धडा ३: त्रिकोण

नियम 1 : प्रमेय — ΔPQR मध्ये QR ला S पर्यंत वाढवा. मग ∠PRS = ∠PQR + ∠QPR. सिद्धता : ∠PQR + ∠QPR + ∠PRQ = 180° आणि ∠PRQ + ∠PRS = 180° (रेषीय जोडी). दोन्हीतून ∠PRQ काढून टाकल्यास निष्कर्ष मिळतो. म्हणून बाह्यकोन प्रत्येक दूरच्या अंतर्कोनापेक्षा मोठा असतो.

आकृतीत : आकृतीत बाह्यकोन दोन दूरच्या अंतर्कोनांच्या बेरजेइतका (उदा. 55° + 65° = 120°).

• सोपे : ∠A = 55° आणि ∠B = 65°, म्हणून C वरचा बाह्यकोन 120°.
• मध्यम : बाह्यकोन 130°, एक दूरचा कोन 70°, म्हणून दुसरा 60°.
• परीक्षेसाठी : बाह्यकोन (3x + 10)° आणि दूरचे कोन 2x व 50° : 3x + 10 = 2x + 50, म्हणून x = 40 आणि बाह्यकोन 130°.

नियम 2 : कोनांचे गुणोत्तर आणि बाह्यकोनांची बेरीज — कोन 2 : 3 : 4 गुणोत्तरात : 9x = 180°, x = 20°, म्हणून 40°, 60°, 80°. कोन x, 2x, 3x असतील तर 6x = 180°, म्हणून 30°, 60°, 90°. बाजू एकाच दिशेने वाढवून प्रत्येक शिरोबिंदूवर एक बाह्यकोन घेतल्यास तीन बाह्यकोनांची बेरीज 360°.

• सोपे : बाह्यकोन 120° आणि 130° असतील तर तिसरा 360° − 250° = 110°.
• मध्यम : कोन 3x, 4x, 5x : 12x = 180°, x = 15°, म्हणून 45°, 60°, 75°.
• परीक्षेसाठी : समभुज त्रिकोणात प्रत्येक बाह्यकोन 180° − 60° = 120° आणि 3 × 120° = 360°.

नियम 3 : कोन दुभाजकांचा छेदन बिंदू P — ΔABC च्या ∠B आणि ∠C चे दुभाजक P मध्ये भेटले तर ∠BPC = 90° + 12∠BAC. ∠A = 60° साठी : ∠BPC = 90° + 30° = 120°. पडताळा : (∠B + ∠C) चा निम्मा = 120° चा निम्मा = 60°, आणि 180° − 60° = 120°.

• सोपे : ∠A = 40° वरून ∠BPC = 90° + 20° = 110°.
• मध्यम : ∠A = 80° वरून ∠BPC = 90° + 40° = 130°.
• परीक्षेसाठी : ∠BPC = 125° असेल तर 12∠A = 35°, म्हणून ∠A = 70°.

फरक ओळखा

नियम 1 : एकरूपतेच्या चार कसोट्या — बाबाबा कसोटी (S-S-S) : तिन्ही बाजू समान. बाकोबा कसोटी (S-A-S) : दोन बाजू आणि त्यांमधील कोन समान. कोबाको कसोटी (A-S-A) : दोन कोन आणि त्यांमधील बाजू समान. कर्ण-भुजा कसोटी : दोन्ही काटकोन, कर्ण समान आणि आणखी एक बाजू समान. ΔABC ≅ ΔPQR असेल तर ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R आणि AB = PQ, BC = QR, CA = RP.

आकृतीत : आकृतीत एकरूपतेच्या चार कसोट्या समान भागांच्या खुणांसह दाखवल्या आहेत.

• सोपे : AB = PQ = 6, BC = QR = 8, CA = RP = 7 : बाबाबा (S-S-S) कसोटीने एकरूप.
• मध्यम : AB = PQ = 5, AC = PR = 7 आणि ∠A = ∠P = 40° : बाकोबा (S-A-S) कसोटीने एकरूप.
• परीक्षेसाठी : ∠B = ∠Q = 60°, BC = QR = 4, ∠C = ∠R = 70° : कोबाको (A-S-A) कसोटीने एकरूप.

नियम 2 : एकरूपतेचा वापर — एकरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू (c.s.c.t.) आणि संगत कोन (c.a.c.t.) समान. ΔABD आणि ΔCBD मध्ये AB = CB, AD = CD आणि BD सामाईक, म्हणून ΔABD ≅ ΔCBD (बाबाबा, S-S-S), आणि मग ∠A = ∠C (c.a.c.t.). फक्त कोन समान (A-A-A) असणे एकरूपता सिद्ध करत नाही : 1 सेमी आणि 2 सेमी बाजूंच्या समभुज त्रिकोणांचे कोन सारखेच असतात.

• सोपे : सामाईक बाजू ही समान बाजूंची एक जोडी मानतात.
• मध्यम : कर्ण 13 आणि एक बाजू 5 असलेले काटकोन त्रिकोण एकरूप (कर्ण-भुजा कसोटी).
• परीक्षेसाठी : S-S-A कसोटी का नाही? कोन दोन बाजूंच्या मधला (अंतर्भूत) हवा.

फरक ओळखा

नियम 1 : समद्विभुज त्रिकोण — AB = AC असेल तर ∠B = ∠C (∠BAC चा दुभाजक BC ला D मध्ये भेटतो; ΔABD ≅ ΔACD, बाकोबा, S-A-S). विपरीत : ∠B = ∠C असेल तर AB = AC. सर्व बाजू समान तर सर्व कोन समान (प्रत्येकी 60°) आणि उलट.

आकृतीत : आकृतीत समान बाजूंसमोरचे कोन समान असतात.

• सोपे : AB = AC आणि ∠B = 65° वरून ∠C = 65° आणि ∠A = 50°.
• मध्यम : शिरोकोन 80° : प्रत्येक पायाचा कोन (180° − 80°) ÷ 2 = 50°.
• परीक्षेसाठी : ∠B = ∠C = 55° म्हणजे AB = AC, आणि ∠A = 70°.

नियम 2 : 30°-60°-90° आणि 45°-45°-90° त्रिकोण — 30°-60°-90° : 30° समोरील बाजू कर्णाच्या निम्मी आणि 60° समोरील बाजू √32 × कर्ण. कर्ण 12 : बाजू 6 आणि 6√3. 45°-45°-90° : काटकोन करणाऱ्या प्रत्येक बाजूची लांबी 1√2 × कर्ण. कर्ण 8 : प्रत्येक बाजू 4√2.

आकृतीत : आकृतीत 30°-60°-90° त्रिकोणाचे बाजू गुणोत्तर (1 : √3 : 2) आणि 45°-45°-90° त्रिकोणाचे (1 : 1 : √2).

• सोपे : 30°-60°-90° त्रिकोणात लहान बाजू 4 सेमी तर कर्ण 8 सेमी.
• मध्यम : बाजू 5 सेमी असलेल्या 45°-45°-90° त्रिकोणाचा कर्ण 5√2 सेमी.
• परीक्षेसाठी : कर्ण 20 सेमी असलेल्या 30°-60°-90° त्रिकोणाच्या बाजू 10 सेमी आणि 10√3 सेमी.

फरक ओळखा

नियम 1 : मध्यगा आणि गुरुत्वमध्य — गुरुत्वमध्य G प्रत्येक मध्यगेचे 2 : 1 गुणोत्तरात भाग करतो (मोठा भाग शिरोबिंदूकडे). मध्यगा AD = 9 सेमी असेल तर AG = 6 सेमी आणि GD = 3 सेमी. GD = 4 सेमी तर AG = 8 सेमी. काटकोन त्रिकोणात कर्णावरील मध्यगा कर्णाच्या निम्मी : कर्ण 18 तर मध्यगा 9.

आकृतीत : आकृतीत मध्यगा गुरुत्वमध्यात भेटतात, जो प्रत्येकीचे 2 : 1 गुणोत्तरात भाग करतो.

• सोपे : मध्यगा 12 सेमी तर AG = 8 सेमी आणि GD = 4 सेमी.
• मध्यम : GD = 2.5 सेमी तर AG = 5 सेमी आणि पूर्ण मध्यगा 7.5 सेमी.
• परीक्षेसाठी : कर्ण 26 असलेल्या काटकोन त्रिकोणात कर्णावरील मध्यगा 13.

नियम 2 : लंबदुभाजक प्रमेय — रेषाखंडाच्या लंबदुभाजकावरील प्रत्येक बिंदू त्याच्या अंत्यबिंदूंपासून समान अंतरावर असतो (बाकोबा, S-A-S). अंत्यबिंदूंपासून समान अंतरावरील कोणताही बिंदू त्याच्या लंबदुभाजकावर असतो (बाबाबा, S-S-S). रेषाखंड AB च्या दुभाजकावरील P साठी PA = 7 असेल तर PB = 7.

• सोपे : दुभाजकावरील P साठी PA = 5 तर PB = 5.
• मध्यम : QA = QB म्हणजे Q लंबदुभाजकावर.
• परीक्षेसाठी : AB = 10 असलेल्या रेषाखंडाचा दुभाजक त्याला M मध्ये भेटतो आणि AM = 5.

नियम 3 : कोन दुभाजक प्रमेय — कोनाच्या दुभाजकावरील प्रत्येक बिंदू कोनाच्या बाजूंपासून समान अंतरावर असतो. कोनाच्या आतील आणि त्याच्या बाजूंपासून समान अंतरावरील बिंदू दुभाजकावर असतो. दुभाजकावरील बिंदू एका भुजेपासून 4 सेमी असेल तर दुसऱ्यापासूनही 4 सेमी.

• सोपे : एका भुजेपासून 3 सेमी तर दुसरीपासूनही 3 सेमी.
• मध्यम : दोन्ही भुजांपासून 6 सेमी अंतरावरील बिंदू दुभाजकावर.
• परीक्षेसाठी : त्रिकोणाचे तीन कोन दुभाजक अशा बिंदूत भेटतात जो तिन्ही बाजूंपासून समान अंतरावर असतो.

फरक ओळखा

नियम 1 : असमानता — दोन बाजू असमान असतील तर मोठ्या बाजूसमोरचा कोन मोठा; दोन कोन असमान असतील तर मोठ्या कोनासमोरची बाजू मोठी. कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्यापेक्षा मोठी. 5 सेमी आणि 9 सेमी बाजूंसाठी तिसरी बाजू 4 सेमी आणि 14 सेमी यांच्यामध्ये हवी. बाजू 4, 5, 10 अशक्य, कारण 4 + 5 = 9 < 10.

आकृतीत : आकृतीत मोठी बाजू मोठ्या कोनासमोर आणि दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्यापेक्षा मोठी.

• सोपे : ∠A = 70° आणि ∠B = 50°, म्हणून BC (A समोर) ही AC (B समोर) पेक्षा मोठी.
• मध्यम : 6, 7, 12 बाजू होऊ शकतात का? 6 + 7 = 13 > 12, होय.
• परीक्षेसाठी : 7, 10, 17 बाजू होऊ शकतात का? 7 + 10 = 17, 17 पेक्षा मोठी नाही, म्हणून नाही.

नियम 2 : समरूप त्रिकोण — ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R आणि ABPQ = BCQR = ACPR असेल तर ΔABC ~ ΔPQR. दोन त्रिकोणांचे कोन समान असतील तर ते समरूप आणि संगत बाजू प्रमाणात. उदाहरण : ΔXYZ ~ ΔPQR, XY = 3, YZ = 5, XZ = 6, PQ = 9. गुणोत्तर = 9 ÷ 3 = 3, म्हणून QR = 15 आणि PR = 18.

आकृतीत : आकृतीत समरूप त्रिकोणांचे कोन समान आणि बाजू एकाच गुणोत्तरात.

• सोपे : गुणोत्तर 2 : बाजू 4 होते 8.
• मध्यम : बाजू 2, 3, 4 आणि 6, 9, 12 समरूप (गुणोत्तर 3).
• परीक्षेसाठी : समरूप त्रिकोणांच्या परिमिती तेच गुणोत्तर : गुणोत्तर 3 साठी 12 आणि 36.

फरक ओळखा