K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 8 · गणित

धडा ८: चौकोन : रचना व प्रकार

3 संकल्पना · उत्तरांसह 24 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

चौकोनाचे प्रकार आणि गुणधर्म

रोजच्या जीवनातून

खोलीची फरशी आयताकृती, कॅरमचा बोर्ड चौरस, पतंग पतंगाकृती, बाजूच्या दरवाज्याची चौकट समांतरभुज. सगळे चार बाजूंचे — पण प्रत्येकाचे गुणधर्म वेगळे.

सोपी व्याख्या

चार बाजू असलेल्या बंद आकृतीला चौकोन म्हणतात. त्याला 4 कोन आणि 2 कर्ण असतात. चारही कोनांची बेरीज नेहमी 360° असते.

आकृतीत : चौकोनांचे कुटुंब : समांतरभुज (निळा) → आयत (हिरवा) आणि समभुज (जांभळा) → चौरस (केशरी, दोन्हीचे गुणधर्म) ; समलंब (राखाडी) आणि पतंग (लाल) वेगळे.

Live आकृती

चौकोनाचे प्रकार आणि गुणधर्म

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : सर्व कोन 90° आणि चारही बाजू समान ⇒ चौरस ; सर्व कोन 90° पण फक्त समोरच्या बाजू समान ⇒ आयत.
  • मध्यम : कर्ण समान आणि एकमेकांना काटकोनात दुभागतात ⇒ चौरस (आयतात कर्ण काटकोनात दुभागत नाहीत).
  • परीक्षेसाठी : समभुजाचे कर्ण 6 आणि 8 : अर्धे कर्ण 3 आणि 4 ; बाजू = √(9 + 16) = 5 ; परिमिती = 4 × 5 = 20.

गुणधर्म

चौकोनबाजूकोनकर्ण
समांतरभुजसमोरच्या बाजू समान व समांतरसमोरचे कोन समानएकमेकांना दुभागतात
आयतसमोरच्या बाजू समानसर्व 90°समान
समभुजचारही बाजू समानसमोरचे कोन समानकाटकोनात दुभागतात
चौरसचारही बाजू समानसर्व 90°समान आणि काटकोनात दुभागतात
समलंबएकच जोडी समांतर——
पतंगलगतच्या बाजूंच्या दोन जोड्या समान—काटकोनात छेदतात
लक्षात ठेवा

चौरस हा आयतही आहे आणि समभुजही आहे; आयत आणि समभुज हे समांतरभुजच आहेत.

सामान्य चूक

प्रत्येक समांतरभुज आयत नसतो. आयतात कोन 90° हवेत.

शॉर्टकट

"कर्ण समान" = आयत किंवा चौरस. "कर्ण काटकोनात" = समभुज, चौरस किंवा पतंग. आठवणीची युक्ती : आयत — कर्ण समान ; समभुज — कर्ण लंब ; चौरस — दोन्ही.

फरक ओळखा

मुद्दाआयतसमभुज चौकोन
बाजूसमोरच्या समानचारही समान
कोनसर्व 90°समोरचे समान
कर्णसमानकाटकोनात दुभागतात
चौरसातदोन्हींचे गुणधर्मदोन्हींचे गुणधर्म

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1सर्व कोन 90° आणि चारही बाजू समान असलेला चौकोन कोणता?
  2. 2कोणत्या चौकोनात फक्त एकच जोडी बाजू समांतर असते?
  3. 3आयताची लांबी 9 सेमी, रुंदी 4 सेमी. परिमिती?
मध्यम
  1. 4समभुजाची बाजू 6 सेमी. परिमिती?
  2. 5समांतरभुजाचा एक कोन 70°. बाकीचे तीन कोन?
  3. 6समभुजाचे कर्ण 10 सेमी आणि 24 सेमी. बाजू?
आव्हानात्मक
  1. 7आयताचा कर्ण 13 सेमी आणि एक बाजू 5 सेमी. दुसरी बाजू आणि परिमिती?
  2. 8खरे की खोटे : (अ) प्रत्येक चौरस आयत आहे. (आ) प्रत्येक आयत चौरस आहे.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1चौरस.
  2. 2समलंब चौकोन.
  3. 32 × (9 + 4) = 26 सेमी.
  4. 44 × 6 = 24 सेमी.
  5. 5समोरचा कोन 70° ; लगतचे 180 − 70 = 110° आणि 110°.
  6. 6अर्धे कर्ण 5 आणि 12 ; बाजू = √(25 + 144) = √169 = 13 सेमी.
  7. 7दुसरी बाजू = √(169 − 25) = 12 ; परिमिती = 2 × (5 + 12) = 34 सेमी.
  8. 8(अ) खरे — चौरसाचे सर्व कोन 90° असतात. (आ) खोटे — आयताच्या लगतच्या बाजू वेगळ्या असू शकतात.

कोनांची बेरीज 360° आणि कोनांचे प्रश्न

रोजच्या जीवनातून

कागदाचा चौकोन फाडून चारही कोपरे एका बिंदूवर जोडले तर ते पूर्ण वर्तुळ होते : 360°.

सोपी व्याख्या

कोणत्याही चौकोनाचा एक कर्ण काढला की दोन त्रिकोण बनतात. प्रत्येक त्रिकोणाची कोनबेरीज 180°, म्हणून चौकोनाची 2 × 180° = 360°.

180° + 180° = 360°

आकृतीत : कर्ण काढला की दोन त्रिकोण : 180° + 180° = 360° ; म्हणून चारही कोनांची बेरीज 360°.

सूत्र : चार कोनांची बेरीज = 360° ; समांतरभुजात लगतचे कोन = 180°

Live आकृती

कोनांची बेरीज 360° आणि कोनांचे प्रश्न

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : चौकोनाचे तीन कोन 80°, 100°, 90° आहेत. चौथा कोन : 80 + 100 + 90 = 270 ; 360 − 270 = 90°.
  • मध्यम : समांतरभुजाचे लगतचे कोन 3 : 2 गुणोत्तरात आहेत. 3 + 2 = 5 ; 180 ÷ 5 = 36 ; कोन 108° आणि 72°.
  • परीक्षेसाठी : चौकोनाचे कोन x°, (x + 20)°, (x + 40)° आणि (x + 60)° आहेत. 4x + 120 = 360 ; x = 60 ; कोन 60°, 80°, 100°, 120°.
लक्षात ठेवा

कर्ण काढून चौकोनाचे दोन त्रिकोण करणे ही पद्धत अनेक प्रश्नांत उपयोगी पडते.

सामान्य चूक

समांतरभुजात समोरचे कोन समान आणि लगतचे कोन 180° — दोन्ही गोंधळू नका.

शॉर्टकट

तीन कोन दिले की चौथा = 360° − तिघांची बेरीज. आठवणीची युक्ती : चौकोन = दोन त्रिकोण, म्हणून 360° = 180° + 180°.

फरक ओळखा

मुद्दासमांतरभुजआयत
समोरचे कोनसमानसमान (90°)
लगतचे कोनबेरीज 180°प्रत्येकी 90°
चार कोनांची बेरीज360°360°
उदाहरण110°, 70°, 110°, 70°90°, 90°, 90°, 90°

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1चौकोनाचे तीन कोन 100°, 90°, 70°. चौथा कोन?
  2. 2समांतरभुजाचा एक कोन 65°. त्याचा लगतचा कोन?
  3. 3चौकोनाचे चार कोन 90°, 90°, 90° आणि x. x?
मध्यम
  1. 4चौकोनाचे कोन x, 2x, 3x, 4x. प्रत्येक कोन?
  2. 5समांतरभुजाचे लगतचे कोन 4 : 5 गुणोत्तरात. दोन्ही कोन?
  3. 6चौकोनाचे कोन (x + 10)°, (x + 20)°, 2x° आणि (x + 30)°. प्रत्येक कोन?
आव्हानात्मक
  1. 7समलंब ABCD मध्ये AB ∥ DC, ∠A = 70°, ∠B = 80°. ∠D आणि ∠C?
  2. 8चौकोन ABCD मध्ये ∠A = ∠C = 75° आणि ∠B = 2 × ∠D. ∠B आणि ∠D?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1100 + 90 + 70 = 260 ; 360 − 260 = 100°.
  2. 2180 − 65 = 115°.
  3. 3360 − 270 = 90°.
  4. 410x = 360 ; x = 36 ; कोन 36°, 72°, 108°, 144°.
  5. 54 + 5 = 9 ; 180 ÷ 9 = 20 ; कोन 80° आणि 100°.
  6. 65x + 60 = 360 ; x = 60 ; कोन 70°, 80°, 120°, 90°.
  7. 7समांतर बाजूंमधले लगतचे कोन 180° ; ∠D = 180 − 70 = 110° ; ∠C = 180 − 80 = 100°.
  8. 8150 + 3∠D = 360 ; ∠D = 70° ; ∠B = 140°.

चौकोन काढण्याच्या रचना

रोजच्या जीवनातून

कारपेंटरला टेबलाचा वरचा भाग करायचा आहे. त्याला कोणती किती मापे हवीत हे आधी कळायला हवे, मगच तो अचूक कापतो.

सोपी व्याख्या

चौकोन काढायला 5 स्वतंत्र मापे लागतात (उदा. चार बाजू + एक कर्ण). खास चौकोनांना कमी मापे पुरतात.

5560°

आकृतीत : समभुज KLMN : KL = 5, ∠K = 60°, KN = 5 ; L आणि N मधून 5 त्रिज्येचे कंस मारले की M मिळतो.

सारणी

चौकोनकिती मापे हवीतउदाहरण
चौरस1बाजू 5 सेमी
आयत2लांबी 6, रुंदी 4
समभुज2बाजू 5 आणि एक कोन 60°
समांतरभुज3दोन लगतच्या बाजू 6, 4 आणि त्यातील कोन 70°

शब्दांत : पायऱ्या (समभुज, बाजू 5 सेमी, ∠K = 60°) : 1) KL = 5 सेमी काढा. 2) K वर 60° चा कोन करा. 3) त्यावर KN = 5 सेमी घ्या. 4) L आणि N मधून 5 सेमी त्रिज्येचे कंस काढा; ते M ला मिळतात. 5) LM आणि NM जोडा.

शब्दांत : तपासणी : समभुजाचा एक कर्ण KM काढा. 60° असल्यामुळे त्रिकोण KLN समभुज आहे, म्हणून कर्ण LN = 5 सेमी येतो.

  • सोपे : समभुज : बाजू 5 सेमी आणि ∠K = 60° — फक्त 2 मापे पुरतात.
  • मध्यम : आयत 8 × 6 : 2 मापे ; रचना झाल्यावर कर्ण तपासा : √(64 + 36) = 10.
  • परीक्षेसाठी : चौकोन ABCD : AB = 4, BC = 5, CD = 6, DA = 3 आणि कर्ण AC = 6 : 5 मापे ; ΔABC (4, 5, 6) आणि ΔACD (6, 6, 3) दोन्ही काढता येतात, म्हणून चौकोन काढता येतो.
लक्षात ठेवा

चौकोन काढायला 5 स्वतंत्र मापे हवीत ; चौरस, आयत, समभुज यांना कमी.

सामान्य चूक

कंस लहान ठेवू नका; दोन्ही कंस एकमेकांना छेदतील एवढे मोठे काढा.

शॉर्टकट

समभुज किंवा समांतरभुज काढताना शेवटचा बिंदू दोन कंसांनी मिळवा. आठवणीची युक्ती : रचना : आधी मोजमापांची यादी करा, मग कच्ची आकृती काढा.

फरक ओळखा

मुद्दासमभुजसमांतरभुज
किती मापे2 (बाजू आणि कोन)3 (दोन बाजू आणि कोन)
शेवटचा बिंदूदोन समान कंसांनीदोन वेगळ्या कंसांनी
उदाहरणबाजू 5, ∠60°बाजू 6, 4, ∠70°
तपासणीकर्ण KM काढून 5 पाहासमोरच्या बाजू समान पाहा

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1चौरसाची बाजू 7 सेमी, परिमिती?
  2. 2कोणत्या चौकोनांचे कर्ण समान असतात?
  3. 3समभुज चौकोनाचा एक कोन 65° आहे. बाकीचे तीन कोन?
मध्यम
  1. 4आयताचा कर्ण 17 सेमी आणि एक बाजू 8 सेमी. दुसरी बाजू?
  2. 5समांतरभुज चौकोनाचे समोरचे कोन (2x + 10)° आणि (3x − 20)° आहेत. x आणि कोन?
  3. 6समभुज चौकोनाचे कर्ण 30 सेमी आणि 16 सेमी. बाजू आणि परिमिती?
आव्हानात्मक
  1. 7चौकोनाचे कोन 2 : 3 : 3 : 4 या गुणोत्तरात. प्रत्येक कोन?
  2. 8समांतरभुज ABCD मध्ये ∠A = 110°, AB = 6 सेमी, AD = 4 सेमी. बाकी कोन आणि परिमिती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 14 × 7 = 28 सेमी.
  2. 2आयत आणि चौरस.
  3. 3समोरचा कोन 65°, लगतचे 180° − 65° = 115° आणि 115°.
  4. 4काटकोन त्रिकोण : 17² − 8² = 289 − 64 = 225 ; √225 = 15 सेमी.
  5. 5समोरचे कोन समान : 2x + 10 = 3x − 20 ; x = 30 ; कोन = 70°.
  6. 6अर्धे कर्ण 15 आणि 8 : बाजू = √(15² + 8²) = √289 = 17 सेमी ; परिमिती = 4 × 17 = 68 सेमी.
  7. 72 + 3 + 3 + 4 = 12 ; 360° ÷ 12 = 30° ; कोन 60°, 90°, 90°, 120°.
  8. 8∠C = 110°, ∠B = ∠D = 180° − 110° = 70° ; परिमिती = 2 × (6 + 4) = 20 सेमी.