उजळणी : अवयव म्हणजे काय
12 ची 3 × 4 अशी विभागणी म्हणजे अवयव. तसेच x² + 7x + 12 चे दोन कंस (x + 3) आणि (x + 4) हे त्याचे अवयव.
- सामाईक अवयव : 4xy + 8xy² = 4xy(1 + 2y)
- वर्गांतील फरक : p² − 9q² = (p + 3q)(p − 3q)
अवयव पाडण्याआधी नेहमी आधी सामाईक अवयव बाहेर काढा. मग काम सोपे होते. आठवणीची युक्ती : अवयव पाडण्याआधी "आधी सामाईक, मग सूत्र" हा क्रम नेहमी पाळा.
x² + (a + b)x + ab चे अवयव
आयताचे क्षेत्रफळ x² + 7x + 12 आहे. त्याची लांबी आणि रुंदी काय असतील? 12 चे दोन असे अवयव शोधा की त्यांची बेरीज 7 आहे : 3 आणि 4. म्हणजे (x + 3) आणि (x + 4).
ही गुणाकाराची उलटी क्रिया आहे. गुणाकारात कंसातून पद बनते, इथे पदातून कंस बनवतो.
आकृतीत : x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) : 12 चे अवयव 3 आणि 4, त्यांची बेरीज 7 — आयताचे चार भाग x², 4x, 3x, 12.
सूत्र : x² + (बेरीज)x + (गुणाकार) = (x + पहिली संख्या)(x + दुसरी संख्या)
शब्दांत : शेवटच्या संख्येचे असे दोन अवयव शोधा की गुणाकार = शेवटची संख्या आणि बेरीज = मधली संख्या.
x² + (a + b)x + ab चे अवयव
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : x² + 7x + 12 = x² + 3x + 4x + 12 = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4) (3 × 4 = 12, 3 + 4 = 7)
- मध्यम : x² − x − 20 = x² − 5x + 4x − 20 = x(x − 5) + 4(x − 5) = (x − 5)(x + 4) (−5 × 4 = −20, −5 + 4 = −1)
- परीक्षेसाठी : y² − 11y + 28 = y² − 4y − 7y + 28 = y(y − 4) − 7(y − 4) = (y − 4)(y − 7) (−4 × −7 = 28, −4 − 7 = −11)
चिन्हांचा नियम
| शेवटची संख्या | मधली संख्या | दोन संख्यांची चिन्हे |
|---|---|---|
| + | + | दोन्ही + |
| + | − | दोन्ही − |
| − | कोणतीही | एक + , एक − (मोठी संख्या मधल्या चिन्हाची) |
तपासणी : दोन्ही कंस परत गुणा. मूळ पद मिळाले तर उत्तर बरोबर.
12 चे अवयव 3 आणि 4 आहेत; पण x² + 8x + 12 साठी बेरीज 8 हवी — तिथे 2 आणि 6 घ्यावे लागतात.
शेवटच्या संख्येचे सर्व अवयव लिहा आणि ज्यांची बेरीज मधल्या संख्येएवढी ती जोडी निवडा. आठवणीची युक्ती : x² + (a + b)x + ab : "गुणाकार शेवटचा आकडा, बेरीज मधला आकडा".
फरक ओळखा
| मुद्दा | a = 1 (x² + bx + c) | a ≠ 1 (ax² + bx + c) |
|---|---|---|
| कशाचे अवयव | शेवटची संख्या | पहिली × शेवटची |
| उदाहरण | x² + 7x + 12 | 2x² + 7x + 3 |
| जोडी (बेरीज = मधली) | 3 आणि 4 | 1 आणि 6 |
| अवयव | (x + 3)(x + 4) | (2x + 1)(x + 3) |
सरावासाठी प्रश्न
- 1x² + 9x + 20
- 2y² − 8y + 15
- 3m² + 2m − 15
- 4a² − 3a − 40
- 5p² + 14p + 33
- 6x² − 12x + 35
- 7x² + 2x − 48
- 8आयताचे क्षेत्रफळ y² + 10y + 21 आहे. त्याच्या बाजू सांगा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1x² + 9x + 20 = x² + 4x + 5x + 20 = x(x + 4) + 5(x + 4) = (x + 4)(x + 5)
- 2y² − 8y + 15 = y² − 3y − 5y + 15 = y(y − 3) − 5(y − 3) = (y − 3)(y − 5)
- 3m² + 2m − 15 = m² + 5m − 3m − 15 = m(m + 5) − 3(m + 5) = (m + 5)(m − 3)
- 4a² − 3a − 40 = a² − 8a + 5a − 40 = a(a − 8) + 5(a − 8) = (a − 8)(a + 5)
- 5p² + 14p + 33 = p² + 3p + 11p + 33 = p(p + 3) + 11(p + 3) = (p + 3)(p + 11)
- 6x² − 12x + 35 = x² − 5x − 7x + 35 = x(x − 5) − 7(x − 5) = (x − 5)(x − 7)
- 7x² + 2x − 48 = x² + 8x − 6x − 48 = x(x + 8) − 6(x + 8) = (x + 8)(x − 6)
- 8y² + 10y + 21 = y² + 3y + 7y + 21 = y(y + 3) + 7(y + 3) = (y + 3)(y + 7); बाजू (y + 3) आणि (y + 7).
ax² + bx + c चे अवयव (a ≠ 1)
2x² + 7x + 3 मध्ये x² च्या आधी 2 आहे. म्हणून आता फक्त शेवटची संख्या नाही, तर 2 × 3 = 6 चे अवयव बघावे लागतात : 1 आणि 6 (बेरीज 7).
पहिली आणि शेवटची संख्या गुणून मिळालेल्या गुणाकाराचे असे दोन अवयव घ्या की त्यांची बेरीज मधल्या संख्येएवढी. मधले पद त्यांत फोडा आणि दोन-दोन पदांचे गट करा.
आकृतीत : 2x² + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3) : 2 × 3 = 6 चे अवयव 1 आणि 6 (बेरीज 7) ; आयताचे चार भाग 2x², x, 6x, 3.
ax² + bx + c चे अवयव (a ≠ 1)
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाशब्दांत : पायरी 1 : (पहिली × शेवटची) काढा. पायरी 2 : त्याचे बेरीज = मधली असे दोन अवयव घ्या. पायरी 3 : मधले पद फोडा. पायरी 4 : गट करा, सामाईक अवयव काढा.
- सोपे : 2x² + 7x + 3 = 2x² + x + 6x + 3 = x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x + 3) (2 × 3 = 6 ; 1 + 6 = 7)
- मध्यम : 3m² − 10m + 8 = 3m² − 4m − 6m + 8 = m(3m − 4) − 2(3m − 4) = (3m − 4)(m − 2) (3 × 8 = 24 ; −4 − 6 = −10)
- परीक्षेसाठी : 6y² + y − 15 = 6y² + 10y − 9y − 15 = 2y(3y + 5) − 3(3y + 5) = (3y + 5)(2y − 3) (6 × −15 = −90 ; 10 − 9 = 1)
आधी सामाईक अवयव : 3x² − 12x − 36 = 3(x² − 4x − 12) = 3(x − 6)(x + 2).
गट केल्यावर दोन्ही कंस सारखे आले पाहिजेत. नाही आले तर संख्या चुकली.
मधले पद फोडताना बेरीज मधल्या संख्येएवढी हवी आणि गुणाकार (पहिली × शेवटची) एवढा. फक्त शेवटची संख्या घेऊ नका.
पहिली × शेवटची काढा, त्याचे असे अवयव घ्या की बेरीज मधल्या संख्येएवढी. आठवणीची युक्ती : a ≠ 1 असेल तेव्हा "पहिली × शेवटची" ने फोड करा.
फरक ओळखा
| मुद्दा | विस्तार (गुणाकार) | अवयव पाडणे |
|---|---|---|
| क्रिया | कंस सोडवणे | कंस बनवणे |
| उदाहरण | (2x + 1)(x + 3) → 2x² + 7x + 3 | 2x² + 7x + 3 → (2x + 1)(x + 3) |
| मधले पद | जोडले जाते | दोन पदांत फोडले जाते |
| तपासणी | दोन्ही एकमेकांची उलट क्रिया | दोन्ही एकमेकांची उलट क्रिया |
सरावासाठी प्रश्न
- 12a² + 9a + 10
- 23x² + 11x + 6
- 32p² − 5p + 2
- 43x² − 7x − 6
- 55m² + 13m + 6
- 64y² − 12y + 5
- 72x² − 2x − 12 (आधी सामाईक अवयव)
- 86a² − 13a + 6
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 12a² + 9a + 10 = 2a² + 4a + 5a + 10 = 2a(a + 2) + 5(a + 2) = (a + 2)(2a + 5)
- 23x² + 11x + 6 = 3x² + 9x + 2x + 6 = 3x(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3)(3x + 2)
- 32p² − 5p + 2 = 2p² − 4p − p + 2 = 2p(p − 2) − 1(p − 2) = (p − 2)(2p − 1)
- 43x² − 7x − 6 = 3x² − 9x + 2x − 6 = 3x(x − 3) + 2(x − 3) = (x − 3)(3x + 2)
- 55m² + 13m + 6 = 5m² + 10m + 3m + 6 = 5m(m + 2) + 3(m + 2) = (m + 2)(5m + 3)
- 64y² − 12y + 5 = 4y² − 2y − 10y + 5 = 2y(2y − 1) − 5(2y − 1) = (2y − 1)(2y − 5)
- 72x² − 2x − 12 = 2(x² − x − 6) = 2(x − 3)(x + 2)
- 86a² − 13a + 6 = 6a² − 4a − 9a + 6 = 2a(3a − 2) − 3(3a − 2) = (3a − 2)(2a − 3)
a³ + b³ चे अवयव
एका 3 सेमी घनाचे आणि 2 सेमी घनाचे आकारमान 27 + 8 = 35 आहे. 35 = 5 × 7. सूत्राने : (3 + 2) × (9 − 6 + 4) = 5 × 7. म्हणजे घनांची बेरीज पण दोन अवयवांत मोडते.
दोन घनांची बेरीज : पहिला कंस साधा (a + b), दुसरा कंस लांब (a² − ab + b²).
आकृतीत : 3 सेमी घन (27) + 2 सेमी घन (8) = 35 = 5 × 7 ; a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) : (3 + 2)(9 − 6 + 4).
सूत्र : a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
शब्दांत : दुसरा कंस : पहिल्याचा वर्ग, − (दोघांचा गुणाकार), + दुसऱ्याचा वर्ग.
a³ + b³ चे अवयव
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : x³ + 216 = x³ + 6³ = (x + 6)(x² − 6x + 36) ( 6² = 36 )
- मध्यम : 8m³ + 125 = (2m)³ + 5³ = (2m + 5)(4m² − 10m + 25)
- परीक्षेसाठी : 54y³ + 2 = 2(27y³ + 1) = 2(3y + 1)(9y² − 3y + 1) (आधी 2 बाहेर)
a³ + b³ चा पहिला कंस (a + b) ; दुसऱ्या कंसात मधले चिन्ह − आणि शेवटचे +.
(a + b)³ आणि a³ + b³ वेगळे आहेत. a³ + b³ ≠ (a + b)³.
सम – विरुद्ध – धन : पहिल्या कंसात चिन्ह तेच (+). दुसऱ्यात मधले चिन्ह उलटे (−). शेवटचे नेहमी +. आठवणीची युक्ती : बेरजेचा घन : (दोघांची बेरीज)(वर्ग − गुणाकार + वर्ग).
फरक ओळखा
| मुद्दा | (a + b)³ | a³ + b³ |
|---|---|---|
| रूप | विस्तार | अवयव पाडणे |
| उत्तर | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | (a + b)(a² − ab + b²) |
| a = 3, b = 2 साठी | 125 | 35 |
| दोन्ही सारखे आहेत का | नाही | नाही |
सरावासाठी प्रश्न
- 1x³ + 8
- 2y³ + 1
- 3m³ + 64
- 427a³ + 8
- 58x³ + 27y³
- 6p³ + 125q³
- 716m³ + 2
- 81000 + 1 ची किंमत सूत्राने 10³ + 1³ वापरून अवयवांत लिहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)
- 2y³ + 1 = (y + 1)(y² − y + 1)
- 3m³ + 64 = (m + 4)(m² − 4m + 16)
- 427a³ + 8 = (3a + 2)(9a² − 6a + 4)
- 58x³ + 27y³ = (2x + 3y)(4x² − 6xy + 9y²)
- 6p³ + 125q³ = (p + 5q)(p² − 5pq + 25q²)
- 716m³ + 2 = 2(8m³ + 1) = 2(2m + 1)(4m² − 2m + 1)
- 810³ + 1³ = 1000 + 1 = 1001 = (10 + 1)(100 − 10 + 1) = 11 × 91
a³ − b³ चे अवयव
5 सेमी घनातून 2 सेमी घन काढला तर 125 − 8 = 117 उरते. सूत्राने : (5 − 2)(25 + 10 + 4) = 3 × 39 = 117.
दोन घनांची वजाबाकी : पहिला कंस (a − b), दुसरा कंस (a² + ab + b²).
आकृतीत : 5 सेमी घन (125) − 2 सेमी घन (8) = 117 = 3 × 39 ; a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) : (5 − 2)(25 + 10 + 4).
सूत्र : a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
शब्दांत : बेरजेच्या सूत्राची चिन्हे बदला : पहिला कंस −, मधले पद +, शेवटचे पद + च.
a³ − b³ चे अवयव
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : y³ − 64 = y³ − 4³ = (y − 4)(y² + 4y + 16)
- मध्यम : 27m³ − 8 = (3m)³ − 2³ = (3m − 2)(9m² + 6m + 4)
- परीक्षेसाठी : 250p³ − 16q³ = 2(125p³ − 8q³) = 2(5p − 2q)(25p² + 10pq + 4q²)
a³ − b³ चा पहिला कंस (a − b) ; दुसऱ्या कंसातील सर्व चिन्हे +.
दुसऱ्या कंसातले पद आणखी अवयवांत मोडत नाही (a² + ab + b² हे शेवटचे रूप आहे).
चिन्ह क्रम : पहिला कंस तेच चिन्ह, मधले उलटे, शेवटचे नेहमी +. आठवणीची युक्ती : फरकाचा घन : (दोघांचा फरक)(वर्ग + गुणाकार + वर्ग).
फरक ओळखा
| मुद्दा | a³ + b³ | a³ − b³ |
|---|---|---|
| पहिला कंस | (a + b) | (a − b) |
| मधले पद | − ab | + ab |
| शेवटचे पद | + b² | + b² |
सरावासाठी प्रश्न
- 1x³ − 1
- 2m³ − 125
- 3a³ − 27
- 48y³ − 27
- 564x³ − y³
- 627p³ − 216q³ (आधी 27 बाहेर)
- 716m³ − 54
- 8(x + 2)³ − (x − 2)³ चे अवयव : a = x + 2, b = x − 2 घ्या.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1)
- 2m³ − 125 = (m − 5)(m² + 5m + 25)
- 3a³ − 27 = (a − 3)(a² + 3a + 9)
- 48y³ − 27 = (2y − 3)(4y² + 6y + 9)
- 564x³ − y³ = (4x − y)(16x² + 4xy + y²)
- 627p³ − 216q³ = 27(p³ − 8q³) = 27(p − 2q)(p² + 2pq + 4q²)
- 716m³ − 54 = 2(8m³ − 27) = 2(2m − 3)(4m² + 6m + 9)
- 8(x + 2)³ − (x − 2)³ = 4 × ((x+2)² + (x+2)(x−2) + (x−2)²) = 4(3x² + 4) = 12x² + 16.