जीवा आणि वर्तुळाचे भाग
सायकलच्या चाकाचा मध्यबिंदू (केंद्र), चाकाच्या कडेवरील दोन खिळ्यांना जोडणारी तार म्हणजे जीवा. ती केंद्रातून गेली तर ती सर्वात लांब जीवा — व्यास.
वर्तुळावरील कोणत्याही दोन बिंदूंना जोडणारा रेषाखंड म्हणजे जीवा. व्यास = 2 × त्रिज्या ही सर्वात मोठी जीवा.
आकृतीत : त्रिज्या 5 (हिरवी), व्यास 10 (केशरी) ही सर्वात मोठी जीवा आणि जीवा 8 (निळी) : 8 < 10.
जीवा आणि वर्तुळाचे भाग
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : r = 7 सेमी ⇒ व्यास = 2 × 7 = 14 सेमी.
- मध्यम : व्यास 18 सेमी ⇒ r = 9 ; जीवा 15 सेमी शक्य आहे (15 ≤ 18), जीवा 20 सेमी शक्य नाही.
- परीक्षेसाठी : r = 6 च्या वर्तुळात जीवा 12 हा व्यास ; जीवा 7 आणि 10 व्यासापेक्षा लहान ; सर्वात लांब जीवा 12.
प्रत्येक व्यास जीवा आहे; पण प्रत्येक जीवा व्यास नसते.
जीवा आणि व्यास एकच समजणे. व्यास ही फक्त केंद्रातून जाणारी जीवा.
जीवेची लांबी व्यासापेक्षा जास्त सांगितली असेल तर ती अशक्य आहे. आठवणीची युक्ती : व्यास ही सर्वात मोठी जीवा : "जीवा ≤ व्यास".
फरक ओळखा
| मुद्दा | जीवा | व्यास |
|---|---|---|
| केंद्रातून जाते का | सहसा नाही | हो |
| लांबी | व्यासापेक्षा लहान | सर्वात मोठी, 2 × r |
| संख्या | अनेक | अनेक, पण सर्व 2r |
| उदाहरण (r = 5) | 8 | 10 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1r = 9 सेमी असेल तर व्यास?
- 2व्यास 26 सेमी असेल तर त्रिज्या?
- 3वर्तुळातील सर्वात मोठी जीवा कोणती?
- 4r = 8 च्या वर्तुळात 15 सेमी जीवा शक्य आहे का?
- 5r = 8 च्या वर्तुळात 17 सेमी जीवा शक्य आहे का?
- 6वर्तुळाचा व्यास 30 सेमी. जीवा 12, 25, 30 : कोणती जीवा व्यास आहे?
- 7जीवा 14 सेमी आणि वर्तुळाची त्रिज्या 7 सेमी. ही जीवा व्यास आहे का?
- 8एका वर्तुळात 10, 16 आणि 20 सेमी जीवा आहेत आणि r = 10. कोणत्या जीवा शक्य आहेत?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 12 × 9 = 18 सेमी.
- 226 ÷ 2 = 13 सेमी.
- 3व्यास.
- 4व्यास 16 ; 15 ≤ 16 म्हणून शक्य.
- 5व्यास 16 ; 17 > 16 म्हणून शक्य नाही.
- 630 सेमी जीवा, कारण ती सर्वात लांब आहे.
- 7व्यास = 2 × 7 = 14 ; होय, ही जीवा व्यास आहे.
- 8व्यास 20 ; तीनही (10, 16, 20) ≤ 20 म्हणून शक्य ; 20 ही व्यास.
केंद्रापासून जीवेवर लंब
गोल खड्ड्यावर फळी आडवी ठेवली आहे. फळीच्या मध्यातून खाली दोरी सोडली तर ती केंद्रातून जाते आणि फळीला काटकोनात असते.
केंद्रापासून जीवेवर काढलेला लंब त्या जीवेला दुभागतो. उलट, केंद्र आणि जीवेचा मध्यबिंदू जोडणारी रेषा जीवेला लंब असते.
आकृतीत : जीवा 16, त्रिज्या 10, केंद्रापासून अंतर 6 : अर्धी जीवा 8 ; 6² + 8² = 10² (काटकोन त्रिकोण).
सूत्र : (त्रिज्या)² = (अंतर)² + (अर्धी जीवा)²
शब्दांत : केंद्र O, जीवा PQ, मध्यबिंदू M : OM, MP आणि OP यांचा काटकोन त्रिकोण बनतो (कर्ण = त्रिज्या).
केंद्रापासून जीवेवर लंब
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : r = 10, केंद्रापासून अंतर 6 : अर्धी जीवा = √(10² − 6²) = √64 = 8 ; जीवा = 16.
- मध्यम : जीवा 24, r = 13 : अर्धी जीवा 12 ; अंतर = √(13² − 12²) = √25 = 5.
- परीक्षेसाठी : जीवा 48, r = 25 : अर्धी जीवा 24 ; अंतर = √(25² − 24²) = √49 = 7.
अर्धी जीवा, अंतर आणि त्रिज्या यांचा नेहमी काटकोन त्रिकोण बनतो; कर्ण = त्रिज्या.
अंतर नेहमी लंब मोजा; तिरकस रेषेचे अंतर नाही.
केंद्रापासून जीवा जितकी जवळ तितकी ती लांब. व्यासाचे अंतर 0 असते. आठवणीची युक्ती : लंब म्हणजे दुभाजक : केंद्रापासून जीवेवर लंब जीवेला निम्मे करतो.
फरक ओळखा
| मुद्दा | जीवेची लांबी | केंद्रापासून अंतर |
|---|---|---|
| जीवा जवळ असेल तर | मोठी | लहान |
| सर्वात लांब जीवा | व्यास | 0 (केंद्रातूनच) |
| r = 10 मध्ये | 16 | 6 |
| काढण्याची पद्धत | 2 × √(r² − d²) | √(r² − (अर्धी जीवा)²) |
सरावासाठी प्रश्न
- 1r = 5, केंद्रापासून अंतर 3. जीवेची लांबी?
- 2r = 13, अंतर 5. जीवा?
- 3जीवा 16, r = 10. केंद्रापासून अंतर?
- 4जीवा 30, r = 17. अंतर?
- 5केंद्रापासून अंतर 12 आणि जीवा 10. त्रिज्या?
- 6जीवा 18 आणि केंद्रापासून अंतर 12. त्रिज्या?
- 7r = 10 च्या वर्तुळात 12 सेमी आणि 16 सेमी जीवा. कोणती केंद्राच्या जवळ आणि का?
- 8वर्तुळात r = 15 आहे आणि दोन समान जीवा प्रत्येकी 24 आहेत. दोन्हींचे केंद्रापासून अंतर किती आणि काय दिसते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1अर्धी जीवा = √(25 − 9) = 4 ; जीवा = 8.
- 2अर्धी जीवा = √(169 − 25) = 12 ; जीवा = 24.
- 3अर्धी जीवा 8 ; अंतर = √(100 − 64) = 6.
- 4अर्धी जीवा 15 ; अंतर = √(289 − 225) = 8.
- 5अर्धी जीवा 5 ; r = √(144 + 25) = 13.
- 6अर्धी जीवा 9 ; r = √(144 + 81) = √225 = 15.
- 712 चे अंतर = √(100 − 36) = 8 ; 16 चे अंतर = √(100 − 64) = 6 ; 16 ची जीवा जवळ, कारण मोठी जीवा जवळ असते.
- 8प्रत्येकाचे अंतर = √(225 − 144) = 9 ; समान जीवा केंद्रापासून समान अंतरावर असतात.
कंस आणि केंद्रीय कोन
पिझ्झाचा एक तुकडा : त्याचे टोक केंद्र आणि तुकड्याची कडा म्हणजे कंस. तुकडा जितका रुंद तितका कोन मोठा.
वर्तुळाच्या दोन बिंदूंमधील भागाला कंस म्हणतात. लहान भाग लघुकंस, मोठा भाग विशालकंस. केंद्रीय कोनाचे माप = लघुकंसाचे माप.
आकृतीत : केंद्रीय कोन 70° : लघुकंस 70° (केशरी), विशालकंस 360° − 70° = 290° (निळा).
सूत्र : विशालकंस = 360° − लघुकंस ; अर्धवर्तुळ = 180°
कंस आणि केंद्रीय कोन
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : केंद्रीय कोन 70° : लघुकंस 70° ; विशालकंस 360 − 70 = 290°.
- मध्यम : विशालकंस लघुकंसाच्या दुप्पट. x + 2x = 360 ; x = 120 ; लघुकंस 120°, विशालकंस 240°.
- परीक्षेसाठी : विशालकंस लघुकंसापेक्षा 100° जास्त : 2x + 100 = 360 ; x = 130 ; लघुकंस 130°, विशालकंस 230°.
लघुकंस नेहमी 180° पेक्षा कमी, विशालकंस 180° पेक्षा जास्त (अर्धवर्तुळ बरोबर 180°).
विशालकंसाला केंद्रीय कोनाएवढे धरणे. केंद्रीय कोन लघुकंसाएवढा.
लघुकंस = केंद्रीय कोन; विशालकंस = 360° − केंद्रीय कोन. आठवणीची युक्ती : लघुकंस = कोन, विशालकंस = उरलेला भाग ; दोन्ही मिळून पूर्ण वर्तुळ.
फरक ओळखा
| मुद्दा | लघुकंस | विशालकंस |
|---|---|---|
| माप | 180° पेक्षा कमी | 180° पेक्षा जास्त |
| सूत्र | = केंद्रीय कोन | 360° − केंद्रीय कोन |
| कोन 70° असेल तर | 70° | 290° |
| अर्धवर्तुळ | 180° | 180° |
सरावासाठी प्रश्न
- 1केंद्रीय कोन 50°. लघुकंस आणि विशालकंस?
- 2लघुकंस 110°. विशालकंस?
- 3अर्धवर्तुळाचे माप किती?
- 4विशालकंस 300°. केंद्रीय कोन?
- 5विशालकंस लघुकंसाच्या तिप्पट. दोन्ही कंस?
- 6विशालकंस लघुकंसापेक्षा 60° जास्त. दोन्ही कंस?
- 7घड्याळात 12 आणि 4 यांमधला केंद्रीय कोन आणि लघुकंस?
- 8एका कंसाचे माप 135° आहे. दुसरा कंस किती आणि ते लघु की विशाल?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1लघुकंस 50° ; विशालकंस 360 − 50 = 310°.
- 2360 − 110 = 250°.
- 3180°.
- 4लघुकंस = 360 − 300 = 60° ; केंद्रीय कोन 60°.
- 5x + 3x = 360 ; x = 90 ; लघुकंस 90°, विशालकंस 270°.
- 62x + 60 = 360 ; x = 150 ; लघुकंस 150°, विशालकंस 210°.
- 7प्रत्येक तासाला 30° ; 4 × 30 = 120° ; लघुकंस 120°.
- 8दुसरा कंस = 360 − 135 = 225° ; 135° लघुकंस आणि 225° विशालकंस.
समान कंस आणि समान जीवा
एकाच घड्याळात 12 ते 2 वरचे अंतर आणि 4 ते 6 वरचे अंतर सारखेच कंस दर्शवतात, म्हणून तारेची लांबीही सारखीच.
एकाच वर्तुळात (किंवा समान वर्तुळांत) समान कंसांच्या जीवा समान असतात आणि समान जीवांचे कंस समान असतात. समान जीवा केंद्रापासून समान अंतरावर असतात.
आकृतीत : दोन्ही केंद्रीय कोन 65° ⇒ कंस समान ⇒ जीवा समान (खुणा सारख्या).
सूत्र : ∠AOB = ∠COD ⇒ कंस AB = कंस CD ⇒ जीवा AB = जीवा CD
समान कंस आणि समान जीवा
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : जीवा AB = जीवा CD आणि ∠AOB = 65°. म्हणून ∠COD = 65° आणि कंस AB = कंस CD = 65°.
- मध्यम : दोन समान जीवा 16 आणि 16 (r = 10). दोन्हीचे केंद्रापासून अंतर √(100 − 64) = 6.
- परीक्षेसाठी : ∠AOB = ∠COD = 80° ; कंस AB = 80°, कंस CD = 80° ; जीवा AB = 12 असेल तर जीवा CD = 12.
एकाच वर्तुळात समान कंस ⇔ समान जीवा ⇔ समान केंद्रीय कोन.
एकाच वर्तुळात किंवा समान वर्तुळांतच समान कंस → समान जीवा. वेगळ्या त्रिज्येच्या वर्तुळांत हा नियम नाही.
एक गोष्ट सांगितली की इतर दोन आपोआप समान समजा. आठवणीची युक्ती : समान कंस ⇔ समान जीवा ⇔ समान कोन : "एक सांगा, तीन मिळवा".
फरक ओळखा
| मुद्दा | जीवा | कंस |
|---|---|---|
| आकार | सरळ रेषाखंड | वक्र भाग |
| माप | सेमी मध्ये लांबी | अंशांत (केंद्रीय कोनाएवढे) |
| समानता | समान कंस ⇒ समान जीवा | समान जीवा ⇒ समान कंस |
सरावासाठी प्रश्न
- 1r = 5 सेमी. सर्वात लांब जीवा किती?
- 2r = 10, केंद्रापासून अंतर 6. जीवा?
- 3लघुकंस 80°. विशालकंस?
- 4जीवा 24, r = 13. केंद्रापासून अंतर?
- 5जीवा 10, r = 13. केंद्रापासून अंतर?
- 6जीवा AB = जीवा CD, ∠AOB = 50°. ∠COD आणि कंस CD?
- 7r = 5 वर्तुळात 6 आणि 8 लांबीच्या दोन समांतर जीवा. दोन्ही केंद्राच्या एकाच बाजूला असतील तर त्यांच्यातील अंतर? विरुद्ध बाजूला असतील तर?
- 8विशालकंस लघुकंसापेक्षा 100° जास्त. दोन्ही कंसांचे माप?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1व्यास = 2 × 5 = 10 सेमी.
- 22 × √(100 − 36) = 2 × 8 = 16.
- 3360 − 80 = 280°.
- 4√(169 − 144) = 5.
- 5अर्धी जीवा 5 ; अंतर = √(169 − 25) = √144 = 12.
- 6∠COD = 50° ; कंस CD = 50°.
- 7जीवा 6 : अंतर √(25 − 9) = 4 ; जीवा 8 : अंतर √(25 − 16) = 3. एकाच बाजूला : 4 − 3 = 1 ; विरुद्ध बाजूला : 4 + 3 = 7.
- 82x + 100 = 360 ; x = 130 ; लघुकंस 130°, विशालकंस 230°.