वर्तुळाचे भाग आणि जीवा
सायकलच्या चाकाच्या मध्यापासून रिमपर्यंत लोखंडी तारा असतात (त्रिज्या). चाकाच्या रिमवर कुठेही दोन बिंदू जोडणारी काठी ठेवली तर ती जीवा. मध्यातून जाणारी काठी सर्वात लांब, म्हणजे व्यास.
वर्तुळावरील कोणत्याही दोन बिंदूंना जोडणारा रेषाखंड म्हणजे जीवा. केंद्रातून जाणारी जीवा म्हणजे व्यास; व्यास = 2 × त्रिज्या आणि तो सर्वात मोठी जीवा. केंद्र आणि जीवेचे टोक जोडले की त्रिज्या मिळते.
आकृतीत : व्यास AB केंद्रातून जातो. जीवा CD केंद्रातून जात नाही; तिच्या दोन टोकांना केंद्राशी जोडून केंद्रीय कोन ∠COD मिळतो.
नियम 1 : व्यास = 2 × त्रिज्या — त्रिज्या दिली की व्यास दुप्पट आणि व्यास दिला की त्रिज्या निम्मी. कोणतीही जीवा व्यासापेक्षा लहान किंवा तेवढीच असते.
- सोपे : त्रिज्या 7 ⇒ व्यास 14.
- मध्यम : व्यास 13 ⇒ त्रिज्या 6.5.
- परीक्षेसाठी : त्रिज्या 6 च्या वर्तुळात जीवा 10 आणि जीवा 12 : दोन्ही शक्य आहेत (≤ 12). जीवा 12 हा व्यास. जीवा 13 अशक्य.
वर्तुळाचे भाग आणि जीवा
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 2 : केंद्रापासून जीवेवर काढलेला लंब जीवेला दुभागतो — OM ⊥ AB असेल तर AM = MB. म्हणून लंब पाय हा जीवेचा मध्यबिंदू असतो.
- सोपे : AB = 10 आणि OM ⊥ AB ⇒ AM = 5.
- मध्यम : AM = 7 ⇒ AB = 14.
- परीक्षेसाठी : जीवा AB = 16 आणि त्रिज्या 10. AM = 8; OM = √(100 − 64) = 6.
नियम 3 : जीवेच्या मध्यबिंदूला केंद्राशी जोडणारी रेषा जीवेला लंब असते — AM = MB असेल तर OM ⊥ AB, म्हणजे ∠OMA = 90°. उलटही खरे : दोन्हीपैकी एक सांगितले की दुसरे आपोआप सिद्ध.
- सोपे : M हा जीवा AB चा मध्यबिंदू ⇒ ∠OMA = 90°.
- मध्यम : ∆OMA मध्ये ∠M = 90°, OA = त्रिज्या (कर्ण). OM आणि AM या काटकोन करणाऱ्या बाजू.
- परीक्षेसाठी : OA = OB (त्रिज्या) आणि AM = MB ⇒ ∆OAM ≅ ∆OBM (बाबाबा) ⇒ ∠OMA = ∠OMB आणि दोन्ही मिळून 180° ⇒ प्रत्येकी 90°.
व्यास ही सर्वात मोठी जीवा. केंद्रातून जीवेवर लंब टाकला की जीवा दुभागली जाते.
लंब अंतर आणि जीवेची लांबी यांना गोंधळणे. लंब अंतर OM हे केंद्रापासून जीवेपर्यंतचे; जीवा AB = 2 × AM.
जीवा किंवा अंतर सांगितले की त्रिज्येला कर्ण धरून ∆OMA बनवा. आठवणीची युक्ती : त्रिज्या, अर्धी जीवा आणि अंतर हे तिघे मिळून काटकोन त्रिकोण बनवतात.
फरक ओळखा
| जीवा | व्यास | |
|---|---|---|
| केंद्रातून जाते का | सहसा नाही | हो |
| लांबी | व्यासापेक्षा लहान | सर्वात मोठी, 2 × त्रिज्या |
| केंद्रातून लंब | जीवेला दुभागतो | जीवेलाच दुभागतो (स्वतःचे मध्य केंद्र) |
सरावासाठी प्रश्न
- 1त्रिज्या 9 असेल तर व्यास किती?
- 2OM ⊥ AB आणि AB = 12 असेल तर AM किती?
- 3वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा कोणती?
- 4त्रिज्या 8 च्या वर्तुळात जीवा 18 शक्य आहे का?
- 5M हा जीवा PQ चा मध्यबिंदू आणि O केंद्र. ∠OMP किती?
- 6AM = 9 असेल तर जीवा AB किती?
- 7त्रिज्या 13 आणि केंद्रापासून अंतर 5 वर जीवा काढली. जीवेची लांबी किती?
- 8एक जीवा केंद्रातून जाते आणि दुसरी केंद्रापासून 3 अंतरावर आहे; त्रिज्या 5. दोन्ही लांबी शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1व्यास = 2 × 9 = 18. 2) AM = 12 ÷ 2 = 6. 3) व्यास.
- 4नाही. व्यास 16 आहे आणि जीवा 16 पेक्षा मोठी असू शकत नाही. 5) 90°. 6) AB = 2 × 9 = 18.
- 7AM = √(169 − 25) = 12, म्हणून जीवा 24. 8) केंद्रातून जाणारी = व्यास = 10. दुसरी : AM = √(25 − 9) = 4, जीवा 8.
जीवेची लांबी आणि केंद्रापासूनचे अंतर : पायथागोरस
गोल टेबलावर पट्टी ठेवली तर पट्टीचे दोन्ही टोक काठावर येतात. पट्टी केंद्रापासून जेवढी दूर तेवढी ती लहान. पट्टी केंद्रातून जाते तेव्हा सर्वात लांब.
∆OMB काटकोन त्रिकोण असतो : कर्ण OB = त्रिज्या r, बाजू OM = d (अंतर) आणि MB = अर्धी जीवा. म्हणून r² = d² + (अर्धी जीवा)². यातून एक माहिती तीन पैकी दोन असतील तर तिसरी मिळते.
आकृतीत : त्रिज्या 13 आणि जीवा 24 : अर्धी जीवा 12 आणि अंतर 5 (5² + 12² = 13²).
नियम 1 : त्रिज्या आणि जीवा दिली तर अंतर काढा — अर्धी जीवा काढा आणि d = √(r² − अर्धी जीवा²).
- सोपे : r = 5, जीवा 8 : अर्धी 4, d = √(25 − 16) = 3.
- मध्यम : r = 13, जीवा 24 : अर्धी 12, d = √(169 − 144) = 5.
- परीक्षेसाठी : r = 17, जीवा 30 : अर्धी 15, d = √(289 − 225) = √64 = 8.
नियम 2 : त्रिज्या आणि अंतर दिले तर जीवा काढा — अर्धी जीवा = √(r² − d²) आणि जीवा = 2 × अर्धी जीवा.
- सोपे : r = 10, d = 6 : अर्धी √(100 − 36) = 8, जीवा 16.
- मध्यम : r = 20, d = 12 : अर्धी √(400 − 144) = 16, जीवा 32.
- परीक्षेसाठी : r = 25, d = 24 : अर्धी √(625 − 576) = 7, जीवा 14. जीवा केंद्रापासून दूर गेली की लहान होते.
नियम 3 : दोन समांतर जीवा : दोन अंतरे — एकाच केंद्रात दोन समांतर जीवांचे केंद्रापासूनचे अंतर d₁ आणि d₂ काढा. जीवा केंद्राच्या एकाच बाजूला असतील तर अंतर d₁ − d₂, दोन बाजूंना असतील तर d₁ + d₂.
- सोपे : r = 10, जीवा 16 आणि 12 : अंतरे 6 आणि 8.
- मध्यम : एकाच बाजूला असतील तर जीवांमधील अंतर 8 − 6 = 2.
- परीक्षेसाठी : वेगळ्या बाजूंना असतील तर अंतर 8 + 6 = 14. (14 हे व्यास 20 पेक्षा लहान, म्हणून शक्य.)
r² = d² + (अर्धी जीवा)². ही एकच ओळ सर्व प्रश्नांचे उत्तर देते.
पूर्ण जीवा वर्गात घेणे. वर्गात अर्धी जीवा घ्यावी.
काटकोन तिप्पटी पाहा : 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. त्यामुळे वर्गमूळ काढायचे राहत नाही. आठवणीची युक्ती : r² = d² + (c ÷ 2)² : "त्रिज्या कर्ण असते".
फरक ओळखा
| जे दिले आहे | काय काढायचे | सूत्र |
|---|---|---|
| r आणि जीवा | अंतर d | d = √(r² − अर्धी²) |
| r आणि d | जीवा | जीवा = 2√(r² − d²) |
| d आणि जीवा | त्रिज्या r | r = √(d² + अर्धी²) |
सरावासाठी प्रश्न
- 1r = 5 आणि जीवा 6 असेल तर अंतर किती?
- 2r = 10 आणि d = 8 असेल तर जीवा किती?
- 3अर्धी जीवा 12 आणि d = 5 असेल तर त्रिज्या किती?
- 4r = 17 आणि जीवा 16 असेल तर अंतर किती?
- 5व्यास 26 आणि जीवा 24 असेल तर अंतर किती?
- 6जीवा 48 आणि केंद्रापासून अंतर 7 असेल तर त्रिज्या किती?
- 7r = 10 मध्ये समांतर जीवा 12 आणि 16 केंद्राच्या दोन बाजूंना आहेत. त्यांच्यातील अंतर किती?
- 8वरीलच जीवा केंद्राच्या एकाच बाजूला असतील तर अंतर किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1अर्धी 3 ⇒ d = √(25 − 9) = 4. 2) अर्धी √(100 − 64) = 6 ⇒ जीवा 12. 3) r = √(25 + 144) = 13.
- 4अर्धी 8 ⇒ d = √(289 − 64) = 15. 5) r = 13, अर्धी 12 ⇒ d = √(169 − 144) = 5. 6) अर्धी 24 ⇒ r = √(49 + 576) = 25.
- 7जीवा 12 : d = √(100 − 36) = 8. जीवा 16 : d = √(100 − 64) = 6. दोन बाजूंना : 8 + 6 = 14. 8) एकाच बाजूला : 8 − 6 = 2.
अंतर्वर्तुळ
त्रिकोणी फरशीच्या आत शक्य तेवढा मोठा गोल कापायचा आहे. तो गोल फरशीच्या तिन्ही कडांना स्पर्श करतो आणि बाहेर जात नाही. हा त्रिकोणाचा अंतर्वर्तुळ.
त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजूंना स्पर्श करणारे आतले वर्तुळ म्हणजे अंतर्वर्तुळ. त्याचे केंद्र अंतर्केंद्र (तिन्ही कोन दुभाजकांचा छेदबिंदू) आणि त्रिज्या अंतर्त्रिज्या. अंतर्केंद्र नेहमी त्रिकोणाच्या आत असते आणि तिन्ही बाजूंपासून सारख्या अंतरावर असते.
अंतर्वर्तुळ
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाआकृतीत : काटकोन त्रिकोण 6, 8, 10 चे अंतर्वर्तुळ : अंतर्त्रिज्या 2.
नियम 1 : अंतर्केंद्र = कोन दुभाजकांचा छेदबिंदू — दोन कोनांचे दुभाजक काढले तर ते ज्या बिंदूत भेटतात तो अंतर्केंद्र. तिसऱ्या कोनाचा दुभाजकही त्याच बिंदूतून जातो.
- सोपे : ∠B = 80° चा दुभाजक ∠B ला 40° आणि 40° मध्ये विभागतो.
- मध्यम : ∆ABC मध्ये ∠A = 60°, ∠B = 80° आणि I अंतर्केंद्र. ∠IAB = 30°, ∠IBA = 40° ⇒ ∠AIB = 180 − 70 = 110°.
- परीक्षेसाठी : अंतर्केंद्र नेहमी आत असते; समभुज त्रिकोणात ते तिन्ही उंचींचा छेदबिंदूही असतो.
नियम 2 : काटकोन त्रिकोणाची अंतर्त्रिज्या : r = (a + b − c) ÷ 2 — a आणि b काटकोन करणाऱ्या बाजू आणि c कर्ण. प्रत्येक बाजूपासून अंतर r असल्याने क्षेत्रफळ = ½ × r × परिमिती हेही खरे : r = क्षेत्रफळ ÷ अर्धपरिमिती.
- सोपे : 3, 4, 5 : r = (3 + 4 − 5) ÷ 2 = 1. तपासा : क्षेत्रफळ 6, अर्धपरिमिती 6, 6 ÷ 6 = 1.
- मध्यम : 6, 8, 10 : r = (6 + 8 − 10) ÷ 2 = 2. तपासा : क्षेत्रफळ 24, अर्धपरिमिती 12, 24 ÷ 12 = 2.
- परीक्षेसाठी : 5, 12, 13 : r = (5 + 12 − 13) ÷ 2 = 2 (क्षेत्रफळ 30 ÷ अर्धपरिमिती 15 = 2). 8, 15, 17 : r = (8 + 15 − 17) ÷ 2 = 3.
नियम 3 : इतर त्रिकोण : r = क्षेत्रफळ ÷ अर्धपरिमिती — क्षेत्रफळ काढा (पाया × उंची ÷ 2), अर्धपरिमिती s = (a + b + c) ÷ 2 काढा आणि भागा.
- सोपे : बाजू 13, 14, 15 : s = 21, क्षेत्रफळ 84 (हेरॉन), r = 84 ÷ 21 = 4.
- मध्यम : समद्विभुज 10, 10, 12 : उंची √(100 − 36) = 8, क्षेत्रफळ ½ × 12 × 8 = 48, s = 16, r = 48 ÷ 16 = 3.
- परीक्षेसाठी : अंतर्वर्तुळाचे क्षेत्रफळ (π = 22/7) r = 3 असेल तर 22/7 × 9 = 198/7 ≈ 28.29.
अंतर्केंद्र नेहमी त्रिकोणाच्या आत. ते कोन दुभाजकांचा छेदबिंदू आहे, लंबदुभाजकांचा नाही.
अंतर्केंद्र आणि परिकेंद्र गोंधळणे. अंतर्वर्तुळ बाजूंना स्पर्श करते; परिवर्तुळ शिरोबिंदूंमधून जाते.
काटकोन त्रिकोणात r काढायचे : दोन लहान बाजू जोडा, कर्ण वजा करा, 2 ने भागा. आठवणीची युक्ती : अंतर्वर्तुळ तिन्ही बाजूंना आतून स्पर्श करते ; r = क्षेत्रफळ ÷ अर्धपरिमिती.
फरक ओळखा
| अंतर्वर्तुळ | परिवर्तुळ | |
|---|---|---|
| स्पर्श/जाते | तिन्ही बाजूंना स्पर्श | तिन्ही शिरोबिंदूंमधून |
| केंद्र | कोन दुभाजकांचा छेदबिंदू | बाजूंच्या लंबदुभाजकांचा छेदबिंदू |
| केंद्राचे स्थान | नेहमी आत | आत, कर्णावर किंवा बाहेर |
सरावासाठी प्रश्न
- 1अंतर्वर्तुळ त्रिकोणाला कशाला स्पर्श करते?
- 2∠B = 70° चा दुभाजक ∠B चे किती किती कोन करतो?
- 33, 4, 5 बाजू असलेल्या त्रिकोणाची अंतर्त्रिज्या किती?
- 45, 12, 13 बाजू असलेल्या त्रिकोणाची अंतर्त्रिज्या शोधा.
- 58, 15, 17 बाजू असलेल्या त्रिकोणाची अंतर्त्रिज्या शोधा.
- 6∆ABC मध्ये ∠A = 50°, ∠B = 70° आणि I अंतर्केंद्र. ∠AIB किती?
- 7बाजू 10, 10, 12 असलेल्या समद्विभुज त्रिकोणाची अंतर्त्रिज्या शोधा.
- 8बाजू 13, 14, 15 असलेल्या त्रिकोणाची अंतर्त्रिज्या शोधा (क्षेत्रफळ 84).
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1तिन्ही बाजूंना. 2) 35° आणि 35°. 3) (3 + 4 − 5) ÷ 2 = 1.
- 4(5 + 12 − 13) ÷ 2 = 2. 5) (8 + 15 − 17) ÷ 2 = 3. 6) ∠IAB = 25°, ∠IBA = 35° ⇒ ∠AIB = 180 − 60 = 120°.
- 7उंची 8, क्षेत्रफळ 48, s = 16, r = 3. 8) s = 21, r = 84 ÷ 21 = 4.
परिवर्तुळ
तीन मित्र एका मैदानावर तीन ठिकाणी उभे आहेत आणि तिघांपासून सारख्या अंतरावर एक झेंडा लावायचा आहे. तो बिंदू शोधला की त्याच्या भोवती तिघांना स्पर्श करणारे वर्तुळ काढता येते. हे परिवर्तुळ.
त्रिकोणाच्या तिन्ही शिरोबिंदूंमधून जाणारे वर्तुळ म्हणजे परिवर्तुळ. त्याचे केंद्र परिकेंद्र (तिन्ही बाजूंच्या लंबदुभाजकांचा छेदबिंदू) आणि त्रिज्या परित्रिज्या. परिकेंद्र तिन्ही शिरोबिंदूंपासून सारख्या अंतरावर असते.
परिवर्तुळ
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाआकृतीत : काटकोन त्रिकोणात परिकेंद्र कर्णाच्या मध्यबिंदूवर असते; परित्रिज्या कर्णाच्या निम्मी.
नियम 1 : परिकेंद्र = लंबदुभाजकांचा छेदबिंदू — दोन बाजूंचे लंबदुभाजक काढा; ते ज्या बिंदूत भेटतात तोच परिकेंद्र. त्याचे सर्व शिरोबिंदूंपासूनचे अंतर समान.
- सोपे : बाजू AB चा लंबदुभाजक A आणि B पासून सारख्या अंतरावर असलेले सर्व बिंदू दाखवतो.
- मध्यम : परिकेंद्र O साठी OA = OB = OC (सर्व त्रिज्या).
- परीक्षेसाठी : परिकेंद्र स्थान : लघुकोन त्रिकोणात आत, काटकोन त्रिकोणात कर्णावर, विशालकोन त्रिकोणात बाहेर.
नियम 2 : काटकोन त्रिकोणाची परित्रिज्या : R = कर्ण ÷ 2 — कर्णाचा मध्यबिंदू परिकेंद्र असतो. म्हणून कर्ण दिला की R मिळतो.
- सोपे : 3, 4, 5 : R = 5 ÷ 2 = 2.5.
- मध्यम : 6, 8, 10 : R = 10 ÷ 2 = 5 (आकृती).
- परीक्षेसाठी : 5, 12, 13 : R = 6.5. 9, 12, 15 : कर्ण 15 ⇒ R = 7.5 आणि r = (9 + 12 − 15) ÷ 2 = 3.
नियम 3 : इतर त्रिकोण : R = abc ÷ (4 × क्षेत्रफळ) — तिन्ही बाजू गुणा आणि क्षेत्रफळाच्या चौपटीने भागा.
- सोपे : 3, 4, 5 : abc = 60, क्षेत्रफळ 6 ⇒ R = 60 ÷ 24 = 2.5 (वरच्या उत्तराशी जुळते).
- मध्यम : समद्विभुज 10, 10, 12 : abc = 1200, क्षेत्रफळ 48, 4 × 48 = 192, R = 1200 ÷ 192 = 6.25.
- परीक्षेसाठी : 13, 14, 15 (क्षेत्रफळ 84) : abc = 2730, 4 × 84 = 336, R = 2730 ÷ 336 = 8.125.
परिवर्तुळ शिरोबिंदूंमधून जाते. त्याचे केंद्र बाजूंच्या लंबदुभाजकांचा छेदबिंदू. काटकोन त्रिकोणात R = कर्ण ÷ 2.
काटकोन त्रिकोणात परित्रिज्येसाठी r चे सूत्र वापरणे. r (अंतर्) आणि R (परि) वेगळ्या असतात : 6-8-10 साठी r = 2, R = 5.
पडताळा : R हे नेहमी r पेक्षा मोठे असते (R ≥ 2r). आठवणीची युक्ती : परिवर्तुळ शिरोबिंदूंतून जाते ; काटकोन त्रिकोणात R = कर्ण ÷ 2.
फरक ओळखा
| त्रिकोण | परिकेंद्र | उदाहरण R |
|---|---|---|
| लघुकोन | त्रिकोणाच्या आत | abc ÷ 4A |
| काटकोन | कर्णाचा मध्यबिंदू | कर्ण ÷ 2 |
| विशालकोन | त्रिकोणाच्या बाहेर | abc ÷ 4A |
सरावासाठी प्रश्न
- 1परिवर्तुळ त्रिकोणाच्या कशातून जाते?
- 2परिकेंद्र कशाचा छेदबिंदू असतो?
- 3काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण 10 असेल तर परित्रिज्या किती?
- 45, 12, 13 बाजू असलेल्या त्रिकोणाची परित्रिज्या शोधा.
- 58, 15, 17 बाजू असलेल्या त्रिकोणाची परित्रिज्या शोधा.
- 6विशालकोन त्रिकोणाचे परिकेंद्र कुठे असते?
- 7बाजू 10, 10, 12 असलेल्या त्रिकोणाची परित्रिज्या शोधा (क्षेत्रफळ 48).
- 8काटकोन त्रिकोणाच्या काटकोन करणाऱ्या बाजू 9 आणि 12. r आणि R शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1तिन्ही शिरोबिंदूंमधून. 2) तिन्ही बाजूंच्या लंबदुभाजकांचा. 3) 10 ÷ 2 = 5.
- 413 ÷ 2 = 6.5. 5) 17 ÷ 2 = 8.5. 6) त्रिकोणाच्या बाहेर.
- 7R = 1200 ÷ 192 = 6.25. 8) कर्ण 15. r = (9 + 12 − 15) ÷ 2 = 3 आणि R = 7.5.