 संकल्पना · उत्तरांसह 32 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

अक्ष, चतुर्थांश आणि बिंदूचे निर्देशक

रोजच्या जीवनातून

चित्रपटगृहात तुमचे तिकीट "रांग 4, खुर्ची 7" असे असते. दोन संख्यांनी जागा नक्की ठरते. नकाशावरही आडवी आणि उभी अंतरे सांगून ठिकाण सांगता येते. गणितात हीच पद्धत निर्देशक.

सोपी व्याख्या

एकमेकांना काटकोनात छेदणाऱ्या दोन संख्यारेषा म्हणजे अक्ष : आडवा X-अक्ष आणि उभा Y-अक्ष. त्यांचा छेदबिंदू मूलबिंदू O (0, 0). बिंदू (x, y) मध्ये x म्हणजे मूलबिंदूपासून आडवे अंतर आणि y म्हणजे उभे अंतर. दोन अक्षांमुळे समतलाचे चार चतुर्थांश होतात.

X-अक्ष आणि Y-अक्ष समतलाचे चार चतुर्थांशांत विभाजन करतातचार चतुर्थांश आणि निर्देशकांची चिन्हेXYOI चतुर्थांश(+, +)II चतुर्थांश(−, +)III चतुर्थांश(−, −)IV चतुर्थांश(+, −)+X−X+Y−Y

आकृतीत : उजवीकडे आणि वर संख्या धन; डावीकडे आणि खाली ऋण.

Live आकृती

अक्ष, चतुर्थांश आणि बिंदूचे निर्देशक

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : चिन्हांवरून चतुर्थांश ओळखा — (+, +) पहिला; (−, +) दुसरा; (−, −) तिसरा; (+, −) चौथा. चतुर्थांश घड्याळाच्या उलट दिशेने मोजतात.

  • सोपे : (4, 3) : दोन्ही धन ⇒ पहिला चतुर्थांश.
  • मध्यम : (−5, 2) : x ऋण, y धन ⇒ दुसरा. (−1, −6) ⇒ तिसरा. (7, −2) ⇒ चौथा.
  • परीक्षेसाठी : (0, 5) कोणत्याही चतुर्थांशात नाही; तो Y-अक्षावर आहे. (−3, 0) X-अक्षावर. अक्षावरचे बिंदू चतुर्थांशात गणले जात नाहीत.

नियम 2 : बिंदू वाचणे : आधी x, मग y — मूलबिंदूपासून x इतके आडवे जा (धन असेल तर उजवीकडे), मग y इतके उभे जा (धन असेल तर वर). (3, 2) आणि (2, 3) हे वेगळे बिंदू आहेत.

  • सोपे : (3, 2) : 3 उजवीकडे, 2 वर.
  • मध्यम : (−2, 4) : 2 डावीकडे, 4 वर. (−4, −3) : 4 डावीकडे, 3 खाली.
  • परीक्षेसाठी : (2, −3) आणि (−3, 2) हे दोन्ही वेगळ्या चतुर्थांशांत येतात (चौथा आणि दुसरा). क्रम बदलला तर बिंदू बदलतो.

नियम 3 : अक्षावरचे बिंदू — X-अक्षावर y = 0, म्हणून बिंदू (a, 0). Y-अक्षावर x = 0, म्हणून बिंदू (0, b). मूलबिंदू (0, 0) दोन्ही अक्षांवर.

  • सोपे : (6, 0) हा X-अक्षावर 6 अंतरावर.
  • मध्यम : (0, −4) हा Y-अक्षावर मूलबिंदूच्या खाली 4 अंतरावर.
  • परीक्षेसाठी : (a, 0) आणि (0, a) यांच्यातील अंतर, a = 3 : बिंदू (3, 0) आणि (0, 3) ; काटकोन त्रिकोण 3, 3 ⇒ अंतर √18 = 3√2 ≈ 4.24.
लक्षात ठेवा

x म्हणजे आडवे, y म्हणजे उभे. आधी x, मग y. चतुर्थांश उलट घड्याळ दिशेने.

सामान्य चूक

(3, 2) आणि (2, 3) एकच समजणे. क्रम बदलला की बिंदू वेगळा.

शॉर्टकट

अक्षावरचा बिंदू कोणत्याही चतुर्थांशात गणू नका : एक संख्या 0 असली की तो अक्षावर. आठवणीची युक्ती : (x, y) : "आधी आडवे, मग उभे" ; x दारातून आत, y जिन्याने वर.

फरक ओळखा

चतुर्थांशx चे चिन्हy चे चिन्ह
पहिला++
दुसरा−+
तिसरा−−
चौथा+−

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1(5, 7) कोणत्या चतुर्थांशात आहे?
  2. 2(−3, −8) कोणत्या चतुर्थांशात आहे?
  3. 3(0, 6) कुठे आहे?
मध्यम
  1. 4(6, −2) कोणत्या चतुर्थांशात आहे?
  2. 5Y-अक्षावरील कोणत्याही बिंदूचा x किती असतो?
  3. 6(−4, 3) पर्यंत पोहोचायला मूलबिंदूपासून कसे जावे?
आव्हानात्मक
  1. 7(−2, 5) चे x आणि y अदलाबदल केले तर नवीन बिंदू कोणत्या चतुर्थांशात येतो?
  2. 8(k, 0) हा बिंदू (−7, 0) असेल तर X-अक्षावर तो कुठे असतो, आणि मूलबिंदूपासून अंतर किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1पहिला (दोन्ही धन). 2) तिसरा (दोन्ही ऋण). 3) Y-अक्षावर, मूलबिंदूच्या वर 6 अंतरावर.
  2. 4चौथा (x धन, y ऋण). 5) 0. 6) 4 डावीकडे, 3 वर.
  3. 7नवीन बिंदू (5, −2) : x धन, y ऋण ⇒ चौथा चतुर्थांश. 8) मूलबिंदूच्या डावीकडे 7 अंतरावर; अंतर 7.

बिंदू आलेखित करणे आणि अंतर

रोजच्या जीवनातून

ग्राफ पेपरवर तुम्ही रांगा आणि स्तंभ मोजून एखाद्या बिंदूवर टिंब देता. एखादा खेळ बुद्धिबळाच्या पटावर जसा "ई 4" असतो तसेच इथेही चौकटी मोजूनच बिंदू ठेवतात.

सोपी व्याख्या

बिंदू आलेखित करायचा म्हणजे दिलेल्या निर्देशकांप्रमाणे आलेख कागदावर त्याची जागा ठरवून टिंब देणे. प्रत्येक बिंदूला एक आणि फक्त एक निर्देशकांची जोडी आणि प्रत्येक जोडीला एक आणि फक्त एक बिंदू असतो.

चार चतुर्थांशांतील बिंदू आणि त्यांचे निर्देशकबिंदू आलेखित करणे आणि वाचणे-5-4-3-2-112345-5-4-3-2-112345xyA(3, 2)B(-2, 4)C(-4, -3)D(2, -3)A (3, 2)3 उजवीकडे2 वरx आधी, y नंतर(3, 2) ≠ (2, 3)

आकृतीत : A(3, 2) : 3 उजवीकडे आणि 2 वर. चारही चतुर्थांशांतील बिंदू एकाच आलेखावर.

नियम 1 : आलेखित करण्याची पायरी — (1) मूलबिंदूपासून x इतके आडवे जा. (2) तिथून y इतके उभे जा. (3) टिंब द्या आणि नाव लिहा.

  • सोपे : P(2, 3) : 2 उजवीकडे, 3 वर.
  • मध्यम : Q(−3, −1) : 3 डावीकडे, 1 खाली. R(4, −2) : 4 उजवीकडे, 2 खाली.
  • परीक्षेसाठी : पाच बिंदू (1, 1), (2, 2), (3, 3), (−1, −1), (−2, −2) एका सरळ रेषेत येतात, कारण प्रत्येकात x = y.

नियम 2 : समान y असलेल्या बिंदूंमधील अंतर = x चा फरक — दोन्ही बिंदूंचा y सारखा असेल तर अंतर = मोठा x − लहान x.

  • सोपे : (2, 5) आणि (7, 5) : अंतर 7 − 2 = 5.
  • मध्यम : (−4, 1) आणि (3, 1) : अंतर 3 − (−4) = 7.
  • परीक्षेसाठी : (−6, −2) आणि (−1, −2) : अंतर −1 − (−6) = 5. ऋण संख्या असली तरी अंतर धनच येते.

नियम 3 : समान x असलेल्या बिंदूंमधील अंतर = y चा फरक — दोन्ही बिंदूंचा x सारखा असेल तर अंतर = मोठा y − लहान y.

  • सोपे : (3, 1) आणि (3, 6) : अंतर 6 − 1 = 5.
  • मध्यम : (−2, −3) आणि (−2, 4) : अंतर 4 − (−3) = 7.
  • परीक्षेसाठी : (1, 2), (6, 2), (6, 9) हे बिंदू काटकोन त्रिकोण करतात : आडवे अंतर 5, उभे अंतर 7. क्षेत्रफळ ½ × 5 × 7 = 17.5.
लक्षात ठेवा

एकाच आडव्या रेषेवर y सारखा, एकाच उभ्या रेषेवर x सारखा. सारखी संख्या वगळा आणि दुसऱ्यांचा फरक घ्या.

सामान्य चूक

ऋण संख्यांचा फरक काढताना चूक : −4 ते 3 हे अंतर 3 − 4 नाही; 3 − (−4) = 7.

शॉर्टकट

पक्का मार्ग : संख्यारेषेवर मोजा. −4 पासून 0 पर्यंत 4 आणि 0 पासून 3 पर्यंत 3 म्हणजे 7. आठवणीची युक्ती : अंतर : x किंवा y सारखे असेल तर फक्त फरक काढा.

फरक ओळखा

बिंदूंची स्थितीकाय समानअंतर
आडव्या रेषेवरyx चा फरक
उभ्या रेषेवरxy चा फरक
तिरक्याकोणतेच नाहीपायथागोरस

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1बिंदू (2, 4) आलेखित करताना किती उजवीकडे आणि किती वर जाल?
  2. 2(1, 3) आणि (6, 3) यांच्यातील अंतर किती?
  3. 3(5, 2) आणि (5, 9) यांच्यातील अंतर किती?
मध्यम
  1. 4(−3, 2) आणि (4, 2) यांच्यातील अंतर किती?
  2. 5(−1, −5) आणि (−1, 3) यांच्यातील अंतर किती?
  3. 6(0, 0), (4, 0), (4, 3) हे बिंदू कोणता त्रिकोण करतात? क्षेत्रफळ किती?
आव्हानात्मक
  1. 7(0, 0), (5, 0), (5, 12) या त्रिकोणाचा कर्ण किती?
  2. 8A(−2, 1), B(3, 1), C(3, −4) या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 12 उजवीकडे आणि 4 वर. 2) 6 − 1 = 5. 3) 9 − 2 = 7.
  2. 44 − (−3) = 7. 5) 3 − (−5) = 8. 6) काटकोन त्रिकोण (आडवे 4, उभे 3). क्षेत्रफळ ½ × 4 × 3 = 6.
  3. 7आडवे 5, उभे 12 ⇒ कर्ण √(25 + 144) = 13. 8) AB = 5, BC = 5, काटकोन B ला. क्षेत्रफळ ½ × 5 × 5 = 12.5.

अक्षांना समांतर रेषा

रोजच्या जीवनातून

क्रिकेट मैदानावर खेळपट्टीची रेषा आडवी असते आणि दोन्ही टोकांची रेषा उभी असते. आडव्या रेषेवरचा प्रत्येक बिंदू जमिनीपासून सारख्या उंचीवर, तर उभ्या रेषेवरचा प्रत्येक बिंदू सारख्या बाजूवर.

सोपी व्याख्या

y = b या समीकरणाची रेषा X-अक्षाला समांतर (आडवी) असते; तिच्यावरच्या प्रत्येक बिंदूचा y = b आणि x काहीही. x = a या समीकरणाची रेषा Y-अक्षाला समांतर (उभी) असते; तिच्यावरच्या प्रत्येक बिंदूचा x = a आणि y काहीही.

y = 3, y = −4, x = −2, x = 4 या रेषाअक्षांना समांतर रेषा-5-4-3-2-112345-5-4-3-2-112345xyy = 3y = −4x = −2x = 4y = b : आडवी रेषाX-अक्षाला समांतरx = a : उभी रेषाY-अक्षाला समांतर

आकृतीत : y = 3 आणि y = −4 आडव्या; x = −2 आणि x = 4 उभ्या.

Live आकृती

अक्षांना समांतर रेषा

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : y = b ही आडवी रेषा — X-अक्षाला समांतर आणि अक्षापासून b अंतरावर. b धन असेल तर वर, ऋण असेल तर खाली. y = 0 हाच X-अक्ष.

  • सोपे : y = 3 : (−2, 3), (0, 3), (5, 3) हे सर्व बिंदू या रेषेवर.
  • मध्यम : y = −4 : X-अक्षाच्या खाली 4 अंतरावर आडवी रेषा.
  • परीक्षेसाठी : दिलेला बिंदू (6, −2) असून रेषा X-अक्षाला समांतर आहे ⇒ y = −2.

नियम 2 : x = a ही उभी रेषा — Y-अक्षाला समांतर आणि अक्षापासून a अंतरावर. a धन असेल तर उजवीकडे, ऋण असेल तर डावीकडे. x = 0 हाच Y-अक्ष.

  • सोपे : x = 4 : (4, −3), (4, 0), (4, 6) हे बिंदू या रेषेवर.
  • मध्यम : x = −2 : Y-अक्षाच्या डावीकडे 2 अंतरावर उभी रेषा.
  • परीक्षेसाठी : बिंदू (−5, 8) मधून जाणारी Y-अक्षाला समांतर रेषा ⇒ x = −5.

नियम 3 : दोन रेषांचा छेदबिंदू — आडवी रेषा y = b आणि उभी रेषा x = a भेटतात (a, b) या बिंदूत. दोन्ही आडव्या रेषा किंवा दोन्ही उभ्या रेषा कधीही भेटत नाहीत.

  • सोपे : x = 4 आणि y = 3 ⇒ छेदबिंदू (4, 3).
  • मध्यम : x = −2 आणि y = −4 ⇒ (−2, −4).
  • परीक्षेसाठी : x = 4 आणि x = −2 समांतर आहेत; त्यांच्यातील अंतर 4 − (−2) = 6.
लक्षात ठेवा

y = b ⇒ आडवी (X-अक्षाला समांतर). x = a ⇒ उभी (Y-अक्षाला समांतर).

सामान्य चूक

x = 3 ला आडवी रेषा समजणे. x = 3 म्हणजे x नेहमी 3, म्हणून उभी.

शॉर्टकट

आठवा : y = b मध्ये y बदलत नाही म्हणून उंची तीच, म्हणजे रेषा आडवी. आठवणीची युक्ती : x = a उभी रेषा, y = b आडवी रेषा : "y म्हणजे सपाट".

फरक ओळखा

y = bx = a
दिशाआडवीउभी
समांतरX-अक्षालाY-अक्षाला
बिंदू(काहीही, b)(a, काहीही)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1y = 5 ही रेषा कशी असते (आडवी की उभी)?
  2. 2x = −3 ही रेषा कोणत्या अक्षाला समांतर?
  3. 3(2, 9) हा बिंदू x = 2 या रेषेवर आहे का?
मध्यम
  1. 4x = 6 आणि y = −2 चा छेदबिंदू शोधा.
  2. 5(−4, 7) मधून जाणारी X-अक्षाला समांतर रेषेचे समीकरण लिहा.
  3. 6x = 5 आणि x = −1 मधील अंतर किती?
आव्हानात्मक
  1. 7y = 4 आणि y = −3 या रेषांमधील अंतर किती? त्यांच्यामधल्या कोणत्याही उभ्या रेषेने ते कसे विभागले जाते?
  2. 8(k, 5) हा बिंदू x = 2 वर असेल तर k किती? y = 5 वर असेल तर k किती असू शकतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1आडवी. 2) Y-अक्षाला. 3) हो, कारण x = 2.
  2. 4(6, −2). 5) y = 7. 6) 5 − (−1) = 6.
  3. 74 − (−3) = 7. उभी रेषा दोन्ही रेषा एकेका बिंदूत कापते आणि त्या दोन बिंदूंमधील अंतर 7. 8) x = 2 वर k = 2. y = 5 वर k काहीही.

रेषांपासून आयत आणि क्षेत्रफळ

रोजच्या जीवनातून

शेताच्या चारही बाजूंना दोऱ्या बांधल्या की दोन आडव्या आणि दोन उभ्या दोऱ्यांमधून आयताकृती जागा तयार होते. त्या जागेची लांबी-रुंदी दोऱ्यांमधील अंतरावरून मिळते.

सोपी व्याख्या

दोन आडव्या रेषा y = b₁, y = b₂ आणि दोन उभ्या रेषा x = a₁, x = a₂ एकत्र आल्या की त्यांचा आयत बनतो. लांबी = x चा फरक, रुंदी = y चा फरक. क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी आणि परिमिती = 2 × (लांबी + रुंदी).

x = 1, x = 5, y = 1, y = 4 या रेषांनी बनलेला आयतचार रेषांनी बनलेला आयत1234567123456xyP(1,1)Q(5,1)R(5,4)S(1,4)x = 1, x = 5y = 1, y = 4लांबी 5 − 1 = 4रुंदी 4 − 1 = 3क्षेत्रफळ = 4 × 3 = 12

आकृतीत : x = 1, x = 5, y = 1, y = 4 मुळे P(1,1), Q(5,1), R(5,4), S(1,4) हे शिरोबिंदू. लांबी 4, रुंदी 3.

नियम 1 : शिरोबिंदू शोधा — प्रत्येक उभी रेषा प्रत्येक आडव्या रेषेला भेटते; चार छेदबिंदू म्हणजे चार शिरोबिंदू.

  • सोपे : x = 1, x = 5 आणि y = 1, y = 4 ⇒ (1,1), (5,1), (5,4), (1,4).
  • मध्यम : x = −2, x = 3 आणि y = 0, y = 5 ⇒ (−2,0), (3,0), (3,5), (−2,5).
  • परीक्षेसाठी : x = −3, x = −1 आणि y = −2, y = 4 ⇒ (−3,−2), (−1,−2), (−1,4), (−3,4).

नियम 2 : लांबी, रुंदी, क्षेत्रफळ — लांबी = |a₂ − a₁|, रुंदी = |b₂ − b₁|. क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी.

  • सोपे : आकृतीत लांबी 5 − 1 = 4, रुंदी 4 − 1 = 3, क्षेत्रफळ 12.
  • मध्यम : x = −2, 3 आणि y = 0, 5 : लांबी 5, रुंदी 5, क्षेत्रफळ 25 (हा चौरस).
  • परीक्षेसाठी : x = −3, −1 आणि y = −2, 4 : लांबी 2, रुंदी 6, क्षेत्रफळ 12, परिमिती 2 × (2 + 6) = 16.

नियम 3 : विकर्ण आणि मध्यबिंदू — आयताचे विकर्ण पायथागोरसने मिळतात : √(लांबी² + रुंदी²). मध्यबिंदू = दोन टोकांच्या x ची आणि y ची सरासरी.

  • सोपे : लांबी 4, रुंदी 3 ⇒ विकर्ण √(16 + 9) = 5.
  • मध्यम : आकृतीत केंद्र (1 + 5) ÷ 2 = 3 आणि (1 + 4) ÷ 2 = 2.5 ⇒ (3, 2.5).
  • परीक्षेसाठी : लांबी 5, रुंदी 12 ⇒ विकर्ण 13. केंद्र शोधा जर P(0,0) आणि R(5,12) : (2.5, 6).
लक्षात ठेवा

दोन उभ्या रेषांचा x-फरक = लांबी, दोन आडव्या रेषांचा y-फरक = रुंदी. आयताचे क्षेत्रफळ त्यांचा गुणाकार.

सामान्य चूक

लांबी आणि रुंदीसाठी ऋण संख्या येणे. अंतर नेहमी मोठी − लहान घेऊन धन करा.

शॉर्टकट

समान लांबी-रुंदी आली तर आकार चौरस. आठवणीची युक्ती : आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी ; दोन्ही निर्देशकांच्या फरकाने मिळतात.

फरक ओळखा

जे हवेसूत्रआकृतीत
लांबीx चा फरक4
रुंदीy चा फरक3
क्षेत्रफळलांबी × रुंदी12
परिमिती2 × (लांबी + रुंदी)14

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1x = 2, x = 6 आणि y = 1, y = 4 या रेषांनी बनलेल्या आयताची लांबी किती?
  2. 2वरील आयताची रुंदी किती?
  3. 3वरील आयताचे क्षेत्रफळ किती?
मध्यम
  1. 4x = −1, x = 4 आणि y = 2, y = 5 : क्षेत्रफळ शोधा.
  2. 5x = 0, x = 5 आणि y = 0, y = 5 कोणता आकार करतात?
  3. 6x = 1, x = 5, y = 1, y = 4 च्या आयताची परिमिती किती?
आव्हानात्मक
  1. 7x = −2, x = 3 आणि y = −1, y = 3 या आयताचे क्षेत्रफळ आणि विकर्ण शोधा.
  2. 8एका आयताची लांबी 6 व रुंदी 8 आहे; विकर्ण किती आणि मध्यबिंदू काय, जर एक शिरोबिंदू (0, 0) आणि समोरचा (6, 8)?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 16 − 2 = 4. 2) 4 − 1 = 3. 3) 4 × 3 = 12.
  2. 4लांबी 5, रुंदी 3 ⇒ 15. 5) चौरस (लांबी = रुंदी = 5). 6) 2 × (4 + 3) = 14.
  3. 7लांबी 5, रुंदी 4, क्षेत्रफळ 20, विकर्ण √(25 + 16) = √41 ≈ 6.4. 8) विकर्ण √(36 + 64) = 10, मध्यबिंदू (3, 4).