उजळणी : वर्गाची सूत्रे
- (a + b)² = a² + 2ab + b² — उदा. (x + 4)² = x² + 8x + 16
- (a − b)² = a² − 2ab + b² — उदा. (y − 5)² = y² − 10y + 25
- (a + b)(a − b) = a² − b² — उदा. (m + 6)(m − 6) = m² − 36
संख्येचा वर्ग झटपट : 103² = (100 + 3)² = 10000 + 600 + 9 = 10609.
उजळणी : वर्गाची सूत्रे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा(x + a)(x + b) चा गुणाकार
x मीटर बाजूच्या चौरसी बागेची लांबी 5 मीटर आणि रुंदी 3 मीटर वाढवली. नवी बाग (x + 5) × (x + 3) आहे. तिचे क्षेत्रफळ 4 तुकड्यांचे बनते : जुना चौरस, दोन पट्ट्या आणि कोपऱ्यातला छोटा आयत.
पहिले पद सारखे (x) असलेल्या दोन द्विपदींचा गुणाकार एका सूत्राने थेट लिहिता येतो.
आकृतीत : (x + 5)(x + 3) : चार भाग x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15 (5 आणि 3 ची बेरीज 8, गुणाकार 15).
सूत्र : (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
शब्दांत : x² , मग दोन संख्यांची बेरीज × x , मग दोन संख्यांचा गुणाकार.
(x + a)(x + b) चा गुणाकार
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : (x + 5)(x + 3) = x² + (5 + 3)x + 5 × 3 = x² + 8x + 15
- मध्यम : (x − 4)(x + 7) = x² + (−4 + 7)x + (−4) × 7 = x² + 3x − 28
- परीक्षेसाठी : (y − 6)(y − 2) = y² + (−6 − 2)y + (−6) × (−2) = y² − 8y + 12
झटपट संख्या : 52 × 48 = (50 + 2)(50 − 2) = 2500 − 4 = 2496.
बेरीज आणि गुणाकार करताना चिन्हासकट (+ / −) घ्या.
(x − 4)(x + 7) मध्ये बेरीज −4 + 7 = 3 आहे, 4 + 7 नाही.
हे सूत्र तेव्हाच वापरा जेव्हा दोन्ही द्विपदींत पहिले पद x सारखे असते ; a आणि b ची बेरीज व गुणाकार आधी लिहा. आठवणीची युक्ती : (x + a)(x + b) = x² + (बेरीज)x + गुणाकार : "बेरीज मध्ये, गुणाकार शेवटी".
फरक ओळखा
| मुद्दा | (x + 3)(x + 5) | (x + 3)(x − 3) |
|---|---|---|
| संख्यांची बेरीज | 8 | 0 |
| संख्यांचा गुणाकार | 15 | −9 |
| उत्तर | x² + 8x + 15 | x² − 9 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1(x + 2)(x + 9)
- 2(m − 3)(m + 8)
- 3(y − 5)(y − 4)
- 4(p + 11)(p − 6)
- 5(a − 7)(a − 7)
- 661 × 59 सूत्राने काढा.
- 7(x + 3)(x + 5) − (x + 1)(x + 7) सोपे करा.
- 8(x + 5)(x + a) = x² + 9x + 5a असेल तर a काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1(x + 2)(x + 9) = x² + 11x + 18
- 2(m − 3)(m + 8) = m² + 5m − 24
- 3(y − 5)(y − 4) = y² − 9y + 20
- 4(p + 11)(p − 6) = p² + 5p − 66
- 5(a − 7)(a − 7) = a² − 14a + 49
- 661 × 59 = (60 + 1)(60 − 1) = 3600 − 1 = 3599
- 7(x + 3)(x + 5) − (x + 1)(x + 7) = (x² + 8x + 15) − (x² + 8x + 7) = 8
- 85 + a = 9 म्हणून a = 4.
(a + b)³ चा घन
2 सेमी बाजूच्या घनावर सर्व बाजूंनी 1 सेमी जाडीचे आवरण चढवले. नवा घन 3 सेमीचा झाला : 27 = 8 + 12 + 6 + 1 — जुना घन, 3 जाड पट्ट्या-गट, 3 कडा-गट आणि 1 कोपरा.
(a + b) ला तीनदा गुणले की घन मिळतो. तो 4 पदांचा असतो.
आकृतीत : 2 सेमीचा घन + 1 सेमीचा थर = 3 सेमीचा घन : 8 (निळा) + 12 + 6 + 1 = 27 ; (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (येथे a = 2, b = 1).
सूत्र : (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
शब्दांत : पहिल्याचा घन + 3 × (पहिला² × दुसरा) + 3 × (पहिला × दुसरा²) + दुसऱ्याचा घन.
(a + b)³ चा घन
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : (x + 2)³ = x³ + 3 × x² × 2 + 3 × x × 2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8
- मध्यम : (2m + 3)³ = (2m)³ + 3 × (2m)² × 3 + 3 × 2m × 3² + 3³ = 8m³ + 36m² + 54m + 27
- परीक्षेसाठी : (3a + 2b)³ = (3a)³ + 3 × (3a)² × 2b + 3 × 3a × (2b)² + (2b)³ = 27a³ + 54a²b + 36ab² + 8b³
झटपट संख्या : 11³ = (10 + 1)³ = 1000 + 300 + 30 + 1 = 1331.
(a + b)³ ची 4 पदे सर्व धन असतात ; चिन्हे बदलत नाहीत.
(2m)³ = 8m³ आहे, 2m³ नाही. 2 चाही घन करा.
मधल्या दोन पदांचे गुणक 3 आणि 3 आहेत. आठवणीची युक्ती : घनाचे गुणक : 1, 3, 3, 1 ; मधल्या दोन पदांपुढे 3.
फरक ओळखा
| मुद्दा | (a + b)³ | a³ + b³ |
|---|---|---|
| पदांची संख्या | 4 | 2 |
| मधली पदे | 3a²b + 3ab² | नाहीत |
| उदा. x आणि 1 | x³ + 3x² + 3x + 1 | x³ + 1 |
| दोन्ही सारखे आहेत का | नाही | नाही — (a + b)³ ≠ a³ + b³ |
सरावासाठी प्रश्न
- 1(y + 1)³
- 2(x + 3)³
- 312³ सूत्राने काढा.
- 4(3p + 1)³
- 5(2a + 5)³
- 6(m + 2n)³
- 7(x + 1)³ + (x − 1)³ सोपे करा.
- 8a + b = 5 आणि ab = 6 असेल तर a³ + b³ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1(y + 1)³ = y³ + 3y² + 3y + 1
- 2(x + 3)³ = x³ + 9x² + 27x + 27
- 312³ = (10 + 2)³ = 1000 + 600 + 120 + 8 = 1728
- 4(3p + 1)³ = 27p³ + 27p² + 9p + 1
- 5(2a + 5)³ = 8a³ + 60a² + 150a + 125
- 6(m + 2n)³ = m³ + 6m²n + 12mn² + 8n³
- 7(x + 1)³ + (x − 1)³ = (x³ + 3x² + 3x + 1) + (x³ − 3x² + 3x − 1) = 2x³ + 6x
- 8a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = 125 − 90 = 35. (a = 2, b = 3 : 8 + 27 = 35)
(a − b)³ चा घन
3 सेमी बाजूच्या घनातून 1 सेमी जाडीचा थर काढून टाकला तर 2 सेमीचा घन उरतो : 27 − 19 = 8.
(a − b)³ मध्ये चिन्हे एकाआड एक येतात : + − + −.
आकृतीत : 3 सेमीचा घन − 1 सेमीचा थर (लाल) = 2 सेमीचा घन : 27 − 19 = 8 ; (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ (येथे a = 3, b = 1).
सूत्र : (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
शब्दांत : (a + b)³ सारखेच, फक्त b चा घात विषम असेल तिथे वजा.
(a − b)³ चा घन
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : (x − 2)³ = x³ − 3 × x² × 2 + 3 × x × 2² − 2³ = x³ − 6x² + 12x − 8
- मध्यम : (3y − 1)³ = (3y)³ − 3 × (3y)² × 1 + 3 × 3y × 1² − 1³ = 27y³ − 27y² + 9y − 1
- परीक्षेसाठी : (5m − 2n)³ = (5m)³ − 3 × (5m)² × 2n + 3 × 5m × (2n)² − (2n)³ = 125m³ − 150m²n + 60mn² − 8n³
झटपट संख्या : 19³ = (20 − 1)³ = 8000 − 1200 + 60 − 1 = 6859.
(a − b)³ म्हणजे (a + b)³ मध्ये b च्या जागी −b ठेवणे.
शेवटचे पद −b³ असते (वजा), +b³ नाही.
(a + b)³ लिहा आणि b च्या विषम घाताच्या पदांपुढे वजा चिन्ह द्या. आठवणीची युक्ती : फरकाच्या घनात चिन्हे एकाआड एक : +, −, +, −.
फरक ओळखा
| मुद्दा | (a + b)³ | (a − b)³ |
|---|---|---|
| चिन्हे | + + + + | + − + − |
| उदा. (x ± 1)³ | x³ + 3x² + 3x + 1 | x³ − 3x² + 3x − 1 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1(m − 1)³
- 2(y − 4)³
- 399³ सूत्राने काढा.
- 4(2x − 3)³
- 5(4a − 1)³
- 6(p − 3q)³
- 7(x + 2)³ − (x − 2)³ सोपे करा.
- 8a − b = 3 आणि ab = 10 असेल तर a³ − b³ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1(m − 1)³ = m³ − 3m² + 3m − 1
- 2(y − 4)³ = y³ − 12y² + 48y − 64
- 399³ = (100 − 1)³ = 1000000 − 30000 + 300 − 1 = 970299
- 4(2x − 3)³ = 8x³ − 36x² + 54x − 27
- 5(4a − 1)³ = 64a³ − 48a² + 12a − 1
- 6(p − 3q)³ = p³ − 9p²q + 27pq² − 27q³
- 7(x + 2)³ − (x − 2)³ = (x³ + 6x² + 12x + 8) − (x³ − 6x² + 12x − 8) = 12x² + 16
- 8a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b) = 27 + 90 = 117. (a = 5, b = 2 : 125 − 8 = 117)
(a + b + c)² चा वर्ग
3 सेमी, 4 सेमी आणि 5 सेमीच्या तीन पट्ट्या एका रेषेत जोडल्या : लांबी 12 सेमी. त्या लांबीवर चौरस काढला तर क्षेत्रफळ 12² = 144.
तीन पदांच्या बेरजेच्या वर्गात 6 पदे येतात : तीन वर्ग आणि तीन दुहेरी गुणाकार.
आकृतीत : a + b + c बाजूचा चौरस : तीन वर्ग a², b², c² (निळे) आणि सहा आयत ab, bc, ca (प्रत्येकी दोन).
सूत्र : (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
शब्दांत : प्रत्येकाचा वर्ग + प्रत्येक जोडीचा गुणाकार × 2.
(a + b + c)² चा वर्ग
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : (x + y + 2)² = x² + y² + 2² + 2 × x × y + 2 × y × 2 + 2 × 2 × x = x² + y² + 4 + 2xy + 4y + 4x
- मध्यम : (2m + n + 1)² = (2m)² + n² + 1² + 2 × 2m × n + 2 × n × 1 + 2 × 1 × 2m = 4m² + n² + 1 + 4mn + 2n + 4m
- परीक्षेसाठी : (a − 2b + 3c)² = a² + (2b)² + (3c)² − 2 × a × 2b − 2 × 2b × 3c + 2 × 3c × a = a² + 4b² + 9c² − 4ab − 12bc + 6ac
झटपट संख्या : 104² = (100 + 3 + 1)² = 10000 + 9 + 1 + 600 + 6 + 200 = 10816.
(a + b + c)² मध्ये 6 पदे : तीन वर्ग आणि तीन दुहेरी गुणाकार.
चिन्ह ऋण असेल तर दुहेरी गुणाकारही ऋण होतो (उदा. −2b असेल तर 2 × a × (−2b)).
जोड्या : (a,b) (b,c) (c,a) — तीनच आहेत. एकही सोडू नका. आठवणीची युक्ती : तीन वर्ग + 2 × तीन जोड्यांचे गुणाकार : "3 वर्ग, 3 जोड्या".
फरक ओळखा
| मुद्दा | (a + b)² | (a + b + c)² |
|---|---|---|
| पदांची संख्या | 3 | 6 |
| वर्ग | a², b² | a², b², c² |
| दुहेरी गुणाकार | 2ab | 2ab, 2bc, 2ca |
| उदा. (x, 1) / (x, y, 1) | x² + 2x + 1 | x² + y² + 1 + 2xy + 2y + 2x |
सरावासाठी प्रश्न
- 1(x + y + 1)²
- 2(2 + 3 + 4)² सूत्राने आणि 9² ने तपासा.
- 3(a + b + 2)²
- 4(3p + q + 2)²
- 5(x − 2y + 3z)²
- 6105² काढा : (100 + 5)² वापरा.
- 7a + b + c = 10 आणि ab + bc + ca = 31 असेल तर a² + b² + c² काढा.
- 8(x + y + 1)² + (x − y − 1)² सोपे करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1(x + y + 1)² = x² + y² + 1 + 2xy + 2y + 2x
- 2(2 + 3 + 4)² = 4 + 9 + 16 + 12 + 24 + 16 = 81; 9² = 81 ✔
- 3(a + b + 2)² = a² + b² + 4 + 2ab + 4b + 4a
- 4(3p + q + 2)² = 9p² + q² + 4 + 6pq + 4q + 12p
- 5(x − 2y + 3z)² = x² + 4y² + 9z² − 4xy − 12yz + 6xz
- 6105² = (100 + 5)² = 10000 + 1000 + 25 = 11025
- 710² = 100, म्हणून a² + b² + c² = 100 − 2 × 31 = 38.
- 8(x + y + 1)² + (x − y − 1)² = (x² + y² + 1 + 2xy + 2y + 2x) + (x² + y² + 1 − 2xy + 2y − 2x) = 2x² + 2y² + 2 + 4y