K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 8 · गणित

धडा १५: क्षेत्रफळ

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ

रोजच्या जीवनातून

तिरपा कापलेला कागदाचा तुकडा एका बाजूचा त्रिकोण कापून दुसऱ्या बाजूला जोडला तर आयत होतो. म्हणून क्षेत्रफळ आयतासारखेच : पाया × उंची.

सोपी व्याख्या

उंची म्हणजे पायावर काढलेला लंब. तिरपी बाजू नव्हे.

12513

आकृतीत : पाया 12, लंब उंची 5 (तिरपी बाजू 13 वापरायची नाही) : क्षेत्रफळ = 12 × 5 = 60.

सूत्र : क्षेत्रफळ = पाया × उंची

Live आकृती

समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : पाया 12 सेमी, उंची 5 सेमी : क्षेत्रफळ = 12 × 5 = 60 चौसेमी.
  • मध्यम : क्षेत्रफळ 84 चौसेमी, पाया 12 सेमी. उंची = 84 ÷ 12 = 7 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : क्षेत्रफळ 60. पाया 10 असताना उंची 6. दुसरा पाया 8 घेतला तर उंची = 60 ÷ 8 = 7.5.
लक्षात ठेवा

समांतरभुजाचे क्षेत्रफळ तेवढ्याच पाया-उंचीच्या आयताएवढे असते.

सामान्य चूक

तिरप्या बाजूची लांबी क्षेत्रफळात वापरू नका; फक्त लंब उंची.

शॉर्टकट

उंची दिली नसेल तर क्षेत्रफळ ÷ पाया करून उंची मिळवा. आठवणीची युक्ती : पाया × उंची म्हणजे "आडवा × उभा" ; तिरकी बाजू कधीच उंची नसते.

फरक ओळखा

मुद्दाआयतसमांतरभुज चौकोन
क्षेत्रफळलांबी × रुंदीपाया × उंची
तिरपी बाजूनसतेक्षेत्रफळात वापरत नाही
उंचीरुंदीचपायावरचा लंब
उलगडाआयत आयतचत्रिकोण कापून जोडला की आयत

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1समांतरभुजाचा पाया 8 सेमी, उंची 5 सेमी. क्षेत्रफळ?
  2. 2क्षेत्रफळ 72 चौसेमी, पाया 9 सेमी. उंची?
  3. 3पाया 15 सेमी, उंची 4 सेमी. क्षेत्रफळ?
मध्यम
  1. 4क्षेत्रफळ 96 चौसेमी, उंची 8 सेमी. पाया?
  2. 5समांतरभुज आकाराचे शेत : पाया 20 मी, उंची 12 मी. गवत लावण्याचा खर्च ₹30 प्रति चौमी. एकूण खर्च?
  3. 6क्षेत्रफळ 120 चौसेमी. पाया 15 सेमी असेल तर उंची किती, आणि पाया 12 सेमी असेल तर उंची किती?
आव्हानात्मक
  1. 7समांतरभुजाच्या लगतच्या बाजू 12 सेमी आणि 9 सेमी. 12 सेमी बाजूवरची उंची 6 सेमी. 9 सेमी बाजूवरची उंची किती?
  2. 8एका समांतरभुजाचा पाया 14 सेमी आणि क्षेत्रफळ 98 चौसेमी. उंची शोधा; तोच पाया आणि दुप्पट उंची घेतली तर नवे क्षेत्रफळ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 18 × 5 = 40 चौसेमी.
  2. 272 ÷ 9 = 8 सेमी.
  3. 315 × 4 = 60 चौसेमी.
  4. 496 ÷ 8 = 12 सेमी.
  5. 5क्षेत्रफळ = 20 × 12 = 240 चौमी ; खर्च = 240 × 30 = ₹7200.
  6. 6120 ÷ 15 = 8 सेमी ; 120 ÷ 12 = 10 सेमी.
  7. 7क्षेत्रफळ = 12 × 6 = 72 ; 9 सेमी बाजूवरची उंची = 72 ÷ 9 = 8 सेमी.
  8. 8उंची = 98 ÷ 14 = 7 सेमी ; नवे क्षेत्रफळ = 14 × 14 = 196 चौसेमी (क्षेत्रफळ दुप्पट).

समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ

रोजच्या जीवनातून

पतंगाच्या दोन काड्या (कर्ण) एकमेकांना काटकोनात छेदतात. त्यांच्यापासून चार सारखे काटकोन त्रिकोण बनतात.

सोपी व्याख्या

समभुजाचे कर्ण एकमेकांना काटकोनात दुभागतात. म्हणून चार सारख्या काटकोन त्रिकोणांचे क्षेत्रफळ जोडले की दोन कर्णांच्या आयताचा निम्मा भाग मिळतो.

128

आकृतीत : दोन कर्ण 12 आणि 8 काटकोनात छेदतात : क्षेत्रफळ = ½ × 12 × 8 = 48.

सूत्र : क्षेत्रफळ = ½ × पहिला कर्ण × दुसरा कर्ण

Live आकृती

समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : कर्ण 10 आणि 24 : क्षेत्रफळ = ½ × 10 × 24 = 120. बाजू = √(5² + 12²) = √169 = 13 ; परिमिती 52.
  • मध्यम : क्षेत्रफळ 90, एक कर्ण 15. दुसरा = 90 × 2 ÷ 15 = 12.
  • परीक्षेसाठी : समभुजाची बाजू 10, एक कर्ण 16 : अर्धा कर्ण 8 ; दुसरा अर्धा कर्ण = √(100 − 64) = 6 ; दुसरा कर्ण 12 ; क्षेत्रफळ = ½ × 16 × 12 = 96.
लक्षात ठेवा

समभुजाचे कर्ण एकमेकांना काटकोनात दुभागतात.

सामान्य चूक

सूत्रातला ½ विसरून फक्त कर्णांचा गुणाकार करणे.

शॉर्टकट

समभुजाला बाजू आणि एक कर्ण दिला तर अर्ध्या कर्णाचा वापर करून काटकोन त्रिकोणाने दुसरा कर्ण काढा. आठवणीची युक्ती : समभुज = कर्ण × कर्ण ÷ 2 : "कर्ण-कर्ण-निम्मा".

फरक ओळखा

मुद्दासमांतरभुजसमभुज
काय हवेपाया, उंचीदोन कर्ण
सूत्रपाया × उंची½ × d₁ × d₂
कर्णएकमेकांना दुभागतातकाटकोनात दुभागतात
उदाहरण12 × 5 = 60½ × 12 × 8 = 48

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1समभुजाचे कर्ण 6 सेमी आणि 4 सेमी. क्षेत्रफळ?
  2. 2कर्ण 14 आणि 10. क्षेत्रफळ?
  3. 3क्षेत्रफळ 48, एक कर्ण 12. दुसरा कर्ण?
मध्यम
  1. 4पतंगाच्या काड्या 20 सेमी आणि 15 सेमी. कागदाचे क्षेत्रफळ?
  2. 5क्षेत्रफळ 84, एक कर्ण 16. दुसरा कर्ण?
  3. 6समभुजाची बाजू 5 सेमी, एक कर्ण 8 सेमी. दुसरा कर्ण आणि क्षेत्रफळ?
आव्हानात्मक
  1. 7समभुजाची बाजू 25 सेमी, एक कर्ण 14 सेमी. क्षेत्रफळ?
  2. 8समभुजाची परिमिती 68 सेमी आणि एक कर्ण 16 सेमी. क्षेत्रफळ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1½ × 6 × 4 = 12 चौसेमी.
  2. 2½ × 14 × 10 = 70.
  3. 348 × 2 ÷ 12 = 8.
  4. 4½ × 20 × 15 = 150 चौसेमी.
  5. 584 × 2 ÷ 16 = 10.5.
  6. 6अर्धा कर्ण 4 ; दुसरा अर्धा कर्ण = √(25 − 16) = 3 ; दुसरा कर्ण 6 ; क्षेत्रफळ = ½ × 8 × 6 = 24.
  7. 7अर्धा कर्ण 7 ; दुसरा अर्धा कर्ण = √(625 − 49) = √576 = 24 ; दुसरा कर्ण 48 ; क्षेत्रफळ = ½ × 14 × 48 = 336.
  8. 8बाजू = 68 ÷ 4 = 17 ; अर्धा कर्ण 8 ; दुसरा अर्धा कर्ण = √(289 − 64) = √225 = 15 ; दुसरा कर्ण 30 ; क्षेत्रफळ = ½ × 16 × 30 = 240.

समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ

रोजच्या जीवनातून

एका शेताच्या दोन बाजू समांतर आहेत : 9 मी आणि 5 मी. त्यांतील अंतर 4 मी. अशा शेताचे क्षेत्रफळ बघायचे आहे.

सोपी व्याख्या

दोन सारखे समलंब चौकोन उलटे जोडले तर एक समांतरभुज चौकोन होतो : पाया (a + b), उंची h. म्हणून समलंबाचे क्षेत्रफळ त्याचा निम्मा.

9146

आकृतीत : समांतर बाजू 9 आणि 14, उंची 6 : क्षेत्रफळ = ½ × (9 + 14) × 6 = 69.

सूत्र : क्षेत्रफळ = ½ × (समांतर बाजूंची बेरीज) × उंची

Live आकृती

समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : समांतर बाजू 9 आणि 5, उंची 4 : ½ × (9 + 5) × 4 = ½ × 14 × 4 = 28.
  • मध्यम : समांतर बाजू 12 आणि 8, क्षेत्रफळ 80. उंची = 80 × 2 ÷ (12 + 8) = 160 ÷ 20 = 8.
  • परीक्षेसाठी : बाग : समांतर बाजू 30 मी आणि 20 मी, अंतर 16 मी. क्षेत्रफळ = ½ × 50 × 16 = 400 चौमी.

सूत्रे

आकृतीसूत्रकाय हवे
समांतरभुजपाया × उंचीपाया, लंब उंची
समभुज½ × d₁ × d₂दोन कर्ण
समलंब½ × (a + b) × hदोन समांतर बाजू, उंची
लक्षात ठेवा

समलंबात फक्त एकच जोडी बाजू समांतर असते; त्यांच्या बेरजेचा निम्मा × उंची.

सामान्य चूक

समलंबात उंची दोन समांतर बाजूंतले अंतर आहे, तिरपी बाजू नाही.

शॉर्टकट

समांतर बाजूंची सरासरी (a + b) ÷ 2 काढा आणि उंचीने गुणा. आठवणीची युक्ती : समलंब : "सरासरी बाजू × उंची" ; दोन समांतर बाजू म्हणजे समलंबाचे पाया.

फरक ओळखा

मुद्दासमांतरभुजसमलंब
समांतर बाजूदोन जोड्याएकच जोडी
सूत्रपाया × उंची½ × (a + b) × h
उदाहरण12 × 5 = 60½ × (9 + 5) × 4 = 28
उंचीपायावरचा लंबदोन समांतर बाजूंतला लंब

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1समलंबाच्या समांतर बाजू 10 आणि 6, उंची 5. क्षेत्रफळ?
  2. 2समांतर बाजू 18 आणि 12, उंची 8. क्षेत्रफळ?
  3. 3समांतर बाजू 7 आणि 5, उंची 3. क्षेत्रफळ?
मध्यम
  1. 4समलंबाचे क्षेत्रफळ 90, समांतर बाजू 11 आणि 7. उंची?
  2. 5क्षेत्रफळ 150, उंची 10, एक समांतर बाजू 18. दुसरी समांतर बाजू?
  3. 6भूखंडाच्या समांतर बाजू 40 मी आणि 24 मी, अंतर 15 मी. हिरवळीचा खर्च ₹20 प्रति चौमी. एकूण खर्च?
आव्हानात्मक
  1. 7समद्विभुज समलंबाच्या समांतर बाजू 13 सेमी आणि 7 सेमी, प्रत्येक तिरपी बाजू 5 सेमी. उंची आणि क्षेत्रफळ?
  2. 86 × 4 च्या आयताच्या एका टोकाला 3 आणि 4 काटकोन बाजूंचा त्रिकोण जोडून समलंब झाला. क्षेत्रफळ दोन प्रकारे काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1½ × (10 + 6) × 5 = 40.
  2. 2½ × (18 + 12) × 8 = 120.
  3. 3½ × (7 + 5) × 3 = 18.
  4. 490 × 2 ÷ (11 + 7) = 180 ÷ 18 = 10.
  5. 5समांतर बाजूंची बेरीज = 150 × 2 ÷ 10 = 30 ; दुसरी बाजू = 30 − 18 = 12.
  6. 6क्षेत्रफळ = ½ × 64 × 15 = 480 चौमी ; खर्च = 480 × 20 = ₹9600.
  7. 7(13 − 7) ÷ 2 = 3 ; उंची = √(25 − 9) = 4 ; क्षेत्रफळ = ½ × (13 + 7) × 4 = 40.
  8. 8आयत + त्रिकोण = 24 + ½ × 3 × 4 = 24 + 6 = 30 ; सूत्र : समांतर बाजू 6 आणि 9, उंची 4 : ½ × 15 × 4 = 30.

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ (हेरॉनचे सूत्र)

रोजच्या जीवनातून

तीन बाजू माहीत आहेत पण उंची माहीत नाही, अशा त्रिकोणी भूखंडाचे क्षेत्रफळ कसे काढाल? त्यासाठी हेरॉनचे सूत्र.

सोपी व्याख्या

प्रथम अर्धपरिमिती s काढा : तीन बाजूंची बेरीज ÷ 2. मग s मधून प्रत्येक बाजू वजा करून चार संख्या गुणा आणि वर्गमूळ घ्या.

12513s = 15

आकृतीत : बाजू 5, 12, 13 : s = (5 + 12 + 13) ÷ 2 = 15 ; क्षेत्रफळ = √(15 × 10 × 3 × 2) = 30.

सूत्र : क्षेत्रफळ = √[ s × (s − a) × (s − b) × (s − c) ] (s = (a + b + c) ÷ 2)

Live आकृती

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ (हेरॉनचे सूत्र)

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : बाजू 5, 12, 13 : s = 30 ÷ 2 = 15 ; 15 × 10 × 3 × 2 = 900 ; √900 = 30. (तपासणी : काटकोन त्रिकोण ½ × 5 × 12 = 30 ✔)
  • मध्यम : बाजू 13, 14, 15 : s = 42 ÷ 2 = 21 ; 21 × 8 × 7 × 6 = 7056 ; √7056 = 84.
  • परीक्षेसाठी : बाजू 8, 15, 17 : s = 40 ÷ 2 = 20 ; 20 × 12 × 5 × 3 = 3600 ; √3600 = 60. (तपासणी : काटकोन त्रिकोण ½ × 8 × 15 = 60 ✔)
लक्षात ठेवा

s म्हणजे अर्धपरिमिती, पूर्ण परिमिती नव्हे.

सामान्य चूक

s ऐवजी पूर्ण परिमिती वापरणे. s = परिमिती ÷ 2.

शॉर्टकट

बाजू 5, 12, 13 किंवा 8, 15, 17 अशा असतील तर काटकोन त्रिकोण आहे; ½ × दोन लहान बाजू वापरा. आठवणीची युक्ती : हेरॉन : आधी s = अर्धी परिमिती, मग s − a, s − b, s − c ; या चार संख्यांचा गुणाकार करून वर्गमूळ घ्या.

फरक ओळखा

मुद्दापाया-उंचीचे सूत्रहेरॉनचे सूत्र
हवे कायपाया आणि उंचीतीन बाजू
सूत्र½ × पाया × उंची√[s(s − a)(s − b)(s − c)]
उदाहरण½ × 12 × 5 = 305, 12, 13 ⇒ 30
कधी वापरावेउंची माहीत असते तेव्हाउंची माहीत नसते तेव्हा

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1बाजू 3, 4, 5 असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ?
  2. 2बाजू 6, 8, 10. क्षेत्रफळ?
  3. 3बाजू 10, 10, 12. क्षेत्रफळ?
मध्यम
  1. 4बाजू 9, 12, 15. क्षेत्रफळ?
  2. 5बाजू 17, 25, 28. क्षेत्रफळ?
  3. 6समद्विभुज त्रिकोणाच्या बाजू 13, 13, 10. क्षेत्रफळ?
आव्हानात्मक
  1. 7त्रिकोणी भूखंडाच्या बाजू 15 मी, 20 मी, 25 मी. प्रति चौमी ₹10 दराने सपाटीकरणाचा खर्च?
  2. 8बाजू 20, 21, 29 असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आणि 21 बाजूवरची उंची?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1s = 6 ; 6 × 3 × 2 × 1 = 36 ; √36 = 6.
  2. 2s = 12 ; 12 × 6 × 4 × 2 = 576 ; √576 = 24.
  3. 3s = 16 ; 16 × 6 × 6 × 4 = 2304 ; √2304 = 48.
  4. 4s = 18 ; 18 × 9 × 6 × 3 = 2916 ; √2916 = 54.
  5. 5s = 35 ; 35 × 18 × 10 × 7 = 44100 ; √44100 = 210.
  6. 6s = 18 ; 18 × 5 × 5 × 8 = 3600 ; √3600 = 60.
  7. 7s = 30 ; 30 × 15 × 10 × 5 = 22500 ; क्षेत्रफळ = 150 चौमी ; खर्च = 150 × 10 = ₹1500.
  8. 8s = 35 ; 35 × 15 × 14 × 6 = 44100 ; क्षेत्रफळ = 210 ; उंची = 2 × 210 ÷ 21 = 20.

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ

रोजच्या जीवनातून

गोल पिझ्झा बारीक तुकड्यांत कापून उलटसुलट जोडला की जवळजवळ आयत होतो : लांबी = अर्धा परीघ (πr), रुंदी = त्रिज्या (r).

सोपी व्याख्या

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π × r × r. आपण π = 22/7 घेतो (किंवा 3.14).

7227154→

आकृतीत : त्रिज्या 7 चे वर्तुळ उलगडले की आयत : लांबी 22 (अर्धा परीघ), रुंदी 7 : 22 × 7 = 154.

सूत्र : क्षेत्रफळ = π r² (π = 22/7)

Live आकृती

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : r = 7 सेमी : 22/7 × 7 × 7 = 154 चौसेमी.
  • मध्यम : क्षेत्रफळ 616 : r² = 616 × 7 ÷ 22 = 196 ; r = 14.
  • परीक्षेसाठी : व्यास 21 सेमी : r = 10.5 ; क्षेत्रफळ = 22/7 × 10.5 × 10.5 = 346.5 चौसेमी.

अनियमित आकृती : चौकटींच्या कागदावर पूर्ण चौकोन मोजा; अर्धा किंवा जास्त भाग झाकलेले चौकोन 1 धरा; अर्ध्यापेक्षा कमी असलेले सोडा. एकूण चौकोन = अंदाजे क्षेत्रफळ.

लक्षात ठेवा

π = 22/7 : त्रिज्या 7 च्या पटीत असेल तेव्हा हे सोयीचे.

सामान्य चूक

क्षेत्रफळात r चा वर्ग (r × r) येतो, 2 ने गुणायचे नाही. 2πr हा परीघ आहे.

शॉर्टकट

व्यास दिला तर आधी निम्मा करून त्रिज्या मिळवा. आठवणीची युक्ती : वर्तुळ : πr² मध्ये r दोनदा येतो : "त्रिज्या × त्रिज्या × π".

फरक ओळखा

मुद्दापरीघक्षेत्रफळ
सूत्र2πrπr²
एककसेमीचौसेमी
r = 7 साठी44 सेमी154 चौसेमी
r दुप्पट केली तरपरीघ दुप्पटक्षेत्रफळ चौपट

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1समांतरभुजाचा पाया 9 सेमी, उंची 6 सेमी. क्षेत्रफळ?
  2. 2समभुजाचे कर्ण 10 आणि 8. क्षेत्रफळ?
  3. 3r = 14 सेमी वर्तुळाचे क्षेत्रफळ?
मध्यम
  1. 4समलंबाच्या समांतर बाजू 14 आणि 10, उंची 6. क्षेत्रफळ?
  2. 5बाजू 9, 10, 17 असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ?
  3. 6गोल मैदानाचे क्षेत्रफळ 2464 चौमी. त्रिज्या?
आव्हानात्मक
  1. 7समभुजाची बाजू 13 सेमी आणि एक कर्ण 24 सेमी. क्षेत्रफळ?
  2. 8शेत समलंब आकाराचे : समांतर बाजू 20 मी आणि 12 मी, अंतर 9 मी. नांगरणीचा खर्च ₹50 प्रति चौमी. एकूण खर्च?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 19 × 6 = 54 चौसेमी.
  2. 2½ × 10 × 8 = 40.
  3. 322/7 × 14 × 14 = 616 चौसेमी.
  4. 4½ × (14 + 10) × 6 = 72.
  5. 5s = 36 ÷ 2 = 18 ; 18 × 9 × 8 × 1 = 1296 ; √1296 = 36.
  6. 6r² = 2464 × 7 ÷ 22 = 784 ; r = 28 मी.
  7. 7अर्धा कर्ण 12 ; दुसरा अर्धा कर्ण = √(13² − 12²) = √25 = 5 ; दुसरा कर्ण 10 ; क्षेत्रफळ = ½ × 24 × 10 = 120.
  8. 8क्षेत्रफळ = ½ × (20 + 12) × 9 = 144 चौमी ; खर्च = 144 × 50 = ₹7200.