समानुपाती चल (एक वाढला की दुसरा वाढतो)
1 किलो सफरचंदाचा भाव ₹120 आहे. 2 किलोला ₹240, 3 किलोला ₹360. वजन वाढले तसे पैसेही त्याच पटीने वाढले.
दोन गोष्टींचा भागाकार नेहमी सारखा राहत असेल तर त्या समानुपाती चल आहेत. हा सारखा भागाकार म्हणजे चलाचा स्थिरांक (k).
आकृतीत : वजन 1, 2, 3 किलो → किंमत ₹120, 240, 360 : सर्व बिंदू (0, 0) मधून जाणाऱ्या सरळ रेषेत ; प्रत्येक बिंदूवर किंमत ÷ वजन = 120.
सूत्र : y ÷ x = k (किंवा y = k × x)
शब्दांत : k एकदा काढला की कोणत्याही x साठी y = k × x.
समानुपाती चल (एक वाढला की दुसरा वाढतो)
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 5 किलो सफरचंद ₹600 ला. 8 किलोचे किती? k = 600 ÷ 5 = 120 ; 120 × 8 = ₹960.
- मध्यम : m ∝ n. n = 9 असताना m = 36. n = 14 असेल तर m? k = 36 ÷ 9 = 4 ; m = 4 × 14 = 56.
- परीक्षेसाठी : y ∝ √x. x = 16 असताना y = 12. x = 64 असेल तर y? k = 12 ÷ √16 = 12 ÷ 4 = 3 ; y = 3 × √64 = 3 × 8 = 24.
"∝" हे चिन्ह "समानुपाती" दाखवते : y ∝ x म्हणजे y आणि x समानुपाती.
k काढताना नेहमी y ÷ x करा, उलट नाही — आणि प्रत्येक वेळी तोच क्रम ठेवा.
k काढल्यावर सारणी भरणे सोपे : प्रत्येक नव्या x ला k ने गुणा. उदा. k = 120 असेल तर 4 किलोचे 120 × 4 = ₹480. आठवणीची युक्ती : समानुपाती : y ÷ x सारखा ; "दोघे हातात हात घालून वाढतात".
फरक ओळखा
| मुद्दा | y ∝ x | y ∝ √x |
|---|---|---|
| सारखा राहणारा भाग | y ÷ x | y ÷ √x |
| x ला 4 ने गुणले तर y | 4 ने गुणला जातो | 2 ने गुणला जातो |
| k = 3, x = 16 : y | 48 | 12 |
| आलेख | उगमातून सरळ रेषा | उगमातून वक्र रेषा |
सरावासाठी प्रश्न
- 12 किलो तांदूळ ₹90 ला. 5 किलोची किंमत?
- 26 वह्या ₹72 ला. 1 वहीची किंमत?
- 3p ∝ q. q = 4 असताना p = 20. q = 9 असेल तर p?
- 43 मीटर कापड ₹270 ला. ₹630 मध्ये किती मीटर?
- 5एक नळ 5 मिनिटांत 40 लिटर पाणी देतो. 12 मिनिटांत किती लिटर?
- 6y ∝ x. x = 7 असताना y = 28. y = 60 असेल तर x?
- 7y ∝ √x. x = 9 असताना y = 15. x = 36 असेल तर y?
- 8y ∝ x. x = 10 असताना y = 35. x = 4 असताना y किती आणि y = 63 असताना x किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1k = 90 ÷ 2 = 45 ; 45 × 5 = ₹225.
- 272 ÷ 6 = ₹12.
- 3k = 20 ÷ 4 = 5 ; p = 5 × 9 = 45.
- 4k = 270 ÷ 3 = 90 ; 630 ÷ 90 = 7 मीटर.
- 5k = 40 ÷ 5 = 8 ; 8 × 12 = 96 लिटर.
- 6k = 28 ÷ 7 = 4 ; x = 60 ÷ 4 = 15.
- 7k = 15 ÷ 3 = 5 ; y = 5 × 6 = 30.
- 8k = 35 ÷ 10 = 3.5 ; y = 3.5 × 4 = 14 ; x = 63 ÷ 3.5 = 18.
व्यस्त चल (एक वाढला की दुसरा कमी होतो)
6 मजूर एक भिंत 10 दिवसांत बांधतात. 12 मजूर असतील तर 5 दिवस पुरतात. माणसे दुप्पट, दिवस निम्मे. 6 × 10 = 60 आणि 12 × 5 = 60 : गुणाकार सारखाच.
दोन गोष्टींचा गुणाकार नेहमी सारखा राहत असेल तर त्या व्यस्त चल आहेत.
आकृतीत : मजूर 3, 6, 12 → दिवस 20, 10, 5 : गुणाकार नेहमी 60 ; बिंदू वक्र रेषेत आणि वक्र रेषा अक्षांना भेटत नाही.
सूत्र : x × y = k (किंवा y = k ÷ x)
शब्दांत : एक गोष्ट जितकी पटीने वाढेल, दुसरी तितक्याच पटीने कमी होते.
व्यस्त चल (एक वाढला की दुसरा कमी होतो)
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : 6 मजूर 10 दिवसांत काम करतात. 4 मजूर असतील तर किती दिवस? 6 × 10 = 60 ; 60 ÷ 4 = 15 दिवस.
- मध्यम : 40 किमी/तास वेगाने 6 तास लागतात. 60 किमी/तास वेगाने किती तास? 40 × 6 = 240 ; 240 ÷ 60 = 4 तास.
- परीक्षेसाठी : x ∝ 1/y. y = 8 असताना x = 15. y = 24 असेल तर x? k = 15 × 8 = 120 ; x = 120 ÷ 24 = 5.
व्यस्त चलात x × y = k नेहमी सारखा. x जितक्या पटीने वाढतो, y तितक्याच पटीने कमी होतो.
मजूर आणि दिवस, वेग आणि वेळ — हे व्यस्त आहेत. किंमत आणि वजन — हे समानुपाती. आधी विचार करा : एक वाढल्यावर दुसरे वाढेल की कमी होईल?
व्यस्त चलात पूर्ण काम = माणसे × दिवस हे आधी काढा आणि नंतर भागा. आठवणीची युक्ती : व्यस्त : x × y सारखा ; "एक वर, दुसरा खाली".
फरक ओळखा
| मुद्दा | समानुपाती | व्यस्त |
|---|---|---|
| एक वाढला तर दुसरा | वाढतो | कमी होतो |
| सारखे राहते | भागाकार y ÷ x | गुणाकार x × y |
| उदाहरण | वजन आणि किंमत | मजूर आणि दिवस |
| आलेख | सरळ रेषा (उगमातून) | वक्र रेषा |
सरावासाठी प्रश्न
- 110 मजूर काम 12 दिवसांत करतात. 6 मजूर असतील तर किती दिवस?
- 2x × y = 36. x = 4 असेल तर y?
- 350 किमी/तास वेगाने 3 तास लागतात. 75 किमी/तास वेगाने किती तास?
- 4y ∝ 1/x. x = 5 असताना y = 8. x = 20 असेल तर y?
- 5अन्न 20 माणसांना 15 दिवस पुरते. 25 माणसे असतील तर किती दिवस?
- 6एका कामाला 8 माणसांना 9 दिवस लागतात. ते 6 दिवसांत संपवायचे तर किती माणसे हवीत?
- 76 माणसे काम 20 दिवसांत करतात. 4 दिवसांनंतर 2 माणसे सोडून गेली. उरलेले काम बाकीची माणसे किती दिवसांत संपवतील?
- 8x ∝ 1/y. y = 6 असताना x = 12. x = 9 असेल तर y?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 110 × 12 = 120 ; 120 ÷ 6 = 20 दिवस.
- 236 ÷ 4 = 9.
- 350 × 3 = 150 ; 150 ÷ 75 = 2 तास.
- 4k = 5 × 8 = 40 ; y = 40 ÷ 20 = 2.
- 520 × 15 = 300 ; 300 ÷ 25 = 12 दिवस.
- 68 × 9 = 72 ; 72 ÷ 6 = 12 माणसे.
- 7एकूण काम = 6 × 20 = 120 ; 4 दिवसांत झाले 6 × 4 = 24 ; उरले 96 ; 4 माणसे : 96 ÷ 4 = 24 दिवस.
- 8k = 6 × 12 = 72 ; y = 72 ÷ 9 = 8.
आलेख आणि ओळख
सरळ रस्त्यावर तुम्ही दर तासाला 20 किमी जाता : 1 तास – 20, 2 तास – 40, 3 तास – 60. हे बिंदू एका सरळ रेषेत येतात. पण 60 किमी अंतर जायचे असेल तर वेग वाढला की वेळ कमी होतो : 10 → 6 तास, 20 → 3 तास, 30 → 2 तास; हे बिंदू वक्र रेषेत येतात.
आकृतीत : डावीकडे : (1, 20), (2, 40), (3, 60) सरळ रेषेत, (0, 0) मधून ; उजवीकडे : (2, 30), (3, 20), (6, 10) वक्र रेषेत.
शब्दांत : समानुपाती चलाचा आलेख उगमबिंदूतून जाणारी सरळ रेषा असतो. व्यस्त चलाचा आलेख वक्र (कधीही अक्षांना न भेटणारा) असतो.
आलेख आणि ओळख
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाआलेख आणि ओळख
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : बिंदू (1, 20), (2, 40), (3, 60) : y ÷ x = 20 प्रत्येक वेळी सारखा आणि रेषा (0, 0) मधून जाते → समानुपाती.
- मध्यम : बिंदू (2, 30), (3, 20), (6, 10) : x × y = 60 प्रत्येक वेळी सारखा आणि आलेख वक्र → व्यस्त.
- परीक्षेसाठी : सारणी x : 1, 2, 4 आणि y : 5, 10, 15. y ÷ x = 5, 5, 3.75 सारखा नाही ; x × y = 5, 20, 60 तोही सारखा नाही → समानुपाती नाही आणि व्यस्तही नाही.
आलेखावर उगमबिंदू (0, 0) येत असेल तर तो समानुपाती; नसेल तर नाही.
फक्त वक्र रेषा दिसली म्हणून ती व्यस्त चल असेलच असे नाही ; x × y सारखा आहे का ते तपासा.
आधी सारणीत दोन्ही तपासा : y ÷ x सारखा → समानुपाती ; x × y सारखा → व्यस्त. आठवणीची युक्ती : आधी सारणी, मग आलेख : समानुपाती सरळ रेषा, व्यस्त वक्र.
फरक ओळखा
| मुद्दा | समानुपाती आलेख | व्यस्त आलेख |
|---|---|---|
| आकार | सरळ रेषा | वक्र रेषा |
| (0, 0) मधून | जातो | जात नाही |
| सारणीत सारखे | y ÷ x | x × y |
| उदाहरण बिंदू | (1, 20), (2, 40) | (2, 30), (3, 20) |
सरावासाठी प्रश्न
- 14 वह्यांची किंमत ₹60. 7 वह्यांची किंमत किती?
- 23 पेन ₹21 ला. 10 पेनची किंमत किती?
- 3वेग आणि वेळ (ठरावीक अंतर) : समानुपाती की व्यस्त?
- 4a ∝ b. b = 6 असताना a = 18. b = 11 असेल तर a?
- 58 माणसे एक काम 15 दिवसांत करतात. 12 माणसे असतील तर किती दिवस?
- 6x ∝ 1/y. y = 4 असताना x = 9. y = 12 असेल तर x?
- 7y ∝ √x. x = 25 असताना y = 10. x = 64 असेल तर y?
- 8एक गाडी 45 किमी/तास वेगाने 4 तासांत अंतर कापते. तेच अंतर 3 तासांत कापायचे असेल तर वेग किती हवा?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 160 ÷ 4 = 15 ; 15 × 7 = ₹105.
- 221 ÷ 3 = 7 ; 7 × 10 = ₹70.
- 3व्यस्त (वेग वाढला तर वेळ कमी).
- 4k = 18 ÷ 6 = 3 ; a = 3 × 11 = 33.
- 58 × 15 = 120 ; 120 ÷ 12 = 10 दिवस.
- 6k = 9 × 4 = 36 ; x = 36 ÷ 12 = 3.
- 7k = 10 ÷ √25 = 10 ÷ 5 = 2 ; y = 2 × √64 = 2 × 8 = 16.
- 845 × 4 = 180 ; 180 ÷ 3 = 60 किमी/तास.