धडा ३: घातांक व घनमूळ (Indices and Cube root) | राज्य मंडळ · इयत्ता 8 · गणित

घातांकाचे नियम

रोजच्या जीवनातून

एक जीवाणू दर तासाला 2 मध्ये विभागतो. 5 तासांनी 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 जीवाणू. हे 2⁵ असे लिहिणे खूप लहान आणि घातांकाचे नियम अशा संख्यांचा गुणाकार-भागाकार न लिहिता करू देतात.

सोपी व्याख्या

aⁿ मध्ये a हा पाया (base) आणि n हा घातांक (index). aⁿ म्हणजे a चा स्वतःशी n वेळा गुणाकार.

नियम 1 : घातांकाचे नियम — a^m × aⁿ = a^m+n. a^m ÷ aⁿ = a^m−n. (a^m)ⁿ = a^mn. (ab)^m = a^mb^m. a⁰ = 1. a^−m = 1a^m. (a/b)^−m = (b/a)^m.

आकृतीत : आकृतीत 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 : पाया 2 पाच वेळा लिहिला, आणि 5 हा घातांक.

आकृतीत : आकृतीत गुणाकाराचा नियम : 3 चार आणि 2 चार मिळून 5 चार, म्हणून 4³ × 4² = 4³⁺² = 4⁵.

आकृतीत : आकृतीत भागाकाराचा नियम : वरचे 4 सहा खालच्या 6 सहांपैकी 4 कापतात, खाली 2 सहा उरतात : 6⁴ ÷ 6⁶ = 6⁴⁻⁶ = 6⁻² = 136.

आकृतीत : आकृतीत घाताचा घात : 2⁴ च्या 3 ओळींत 12 दोन असतात, म्हणून (2⁴)³ = 2^4×3 = 2¹².

आकृतीत : आकृतीत प्रत्येक ओळ खाली गेल्यावर पायाने भागतो : 3¹ = 3, 3⁰ = 1, 3⁻¹ = 13 आणि 3⁻² = 19.

सोपे : 5³ × 5⁴ = 5⁷. आणि 10⁰ = 1.
मध्यम : 7⁴ ÷ 7⁷ = 7⁻³ = 1343. आणि (2³)⁴ = 2¹².
परीक्षेसाठी : (2/3)⁻² = (3/2)² = 94. आणि (2 × 5)³ = 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1000.

लक्षात ठेवा

पाया समान : गुणाकार → घातांक बेरीज; भागाकार → वजाबाकी; घाताचा घात → गुणाकार.

सामान्य चूक

2³ × 2⁴ = 4⁷ असे लिहिणे. पाया 2 च राहतो : उत्तर 2⁷.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "गुणाकार = बेरीज, भागाकार = वजाबाकी".

फरक ओळखा

नियम	निकाल
a^m × aⁿ	a^m+n
a^m ÷ aⁿ	a^m−n
(a^m)ⁿ	a^mn
a⁰	1

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

13⁴ मध्ये पाया आणि घातांक कोणते?
26² × 6⁵ सोडवा.
39⁸ ÷ 9⁵ सोडवा.

मध्यम

4(3²)³ सोडवा.
512⁰ ची किंमत?
64⁻² ची किंमत?

आव्हानात्मक

7(2⁵ × 2⁻²) ÷ 2¹ सोडवा.
8a⁰ = 1 का?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1पाया 3, घातांक 4.
26⁷.
39³ = 729.
43⁶ = 729.
51.
6116.
72³⁻¹ = 2² = 4.
8a^m ÷ a^m = a^m−m = a⁰ आणि कोणतीही संख्या स्वतःने भागली की 1.

मुळे घातांक म्हणून (घातांक 1/n)

रोजच्या जीवनातून

चौरसाकृती बागेचे क्षेत्रफळ 49 m² असेल तर बाजू म्हणजे ज्याचा वर्ग 49 येतो ती संख्या. घातांक 12 चा अर्थ हाच : वर्ग उलटवणे.

सोपी व्याख्या

a चे nवे मूळ (nth root) a^1/n असे लिहितात. ते अशी संख्या की n वेळा गुणल्यावर a मिळतो.

नियम 1 : घातांक रूपातील मुळे — 49^1/2 = 7 कारण 7² = 49. 125^1/3 = 5 कारण 5³ = 125. 81^1/4 = 3 कारण 3⁴ = 81. 32^1/5 = 2 कारण 2⁵ = 32. 10^1/5 = x असेल तर x⁵ = 10.

आकृतीत : आकृतीत घनमूळ घातांक रूपात : 343^1/3 = 7 कारण 7³ = 343. घातांक 13 घन उलटवतो.

आकृतीत : आकृतीत nवे मूळ : 256 हा चार 4 चा गुणाकार, म्हणून 256^1/4 = 4. सामान्यतः a^1/n ही संख्या n वेळा गुणल्यावर a मिळतो.

सोपे : 64^1/2 = 8 आणि 27^1/3 = 3.
मध्यम : 625^1/4 = 5 कारण 5 × 5 × 5 × 5 = 625.
परीक्षेसाठी : घातांक रूपात लिहा : 11 चे सहावे मूळ 11^1/6; 200 चे वर्गमूळ 200^1/2.

लक्षात ठेवा

a^1/n म्हणजे nवे मूळ. घातांक 1/2 वर्गमूळ; 1/3 घनमूळ.

सामान्य चूक

a^1/2 म्हणजे a ÷ 2 असे समजणे. त्याचा अर्थ a चे वर्गमूळ.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "1/n घातांक = nवे मूळ".

फरक ओळखा

राशी	अर्थ	किंमत
49^1/2	वर्गमूळ	7
125^1/3	घनमूळ	5
81^1/4	चौथे मूळ	3

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

115 चे वर्गमूळ घातांक रूपात लिहा.
236^1/2 ची किंमत?
364^1/3 ची किंमत?

मध्यम

416^1/4 ची किंमत?
5243^1/5 ची किंमत?
6512 चे नववे मूळ घातांक रूपात लिहा आणि काढा.

आव्हानात्मक

7x = 17^1/3 तर x³ किती?
81000^1/3 = 10 का?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

115^1/2.
26.
34.
42.
53 कारण 3⁵ = 243.
6512^1/9 = 2.
717.
810 × 10 × 10 = 1000.

परिमेय घातांक m/n

रोजच्या जीवनातून

पाककृती समजा : "आधी घनमूळ घ्या, मग वर्ग करा" किंवा "आधी वर्ग करा, मग घनमूळ घ्या" - दोन्ही मार्गांनी तोच पदार्थ मिळतो. हाच परिमेय घातांक m/n.

सोपी व्याख्या

परिमेय घातांकासाठी a^m/n = (a^1/n)^m = (a^m)^1/n : nव्या मुळाचा mवा घात, किंवा mव्या घाताचे nवे मूळ.

नियम 1 : m/n ची किंमत — आधी मूळ काढा, त्यामुळे संख्या लहान राहतात. 8^2/3 = (8^1/3)² = 2² = 4. 16^3/4 = (16^1/4)³ = 2³ = 8. 25^3/2 = 5³ = 125. 32^2/5 = 2² = 4. ऋण : 8^−2/3 = 14.

आकृतीत : आकृतीत 27^2/3 दोन मार्गांनी : (27²)^1/3 = 729^1/3 = 9 आणि (27^1/3)² = 3² = 9. दोन्ही मार्गांनी किंमत सारखी.

सोपे : 4^3/2 = 2³ = 8.
मध्यम : 81^3/4 = 3³ = 27.
परीक्षेसाठी : 4^5/2 = 2⁵ = 32, आणि 9^−3/2 = 127.

लक्षात ठेवा

a^m/n : छेद n म्हणजे मूळ, अंश m म्हणजे घात.

सामान्य चूक

m आणि n अदलाबदल करणे. तपासा : 8^2/3 मध्ये घनमूळ (3), मग वर्ग (2).

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "छेद = मूळ, अंश = घात".

फरक ओळखा

राशी	पायऱ्या	किंमत
8^2/3	(∛8)²	4
16^3/4	(⁴√16)³	8
25^3/2	(√25)³	125

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1a^m/n चा अर्थ?
29^3/2 ची किंमत काढा.
3125^2/3 ची किंमत काढा.

मध्यम

416^3/2 ची किंमत काढा.
564^2/3 ची किंमत काढा.
627^4/3 ची किंमत काढा.

आव्हानात्मक

78^−2/3 ची किंमत काढा.
8आधी मूळ का काढतात?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1a च्या nव्या मुळाचा mवा घात.
23³ = 27.
35² = 25.
44³ = 64.
54² = 16.
63⁴ = 81.
714.
8संख्या लहान आणि सोप्या राहतात.

वर्गमूळे, घन आणि संख्यांचे घन

रोजच्या जीवनातून

प्रत्येक कडेवर 3 लहान घन असलेल्या साखरेच्या घनात 3 × 3 × 3 = 27 लहान घन. म्हणून तिसऱ्या घाताला घन म्हणतात. आणि वर्गमूळाची दोन उत्तरे : 5 × 5 आणि (−5) × (−5) दोन्ही 25 देतात.

सोपी व्याख्या

a चा घन (cube) = a × a × a = a³. धन संख्येला दोन वर्गमुळे, एक धन आणि एक ऋण.

नियम 1 : वर्गमूळे व घन — 49 ची मुळे 7 आणि −7 (√49 = 7, −√49 = −7). √0 = 0. घन : 7³ = 343; 13³ = 2197; (−5)³ = −125; (−34)³ = −2764; (2.5)³ = 15.625; (0.3)³ = 0.027.

आकृतीत : आकृतीत धन संख्येची दोन वर्गमुळे : 5 आणि −5 दोन्हींचा वर्ग 25, म्हणून 25 ची मुळे 5 आणि −5 (√25 = 5, −√25 = −5).

आकृतीत : आकृतीत प्रत्येक कडेवर 3 लहान घन असलेल्या घनात 3 × 3 × 3 = 3³ = 27 लहान घन : म्हणून तिसऱ्या घाताला घन म्हणतात.

आकृतीत : आकृतीत ऋण संख्येचा घन : (−4) × (−4) = 16 आणि 16 × (−4) = −64, म्हणून (−4)³ = −64 (ऋण).

आकृतीत : आकृतीत दशांश स्थाने : 1.5 मध्ये 1 दशांश स्थान, म्हणून (1.5)³ = 3.375 मध्ये 3 × 1 = 3 दशांश स्थाने.

सोपे : 6³ = 216 आणि (−2)³ = −8.
मध्यम : √144 = 12, आणि दुसरे मूळ −12.
परीक्षेसाठी : (0.2)³ = 0.008 मध्ये 3 दशांश स्थाने कारण 0.2 मध्ये 1.

लक्षात ठेवा

धन संख्येचा घन धन; ऋणाचा घन ऋण. दशांश स्थाने तिप्पट.

सामान्य चूक

(−3)³ = 27 म्हणणे. ते −27 आहे, कारण ऋणांची विषम संख्या ऋण देते.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "ऋणाचा घन ऋणच".

फरक ओळखा

संख्या	घन
7	343
−5	−125
0.3	0.027

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

19 चा घन?
2−3 चा घन?
364 ची वर्गमुळे?

मध्यम

425 चा घन?
51.2 चा घन?
60.02 चा घन?

आव्हानात्मक

7ऋण संख्येचा घन धन असतो का?
8(1.5)³ मध्ये किती दशांश स्थाने?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1729.
2−27.
38 आणि −8.
48125.
51.728.
60.000008.
7नाही, ऋण.
83 × 1 = 3 (3.375).

घनमूळे

रोजच्या जीवनातून

सुताराकडे 1000 सेमी³ घनफळाचा घनाकृती ठोकळा आहे आणि त्याची कडा हवी आहे. कडा म्हणजे तीन वेळा गुणल्यावर 1000 येणारी संख्या. तीच घनमूळ.

सोपी व्याख्या

a चे घनमूळ (cube root) म्हणजे ज्याचा घन a येतो ती संख्या. ते मूळ अवयव पाडून समान अवयव तीन-तीनचे गट करून काढतात.

नियम 1 : मूळ अवयवांनी घनमूळ — 1000 = 2·2·2·5·5·5, म्हणून घनमूळ 2 × 5 = 10. 3375 = 3·3·3·5·5·5, म्हणून घनमूळ 3 × 5 = 15. 1728 = (2·2·2)·(2·2·2)·(3·3·3), मूळ 2 × 2 × 3 = 12. ऋण संख्येचे घनमूळ ऋण : ∛(−2197) = −13.

आकृतीत : आकृतीत मूळ अवयवांनी घनमूळ : तीन समान अवयवांचा प्रत्येक गट मुळाचा एक अवयव देतो, 2 × 5 = 10, म्हणून 1000 चे घनमूळ 10.

सोपे : ∛343 = 7 कारण 7 × 7 × 7 = 343.
मध्यम : ∛2764 = 34 आणि ∛0.027 = 0.3.
परीक्षेसाठी : ∛729 = 9 असल्याने ∛0.000729 = 0.09 (6 दशांश स्थानांची 2 होतात).

लक्षात ठेवा

तीन समान अवयवांचे गट. ऋण संख्या → ऋण मूळ.

सामान्य चूक

वर्गमुळाप्रमाणे जोड्या घेणे. घनमुळासाठी तिघांचे गट घ्या.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "घनमूळ = तिघांचा गट".

फरक ओळखा

संख्या	मूळ अवयव	घनमूळ
1000	2³ × 5³	10
3375	3³ × 5³	15
−2197	−(13³)	−13

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1घनमूळ म्हणजे काय?
2घनमुळासाठी मूळ अवयवांचे गट कसे करतात?
38000 चे घनमूळ?

मध्यम

4512 चे घनमूळ?
5−2744 चे घनमूळ?
61654 चे घनमूळ?

आव्हानात्मक

70.125 चे घनमूळ?
8घनफळ 3375 सेमी³ असलेल्या घनाची कडा काढा.

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1ज्याचा घन दिलेली संख्या येतो ती संख्या.
2तीन-तीनचे.
320.
48.
5−14.
61654 = 827, मूळ 23.
70.5.
815 सेमी.

झटपट उजळणी

a^m × aⁿ = a^m+n; a⁰ = 1; a^-m = 1/a^m; (a^m)ⁿ = a^mn.
a चे n वे मूळ = a^1/n; a^m/n = m व्या घाताचे n वे मूळ = n व्या मुळाचा m वा घात.
ऋण संख्येचा घन ऋण असतो; मूळ अवयवांचे तीन-तीनचे गट करून घनमूळ काढा.

Live आकृती

झटपट उजळणी

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा