धडा ४: त्रिकोणांच्या रचना | राज्य मंडळ · इयत्ता 9 · गणित भाग २

त्रिकोणरचनेची मूलतत्त्वे

रोजच्या जीवनातून

शिंपी त्रिकोणी झेंडा तेव्हाच कापू शकतो जेव्हा पुरेशी माहिती मिळते : उदा. पाया, एक कोन आणि इतर दोन बाजूंची एकूण लांबी. त्रिकोण रचना अशाच "पुरेशा" माहितीवर चालते.

सोपी व्याख्या

त्रिकोण रचण्यासाठी तीन योग्य अटी लागतात. येथे A नेहमी एक किरण आणि एका रेषाखंडाचा लंबदुभाजक (perpendicular bisector) यांचा छेदनबिंदू असतो.

नियम 1 : माहीत असलेल्या रचना आणि वापरलेले प्रमेय — आधी आपण तीन बाजूंवरून; पाया आणि दोन लगतचे कोन; दोन बाजू व मधला कोन; आणि कर्ण व एक बाजू यांवरून काटकोन त्रिकोण रचला. लंबदुभाजक प्रमेय : रेषाखंडाच्या लंबदुभाजकावरील प्रत्येक बिंदू त्याच्या अंत्यबिंदूंपासून समान अंतरावर असतो, आणि अंत्यबिंदूंपासून समान अंतरावरील प्रत्येक बिंदू त्या लंबदुभाजकावर असतो. दोन वेगळ्या रेषांवर असलेला बिंदू म्हणजे त्यांचा छेदनबिंदू.

आकृतीत : आकृतीत प्रत्येक रचनेत एकच कल्पना : A हा C ला खूण केलेल्या बिंदूशी जोडणाऱ्या रेषाखंडाच्या लंबदुभाजकावर असतो.

सोपे : रेषाखंड CD च्या लंबदुभाजकावरील कोणताही बिंदू C आणि D पासून सारख्याच अंतरावर.
मध्यम : AC = AD असेल तर A हा रेषाखंड CD च्या लंबदुभाजकावर.
परीक्षेसाठी : 3 सेमी, 4 सेमी, 8 सेमी बाजूंचा त्रिकोण होत नाही, कारण 3 + 4 = 7 < 8.

नियम 2 : तीन नवीन रचना — (I) पाया, पायाला लागून एक कोन आणि इतर दोन बाजूंची बेरीज. (II) पाया, पायाला लागून एक कोन आणि इतर दोन बाजूंचा फरक. (III) परिमिती आणि पायावरील दोन कोन. प्रत्येकात एक मदतनीस बिंदू घेतात, ज्यामुळे A लंबदुभाजकावर येतो.

सोपे : दोन बाजूंची बेरीज → रचना I.
मध्यम : दोन बाजूंचा फरक → रचना II.
परीक्षेसाठी : परिमिती आणि पायाचे कोन → रचना III.

लक्षात ठेवा

A हा किरण आणि लंबदुभाजक यांचा छेदनबिंदू.

सामान्य चूक

त्रिकोण नियम मोडणाऱ्या बाजू घेणे. दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्यापेक्षा मोठी आहे ते तपासा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "किरण + लंबदुभाजक = A".

फरक ओळखा

दिलेले	रचना
पाया, कोन, बाजूंची बेरीज	I
पाया, कोन, बाजूंचा फरक	II
परिमिती, पायाचे कोन	III

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1त्रिकोण रचण्यासाठी किती अटी लागतात?
2या रचनांमध्ये A काय असतो?
3लंबदुभाजक प्रमेय सांगा.

मध्यम

4कोणती रचना दोन बाजूंची बेरीज वापरते?
5कोणती परिमिती वापरते?
65, 6, 12 बाजूंचा त्रिकोण होईल का?

आव्हानात्मक

7बिंदू दोन रेषांवर असेल तर त्याला काय म्हणतात?
8या रचनांमध्ये लंबदुभाजक का उपयोगी?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1तीन.
2किरण आणि लंबदुभाजक यांचा छेदनबिंदू.
3त्यावरील बिंदू अंत्यबिंदूंपासून समान अंतरावर असतात, आणि उलटही.
4रचना I.
5रचना III.
6नाही, 5 + 6 = 11 < 12.
7त्यांचा छेदनबिंदू.
8दोन खुणांच्या बिंदूंपासून समान अंतरावरील सर्व बिंदू तो देतो, त्यामुळे A निश्चित होतो.

रचना I : पाया, संलग्न कोन आणि दोन बाजूंची बेरीज

रोजच्या जीवनातून

B पासून A आणि A पासून C पर्यंत एकूण 10 m दोरी आहे आणि B व C मध्ये 6 m अंतर आहे असे समजा. A एका मार्गावर कुठेही असू शकतो. B वरचा कोन आणि दोरीची लांबी दिली की A एकाच जागी निश्चित होतो.

सोपी व्याख्या

रचना I : दिलेले BC, ∠B आणि AB + AC; ΔABC रचा.

नियम 1 : रचना I च्या पायऱ्या — उदाहरण : BC = 6 सेमी, ∠B = 45°, AB + AC = 10 सेमी. (1) रेषाखंड BC = 6 सेमी काढा. (2) किरण BP काढा, ∠PBC = 45°. (3) किरण BP वर BD = 10 सेमी असा D घ्या. (4) D ला C शी जोडा. (5) रेषाखंड DC चा लंबदुभाजक काढा; तो किरण BP ला A मध्ये छेदतो. (6) A ला C शी जोडा.

आकृतीत : आकृतीत रचना I : BC = 6 सेमी, ∠B = 45°, AB + AC = 10 सेमी.

सोपे : B पासूनच्या किरणावर BD = AB + AC घ्या.
मध्यम : कारण : BA + AD = BA + AC = 10, म्हणून AD = AC.
परीक्षेसाठी : AD = AC असल्याने A हा रेषाखंड DC च्या लंबदुभाजकावर.

नियम 2 : परिमिती आणि इतर प्रसंग — परिमिती आणि पाया दिल्यास AB + AC = परिमिती − पाया. BC = 4 सेमी आणि परिमिती 11 सेमी असेल तर AB + AC = 7 सेमी. बेरीज पायापेक्षा मोठी हवी (7 > 4). दिलेला कोन ∠C असेल तर किरण C पासून काढा.

Live आकृती

रचना I : पाया, संलग्न कोन आणि दोन बाजूंची बेरीज

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

सोपे : परिमिती 12, BC = 5 वरून AB + AC = 7.
मध्यम : BC = 6 आणि AB + AC = 5 अशक्य, कारण 5 < 6.
परीक्षेसाठी : BC = 5 सेमी, ∠C = 60°, AB + AC = 9 सेमी असलेला ΔABC रचा : किरण C पासून काढा आणि CD = 9 सेमी घ्या.

लक्षात ठेवा

D किरणावर, BD = AB + AC. A हा DC च्या लंबदुभाजकावर.

सामान्य चूक

BD ला पाया समजणे. BD म्हणजे दोन बाजूंची बेरीज.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "बेरीज = BD, A = DC चा लंबदुभाजक".

फरक ओळखा

पायरी	कृती
1	BC = 6 सेमी
2	∠PBC = 45°
3	किरण BP वर
4	DC चा लंबदुभाजक किरणाला A मध्ये भेटतो

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1रचना I मध्ये कोणत्या तीन गोष्टी दिल्या असतात?
2BD किती लांब असतो?
3A हा DC च्या लंबदुभाजकावर का?

मध्यम

4परिमिती 15 सेमी आणि पाया 6 सेमी. AB + AC काढा.
5BC = 8 सेमी आणि AB + AC = 7 सेमी असा त्रिकोण रचता येईल का?
6∠C दिला असेल तर किरण कोणत्या बिंदूपासून काढतात?

आव्हानात्मक

7BC = 4.5 सेमी, परिमिती 12 सेमी. AB + AC काढा.
8रचना I मध्ये AD = AC सिद्ध करा.

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1BC, ∠B आणि AB + AC.
2AB + AC.
3कारण AD = AC.
49 सेमी.
5नाही, दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्यापेक्षा मोठी हवी.
6C पासून.
77.5 सेमी.
8BD = BA + AD = AB + AC, आणि BD हे AB + AC इतके घेतले, म्हणून AD = AC.

रचना II : पाया, संलग्न कोन आणि दोन बाजूंचा फरक

रोजच्या जीवनातून

दोन धावपटू एकाच दारातून निघतात. एक दुसऱ्यापेक्षा 2 किमी जास्त धावतो. हा फरक त्यांची जागा ठरवतो. त्रिकोणातही दोन बाजूंचा फरक एका कोपऱ्याची जागा ठरवतो.

सोपी व्याख्या

रचना II : दिलेले BC, ∠B आणि AB − AC (किंवा AC − AB); ΔABC रचा.

नियम 1 : AB > AC असताना — उदाहरण : BC = 5 सेमी, ∠B = 50°, AB − AC = 2 सेमी. रेषाखंड BC काढा. किरण BL काढा, ∠LBC = 50°. किरण BL वर BD = 2 सेमी असा D घ्या. D ला C शी जोडा. रेषाखंड DC चा लंबदुभाजक काढा; तो किरण BL ला A मध्ये छेदतो. कारण : B − D − A आणि BD = AB − AD = 2, म्हणून AD = AC.

आकृतीत : आकृतीत रचना II : BC = 5 सेमी, ∠B = 50°, AB − AC = 2 सेमी.

सोपे : BD = फरक, येथे 2 सेमी.
मध्यम : D हा किरण BL वर, B आणि A च्या मध्ये.
परीक्षेसाठी : फरक 2 सेमी हा BC = 5 सेमी पेक्षा लहान हवा.

नियम 2 : AC > AB असताना — उदाहरण : BC = 6 सेमी, ∠B = 40°, AC − AB = 2 सेमी. किरण BL च्या विरुद्ध किरणावर BD = 2 सेमी असा D घ्या. मग AD = AB + BD = AB + 2 = AC, म्हणून पुन्हा A हा रेषाखंड DC च्या लंबदुभाजकावर.

Live आकृती

रचना II : पाया, संलग्न कोन आणि दोन बाजूंचा फरक

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

सोपे : AB − AC = 2 म्हणजे AB मोठी : D किरण BL वर.
मध्यम : AC − AB = 2 म्हणजे AC मोठी : D विरुद्ध किरणावर.
परीक्षेसाठी : दोन्ही प्रसंगी BD = दिलेला फरक आणि A हा DC च्या लंबदुभाजकावर.

लक्षात ठेवा

BD = फरक. AB मोठी : D किरणावर. AC मोठी : D विरुद्ध किरणावर.

सामान्य चूक

D चुकीच्या बाजूला घेणे. AB, AC पैकी मोठी कोणती ते तपासा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "AB मोठी = किरणावर; AC मोठी = विरुद्ध किरणावर".

फरक ओळखा

प्रसंग	D ची जागा
AB > AC	किरण BL वर
AC > AB	विरुद्ध किरणावर

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1रचना II मध्ये काय दिलेले असते?
2BD किती?
3AB > AC असेल तर D कुठे?

मध्यम

4AC > AB असेल तर D कुठे?
5BC = 7 सेमी असताना दोन बाजूंचा फरक 9 सेमी असू शकतो का?
6AB > AC असताना AD = AC का?

आव्हानात्मक

7AC > AB असताना AD = AC का?
8DC चा लंबदुभाजक कोणत्या बिंदूची जागा ठरवतो?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1BC, ∠B आणि दोन बाजूंचा फरक.
2दिलेला फरक.
3किरण BL वर.
4विरुद्ध किरणावर.
5नाही, तो BC पेक्षा लहान हवा.
6AD = AB − BD = AB − (AB − AC) = AC.
7AD = AB + BD = AB + (AC − AB) = AC.
8A.

रचना III : परिमिती आणि पायाला संलग्न कोन

रोजच्या जीवनातून

शेतकरी 10 m दोरीने त्रिकोणी भूखंडाला कुंपण घालतो. त्याला फक्त पायावरील दोन कोन माहीत आहेत. दोरी पायाच्या रेषेवर ताणून प्रत्येक कोपऱ्याच्या पलीकडे एक टोक घेतले की आकार सापडतो.

सोपी व्याख्या

रचना III : दिलेली परिमिती आणि पायावरील कोन ∠B, ∠C; ΔABC रचा.

नियम 1 : कल्पना आणि कोन — उदाहरण : परिमिती 10 सेमी, ∠B = 80°, ∠C = 40°. रेषा BC वर PB = AB आणि CQ = AC असे P, Q घ्या. मग PQ = AB + BC + CA = 10 सेमी. ΔPBA मध्ये PB = BA, म्हणून ∠APB = ∠PAB. त्यांची बेरीज बाह्यकोन ∠ABC = 80° (दूरचे अंतर्कोन), म्हणून प्रत्येक 40°. तसेच ∠CQA = ∠CAQ = 20°.

आकृतीत : आकृतीत रचना III : रेषा BC वर P आणि Q असे घेतले की PQ परिमितीइतके असते.

सोपे : P वरचा कोन ∠B चा निम्मा : ∠B = 60° वरून 30°.
मध्यम : ∠C = 50° वरून Q वर 25°.
परीक्षेसाठी : ∠B = 80°, ∠C = 40° वरून P वर 40° आणि Q वर 20°, म्हणून ∠PAQ = 180° − 60° = 120°.

नियम 2 : पायऱ्या — (1) रेषाखंड PQ = 10 सेमी काढा. (2) P वर 40° आणि Q वर 20° चे कोन काढा; किरण A मध्ये भेटतात. (3) रेषाखंड AP आणि AQ चे लंबदुभाजक काढा; ते PQ ला B आणि C मध्ये छेदतात. (4) A ला B आणि C शी जोडा. ΔABC ची परिमिती 10 सेमी आणि B वर 80°, C वर 40° कोन.

सोपे : B हा AP च्या लंबदुभाजकावर, म्हणून BA = BP.
मध्यम : C हा AQ च्या लंबदुभाजकावर, म्हणून CA = CQ.
परीक्षेसाठी : मग PQ = PB + BC + CQ = AB + BC + CA, म्हणजे परिमिती.

लक्षात ठेवा

P आणि Q वरचे कोन ∠B आणि ∠C चे निम्मे. AP, AQ चे लंबदुभाजक B आणि C देतात.

सामान्य चूक

P आणि Q वर पूर्ण ∠B आणि ∠C काढणे. प्रत्येकाचा निम्मा वापरा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "P, Q वर कोन निम्मे".

फरक ओळखा

दिलेले	P वर	Q वर
∠B = 80°, ∠C = 40°	40°	20°
∠B = 60°, ∠C = 50°	30°	25°
∠B = 90°, ∠C = 70°	45°	35°

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1रचना III मध्ये काय दिलेले असते?
2PQ कशाइतके असते?
3∠B = 70°. P वर कोणता कोन काढतात?

मध्यम

4∠C = 100°. Q वर कोणता कोन काढतात?
5PQ वर B आणि C कसे मिळतात?
6∠APB = ∠PAB का?

आव्हानात्मक

7∠B = 60°, ∠C = 40° साठी ∠PAQ काढा.
8∠APB + ∠PAB = ∠ABC हे कोणते प्रमेय दाखवते?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1परिमिती आणि पायाचे दोन कोन.
2परिमितीइतके.
335°.
450°.
5AP आणि AQ च्या लंबदुभाजकांनी.
6ΔPBA मध्ये PB = BA.
7180° − (30° + 20°) = 130°.
8दूरच्या अंतर्कोनांचे प्रमेय.

रचनांची निवड आणि वापर

रोजच्या जीवनातून

कारागीर आधी ऑर्डर वाचतो : "परिमिती व गुणोत्तर", "बाजूंची बेरीज", "बाजूंचा फरक". योग्य पद्धत निवडणे म्हणजे अर्धे काम.

सोपी व्याख्या

दिलेल्या माहितीवरून पद्धत निवडा. कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्यापेक्षा मोठी आहे ते नेहमी तपासा.

नियम 1 : रचना निवडणे — दोन बाजूंची बेरीज → I. दोन बाजूंचा फरक → II. परिमिती आणि पायाचे कोन → III. परिमिती आणि बाजूंचे गुणोत्तर दिले असेल तर आधी बाजू काढा. परिमिती 18 सेमी, गुणोत्तर 2 : 3 : 4 : एक भाग = 18 ÷ 9 = 2 सेमी, म्हणून बाजू 4, 6, 8 सेमी आणि तीन बाजूंवरून रचना.

सोपे : परिमिती 20 सेमी, गुणोत्तर 1 : 2 : 2 वरून 4, 8, 8 सेमी.
मध्यम : परिमिती 24 सेमी, गुणोत्तर 3 : 4 : 5 वरून 6, 8, 10 सेमी.
परीक्षेसाठी : 4 + 6 = 10 > 8 पडताळा, म्हणून 4, 6, 8 बाजूंचा त्रिकोण शक्य.

नियम 2 : रचनांचा वापर — परिमिती रचनेत प्रत्येक पायाच्या कोनाचा निम्मा वापरा : ∠M = 70°, ∠N = 50° वरून 35° आणि 25°. XY + XZ = 9.5 सेमी आणि YZ = 5 सेमी असेल तर परिमिती 14.5 सेमी. BC = 6 सेमी आणि AB + AC = 5 सेमी असलेला त्रिकोण अशक्य. या रचना Geogebra मध्येही करून पाहता येतात.

सोपे : ∠M = 80° वरून 40°.
मध्यम : XY + XZ = 8, YZ = 4 : परिमिती 12.
परीक्षेसाठी : BC = 7, AB − AC = 8 असा त्रिकोण आहे का? नाही, 8 > 7.

लक्षात ठेवा

बेरीज → I. फरक → II. परिमिती → III. त्रिकोण नियम तपासा.

सामान्य चूक

रचना III मध्ये पूर्ण कोन काढणे. प्रत्येकाचा निम्मा काढा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "बेरीज I, फरक II, परिमिती III".

फरक ओळखा

माहिती	पद्धत
पाया, कोन, AB + AC	I
पाया, कोन, AB − AC	II
परिमिती, पायाचे कोन	III
परिमिती, गुणोत्तर	आधी बाजू काढा

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1बाजूंच्या बेरजेसाठी कोणती रचना?
2बाजूंच्या फरकासाठी कोणती रचना?
3परिमिती आणि पायाचे कोन असल्यास कोणती?

मध्यम

4परिमिती 15 सेमी, गुणोत्तर 1 : 2 : 2. बाजू काढा.
5∠M = 50°, ∠N = 90°. काढायचे कोन?
6XY + XZ = 11 सेमी, YZ = 4.2 सेमी. परिमिती?

आव्हानात्मक

7BC = 5 सेमी असताना AB + AC = 4 सेमी शक्य आहे का?
8परिमिती 24 सेमी, गुणोत्तर 2 : 3 : 7. त्रिकोण शक्य आहे का?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1I.
2II.
3III.
43, 6, 6 सेमी.
525° आणि 45°.
615.2 सेमी.
7नाही, दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्यापेक्षा मोठी हवी.
8बाजू 4, 6, 14; 4 + 6 = 10 < 14, म्हणून नाही.

झटपट उजळणी

या रचनांमध्ये A हा किरण आणि रेषाखंडाचा लंबदुभाजक यांचा छेदनबिंदू असतो.
दोन बाजूंची बेरीज : BD = AB + AC असा D घ्या; दोन बाजूंचा फरक : BD = फरक, AC > AB असेल तर विरुद्ध किरणावर.
परिमितीची रचना : PQ = परिमिती, P आणि Q वरील कोन पायालगतच्या कोनांच्या निम्मे.