घनचौकोन आणि घन : पृष्ठफळ आणि घनफळ
पुठ्ठ्याचा खोका रंगवायचा असेल तर सर्व 6 पृष्ठे रंगवावी लागतात (पृष्ठफळ). खोक्यात किती वस्तू मावतात हे घनफळ सांगते.
पृष्ठफळ : सर्व पृष्ठांचे एकूण क्षेत्रफळ (चौरस एकक). घनफळ : आत मावणारी जागा (घन एकक).
आकृतीत : घनचौकोन 5 × 4 × 3 : घनफळ = 5 × 4 × 3 = 60 ; पृष्ठफळ = 2 (20 + 12 + 15) = 94.
सूत्र : घनचौकोन : पृष्ठफळ = 2 (l × b + b × h + l × h) ; घनफळ = l × b × h
सूत्र : घन : पृष्ठफळ = 6 × बाजू × बाजू ; घनफळ = बाजू × बाजू × बाजू
घनचौकोन आणि घन : पृष्ठफळ आणि घनफळ
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : लांबी 5, रुंदी 4, उंची 3 : घनफळ = 5 × 4 × 3 = 60 घन सेमी.
- मध्यम : l = 10, b = 6, h = 5 : पृष्ठफळ = 2 (60 + 30 + 50) = 2 × 140 = 280 चौसेमी.
- परीक्षेसाठी : पाण्याची टाकी : 2 मी × 1.5 मी × 1 मी. घनफळ = 2 × 1.5 × 1 = 3 घनमी = 3000 लिटर (1 घनमी = 1000 लिटर).
- परीक्षेसाठी : घनाची बाजू 6 सेमी : पृष्ठफळ = 6 × 6 × 6 = 216 चौसेमी ; घनफळ = 6 × 6 × 6 = 216 घन सेमी.
पृष्ठफळ चौरस एककात (सेमी²), घनफळ घन एककात (सेमी³).
दोन्ही वेगळे आहेत; सारखे आकडे आले तरी (घन 6 चा) एकक वेगळे.
घनाची बाजू माहीत असेल तर लांब सूत्र न वापरता थेट : पृष्ठफळ = 6 × बाजू × बाजू ; घनफळ = बाजू × बाजू × बाजू. आठवणीची युक्ती : पृष्ठफळ म्हणजे रंगकाम (चौरस एकके), घनफळ म्हणजे पाणी (घन एकके).
फरक ओळखा
| मुद्दा | घनचौकोन | घन |
|---|---|---|
| लांबी, रुंदी, उंची | तीन वेगळ्या असू शकतात | तिन्ही सारख्या |
| पृष्ठफळ | 2 (l × b + b × h + l × h) | 6 × बाजू × बाजू |
| घनफळ | l × b × h | बाजू × बाजू × बाजू |
| उदाहरण | 4, 3, 2 : घनफळ 24 | बाजू 3 : घनफळ 27 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1घनचौकोन l = 9, b = 4, h = 3. घनफळ?
- 2घनाची बाजू 5 सेमी. घनफळ?
- 3घनाची बाजू 3 सेमी. पृष्ठफळ?
- 4घनचौकोन l = 6, b = 4, h = 3. पृष्ठफळ?
- 5टाकी 3 मी × 2 मी × 1 मी. त्यात किती लिटर पाणी मावेल?
- 6खोका 12 सेमी × 10 सेमी × 5 सेमी. वरचे आणि खालचे पृष्ठ सोडून चार बाजूंचे एकूण क्षेत्रफळ?
- 7घनचौकोनाचे घनफळ 200 घन सेमी, l = 8, b = 5. उंची?
- 8घनाची बाजू 2 सेमी वरून 4 सेमी केली. घनफळ किती पटीने वाढले?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 19 × 4 × 3 = 108 घन सेमी.
- 25 × 5 × 5 = 125 घन सेमी.
- 36 × 3 × 3 = 54 चौसेमी.
- 42 (24 + 12 + 18) = 2 × 54 = 108 चौसेमी.
- 5घनफळ = 3 × 2 × 1 = 6 घनमी = 6000 लिटर.
- 62 (12 × 5 + 10 × 5) = 2 (60 + 50) = 220 चौसेमी.
- 78 × 5 = 40 ; 200 ÷ 40 = 5 सेमी.
- 82 × 2 × 2 = 8 ; 4 × 4 × 4 = 64 ; 64 ÷ 8 = 8 पट.
वृत्तचिती (दंडगोल)
डबा, पाईप, पाण्याचा ग्लास — सर्व वृत्तचिती. डब्याला लावलेले लेबल उघडले की आयत होतो : लांबी = वर्तुळाचा परीघ, रुंदी = उंची.
वृत्तचितीला दोन वर्तुळाकार तळ आणि एक वक्रपृष्ठ असते. वक्रपृष्ठ म्हणजे उघडलेला आयत (2πr × h).
आकृतीत : वृत्तचिती r = 7, h = 10 : वक्रपृष्ठ उघडले की आयत 44 × 10 (लांबी = परीघ 2πr = 44) : क्षेत्रफळ = 44 × 10 = 440.
सूत्र : वक्रपृष्ठ = 2 π r h ; एकूण पृष्ठफळ = 2 π r (r + h) ; घनफळ = π r² h
शब्दांत : π = 22/7 घ्या. वक्रपृष्ठ = परीघ × उंची ; घनफळ = तळाचे क्षेत्रफळ × उंची.
वृत्तचिती (दंडगोल)
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : r = 7, h = 10 : वक्रपृष्ठ = 2 × 22/7 × 7 × 10 = 440 चौसेमी.
- मध्यम : r = 7, h = 10 : एकूण पृष्ठफळ = 440 + 2 × (22/7 × 49) = 440 + 308 = 748 चौसेमी.
- परीक्षेसाठी : पाण्याची बादली : r = 14 सेमी, h = 25 सेमी. घनफळ = 22/7 × 14 × 14 × 25 = 15400 घन सेमी = 15.4 लिटर (1000 घन सेमी = 1 लिटर).
वक्रपृष्ठ = परीघ × उंची ; घनफळ = तळाचे क्षेत्रफळ × उंची. r हा 7 चा गुणक असेल तेव्हा π = 22/7 घ्या.
उघडा डबा असेल (झाकण नाही) तर वक्रपृष्ठ + फक्त एक तळ मोजा.
दोन्हींच्या घनफळाचे सूत्र एकच : तळाचे क्षेत्रफळ × उंची. आठवणीची युक्ती : वृत्तचिती : "तळाचे क्षेत्रफळ गुणिले उंची".
फरक ओळखा
| मुद्दा | घनचौकोन | वृत्तचिती |
|---|---|---|
| तळ | आयत | वर्तुळ |
| घनफळ | तळाचे क्षेत्रफळ × उंची | तळाचे क्षेत्रफळ × उंची |
| पृष्ठे | 6 सपाट | 2 सपाट + 1 वक्र |
सरावासाठी प्रश्न
- 1घनचौकोन l = 8, b = 5, h = 2. घनफळ?
- 2घनाची बाजू 4 सेमी. पृष्ठफळ?
- 3वृत्तचिती r = 7, h = 10. घनफळ?
- 4घनचौकोन l = 10, b = 6, h = 5. पृष्ठफळ?
- 5टाकी 2 मी × 1.5 मी × 1 मी. त्यात किती लिटर पाणी मावेल?
- 6डबा r = 7 सेमी, h = 10 सेमी. लेबलचे क्षेत्रफळ (वक्रपृष्ठ)?
- 7घनाचे घनफळ 125 घन सेमी. बाजू आणि पृष्ठफळ?
- 8बादली r = 14 सेमी, h = 25 सेमी. ती भरायला 2 लिटरचे किती तांबे लागतील?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 18 × 5 × 2 = 80 घन सेमी.
- 26 × 4 × 4 = 96 चौसेमी.
- 31540 घन सेमी.
- 42 (60 + 30 + 50) = 280 चौसेमी.
- 5घनफळ 3 घनमी = 3000 लिटर.
- 62 × 22/7 × 7 × 10 = 440 चौसेमी.
- 7बाजू 5 (5 × 5 × 5 = 125) ; पृष्ठफळ = 6 × 25 = 150 चौसेमी.
- 8घनफळ 15400 घन सेमी = 15.4 लिटर ; 15.4 ÷ 2 = 7.7 म्हणजे 8 तांबे.