K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 9 · गणित भाग २

धडा १: भूमितीतील मूलभूत संकल्पना

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

भूमितीची उत्पत्ती आणि मूलभूत संकल्पना

रोजच्या जीवनातून

नाईल नदीला पूर आल्यावर इजिप्तमधील शेतकऱ्यांना सीमा आखण्यासाठी शेते पुन्हा मोजावी लागत. जमीन मोजण्याच्या या रोजच्या गरजेतून भूमिती हा विषय वाढला.

सोपी व्याख्या

भूमिती (Geometry) हा शब्द ग्रीक Geo (पृथ्वी) आणि Metria (मोजमाप) यांपासून आला. बिंदू, रेषा आणि प्रतल (point, line, plane) या मूलभूत संकल्पना आहेत आणि त्यांच्या व्याख्या करत नाहीत.

नियम 1 : भूमितीचा उगम — Geo + Metria म्हणजे "पृथ्वीचे मोजमाप". ग्रीक गणितज्ञ थेल्स इजिप्तला गेले; त्यांनी सावलीवरून समरूप त्रिकोणांच्या मदतीने पिरॅमिडची उंची काढली असे सांगतात. वैदिक काळात लोक यज्ञवेदी बांधण्यासाठी भूमिती वापरत; शुल्बसूत्रात दोरीने आकार कसे आखायचे ते सांगितले आहे. आर्यभट, वराहमिहिर, ब्रह्मगुप्त आणि भास्कराचार्य यांनीही भूमितीत भर घातली.

  • सोपे : Geo म्हणजे पृथ्वी आणि Metria म्हणजे मोजमाप.
  • मध्यम : 1 m काठीची सावली 2 m असेल तर 100 m सावलीच्या पिरॅमिडची उंची 50 m (समरूप त्रिकोण).
  • परीक्षेसाठी : वैदिक काळातील कोणता ग्रंथ दोरीने आकार आखण्याचे सांगतो? शुल्बसूत्र.

नियम 2 : अपरिभाषित संकल्पना — बिंदू, रेषा आणि प्रतल यांच्या व्याख्या नाहीत, जशा संख्यांच्या नसतात. रेषा आणि प्रतल हे बिंदूंचे संच आहेत आणि "रेषा" म्हणजे नेहमी सरळ रेषा. त्या आपण नमुन्यांवरून समजतो : टाचणीचे टोक (बिंदू), ताणलेला धागा (रेषा), टेबलाचा सपाट पृष्ठभाग (प्रतल).

  • सोपे : टाचणीचे टोक हे बिंदूचा नमुना.
  • मध्यम : ताणलेला धागा हा रेषेचा नमुना.
  • परीक्षेसाठी : रेषा हा बिंदूंचा संच आहे; प्रतलही तसेच.
लक्षात ठेवा

बिंदू, रेषा, प्रतल अपरिभाषित. "रेषा" म्हणजे सरळ रेषा.

सामान्य चूक

बिंदूची व्याख्या "लहान ठिपका" अशी करणे. ठिपक्याला आकार असतो; बिंदूला नसतो.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "भू + मिती = पृथ्वीचे मोजमाप".

फरक ओळखा

संज्ञानमुना
बिंदूटाचणीचे टोक
रेषाताणलेला धागा
प्रतलटेबलाचा पृष्ठभाग

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1भूमिती या शब्दाचा अर्थ काय?
  2. 2हा शब्द कोणत्या भाषेतून आला?
  3. 3तीन अपरिभाषित संकल्पना सांगा.
मध्यम
  1. 4सावलीवरून पिरॅमिडची उंची कोणी काढली असे सांगतात?
  2. 5दोरीने बनवलेल्या आकारांचे वर्णन कोणता वैदिक ग्रंथ करतो?
  3. 6रेषा कशाचा संच आहे?
आव्हानात्मक
  1. 72 m काठीची सावली 3 m पडते. त्याच वेळी झाडाची सावली 12 m असेल तर उंची?
  2. 8बिंदूची व्याख्या का करता येत नाही?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1पृथ्वीचे मोजमाप.
  2. 2ग्रीक.
  3. 3बिंदू, रेषा, प्रतल.
  4. 4थेल्स.
  5. 5शुल्बसूत्र.
  6. 6बिंदूंचा.
  7. 723 × 12 = 8 m.
  8. 8ती मूलभूत संकल्पना आहे; व्याख्येसाठी लागणाऱ्या संज्ञांचीही व्याख्या करावी लागेल.

बिंदूंचे निर्देशक आणि अंतर

रोजच्या जीवनातून

पट्टीवर 3 आणि 8 ही चिन्हे 8 − 3 = 5 सेमी अंतरावर असतात. संख्यारेषेवरही असेच : अंतर म्हणजे निर्देशकांचा फरक, तो कधीच ऋण येऊ नये अशा क्रमाने.

सोपी व्याख्या

संख्यारेषेवरील बिंदूला दिलेली संख्या म्हणजे त्याचा निर्देशक (co-ordinate). अंतर d(A, B) = मोठा निर्देशक − लहान निर्देशक.

नियम 1 : संख्यारेषेवरील अंतर — d(A, B) काढण्यासाठी मोठ्या निर्देशकातून लहान वजा करा. A(2), B(9) तर d(A, B) = 9 − 2 = 7. C(−5), D(−1) तर d(C, D) = −1 − (−5) = 4. X(−7), Y(5) तर d(X, Y) = 5 − (−7) = 12.

संख्यारेषेवर P(−3) आणि Q(4) हे बिंदू आणि त्यांतील अंतर 7−5−4−3−2−10123456PQd(P, Q) = 4 − (−3) = 7अंतर = मोठा सहनिर्देशक − लहान सहनिर्देशक

आकृतीत : आकृतीत संख्यारेषेवरील दोन बिंदूंचे अंतर मोठ्या निर्देशकातून लहान वजा करून काढतात.

  • सोपे : A(1), B(6) : d(A, B) = 5.
  • मध्यम : P(−4), Q(3) : d(P, Q) = 3 − (−4) = 7.
  • परीक्षेसाठी : निर्देशक 2 असलेल्या बिंदूपासून 6 एकक अंतरावरील बिंदू : 2 − 6 = −4 आणि 2 + 6 = 8.

नियम 2 : अंतराचे गुणधर्म — दोन वेगळ्या बिंदूंमधील अंतर धन असते. बिंदूचे स्वतःपासूनचे अंतर 0. अंतर कधीच ऋण नसते आणि d(A, B) = d(B, A). अंतर d(A, B) म्हणजे लांबी l(AB).

  • सोपे : d(A, A) = 0.
  • मध्यम : d(P, Q) = d(Q, P) = 7.
  • परीक्षेसाठी : d(A, B) = −3 असू शकते का? नाही, अंतर कधीच ऋण नसते.
लक्षात ठेवा

अंतर = मोठा − लहान. ते कधीच ऋण नसते.

सामान्य चूक

C(−2), D(1) साठी d(C, D) = −2 − 1 लिहिणे. लहान मोठ्यातून वजा करा : 1 − (−2) = 3.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "मोठा − लहान = अंतर".

फरक ओळखा

बिंदूगणितअंतर
A(2), B(9)9 − 27
C(−5), D(−1)−1 − (−5)4
X(−7), Y(5)5 − (−7)12

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1बिंदूचा निर्देशक म्हणजे काय?
  2. 2d(A, B) कसे काढतात?
  3. 3A(3), B(10) साठी d(A, B)?
मध्यम
  1. 4P(−2), Q(5) साठी d(P, Q)?
  2. 5d(A, A) किती?
  3. 6M(−8), N(−3) साठी d(M, N)?
आव्हानात्मक
  1. 7निर्देशक 4 पासून 9 एकक अंतरावरील बिंदू?
  2. 8d(A, B) नेहमी d(B, A) इतके असते का? का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1संख्यारेषेवर बिंदू दाखवत असलेली संख्या.
  2. 2मोठा निर्देशक − लहान.
  3. 37.
  4. 47.
  5. 50.
  6. 6−3 − (−8) = 5.
  7. 7−5 आणि 13.
  8. 8होय, कारण आपण नेहमी लहान मोठ्यातून वजा करतो.

बिंदूंचे मधील असणे

रोजच्या जीवनातून

तीन गावे एकाच सरळ रस्त्यावर आहेत. पहिल्यापासून दुसऱ्यापर्यंत आणि पुढे तिसऱ्यापर्यंत गेलात तर दोन्ही भागांची बेरीज एकूण प्रवासाइतकी. दुसरे गाव बाकी दोहोंच्या "मध्ये" आहे.

सोपी व्याख्या

तीन संरेख बिंदूंसाठी d(P, Q) + d(Q, R) = d(P, R) असेल तर Q हा P आणि R च्या मध्ये आहे (P − Q − R).

नियम 1 : मध्यस्थता — तीन वेगळ्या संरेख बिंदूंपैकी एकच बाकी दोहोंच्या मध्ये असतो. d(P, Q) + d(Q, R) = d(P, R) असेल तर P − Q − R. उदाहरण : d(A, B) = 4, d(B, C) = 6, d(A, C) = 10 आणि 4 + 6 = 10, म्हणून B हा A आणि C च्या मध्ये.

A, B, C हे तीन संरेषीय बिंदू; अंतरे 3, 4 आणि 7; 3 + 4 = 7 म्हणून B हा A आणि C यांच्या दरम्यानA (2)B (5)C (9)d(A, B) = 3d(B, C) = 4d(A, C) = 73 + 4 = 7 → B हा A आणि C यांच्या दरम्यान आहे (A − B − C)

आकृतीत : आकृतीत मध्यस्थता : 4 + 6 = 10, म्हणून B हा A आणि C च्या मध्ये.

  • सोपे : AB = 2, BC = 3, AC = 5, म्हणून B हा A आणि C च्या मध्ये.
  • मध्यम : PQ = 8, QR = 5, PR = 3 : 3 + 5 = 8, म्हणून R हा P आणि Q च्या मध्ये.
  • परीक्षेसाठी : गावे X, Y, Z : XY = 45 किमी, YZ = 60 किमी, XZ = 105 किमी. 45 + 60 = 105, म्हणून Y हा X आणि Z च्या मध्ये.

नियम 2 : संरेख नसणे आणि ठरावीक अंतरावरील बिंदू — दोन अंतरांची बेरीज तिसऱ्याइतकी कधीच होत नसेल तर तीन बिंदू संरेख नाहीत. अंतरे 4, 5, 7 : 4 + 5 = 9, 4 + 7 = 11, 5 + 7 = 12, एकही तिसऱ्याइतके नाही, म्हणून संरेख नाहीत. निर्देशक 4 पासून 9 एकक अंतरावरील बिंदू 4 − 9 = −5 आणि 4 + 9 = 13.

  • सोपे : 1, 2, 4 : 1 + 2 = 3 ≠ 4 आणि दुसरी जोडीही जुळत नाही, म्हणून संरेख नाहीत.
  • मध्यम : 3, 4, 5 संरेख नाहीत, कारण 3 + 4 = 7 ≠ 5.
  • परीक्षेसाठी : निर्देशक −1 पासून 2 एकक अंतरावरील बिंदू : −3 आणि 1.
लक्षात ठेवा

दोन लहान अंतरे मिळवा. ती सर्वांत मोठ्याइतकी असतील तर बिंदू संरेख.

सामान्य चूक

सर्वांत मोठे अंतर दुसऱ्यात मिळवणे. दोन लहान अंतरांची बेरीज सर्वांत मोठ्याशी तपासा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "लहान + लहान = मोठे ⇒ मध्ये".

फरक ओळखा

अंतरेतपासणीनिष्कर्ष
4, 6, 104 + 6 = 10संरेख, B मध्ये
45, 60, 10545 + 60 = 105Y मध्ये
4, 5, 7कोणतीही बेरीज जुळत नाहीसंरेख नाहीत

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1Q हा P आणि R च्या मध्ये केव्हा असतो?
  2. 2तीन संरेख बिंदूंपैकी किती बिंदू मध्ये असतो?
  3. 3AB = 3, BC = 5, AC = 8. कोणता बिंदू मध्ये?
मध्यम
  1. 4"B हा A आणि C च्या मध्ये" चिन्हात लिहा.
  2. 5अंतरे 2, 3, 6 असलेले बिंदू संरेख आहेत का?
  3. 6निर्देशक 0 पासून 5 एकक अंतरावरील बिंदू?
आव्हानात्मक
  1. 7d(A, B) = 7, d(B, C) = 12, d(A, C) = 5. कोणता बिंदू मध्ये?
  2. 8शहरे P, Q, R : PQ = 90 किमी, QR = 40 किमी, PR = 130 किमी. मधले शहर कोणते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1d(P, Q) + d(Q, R) = d(P, R) असेल तेव्हा.
  2. 2फक्त एक.
  3. 3B.
  4. 4A − B − C.
  5. 5नाही, 2 + 3 = 5 ≠ 6.
  6. 6−5 आणि 5.
  7. 7A, कारण 5 + 7 = 12.
  8. 8Q, कारण 90 + 40 = 130.

रेषाखंड, किरण, रेषा आणि एकरूप खंड

रोजच्या जीवनातून

कापलेल्या दोरीला दोन टोके (रेषाखंड). टॉर्चचा प्रकाशझोत बल्बपासून सुरू होऊन पुढे जात राहतो (किरण). ताणलेला रस्ता दोन्ही बाजूंना जात असल्यासारखा वाटतो (रेषा). अर्धी घडी घातलेल्या फितीचा मध्य म्हणजे मध्यबिंदू.

सोपी व्याख्या

रेषाखंडाला (segment) दोन अंत्यबिंदू, किरणाला (ray) एक आणि रेषेला (line) एकही नाही. मध्यबिंदू (midpoint) रेषाखंडाचे दोन एकरूप (congruent) भाग करतो.

नियम 1 : रेषाखंड, किरण आणि रेषा — रेषाखंड AB म्हणजे A, B आणि त्यांच्यामधील सर्व बिंदू; लांबी l(AB) = d(A, B). किरण AB म्हणजे रेषाखंड AB आणि A − B − P असे सर्व बिंदू P; A हा आरंभबिंदू. रेषा AB म्हणजे किरण AB आणि त्याचा विरुद्ध किरण.

रेषाखंड, किरण आणि रेषा एकाखाली एक काढलेलेरेषाखंड AB — दोन टोके, लांबी असतेABकिरण AB — A पासून सुरू, पुढे अनंतABरेषा AB — दोन्ही बाजूंना अनंतAB

आकृतीत : आकृतीत रेषाखंड, किरण आणि रेषा किती लांब जातात यावरून वेगळ्या ठरतात.

  • सोपे : रेषाखंड AB ला दोन अंत्यबिंदू.
  • मध्यम : किरण AB हा A पासून सुरू होऊन B मधून जातो.
  • परीक्षेसाठी : किरण AB आणि किरण BA वेगळे; त्यांचे आरंभबिंदू वेगळे.

नियम 2 : एकरूप रेषाखंड आणि मध्यबिंदू — समान लांबीचे रेषाखंड एकरूप : l(AB) = l(CD) असेल तर रेषाखंड AB ≅ रेषाखंड CD. स्वयंवाचक : AB ≅ AB. सममित : AB ≅ CD वरून CD ≅ AB. संक्रामी : AB ≅ CD आणि CD ≅ EF वरून AB ≅ EF. A − M − B आणि रेषाखंड AM ≅ रेषाखंड MB असेल तर M हा मध्यबिंदू; प्रत्येक रेषाखंडाला एकच मध्यबिंदू असतो.

6 सेमी चा रेषाखंड AB आणि त्याचा मध्यबिंदू M, AM व MB प्रत्येकी 3 सेमीAMB3 सेमी3 सेमीरेख AM ≅ रेख MB, म्हणून M हा रेख AB चा मध्यबिंदू (AB = 6 सेमी)

आकृतीत : आकृतीत मध्यबिंदू M रेषाखंडाचे दोन एकरूप भाग करतो.

  • सोपे : l(AB) = 10 आणि M मध्यबिंदू, म्हणून l(AM) = 5.
  • मध्यम : l(PQ) = 14, म्हणून प्रत्येक अर्धा 7.
  • परीक्षेसाठी : A(−3), B(9) : मध्यबिंदू M चा निर्देशक 3, कारण d(A, M) = 3 − (−3) = 6 आणि d(M, B) = 9 − 3 = 6.

नियम 3 : बिंदूचे रेषेपासून अंतर — रेषाखंड CD ⊥ रेषा AB आणि D हा रेषेवर असेल तर l(CD) म्हणजे बिंदू C चे रेषा AB पासूनचे अंतर आणि D हा लंबपाद.

  • सोपे : C पासूनचा लंब रेषेला D मध्ये भेटतो; l(CD) = 4 म्हणजे अंतर 4.
  • मध्यम : बिंदूपासून रेषेपर्यंतचा सर्वांत लहान मार्ग म्हणजे लंब.
  • परीक्षेसाठी : C पासून रेषेपर्यंतचा तिरका रेषाखंड लंब CD पेक्षा मोठा असतो.
लक्षात ठेवा

रेषाखंड : 2 टोके. किरण : 1 टोक. रेषा : टोक नाही. मध्यबिंदू एकच.

सामान्य चूक

किरण AB = किरण BA म्हणणे. त्यांचे आरंभबिंदू वेगळे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "खंड 2 टोके, किरण 1, रेषा 0".

फरक ओळखा

आकृतीअंत्यबिंदूलांबी
रेषाखंड2मोजता येते
किरण1अमर्याद
रेषा0अमर्याद

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1रेषाखंडाला किती अंत्यबिंदू?
  2. 2l(AB) म्हणजे काय?
  3. 3दोन रेषाखंड एकरूप केव्हा?
मध्यम
  1. 418 सेमी रेषाखंडाचा मध्यबिंदू त्याचे कसे भाग करतो?
  2. 5रेषाखंडाला किती मध्यबिंदू?
  3. 6लंबपाद म्हणजे काय?
आव्हानात्मक
  1. 7A(2), B(10). मध्यबिंदूचा निर्देशक काढा.
  2. 8सिद्ध करा : रेषाखंड AB ≅ CD आणि CD ≅ EF तर AB ≅ EF.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1दोन.
  2. 2रेषाखंड AB ची लांबी, म्हणजे d(A, B).
  3. 3त्यांच्या लांब्या समान असतात तेव्हा.
  4. 49 सेमी चे दोन भाग.
  5. 5फक्त एक.
  6. 6लंब रेषेला जिथे भेटतो तो बिंदू.
  7. 76 (प्रत्येक टोकापासून 4).
  8. 8l(AB) = l(CD) = l(EF), म्हणून AB आणि EF च्या लांब्या समान.

सशर्त विधाने, व्यस्त विधान आणि सिद्धता

रोजच्या जीवनातून

"पाऊस पडला तर जमीन ओली होते" हे खरे. पण "जमीन ओली असेल तर पाऊस पडला" हे खोटे असू शकते : कुणी पाणी सांडलेले असेल. विधान उलटवले तर त्याचे सत्य टिकत नाही.

सोपी व्याख्या

सप्रतिबंध विधान (conditional statement) "जर … तर …" या रूपात असते. दोन भाग अदलाबदल केल्यास विपरीत विधान (converse) मिळते.

नियम 1 : सप्रतिबंध विधान आणि विपरीत विधान — "जर" नंतरचा भाग पूर्वांग (antecedent) आणि "तर" नंतरचा भाग उत्तरांग (consequent). त्यांची अदलाबदल केली की विपरीत विधान मिळते. "आकृती चौरस असेल तर ती आयत आहे" हे खरे, पण त्याचे विपरीत "आकृती आयत असेल तर ती चौरस आहे" हे खोटे.

एक सशर्त विधान आणि त्याचा व्यत्याससशर्त विधान आणि त्याचा व्यत्यासजर पाऊस पडला (पूर्वपद),तर जमीन ओली होते (उत्तरपद).अदलाबदलजर जमीन ओली असेल,तर पाऊस पडला. (व्यत्यास)व्यत्यास खरा असेलच असे नाही (जमीन दुसऱ्या कारणानेही ओली असू शकते).

आकृतीत : आकृतीत पूर्वांग "जर" नंतर आणि उत्तरांग "तर" नंतर येते; त्यांची अदलाबदल केली की विपरीत विधान.

  • सोपे : "पाऊस पडला तर रस्ता ओला" यात पूर्वांग "पाऊस पडला".
  • मध्यम : "x = 2 तर x + 1 = 3" चे विपरीत "x + 1 = 3 तर x = 2".
  • परीक्षेसाठी : "संख्या 0 वर संपली तर ती 5 ने विभाज्य" हे खरे; विपरीत खोटे (15 ही 5 ने विभाज्य आहे).

नियम 2 : स्वयंसिद्धके, प्रमेये आणि सिद्धता — युक्लिड यांनी स्वयंसिद्धके (postulates) दिली; ही सिद्धतेशिवाय स्वीकारलेली स्वयंस्पष्ट विधाने आहेत, उदा. "एका बिंदूतून अनंत रेषा जातात" आणि "दोन बिंदूंतून एकच रेषा जाते". तर्काने सिद्ध केलेला गुणधर्म म्हणजे प्रमेय (theorem); तार्किक युक्तिवाद म्हणजे सिद्धता (proof). प्रमेयात पूर्वांग म्हणजे दिलेले आणि उत्तरांग म्हणजे सिद्ध करायचे.

  • सोपे : "दोन बिंदूंतून एकच रेषा जाते" हे स्वयंसिद्धक.
  • मध्यम : "दोन रेषा छेदल्या तर समोरासमोरचे कोन समान" यात दिलेले "दोन रेषा छेदतात".
  • परीक्षेसाठी : त्याच विधानात सिद्ध काय करायचे? समोरासमोरचे कोन समान.

नियम 3 : प्रत्यक्ष आणि अप्रत्यक्ष सिद्धता — प्रत्यक्ष सिद्धता : रेषा AB आणि CD बिंदू O मध्ये छेदतात. ∠AOC + ∠BOC = 180° आणि ∠BOC + ∠BOD = 180° (रेषीय जोडी), म्हणून ∠AOC = ∠BOD. अप्रत्यक्ष सिद्धता : उत्तरांग खोटे मानून विरोधाभास मिळवतात. "n2 सम असेल तर n सम" सिद्ध करायचे : n विषम मानू, n = 2k + 1, तर n2 = 4k2 + 4k + 1, जे विषम. हे n2 सम असण्याला विरोधी, म्हणून n सम.

  • सोपे : ∠AOC + ∠BOC = 180° ही रेषीय जोडी.
  • मध्यम : ∠AOC = 70° तर ∠BOC = 110° आणि ∠BOD = 70°.
  • परीक्षेसाठी : अप्रत्यक्ष सिद्धतेत पहिली पायरी n विषम आहे असे मानणे.
लक्षात ठेवा

विपरीत : पूर्वांग-उत्तरांग अदलाबदल. खऱ्या विधानाचे विपरीत खोटे असू शकते.

सामान्य चूक

विपरीतही खरे असेल असे गृहीत धरणे. ते वेगळे तपासा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "जर = पूर्वांग; तर = उत्तरांग; उलट = विपरीत".

फरक ओळखा

संज्ञाअर्थ
पूर्वांग"जर" नंतर
उत्तरांग"तर" नंतर
स्वयंसिद्धकसिद्धतेशिवाय स्वीकारलेले
प्रमेयतर्काने सिद्ध

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1पूर्वांग म्हणजे काय?
  2. 2उत्तरांग म्हणजे काय?
  3. 3विपरीत विधान कसे मिळते?
मध्यम
  1. 4स्वयंसिद्धक म्हणजे काय?
  2. 5प्रमेय म्हणजे काय?
  3. 6"संख्या 6 ने विभाज्य असेल तर ती 3 ने विभाज्य" याचे विपरीत लिहा. ते खरे आहे का?
आव्हानात्मक
  1. 7समोरासमोरच्या कोनांच्या प्रत्यक्ष सिद्धतेत रेषीय जोड्या कोणत्या?
  2. 8अप्रत्यक्ष सिद्धतेची मुख्य कल्पना काय?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1"जर" नंतरचा भाग.
  2. 2"तर" नंतरचा भाग.
  3. 3पूर्वांग आणि उत्तरांग अदलाबदल करून.
  4. 4सिद्धतेशिवाय स्वीकारलेले स्वयंस्पष्ट विधान.
  5. 5तर्काने सिद्ध केलेला गुणधर्म.
  6. 6"3 ने विभाज्य तर 6 ने विभाज्य" हे खोटे (9).
  7. 7∠AOC आणि ∠BOC, तसेच ∠BOC आणि ∠BOD.
  8. 8उत्तरांग खोटे मानून विरोधाभास मिळवणे.

झटपट उजळणी

  • अंतर = मोठा निर्देशक − लहान निर्देशक; d(P, Q) + d(Q, R) = d(P, R) असेल तर Q हा P आणि R च्या मधे असतो.
  • प्रत्येक रेषाखंडाला नेमका एक मध्यबिंदू असतो; एकरूप रेषाखंडांच्या लांब्या समान असतात.
  • व्यस्त विधान : पूर्वभाग आणि उत्तरभाग यांची अदलाबदल; प्रमेय म्हणजे तर्काने सिद्ध केलेला गुणधर्म.