छेदिकेमुळे तयार होणारे कोन
रेल्वेचे रूळ शेजारी शेजारी चालतात आणि कधीच भेटत नाहीत. दोन्ही रुळांना छेदणारा रस्ता दोन्ही ठिकाणी कोनांचा संच तयार करतो. हे कोन विशिष्ट नावांच्या जोड्यांत असतात.
समांतर रेषा (parallel lines) म्हणजे एकाच प्रतलातील, कधीही न भेटणाऱ्या रेषा. दोन रेषांना वेगवेगळ्या बिंदूंत छेदणारी रेषा म्हणजे छेदिका (transversal); ती 8 कोन तयार करते.
नियम 1 : आठ कोन आणि चार प्रकारच्या जोड्या — 8 कोनांच्या जोड्या होतात : संगत कोन (corresponding; समान सापेक्ष स्थान), व्युत्क्रम अंतर्कोन (alternate interior; रेषांमध्ये, छेदिकेच्या विरुद्ध बाजूला), व्युत्क्रम बाह्यकोन (alternate exterior) आणि छेदिकेच्या एकाच बाजूचे अंतर्कोन (interior angles on the same side).
आकृतीत : आकृतीत छेदिका आणि ती दोन रेषांसोबत तयार करत असलेले आठ कोन.
आकृतीत : आकृतीत कोन जोड्यांचे चार प्रकार : संगत, व्युत्क्रम अंतर्कोन, व्युत्क्रम बाह्यकोन आणि एकाच बाजूचे अंतर्कोन.
- सोपे : छेदिका 8 कोन तयार करते.
- मध्यम : दोन रेषांमधील कोन अंतर्कोन; ते 4 असतात.
- परीक्षेसाठी : जोडी ओळखा : छेदिकेच्या डावीकडे वरच्या रेषेच्या वरचा आणि खालच्या रेषेच्या वरचा कोन. हे संगत कोन.
नियम 2 : आधीपासून माहीत असलेले कोनांचे नियम — दोन रेषा छेदल्या की समोरासमोरचे कोन एकरूप आणि रेषीय जोडी पूरक असते. संगत कोनांची एक जोडी एकरूप असेल तर उर्वरित सर्व जोड्या एकरूप; व्युत्क्रम कोनांबाबतही तसेच. छेदिकेच्या एकाच बाजूच्या अंतर्कोनांची एक जोडी पूरक असेल तर दुसरी जोडीही पूरक.
- सोपे : रेषीय जोडीत एक कोन 110° तर दुसरा 180° − 110° = 70°.
- मध्यम : 70° चा समोरासमोरचा कोन 70°.
- परीक्षेसाठी : दोन छेदणाऱ्या रेषांत एक कोन 2x आणि त्याचा समोरचा 100° असेल तर 2x = 100° आणि x = 50°.
चार प्रकारच्या जोड्या ओळखा. रेषीय जोडी = 180°. समोरासमोरचे = समान.
व्युत्क्रम आणि संगत कोन यांत गोंधळ. व्युत्क्रम कोन छेदिकेच्या विरुद्ध बाजूला असतात.
आठवणीची युक्ती : "संगत = एकाच जागी; व्युत्क्रम = विरुद्ध बाजू".
फरक ओळखा
| जोडी | स्थान |
|---|---|
| संगत | समान सापेक्ष स्थान |
| व्युत्क्रम अंतर्कोन | रेषांमध्ये, विरुद्ध बाजू |
| एकाच बाजूचे अंतर्कोन | रेषांमध्ये, एकाच बाजूला |
सरावासाठी प्रश्न
- 1समांतर रेषा म्हणजे काय?
- 2छेदिका म्हणजे काय?
- 3छेदिका किती कोन तयार करते?
- 4रेषीय जोडीतील एक कोन 125°. दुसरा?
- 5कोन जोड्यांचे चार प्रकार सांगा.
- 6व्युत्क्रम अंतर्कोन कुठे असतात?
- 7संगत कोनांची एक जोडी एकरूप असेल तर इतर जोड्या?
- 8दोन रेषा छेदतात, एक कोन (3x + 10)° आणि समोरचा 70°. x काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1एकाच प्रतलातील कधीही न भेटणाऱ्या रेषा.
- 2दोन रेषांना वेगवेगळ्या बिंदूंत छेदणारी रेषा.
- 38.
- 455°.
- 5संगत, व्युत्क्रम अंतर्कोन, व्युत्क्रम बाह्यकोन, एकाच बाजूचे अंतर्कोन.
- 6रेषांमध्ये, छेदिकेच्या विरुद्ध बाजूंना.
- 7सर्व एकरूप.
- 83x + 10 = 70, x = 20.
आंतरकोन प्रमेय
थोड्या एकमेकांकडे झुकलेल्या दोन रस्त्यांची कल्पना करा. चालत राहिलात तर ते भेटतील. युक्लिडचे पाचवे स्वयंसिद्धक छेदणाऱ्या रेषेच्या एका बाजूच्या कोनांबाबत हेच सांगते.
अंतर्कोन प्रमेय : छेदिका दोन समांतर रेषांना छेदते तेव्हा एकाच बाजूचे अंतर्कोन पूरक (बेरीज 180°) असतात.
नियम 1 : युक्लिडचे पाचवे स्वयंसिद्धक आणि प्रमेय — पाचवे स्वयंसिद्धक : छेदिकेच्या एका बाजूच्या अंतर्कोनांची बेरीज दोन काटकोनांपेक्षा कमी असेल तर त्या बाजूला रेषा भेटतात. अंतर्कोन प्रमेय : दोन रेषा समांतर असून छेदिकेने छेदल्या तर ∠a + ∠b = 180° आणि ∠c + ∠d = 180°.
- सोपे : अंतर्कोन 110° आणि 70° यांची बेरीज 180°.
- मध्यम : ∠a = 100° तर एकाच बाजूचा दुसरा अंतर्कोन 80°.
- परीक्षेसाठी : अंतर्कोन 3x आणि 2x. मग 5x = 180°, x = 36°, आणि कोन 108° व 72°.
नियम 2 : हे खरे का (अप्रत्यक्ष सिद्धता) — ∠a + ∠b साठी तीन शक्यता : 180° पेक्षा कमी, जास्त किंवा बरोबर. 180° पेक्षा कमी अशक्य, कारण रेषा भेटल्या असत्या पण त्या समांतर आहेत. 180° पेक्षा जास्त अशक्य, कारण ∠a + ∠d = 180° आणि ∠c + ∠b = 180° वरून ∠c + ∠d = 360° − (∠a + ∠b), जे तेव्हा 180° पेक्षा कमी ठरले असते. म्हणून ∠a + ∠b = 180°.
- सोपे : तीन शक्यता : 180° पेक्षा <, > किंवा =.
- मध्यम : 180° पेक्षा कमी असते तर रेषा भेटल्या असत्या, जे अशक्य.
- परीक्षेसाठी : यास अप्रत्यक्ष सिद्धता म्हणतात, कारण इतर दोन शक्यता विरोधाभासाने नाकारल्या जातात.
समांतर रेषा : एकाच बाजूच्या अंतर्कोनांची बेरीज 180°.
समांतर नसलेल्या रेषांसाठी हा नियम वापरणे. तो फक्त समांतर रेषांसाठी.
आठवणीची युक्ती : "समांतर + एकाच बाजूचे अंतर्कोन = 180°".
फरक ओळखा
| प्रसंग | परिणाम |
|---|---|
| बेरीज < 180° | रेषा भेटतील, अशक्य |
| बेरीज > 180° | दुसरी बाजू < 180°, अशक्य |
| बेरीज = 180° | खरे |
सरावासाठी प्रश्न
- 1अंतर्कोन प्रमेय सांगा.
- 2युक्लिडचे पाचवे स्वयंसिद्धक काय सांगते?
- 3∠a = 70°. एकाच बाजूचा अंतर्कोन काढा.
- 4∠b = 85°. दुसरा काढा.
- 5ही सिद्धता अप्रत्यक्ष का?
- 6अंतर्कोन 4x आणि 5x. x व कोन काढा.
- 7अंतर्कोन (x + 30)° आणि (2x + 60)°. x काढा.
- 8∠a + ∠b 180° पेक्षा जास्त का नसू शकते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1समांतर रेषांसाठी एकाच बाजूचे अंतर्कोन पूरक असतात.
- 2एका बाजूचे अंतर्कोन 180° पेक्षा कमी असतील तर त्या बाजूला रेषा भेटतात.
- 3110°.
- 495°.
- 5इतर शक्यता विरोधाभासाने खोट्या ठरवतात.
- 69x = 180, x = 20; 80° आणि 100°.
- 73x + 90 = 180, x = 30.
- 8तर ∠c + ∠d 180° पेक्षा कमी होईल आणि रेषा भेटतील.
संगत कोन आणि व्युत्क्रम कोन प्रमेये
शिडी दोन समांतर खांबांवर टेकवली तर प्रत्येक खांबाच्या वरच्या भागाशी तयार होणारा कोन सारखाच. समांतर रेषा कोन तसाच पुढे नेतात.
समांतर रेषांसाठी संगत कोन समान आणि व्युत्क्रम कोन समान असतात.
नियम 1 : दोन प्रमेये — संगत कोन : ∠a + ∠c = 180° (रेषीय जोडी) आणि ∠b + ∠c = 180° (अंतर्कोन), म्हणून ∠a = ∠b. व्युत्क्रम कोन : ∠d + ∠c = 180° आणि ∠c + ∠b = 180°, म्हणून ∠d = ∠b.
आकृतीत : आकृतीत समांतर रेषांसाठी एका ज्ञात कोनावरून बाकीचे सर्व मिळतात : समान कोन तितकेच आणि उर्वरित 180° मधून वजा केलेले.
संगत कोन आणि व्युत्क्रम कोन प्रमेये
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : एक कोन 125° तर त्याचा संगत कोन 125°.
- मध्यम : त्याचा व्युत्क्रम अंतर्कोन 125° आणि एकाच बाजूचा अंतर्कोन 180° − 125° = 55°.
- परीक्षेसाठी : ∠a = (2x + 10)° आणि त्याचा संगत कोन (3x − 20)°. मग 2x + 10 = 3x − 20, x = 30, आणि प्रत्येक कोन 70°.
समांतर रेषा : संगत = समान. व्युत्क्रम = समान. एकाच बाजूचे अंतर्कोन = 180°.
संगत कोनांना पूरक म्हणणे. ते समान असतात.
आठवणीची युक्ती : "संगत, व्युत्क्रम = समान; एकाच बाजूचे = 180°".
फरक ओळखा
| जोडी | समांतर रेषा |
|---|---|
| संगत | समान |
| व्युत्क्रम | समान |
| एकाच बाजूचे अंतर्कोन | बेरीज 180° |
सरावासाठी प्रश्न
- 1संगत कोन प्रमेय सांगा.
- 2व्युत्क्रम कोन प्रमेय सांगा.
- 3एक कोन 65°. त्याचा संगत कोन?
- 4एक कोन 65°. एकाच बाजूचा अंतर्कोन?
- 548° चा व्युत्क्रम अंतर्कोन?
- 6∠a = (x + 20)° आणि त्याचा व्युत्क्रम कोन 65°. x काढा.
- 7संगत कोन (4x − 15)° आणि (3x + 10)°. x काढा.
- 8समांतर रेषांसाठी संगत कोन समान सिद्ध करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1समांतर रेषांसाठी संगत कोन समान.
- 2समांतर रेषांसाठी व्युत्क्रम कोन समान.
- 365°.
- 4115°.
- 548°.
- 6x = 45.
- 7x = 25; प्रत्येक कोन 85°.
- 8∠a + ∠c = 180° (रेषीय जोडी) आणि ∠b + ∠c = 180° (अंतर्कोन), म्हणून ∠a = ∠b.
त्रिकोणाच्या कोनांच्या बेरजेचा गुणधर्म
कागदी त्रिकोणाचे तीन कोपरे कापून शेजारी शेजारी ठेवा : ते सरळ रेषा, म्हणजे अर्धा फेरा 180° बनवतात. हाच कोनांच्या बेरजेचा गुणधर्म.
प्रमेय : त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज 180° असते.
नियम 1 : सिद्धता — A मधून रेषाखंड BC ला समांतर रेषा काढा आणि तिच्यावर P − A − Q असे P, Q घ्या. रेषाखंड AB आणि AC छेदिका आहेत, म्हणून ∠ABC = ∠PAB आणि ∠ACB = ∠QAC (व्युत्क्रम कोन). दोन्ही बाजूंना ∠BAC मिळवा : ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = ∠PAB + ∠BAC + ∠QAC = ∠PAC + ∠QAC = 180° (रेषीय जोडी).
आकृतीत : आकृतीत A मधून BC ला समांतर रेषा x, y, z कोनांना 180° च्या सरळ कोनात बदलते.
- सोपे : ΔABC मध्ये ∠A = 62° आणि ∠B = 58°, म्हणून ∠C = 180° − 120° = 60°.
- मध्यम : कोन 1 : 2 : 3 गुणोत्तरात : 6x = 180°, x = 30°, म्हणून 30°, 60°, 90°.
- परीक्षेसाठी : ΔPQR मध्ये ∠R = 60° आणि ∠P = 2∠Q. मग 3∠Q = 120°, म्हणून ∠Q = 40° आणि ∠P = 80°.
त्रिकोणाचे कोन मिळून 180°. तिसरा = 180° − इतर दोन.
360° मधून वजा करणे. त्रिकोणाचे कोन 180° होतात.
आठवणीची युक्ती : "त्रिकोण = 180°; तिसरा = 180° − दोन".
फरक ओळखा
| पायरी | कारण |
|---|---|
| A मधून BC ला समांतर रेषा | रचना |
| ∠ABC = ∠PAB | व्युत्क्रम कोन |
| ∠ACB = ∠QAC | व्युत्क्रम कोन |
| Sum = 180° | रेषीय जोडी |
सरावासाठी प्रश्न
- 1त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज किती?
- 2दोन कोन 50° आणि 70°. तिसरा काढा.
- 3काटकोन त्रिकोणात एक कोन 35°. तिसरा काढा.
- 4A मधून BC ला समांतर रेषा का काढतात?
- 5त्रिकोणाचे कोन x, x + 10, x + 20. x काढा.
- 6त्रिकोणाला दोन काटकोन असू शकतात का?
- 7समद्विभुज त्रिकोणात शिरोकोन 40°. प्रत्येक पायाचा कोन?
- 8सिद्धतेत कोणती दोन प्रमेये वापरली?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1180°.
- 260°.
- 355°.
- 4∠B आणि ∠C इतके व्युत्क्रम कोन मिळवण्यासाठी.
- 53x + 30 = 180, x = 50.
- 6नाही, 90° + 90° = 180° मुळे तिसऱ्या कोनासाठी 0° उरते.
- 7(180° − 40°) ÷ 2 = 70°.
- 8व्युत्क्रम कोन प्रमेय आणि रेषीय जोडी.
रेषा समांतर असण्याच्या कसोट्या
शिडीच्या दोन्ही दांड्यांशी जमिनीचा कोन सारखा असेल तर अंतर न मोजताही दांडे समांतर आहेत हे कळते. कोनांच्या कसोट्या फक्त कोनांवरून रेषा समांतर आहेत का ते ठरवतात.
समांतरतेच्या कसोट्या : एकाच बाजूचे अंतर्कोन पूरक, किंवा व्युत्क्रम कोन समान, किंवा संगत कोन समान असतील तर रेषा समांतर असतात.
नियम 1 : तीन कसोट्या — अंतर्कोन कसोटी : छेदिकेच्या एका बाजूचे अंतर्कोन पूरक असतील तर रेषा समांतर. विरोधाभासाने सिद्धता : त्या T मध्ये भेटल्या असत्या तर ΔPQT मध्ये ∠PTQ = 0° आले असते, जे अशक्य. व्युत्क्रम कोन कसोटी आणि संगत कोन कसोटी : व्युत्क्रम (किंवा संगत) कोनांची एक जोडी एकरूप असेल तर रेषा समांतर; दोन्ही अंतर्कोन कसोटी वापरून सिद्ध होतात.
आकृतीत : आकृतीत समांतरतेच्या कसोट्या : पूरक अंतर्कोन, किंवा समान व्युत्क्रम किंवा संगत कोन.
- सोपे : अंतर्कोन 100° आणि 80° यांची बेरीज 180°, म्हणून रेषा समांतर.
- मध्यम : व्युत्क्रम कोन 70° आणि 70° समान, म्हणून रेषा समांतर.
- परीक्षेसाठी : संगत कोन 55° आणि 125° समान नाहीत, म्हणून रेषा समांतर नाहीत.
नियम 2 : कसोट्यांचा वापर आणि उपप्रमेये — संगत कोन (x + 20)° आणि (2x − 10)° असतील तर x किती असता रेषा समांतर? x + 20 = 2x − 10, म्हणून x = 30 आणि दोन्ही कोन 50°. उपप्रमेय I : एका प्रतलातील दोन रेषा तिसऱ्या रेषेला लंब असतील तर त्या दोन रेषा समांतर. उपप्रमेय II : एका प्रतलातील दोन रेषा त्याच प्रतलातील तिसऱ्या रेषेला समांतर असतील तर त्या एकमेकींना समांतर.
- सोपे : तिसऱ्या रेषेला लंब असलेल्या दोन रेषा समांतर.
- मध्यम : l ∥ n आणि m ∥ n असेल तर l ∥ m.
- परीक्षेसाठी : व्युत्क्रम कोन (3x)° आणि (x + 40)° समान असतील तर 2x = 40, x = 20, प्रत्येकी 60°.
पूरक एकाच बाजूचे, किंवा समान व्युत्क्रम, किंवा समान संगत कोन म्हणजे समांतर.
कोन योग्य स्थानी नसताना कसोटी वापरणे. आधी जोडीचा प्रकार ओळखा.
आठवणीची युक्ती : "कोन जुळले = रेषा समांतर".
फरक ओळखा
| कसोटी | अट |
|---|---|
| अंतर्कोन | बेरीज 180° |
| व्युत्क्रम कोन | समान |
| संगत कोन | समान |
सरावासाठी प्रश्न
- 1अंतर्कोन कसोटी सांगा.
- 2व्युत्क्रम कोन कसोटी सांगा.
- 3संगत कोन 80° आणि 80°. समांतर का?
- 4अंतर्कोन 95° आणि 90°. समांतर का?
- 5उपप्रमेय I सांगा.
- 6उपप्रमेय II सांगा.
- 7व्युत्क्रम कोन (2x + 15)° आणि (4x − 25)° समान असतील तर x काढा.
- 8अंतर्कोन कसोटीच्या सिद्धतेत विरोधाभास कोणता?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1एकाच बाजूचे अंतर्कोन पूरक असतील तर रेषा समांतर.
- 2व्युत्क्रम कोन समान असतील तर रेषा समांतर.
- 3होय.
- 4नाही, बेरीज 185°.
- 5एकाच रेषेला लंब असलेल्या दोन रेषा समांतर.
- 6एकाच रेषेला समांतर असलेल्या रेषा एकमेकींना समांतर.
- 72x = 40, x = 20; प्रत्येकी 55°.
- 8रेषा T मध्ये भेटतील आणि ∠PTQ = 0° येईल.
झटपट उजळणी
- समांतर रेषांसाठी संगत कोन आणि व्युत्क्रम कोन समान असतात, आणि छेदिकेच्या एका बाजूच्या आंतरकोनांची बेरीज 180° असते.
- त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज 180° असते.
- संपूरक आंतरकोन, किंवा व्युत्क्रम अथवा संगत कोनांची एकरूप जोडी असेल तर रेषा समांतर असतात.