K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 8 · गणित

धडा ४: त्रिकोणाचे शिरोलंब व मध्यगा (Altitudes and Medians of a triangle)

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

त्रिकोणाचा शिरोलंब

रोजच्या जीवनातून

गवंडी त्रिकोणी छपराच्या टोकापासून जमिनीपर्यंत ओळंबा सोडतो. टोकापासून पायापर्यंतची ही सरळ रेषा म्हणजे त्रिकोणाचा लंब (altitude).

सोपी व्याख्या

त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूपासून समोरच्या बाजूवर टाकलेला लंब म्हणजे शिरोलंब (altitude). प्रत्येक त्रिकोणाला तीन शिरोलंब असतात.

नियम 1 : उजळणी व शिरोलंब काढणे — उजळणी : कोनदुभाजक अंतर्केंद्र I मध्ये भेटतात आणि बाजूंचे लंबदुभाजक परिकेंद्र S मध्ये भेटतात. ΔABC मध्ये seg AP ⊥ BC, म्हणून AP हा पाया BC वरील शिरोलंब. ΔXYZ चे शिरोलंब काढण्यासाठी सेट-स्क्वेअरने XR ⊥ YZ, मग YQ ⊥ XZ आणि ZP ⊥ XY काढा.

Iअंतर्वर्तुळकेंद्रSपरिवर्तुळकेंद्र

आकृतीत : आकृतीत कोनदुभाजक अंतर्केंद्र I मध्ये आणि बाजूंचे लंबदुभाजक परिकेंद्र S मध्ये भेटतात.

PABC

आकृतीत : आकृतीत शिरोलंब : शिरोबिंदूपासून समोरच्या बाजूवरील लंब. येथे seg AP ⊥ BC.

RQPXYZ

आकृतीत : आकृतीत ΔXYZ चे शिरोलंब : XR ⊥ YZ, YQ ⊥ XZ आणि ZP ⊥ XY.

  • सोपे : त्रिकोणाला 3 शिरोबिंदू, म्हणून 3 शिरोलंब.
  • मध्यम : पाया 10 सेमी आणि क्षेत्रफळ 40 सेमी2 तर त्यावरील शिरोलंब 2 × 4010 = 8 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : समद्विभुज त्रिकोणात शिरोबिंदूवरील शिरोलंब पायाचेही दोन समान भाग करतो.
लक्षात ठेवा

शिरोलंब समोरच्या बाजूशी 90° करतो.

सामान्य चूक

शिरोबिंदू मध्यबिंदूशी जोडून त्याला शिरोलंब म्हणणे. ती मध्यगा असते.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "शिरोलंब = लंब, 90°".

फरक ओळखा

रेषाखंडगुणधर्म
शिरोलंबसमोरच्या बाजूला ⊥
त्रिकोणात संख्या3
साधनसेट-स्क्वेअर

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1शिरोलंब म्हणजे काय?
  2. 2त्रिकोणाला किती शिरोलंब असतात?
  3. 3शिरोलंब पायाशी किती कोन करतो?
मध्यम
  1. 4शिरोलंब कशाने काढतात?
  2. 5पाया 12 सेमी, क्षेत्रफळ 30 सेमी2 : शिरोलंब?
  3. 6शिरोलंब आणि मध्यगेत फरक काय?
आव्हानात्मक
  1. 7ΔABC मध्ये AP ⊥ BC. पाया कोणता?
  2. 8कोणत्या त्रिकोणात शिरोलंब आणि मध्यगा एकच असतात?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1शिरोबिंदूपासून समोरच्या बाजूवरील लंब.
  2. 2तीन.
  3. 390°.
  4. 4सेट-स्क्वेअर.
  5. 52 × 3012 = 5 सेमी.
  6. 6शिरोलंब 90° ने जातो; मध्यगा मध्यबिंदूकडे जाते.
  7. 7BC.
  8. 8समभुज त्रिकोणात.

लंबसंपात बिंदू

रोजच्या जीवनातून

त्रिकोणाच्या तीन कोपऱ्यांवर तीन खांब उभे करा आणि प्रत्येक खांबापासून समोरच्या भिंतीकडे 90° ने दोर बांधा. तिन्ही दोर एकाच गाठीत मिळतात.

सोपी व्याख्या

तिन्ही शिरोलंब संगामी (concurrent) असतात; ते ज्या बिंदूत भेटतात त्याला लंबकेंद्र (orthocentre) म्हणतात, चिन्ह O.

नियम 1 : O शोधणे — ΔXYZ मध्ये शिरोलंब XR, YQ आणि ZP एकाच बिंदूतून जातात. तो बिंदू O. O शोधण्यासाठी कोणतेही दोन शिरोलंब काढा; तिसरा त्याच बिंदूतून जातो (तपासणीसाठी वापरा).

OABC

आकृतीत : आकृतीत तिन्ही शिरोलंब एकाच बिंदूतून जातात, तो लंबकेंद्र O.

  • सोपे : O शोधायला दोन शिरोलंब पुरेसे.
  • मध्यम : तिसरा शिरोलंब तपासणी आहे : तो O मधूनच जायला हवा.
  • परीक्षेसाठी : संगामी म्हणजे एकाच सामाईक बिंदूतून जाणे.
लक्षात ठेवा

शिरोलंब लंबकेंद्र O मध्ये भेटतात.

सामान्य चूक

O आणि केंद्रक G यांत गोंधळ. O शिरोलंबांचा, G मध्यगांचा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "O = लंबकेंद्र = शिरोलंब".

फरक ओळखा

बिंदूकशाचा
लंबकेंद्र Oशिरोलंब
केंद्रक Gमध्यगा
अंतर्केंद्र Iकोनदुभाजक

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1संगामी म्हणजे काय?
  2. 2लंबकेंद्र म्हणजे काय?
  3. 3लंबकेंद्र कोणत्या अक्षराने दाखवतात?
मध्यम
  1. 4O शोधायला किती शिरोलंब लागतात?
  2. 5कोनदुभाजकांपासून कोणता बिंदू मिळतो?
  3. 6बाजूंच्या लंबदुभाजकांपासून कोणता बिंदू?
आव्हानात्मक
  1. 7लघुकोन त्रिकोण काढा : O कुठे?
  2. 8तिसरा शिरोलंब तपासणीसाठी चांगला का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1एकाच सामाईक बिंदूतून जाणे.
  2. 2तिन्ही शिरोलंबांचा भेटबिंदू.
  3. 3O.
  4. 4दोन.
  5. 5अंतर्केंद्र.
  6. 6परिकेंद्र.
  7. 7त्रिकोणाच्या आत.
  8. 8कारण तिन्ही एका बिंदूत भेटले पाहिजेत.

लंबसंपात बिंदूचे स्थान

रोजच्या जीवनातून

उंच तंबूचा खांब तंबूच्या मध्यभागी असतो, पण खूप चपट्या तंबूचे खांब बाहेर झुकतात. तसेच शिरोलंब कुठे भेटतात ते त्रिकोणाच्या आकारावर अवलंबून असते.

सोपी व्याख्या

लंबकेंद्र O ची जागा त्रिकोणाच्या प्रकारावर अवलंबून : काटकोन → काटकोनाच्या शिरोबिंदूवर, लघुकोन → आत, विशालकोन → बाहेर.

नियम 1 : तीन प्रकार — काटकोन (बाजू 3, 4, 5) : O हा काटकोनाचा शिरोबिंदू. लघुकोन (कोन 60°, 70°, 50°) : O आत. विशालकोन (एक कोन 110°) : O बाहेर; शिरोलंब स्वतः भेटत नाहीत, पण त्यांना वाढवलेल्या रेषा (तुटक) O मध्ये भेटतात.

OकाटकोनOविशालकोनOलघुकोन

आकृतीत : आकृतीत काटकोन : O हा काटकोनाचा शिरोबिंदू. विशालकोन : O त्रिकोणाबाहेर. लघुकोन : O त्रिकोणाच्या आत.

DEFOABC

आकृतीत : आकृतीत विशालकोन त्रिकोणात शिरोलंब स्वतः भेटत नाहीत, पण त्यांच्या रेषा (तुटक) त्रिकोणाबाहेर O मध्ये भेटतात.

  • सोपे : कोन 40°, 60°, 80° सर्व लघुकोन, म्हणून O आत.
  • मध्यम : कोन 25°, 35°, 120° : एक विशालकोन, म्हणून O बाहेर.
  • परीक्षेसाठी : बाजू 5, 12, 13 : 25 + 144 = 169, म्हणून काटकोन आणि O हा 5 आणि 12 मधील शिरोबिंदू.
लक्षात ठेवा

काटकोन : शिरोबिंदू. लघुकोन : आत. विशालकोन : बाहेर (शिरोलंब वाढवा).

सामान्य चूक

विशालकोन त्रिकोणात O आत शोधणे. त्याऐवजी शिरोलंब तुटक रेषेने वाढवा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "काटकोन-कोपरा, लघु-आत, विशाल-बाहेर".

फरक ओळखा

त्रिकोणO ची जागा
काटकोनकाटकोनाच्या शिरोबिंदूवर
लघुकोनआत
विशालकोनबाहेर

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1काटकोन त्रिकोणात O कुठे?
  2. 2लघुकोन त्रिकोणात O कुठे?
  3. 3विशालकोन त्रिकोणात O कुठे?
मध्यम
  1. 4कोन 50°, 60°, 70° : O कुठे?
  2. 5कोन 30°, 40°, 110° : O कुठे?
  3. 6बाजू 6, 8, 10 : O कुठे?
आव्हानात्मक
  1. 7विशालकोन त्रिकोणाचे शिरोलंब का वाढवतात?
  2. 8काटकोन त्रिकोणात दोन शिरोलंब म्हणजे दोन भुजाच. का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1काटकोनाच्या शिरोबिंदूवर.
  2. 2आत.
  3. 3बाहेर.
  4. 4आत.
  5. 5बाहेर.
  6. 6काटकोन (36 + 64 = 100), म्हणून 6 आणि 8 मधील शिरोबिंदूवर.
  7. 7शिरोलंब स्वतः भेटत नाहीत; त्यांच्या रेषा बाहेर भेटतात.
  8. 8प्रत्येक भुजा दुसरीला लंब, म्हणून ती तिच्यावरील शिरोलंब.

मध्यगा आणि मध्यगासंपात बिंदू

रोजच्या जीवनातून

शाळेतील स्वयंपाकी त्रिकोणी पोळी असा कापू इच्छिते की प्रत्येक तुकडा समतोल हवा. ती प्रत्येक कोपरा समोरच्या बाजूच्या मध्यावर जोडते. या रेषा म्हणजे मध्यगा.

सोपी व्याख्या

मध्यगा (median) शिरोबिंदूला समोरच्या बाजूच्या मध्यबिंदूशी जोडते. तिन्ही मध्यगा केंद्रक (centroid) G मध्ये भेटतात, जे नेहमी त्रिकोणाच्या आत असते.

नियम 1 : मध्यगा काढणे — ΔHCF मध्ये D हा CH चा मध्यबिंदू, म्हणून FD ही मध्यगा. ΔABC च्या मध्यगा काढण्यासाठी AB, BC, AC चे मध्यबिंदू P, Q, R घ्या आणि CP, AQ, BR काढा. त्या G मध्ये भेटतात.

DFCH

आकृतीत : आकृतीत मध्यगा : शिरोबिंदूपासून समोरच्या बाजूच्या मध्यबिंदूपर्यंतचा रेषाखंड. D हा CH चा मध्यबिंदू (समान खुणा), म्हणून FD मध्यगा.

QRPGABC

आकृतीत : आकृतीत मध्यगा AQ, BR आणि CP (P, Q, R हे AB, BC, AC चे मध्यबिंदू) केंद्रक G मध्ये संगामी.

GकाटकोनGविशालकोनGलघुकोन

आकृतीत : आकृतीत केंद्रक G प्रत्येक त्रिकोणाच्या आत आहे : काटकोन, विशालकोन आणि लघुकोन.

GG वर टाचणी

आकृतीत : आकृतीत पुठ्ठ्याचा त्रिकोण त्याच्या केंद्रक G वर टाचणीवर तोलला जातो.

  • सोपे : त्रिकोणाला 3 मध्यगा.
  • मध्यम : 14 सेमी बाजूचा मध्यबिंदू तिचे 7 सेमी आणि 7 सेमी असे भाग करतो.
  • परीक्षेसाठी : केंद्रक नेहमी आत असते, लंबकेंद्र बाहेर असू शकते.
लक्षात ठेवा

मध्यगा → मध्यबिंदू. केंद्रक G हा तोल बिंदू आणि नेहमी आत.

सामान्य चूक

शिरोलंबाला मध्यगा म्हणणे. मध्यगा मध्यबिंदूकडे जाते, 90° ने नाही.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "मध्यगा = मध्यबिंदू, G = तोल".

फरक ओळखा

रेषाखंडकोठे जातो
शिरोलंबसमोरच्या बाजूवर 90°
मध्यगासमोरच्या बाजूचा मध्यबिंदू
केंद्रक Gआतील तोल बिंदू

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1मध्यगा म्हणजे काय?
  2. 2केंद्रक म्हणजे काय?
  3. 3केंद्रक कोणत्या अक्षराने दाखवतात?
मध्यम
  1. 4केंद्रक त्रिकोणाबाहेर असू शकते का?
  2. 5D हा CH = 18 सेमी चा मध्यबिंदू, CD काढा.
  3. 6पुठ्ठ्याचा त्रिकोण G वर का तोलतो?
आव्हानात्मक
  1. 7समभुज त्रिकोणात प्रत्येक शिरोलंब मध्यगाही असतो का?
  2. 8G शोधायला किती मध्यगा काढाव्या लागतात?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1शिरोबिंदूपासून समोरच्या बाजूच्या मध्यबिंदूपर्यंतचा रेषाखंड.
  2. 2तिन्ही मध्यगांचा भेटबिंदू.
  3. 3G.
  4. 4नाही, नेहमी आत.
  5. 59 सेमी.
  6. 6G हा त्याचा तोल (गुरुत्वमध्य) बिंदू.
  7. 7होय.
  8. 8दोन पुरेशा.

मध्यगासंपात बिंदूचा गुणधर्म

रोजच्या जीवनातून

पट्टी बोटावर तोलताना बोट मध्यावर नसेल तर ती कलते. त्रिकोण त्याच्या केंद्रकावर तोलतो आणि केंद्रक प्रत्येक मध्यगेचे 2 भाग आणि 1 भाग असे तुकडे करते.

सोपी व्याख्या

केंद्रक प्रत्येक मध्यगेला 2 : 1 गुणोत्तरात विभागते, मोठा भाग शिरोबिंदूकडे : AG : GR = 2 : 1.

नियम 1 : 2 : 1 चा उपयोग — शिरोबिंदूकडील भाग = मध्यगेचा 23 आणि बाजूकडील भाग = 13. AG = 12 तर GR = 6. GP = 5 तर CG = 10. BG = 8 तर BQ = 12 (8 + 4). पूर्ण मध्यगा 24 तर AG = 16 आणि GR = 8.

RG147ABC

आकृतीत : आकृतीत केंद्रक प्रत्येक मध्यगेला 2 : 1 गुणोत्तरात विभागते. l(AG) = 14 तर l(GR) = 7 : शिरोबिंदूकडील भाग बाजूकडील भागाच्या दुप्पट.

QRPG212121ABC

आकृतीत : आकृतीत प्रत्येक मध्यगेवर शिरोबिंदू ते G भाग 2 एकक आणि G ते बाजू भाग 1 एकक.

RG30 सेमी20 सेमी10 सेमीABC

आकृतीत : आकृतीत पूर्ण मध्यगा l(AR) = 30 सेमी तर l(AG) = 23 × 30 = 20 सेमी आणि l(GR) = 13 × 30 = 10 सेमी.

  • सोपे : GR = 3 तर AG = 6.
  • मध्यम : पूर्ण मध्यगा 27 सेमी : AG = 18 सेमी आणि GR = 9 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : AG = 14 सेमी तर GR = 7 सेमी आणि पूर्ण मध्यगा AR = 21 सेमी.
लक्षात ठेवा

शिरोबिंदूकडील : पायाकडील = 2 : 1. एकूण भाग = 3.

सामान्य चूक

2 भाग बाजूकडे लावणे. मोठा भाग शिरोबिंदूकडे असतो.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "शिरोबिंदूकडे 2, बाजूकडे 1".

फरक ओळखा

दिलेलेकाढाउत्तर
GR = 5AG10
AG = 12पूर्ण मध्यगा18
पूर्ण मध्यगा 30AG, GR20, 10

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1G मध्यगेला कोणत्या गुणोत्तरात विभागते?
  2. 2कोणता भाग मोठा?
  3. 3GR = 4. AG काढा.
मध्यम
  1. 4AG = 10. GR काढा.
  2. 5पूर्ण मध्यगा = 45 सेमी. AG काढा.
  3. 6BG = 6. पूर्ण मध्यगा BQ काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7AP = 6 आणि G हे AP वरील केंद्रक. AG आणि GP काढा.
  2. 8शिरोबिंदू ते G हा मध्यगेचा किती भाग?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 12 : 1.
  2. 2शिरोबिंदूकडील.
  3. 38.
  4. 45.
  5. 530 सेमी.
  6. 69.
  7. 7AG = 4, GP = 2.
  8. 823.

झटपट उजळणी

  • शिरोलंब : शिरोबिंदूपासून समोरच्या बाजूवरील लंब; शिरोलंब लंबसंपात बिंदू O वर भेटतात.
  • लंबसंपात बिंदू : काटकोन त्रिकोणात काटकोनाचा शिरोबिंदू; विशालकोन त्रिकोणात बाह्यभागात; लघुकोन त्रिकोणात अंतर्भागात.
  • मध्यगा : शिरोबिंदू ते समोरच्या बाजूचा मध्यबिंदू; मध्यगा मध्यगासंपात बिंदू G वर भेटतात, जो प्रत्येक मध्यगेला 2 : 1 या गुणोत्तरात विभागतो.
Live आकृती

झटपट उजळणी

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा