K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 9 · गणित भाग २

धडा ५: चौकोन

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

समांतरभुज चौकोन आणि त्याचे गुणधर्म

रोजच्या जीवनातून

सरकत्या लोखंडी जाळीच्या गेटची उघडझाप केली की तिच्या चौकोनाच्या बाजूंची लांबी तीच राहते, पण कोन बदलतात. तरीही समोरासमोरच्या बाजू नेहमी समांतर आणि सारख्या राहतात. असा चौकोन म्हणजे समांतरभुज चौकोन.

सोपी व्याख्या

ज्या चौकोनाच्या समोरासमोरच्या दोन्ही बाजूंच्या जोड्या समांतर असतात त्याला समांतरभुज चौकोन म्हणतात. त्याचे चार गुणधर्म : (1) समोरासमोरच्या बाजू समान, (2) समोरासमोरचे कोन समान, (3) लगतचे कोन पूरक (बेरीज 180°), (4) विकर्ण एकमेकांना दुभागतात.

Live आकृती

समांतरभुज चौकोन आणि त्याचे गुणधर्म

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : समोरासमोरच्या बाजू आणि कोन समान — AB = DC आणि AD = BC. तसेच ∠A = ∠C आणि ∠B = ∠D. म्हणून एक बाजू दिली की समोरची बाजू मिळते.

  • सोपे : ▱PQRS मध्ये PQ = 6, QR = 4, ∠P = 70° : SR = 6, PS = 4 आणि ∠R = 70°.
  • मध्यम : बाजू 7 आणि 5 असलेल्या समांतरभुज चौकोनाची परिमिती 2 × (7 + 5) = 24.
  • परीक्षेसाठी : परिमिती 60 आणि एक बाजू दुसरीपेक्षा 6 ने मोठी. लहान बाजू x : 2(x + x + 6) = 60 ⇒ 4x + 12 = 60 ⇒ x = 12. बाजू 12 आणि 18.

नियम 2 : लगतचे कोन पूरक : बेरीज 180° — एक कोन दिला की त्याला लागून असलेला कोन 180° मधून वजा करा. समोरचे कोन सारखेच असतात.

समांतरभुज चौकोनाच्या कोनांचे समीकरणसमांतरभुज चौकोनात लगतचे कोन पूरक असतातABCD(3x+10)°(2x+20)°(3x+10)°(2x+20)°(3x + 10) + (2x + 20) = 180 ⇒ 5x = 150 ⇒ x = 30∠A = ∠C = 100° आणि ∠B = ∠D = 80°

आकृतीत : लगतच्या दोन कोनांच्या बेरजेचे समीकरण मांडा; x = 30 मिळतो.

  • सोपे : ∠A = 65° असेल तर ∠B = 180° − 65° = 115°; ∠C = 65°, ∠D = 115°.
  • मध्यम : लगतच्या कोनांचे गुणोत्तर 2 : 3. एकूण 5 भाग; एक भाग 180 ÷ 5 = 36. कोन 72° आणि 108°; चारही कोन 72°, 108°, 72°, 108°.
  • परीक्षेसाठी : ∠A = (3x + 10)° आणि ∠B = (2x + 20)° : 5x + 30 = 180 ⇒ x = 30. ∠A = 100° आणि ∠B = 80°.

नियम 3 : विकर्ण एकमेकांना दुभागतात — दोन्ही विकर्ण ज्या बिंदूत छेदतात तो प्रत्येकाचा मध्यबिंदू असतो. म्हणून AO = OC आणि BO = OD.

  • सोपे : AO = 5 ⇒ OC = 5 आणि AC = 10.
  • मध्यम : BD = 14 ⇒ BO = OD = 7.
  • परीक्षेसाठी : AO = (3x − 1) आणि OC = (x + 9) : 3x − 1 = x + 9 ⇒ x = 5. AO = 14 आणि AC = 28.
लक्षात ठेवा

समांतरभुज चौकोनात समोरच्या बाजू आणि समोरचे कोन समान; लगतचे कोन पूरक; विकर्ण परस्पर दुभागतात.

सामान्य चूक

लगतचे कोन समान समजणे. ते समान नसतात, त्यांची बेरीज 180° असते (आयतात मात्र दोन्ही 90°).

शॉर्टकट

विकर्ण समान लांबीचे असतातच असे नाही. फक्त परस्पर दुभागतात. आठवणीची युक्ती : समांतरभुज : समोरच्या बाजू समान, समोरचे कोन समान, विकर्ण परस्पर दुभागतात.

फरक ओळखा

गुणधर्मसमांतरभुज चौकोनात
समोरच्या बाजूसमान आणि समांतर
समोरचे कोनसमान
लगतचे कोनबेरीज 180°
विकर्णएकमेकांना दुभागतात (समान असतीलच असे नाही)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1▱PQRS मध्ये PQ = 8 असेल तर SR किती?
  2. 2▱ABCD मध्ये ∠A = 110° असेल तर ∠C किती?
  3. 3∠A = 60° असेल तर ∠B किती?
मध्यम
  1. 4समांतरभुज चौकोनाची परिमिती 54 आणि एक बाजू 15. दुसरी बाजू किती?
  2. 5लगतच्या कोनांचे गुणोत्तर 1 : 2 असेल तर ते कोन किती?
  3. 6विकर्ण AC = 18 आणि BD = 12, O छेदबिंदू. AO आणि BO किती? AB = 10 असेल तर ∆AOB ची परिमिती किती?
आव्हानात्मक
  1. 7∠A = (7x + 5)° आणि ∠B = (3x + 25)° लगतचे कोन. x आणि दोन्ही कोन शोधा.
  2. 8AO = (2x + 1), OC = (4x − 9), BO = (3y − 2), OD = (y + 8). x, y आणि AC, BD शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1SR = 8. 2) ∠C = 110°. 3) ∠B = 180° − 60° = 120°.
  2. 4दोन्ही बाजूंची बेरीज 54 ÷ 2 = 27. दुसरी बाजू 27 − 15 = 12. 5) एकूण 3 भाग; एक भाग 60°. कोन 60° आणि 120°. 6) AO = 9, BO = 6. परिमिती 9 + 6 + 10 = 25.
  3. 710x + 30 = 180 ⇒ x = 15. ∠A = 110° आणि ∠B = 70°. 8) 2x + 1 = 4x − 9 ⇒ x = 5, AO = 11, AC = 22. 3y − 2 = y + 8 ⇒ y = 5, BO = 13, BD = 26.

समांतरभुज चौकोन ओळखण्याच्या कसोट्या

रोजच्या जीवनातून

सुताराने दोन्ही जोड्यांतील लाकडी पट्ट्या सारख्या लांबीच्या घेतल्या की चौकट आपोआप समांतरभुज होते. आधी आकार पाहून नाही तर मोजमापावरून ठरवायचे असते म्हणून कसोट्या लागतात.

सोपी व्याख्या

गुणधर्म उलट वाचले की कसोट्या मिळतात. चौकोनात खालीलपैकी एक गोष्ट खरी असेल तर तो समांतरभुज चौकोन असतो.

चौकोन समांतरभुज आहे हे दाखवणाऱ्या चार कसोट्यासमांतरभुज चौकोन ओळखण्याच्या चार कसोट्याABCDदोन्ही जोड्यांतीलसमोरच्या बाजू समानααββABCDदोन्ही जोड्यांतीलसमोरचे कोन समानABCDविकर्ण एकमेकांनादुभागतातABCDएक जोडी समोरच्याबाजू समान आणि समांतर

आकृतीत : चारही कसोट्यांच्या चित्रखुणा : समान खुणा म्हणजे समान लांबी किंवा समान कोन.

नियम 1 : कसोटी 1 आणि 2 : समोरच्या बाजू किंवा समोरचे कोन समान — दोन्ही जोड्यांतील समोरच्या बाजू समान असतील, किंवा दोन्ही जोड्यांतील समोरचे कोन समान असतील तर चौकोन समांतरभुज.

  • सोपे : AB = DC = 5 आणि AD = BC = 3 : समोरच्या बाजू समान, म्हणून ▱ABCD.
  • मध्यम : ∠A = ∠C = 70° आणि ∠B = ∠D = 110° : समोरचे कोन समान (70 + 110 + 70 + 110 = 360), म्हणून समांतरभुज.
  • परीक्षेसाठी : बाजू क्रमाने 5, 6, 5, 7 : AB = 5 आणि CD = 5 पण BC = 6 आणि DA = 7 असमान. म्हणून या कसोटीने तो समांतरभुज सिद्ध होत नाही.

नियम 2 : कसोटी 3 : विकर्ण एकमेकांना दुभागतात — दोन्ही विकर्णांचा छेदबिंदू प्रत्येक विकर्णाचा मध्यबिंदू असेल तर समांतरभुज.

  • सोपे : AO = OC आणि BO = OD : समांतरभुज.
  • मध्यम : AO = OC = 6 आणि BO = OD = 8 (AC = 12, BD = 16) : समांतरभुज.
  • परीक्षेसाठी : AO = 5, OC = 5, BO = 4, OD = 6 : AC दुभागले जाते पण BD नाही, म्हणून समांतरभुज नाही.

नियम 3 : कसोटी 4 : एक जोडी समोरच्या बाजू समान आणि समांतर — एकाच जोडीच्या बाजू समांतर आहेत आणि समानही आहेत एवढे पुरेसे आहे.

  • सोपे : AB ∥ DC आणि AB = DC = 9 : समांतरभुज.
  • मध्यम : ▱ABCD मध्ये E हा AB चा आणि F हा DC चा मध्यबिंदू. AE = ½AB = ½DC = FC आणि AE ∥ FC. म्हणून AECF समांतरभुज.
  • परीक्षेसाठी : AB ∥ DC, AB = DC = 9 आणि ∠A = 90°. समांतरभुज तर आहेच, शिवाय एक कोन 90° म्हणून आयत. AD = 12 असेल तर विकर्ण AC = 15 (9² + 12² = 15²).
लक्षात ठेवा

चारपैकी एकच कसोटी खरी असली तरी पुरे. पण कसोटीत "दोन्ही जोड्या" हा शब्द पाळावा लागतो (4 थी कसोटी सोडून).

सामान्य चूक

एकाच जोडीच्या बाजू समान आहेत म्हणून समांतरभुज ठरवणे. फक्त समान असून चालत नाही, त्या समांतरही हव्यात.

शॉर्टकट

काय दिले आहे ते पाहून कसोटी निवडा : बाजू, कोन, विकर्ण किंवा एक जोडी बाजू. आठवणीची युक्ती : कसोटी : "एक जोडी बाजू समान आणि समांतर" ही सर्वात सोपी.

फरक ओळखा

जे दिले आहेवापरायची कसोटी
चारही बाजूंची लांबीदोन्ही जोड्यांतील समोरच्या बाजू समान?
चारही कोनदोन्ही जोड्यांतील समोरचे कोन समान?
विकर्णाचे तुकडेविकर्ण परस्पर दुभागतात?
एक जोडी बाजूसमान आणि समांतर?

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1AB = DC = 7 आणि BC = AD = 4 असलेला चौकोन ABCD कोणता?
  2. 2ज्या चौकोनाचे विकर्ण परस्पर दुभागतात तो कोणता?
  3. 3क्रमाने बाजू 5, 6, 5, 7 असलेला चौकोन समांतरभुज आहे का?
मध्यम
  1. 4क्रमाने कोन 80°, 100°, 80°, 100° असलेला चौकोन कोणत्या कसोटीने समांतरभुज ठरतो?
  2. 5क्रमाने कोन 80°, 80°, 100°, 100° असलेला चौकोन या कसोटीने समांतरभुज आहे का?
  3. 6AO = 5, OC = 5, BO = 4, OD = 6. समांतरभुज आहे का?
आव्हानात्मक
  1. 7AB ∥ DC आणि AB = DC = 9, AD = 12 आणि ∠A = 90°. आकृती कोणती? AC किती?
  2. 8▱ABCD मध्ये E आणि F हे AB आणि DC चे मध्यबिंदू. AECF समांतरभुज का आहे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1समांतरभुज चौकोन. 2) समांतरभुज चौकोन. 3) नाही : BC = 6 आणि AD = 7 असमान.
  2. 4समोरचे कोन समान (कसोटी 2). 5) नाही : समोरचे कोन 80° आणि 100° असमान. 6) नाही : BD दुभागला जात नाही (4 ≠ 6).
  3. 7एक जोडी समान आणि समांतर ⇒ समांतरभुज; ∠A = 90° ⇒ आयत. AC = √(9² + 12²) = 15. 8) AE = ½AB = ½DC = FC आणि AE ∥ FC. एक जोडी समान आणि समांतर, म्हणून समांतरभुज (कसोटी 4).

आयत, समभुज चौकोन आणि चौरस

रोजच्या जीवनातून

पुस्तक आयत असते, कॅरम बोर्डाचा पृष्ठभाग चौरस असतो आणि पतंग किंवा हिऱ्याचा आकार समभुज चौकोनासारखा दिसतो. हे सगळे आकार समांतरभुज चौकोनाचेच विशेष प्रकार आहेत.

सोपी व्याख्या

आयत : सर्व कोन 90° असलेला समांतरभुज चौकोन. समभुज चौकोन : सर्व बाजू समान असलेला समांतरभुज चौकोन. चौरस : सर्व कोन 90° आणि सर्व बाजू समान, म्हणजे आयत आणि समभुज दोन्ही.

आयत आणि समभुज चौकोन समांतरभुज आहेत; चौरस दोन्ही आहेचौकोनांचे कुटुंबचौकोनसमांतरभुज चौकोनसमोरच्या बाजू समांतरआयतसर्व कोन 90°समभुज चौकोनसर्व बाजू समानचौरसकोन 90° आणि बाजू समान

आकृतीत : कुटुंबवृक्ष : समांतरभुजातून आयत आणि समभुज आणि त्या दोघांतून चौरस.

Live आकृती

आयत, समभुज चौकोन आणि चौरस

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : आयत : विकर्ण समान आणि परस्पर दुभागतात — आयताचे सर्व कोन 90° असल्याने विकर्णावर पायथागोरस वापरता येतो : विकर्ण² = लांबी² + रुंदी².

  • सोपे : आयत 8 × 6 : विकर्ण = √(64 + 36) = 10.
  • मध्यम : विकर्ण 13 आणि एक बाजू 5 : दुसरी बाजू √(169 − 25) = √144 = 12.
  • परीक्षेसाठी : परिमिती 34 आणि विकर्ण 13. l + b = 17 आणि l² + b² = 169. (l + b)² = 289 ⇒ 2lb = 289 − 169 = 120 ⇒ lb = 60. 12 आणि 5 (12 + 5 = 17, 12 × 5 = 60).

नियम 2 : समभुज चौकोन : विकर्ण परस्पर लंब आणि दुभागणारे — चारही बाजू समान. विकर्ण काटकोनात छेदतात, म्हणून अर्धे विकर्ण आणि बाजू यांचा काटकोन त्रिकोण मिळतो. क्षेत्रफळ = ½ × विकर्ण₁ × विकर्ण₂.

  • सोपे : बाजू 5 असलेल्या समभुज चौकोनाची परिमिती 4 × 5 = 20.
  • मध्यम : विकर्ण 16 आणि 12 : अर्धे 8 आणि 6, बाजू √(64 + 36) = 10. क्षेत्रफळ ½ × 16 × 12 = 96.
  • परीक्षेसाठी : बाजू 13 आणि एक विकर्ण 24 : अर्धे 12, दुसरे अर्धे √(169 − 144) = 5, म्हणून दुसरा विकर्ण 10. क्षेत्रफळ ½ × 24 × 10 = 120.

नियम 3 : चौरस : आयत आणि समभुज दोन्हींचे गुणधर्म — विकर्ण समान आणि परस्पर लंब आणि दुभागणारे. चौरसाचे क्षेत्रफळ = ½ × विकर्ण².

  • सोपे : बाजू 7 असलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ 7 × 7 = 49 आणि परिमिती 28.
  • मध्यम : विकर्ण 12 असलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ ½ × 12 × 12 = 72.
  • परीक्षेसाठी : समभुज चौकोनाचे विकर्ण 6 आणि 8. बाजू √(9 + 16) = 5. विकर्ण असमान, म्हणून तो चौरस नाही. विकर्ण समान असते तर चौरस झाला असता.
लक्षात ठेवा

चौरस हा आयतही आहे आणि समभुजही. पण प्रत्येक आयत चौरस नसतो.

सामान्य चूक

समभुज चौकोनाचे विकर्ण समान समजणे. ते परस्पर लंब असतात, समान नाही (चौरस वगळता).

शॉर्टकट

आयतात विकर्ण समान, समभुजात विकर्ण लंब, चौरसात दोन्ही. आठवणीची युक्ती : आयत = समांतरभुज + एक काटकोन ; समभुज = समांतरभुज + लगत बाजू समान.

फरक ओळखा

आयतसमभुजचौरस
सर्व कोन 90°होनाहीहो
सर्व बाजू समाननाहीहोहो
विकर्ण समानहोनाहीहो
विकर्ण लंबनाहीहोहो

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1आयताच्या बाजू 6 आणि 8 असतील तर विकर्ण किती?
  2. 2बाजू 9 असलेल्या समभुज चौकोनाची परिमिती किती?
  3. 3बाजू 7 असलेल्या चौरसाची परिमिती किती?
मध्यम
  1. 4आयताचा विकर्ण 20 आणि एक बाजू 12 असेल तर दुसरी बाजू आणि क्षेत्रफळ किती?
  2. 5समभुज चौकोनाचे विकर्ण 10 आणि 24. बाजू किती आणि क्षेत्रफळ किती?
  3. 6चौरसाचा विकर्ण 16 असेल तर क्षेत्रफळ किती?
आव्हानात्मक
  1. 7समभुज चौकोनाची बाजू 15 आणि एक विकर्ण 18. दुसरा विकर्ण आणि क्षेत्रफळ शोधा.
  2. 8बाजू 30 सेमी असलेल्या समभुज चौकोनाची परिमिती किती? त्याचा एक कोन 90° असेल तर तो कोणता चौकोन?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1√(36 + 64) = 10. 2) 4 × 9 = 36. 3) 4 × 7 = 28.
  2. 4√(400 − 144) = 16. क्षेत्रफळ 12 × 16 = 192. 5) अर्धे 5 आणि 12 ⇒ बाजू √(25 + 144) = 13. क्षेत्रफळ ½ × 10 × 24 = 120. 6) ½ × 16 × 16 = 128.
  3. 7अर्धे 9; दुसरे अर्धे √(225 − 81) = √144 = 12. दुसरा विकर्ण 24. क्षेत्रफळ ½ × 18 × 24 = 216. 8) परिमिती 4 × 30 = 120 सेमी. एक कोन 90° असेल तर सर्व 90°, म्हणून चौरस.

समलंब चौकोन

रोजच्या जीवनातून

रस्त्याच्या कडेला बांधलेली खोके-आकाराची बैठक, किंवा बादलीचा तिरपा आकार, खालून रुंद आणि वरून अरुंद असतो. यात फक्त वरची आणि खालची बाजू समांतर असते; बाजूच्या दोन बाजू तिरक्या असतात.

सोपी व्याख्या

ज्या चौकोनाची फक्त एकच जोडी समोरच्या बाजू समांतर असते त्याला समलंब चौकोन म्हणतात. समांतर बाजूंना पाया आणि तिरक्या बाजूंना भुजा म्हणतात. भुजा समान असतील तर तो समद्विभुज समलंब. भुजांच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा रेषाखंड मध्यगा.

समलंब चौकोन, त्याची मध्यगा आणि समद्विभुज समलंबसमलंब चौकोन आणि त्याची मध्यगाABCDPQAB = 14 (खालची), DC = 8 (वरची), AB ∥ DCमध्यगा PQ = (14 + 8) ÷ 2 = 11 (PQ ∥ AB)AD = BC असल्याने हा समद्विभुज समलंब : ∠A = ∠B

आकृतीत : AB ∥ DC. मध्यगा PQ पायांना समांतर आहे आणि दोन्ही पायांच्या बेरजेच्या निम्मी आहे.

नियम 1 : पायांना लागून असलेले कोन पूरक — AB ∥ DC असेल तर ∠A + ∠D = 180° आणि ∠B + ∠C = 180° (एकाच भुजेवरचे कोन).

  • सोपे : AB ∥ DC आणि ∠A = 70° ⇒ ∠D = 180° − 70° = 110°.
  • मध्यम : ∠A = 95° असेल तर ∠D = 85°; ∠B = 100° असेल तर ∠C = 80°.
  • परीक्षेसाठी : ∠A = (3x + 5)° आणि ∠D = (2x + 25)° : 5x + 30 = 180 ⇒ x = 30. ∠A = 95° आणि ∠D = 85°.

नियम 2 : समद्विभुज समलंब : पायांवरचे कोन समान — भुजा AD = BC असतील तर ∠A = ∠B आणि ∠C = ∠D. त्याचे विकर्ण समानही असतात.

  • सोपे : पाया 12 आणि 8, भुजा 5 आणि 5 : परिमिती 12 + 8 + 5 + 5 = 30.
  • मध्यम : ∠A = ∠B = 70° ⇒ ∠C = ∠D = 180° − 70° = 110°. बेरीज 70 + 70 + 110 + 110 = 360.
  • परीक्षेसाठी : समद्विभुज समलंबात ∠A = (5x + 10)° आणि ∠B = (7x − 30)° : समान ⇒ 5x + 10 = 7x − 30 ⇒ x = 20. ∠A = ∠B = 110° आणि ∠C = ∠D = 70°.

नियम 3 : मध्यगा = दोन्ही पायांच्या बेरजेचा निम्मा — मध्यगा पायांना समांतर असते. लांबी = (पाया₁ + पाया₂) ÷ 2.

  • सोपे : पाया 14 आणि 8 : मध्यगा (14 + 8) ÷ 2 = 11.
  • मध्यम : मध्यगा 15 आणि एक पाया 18 : दुसरा पाया 2 × 15 − 18 = 12.
  • परीक्षेसाठी : पाया (3x + 5) आणि (x + 7), मध्यगा 12 : (4x + 12) ÷ 2 = 12 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3. पाया 14 आणि 10.
लक्षात ठेवा

समलंब चौकोनात एकाच भुजेवरचे दोन कोन पूरक असतात. समद्विभुजमध्ये पायावरचे कोन समान.

सामान्य चूक

समलंबात सर्व समोरच्या बाजू समांतर मानणे. फक्त पाया समांतर असतात; भुजा नाहीत.

शॉर्टकट

मध्यगा काढताना दोन्ही पाया जोडा आणि 2 ने भागा. उंचीचा काहीही संबंध नाही. आठवणीची युक्ती : मध्यगा = (पाया + पाया) ÷ 2 : "दोन पाया, निम्मे".

फरक ओळखा

समांतरभुजसमलंब
समांतर बाजूंच्या जोड्यादोनएकच
समोरचे कोनसमानसहसा समान नाहीत
विकर्णपरस्पर दुभागतातसहसा दुभागत नाहीत
मध्यगा—पायांच्या बेरजेचा निम्मा

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1समलंबात AB ∥ DC आणि ∠A = 80° असेल तर ∠D किती?
  2. 2पाया 20 आणि 12 असलेल्या समलंबाची मध्यगा किती?
  3. 3समलंबात किती जोड्या समोरच्या बाजू समांतर असतात?
मध्यम
  1. 4समद्विभुज समलंबात ∠A = 65°. बाकीचे कोन शोधा.
  2. 5मध्यगा 18 आणि एक पाया 26 असेल तर दुसरा पाया किती?
  3. 6समलंबाचे पाया 15 आणि 9, भुजा 5 आणि 5. परिमिती किती?
आव्हानात्मक
  1. 7AB ∥ DC, ∠A = (6x + 15)° आणि ∠D = (3x + 30)°. x आणि दोन्ही कोन शोधा.
  2. 8पाया (2x + 3) आणि (x + 9), मध्यगा 12. x आणि दोन्ही पाया शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1∠D = 100°. 2) (20 + 12) ÷ 2 = 16. 3) एकच जोडी.
  2. 4∠B = 65°, ∠C = ∠D = 180° − 65° = 115°. 5) दुसरा पाया 2 × 18 − 26 = 10. 6) 15 + 9 + 5 + 5 = 34.
  3. 79x + 45 = 180 ⇒ x = 15. ∠A = 105° आणि ∠D = 75°. 8) (3x + 12) ÷ 2 = 12 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4. पाया 11 आणि 13.

त्रिकोणाच्या दोन बाजूंच्या मध्यबिंदूंचा सिद्धांत

रोजच्या जीवनातून

शेताचा त्रिकोणी तुकडा आहे आणि दोन बाजूंच्या मध्यावर दोन खुंट्या ठोकल्या. त्या दोन खुंट्यांमधील दोर तिसऱ्या बाजूशी समांतर आणि तिच्या अर्ध्या लांबीचा असतो, तुम्ही शेत कसेही असले तरी.

सोपी व्याख्या

सिद्धांत : त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा रेषाखंड तिसऱ्या बाजूला समांतर असतो आणि तिच्या निम्म्या लांबीचा असतो. उलट सिद्धांत : एका बाजूच्या मध्यबिंदूतून दुसऱ्या बाजूला समांतर रेषा काढली तर ती तिसऱ्या बाजूला दुभागते.

Live आकृती

त्रिकोणाच्या दोन बाजूंच्या मध्यबिंदूंचा सिद्धांत

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : PQ = ½ BC आणि PQ ∥ BC — P आणि Q हे AB आणि AC चे मध्यबिंदू असतील तर PQ हा BC चा निम्मा आणि समांतर. BC दिली की PQ, किंवा PQ दिली की BC मिळते.

  • सोपे : BC = 16 ⇒ PQ = 8.
  • मध्यम : PQ = 9 ⇒ BC = 2 × 9 = 18.
  • परीक्षेसाठी : ∠ABC = 70° आणि PQ ∥ BC ⇒ संगत कोन ∠APQ = 70°. तसेच ∠AQP = ∠ACB.

नियम 2 : तीन मध्यबिंदू जोडले की बाजू निम्म्या — त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजूंचे मध्यबिंदू जोडले तर लहान त्रिकोणाच्या बाजू मोठ्याच्या निम्म्या. म्हणून परिमितीही निम्मी.

त्रिकोणाच्या बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडल्यास मिळणारा त्रिकोणमध्यबिंदू जोडल्याने तयार झालेला लहान त्रिकोणABCPQRमोठ्याच्या बाजू 10, 12, 14 ⇒ लहान त्रिकोणाच्या बाजू 5, 6, 7परिमिती 36 आणि 18 : लहानाची परिमिती निम्मी

आकृतीत : बाजू 10, 12, 14 असलेल्या त्रिकोणाचा मध्यबिंदू-त्रिकोण 5, 6, 7 बाजूंचा होतो.

  • सोपे : बाजू 14, 16, 18 : लहान त्रिकोणाच्या बाजू 7, 8, 9; परिमिती 24.
  • मध्यम : P, Q, R हे AB, BC, CA चे मध्यबिंदू आणि PQ = 5, QR = 6, RP = 7. AC = 2 × 5 = 10, AB = 2 × 6 = 12, BC = 2 × 7 = 14.
  • परीक्षेसाठी : मोठ्या त्रिकोणाची परिमिती 36 असेल तर लहानाची 36 ÷ 2 = 18. क्षेत्रफळ मात्र एक चतुर्थांश असते.

नियम 3 : चौकोनाच्या बाजूंचे मध्यबिंदू जोडले की समांतरभुज — कोणत्याही चौकोनाच्या चार बाजूंचे मध्यबिंदू क्रमाने जोडले तर नेहमी समांतरभुज चौकोन मिळतो. त्याच्या बाजू मोठ्या चौकोनाच्या विकर्णांच्या निम्म्या असतात.

  • सोपे : चौकोनाचे विकर्ण 10 आणि 6 : मध्यबिंदू-चौकोनाच्या बाजू 5 आणि 3; परिमिती 2 × (5 + 3) = 16.
  • मध्यम : विकर्ण 16 आणि 12 : बाजू 8 आणि 6; परिमिती 2 × (8 + 6) = 28.
  • परीक्षेसाठी : मोठ्या चौकोनाचे विकर्ण परस्पर लंब असतील तर मध्यबिंदू-चौकोनाचे लगतचे बाजू लंब होतात, म्हणून तो आयत होतो.
लक्षात ठेवा

PQ फक्त तेव्हाच BC चा निम्मा असतो जेव्हा P आणि Q हे दोन्ही मध्यबिंदू असतात.

सामान्य चूक

कोणतीही रेषा BC ला समांतर काढून तिलाही निम्मी समजणे. निम्मी लांबी फक्त मध्यबिंदूंना जोडल्यावरच मिळते.

शॉर्टकट

लहान त्रिकोणाची बाजू = मोठ्या त्रिकोणाची समोरची बाजू ÷ 2. आठवणीची युक्ती : मध्यबिंदू सिद्धांत : जोडणारी रेषा तिसऱ्या बाजूला समांतर आणि तिच्या निम्मी.

फरक ओळखा

मध्यबिंदू सिद्धांत
जोडतातदोन बाजूंचे मध्यबिंदू
दिशातिसऱ्या बाजूला समांतर
लांबीतिसऱ्या बाजूच्या निम्मी
तीनही मध्यबिंदू जोडल्यासपरिमिती निम्मी, क्षेत्रफळ एक चतुर्थांश

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1BC = 20 असेल तर PQ किती? (P, Q हे AB, AC चे मध्यबिंदू)
  2. 2PQ = 6 असेल तर BC किती?
  3. 3AB = 18 आणि P हा AB चा मध्यबिंदू असेल तर AP किती?
मध्यम
  1. 4त्रिकोणाच्या बाजू 18, 20, 22 आहेत. मध्यबिंदू जोडून बनलेल्या त्रिकोणाची परिमिती किती?
  2. 5PQ ∥ BC आणि ∠ABC = 55° असेल तर ∠APQ किती?
  3. 6P हा AB चा मध्यबिंदू आणि PQ ∥ BC, AC = 20. AQ किती?
आव्हानात्मक
  1. 7P, Q, R हे AB, BC, CA चे मध्यबिंदू. PQ = 5, QR = 6, RP = 7. मोठ्या त्रिकोणाच्या बाजू आणि परिमिती शोधा.
  2. 8चौकोनाचे विकर्ण 16 आणि 12 आहेत. बाजूंचे मध्यबिंदू जोडल्यास कोणता चौकोन मिळतो? त्याची परिमिती किती? विकर्ण परस्पर लंब असतील तर तो कोणता?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1PQ = 10. 2) BC = 12. 3) AP = 9.
  2. 4बाजू 9, 10, 11; परिमिती 30. 5) संगत कोन : ∠APQ = 55°. 6) उलट सिद्धांतानुसार Q हा AC चा मध्यबिंदू ⇒ AQ = 10.
  3. 7AC = 10, AB = 12, BC = 14. परिमिती 36. 8) समांतरभुज चौकोन; बाजू 8 आणि 6; परिमिती 28. विकर्ण लंब असतील तर आयत.