K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 8 · गणित

धडा ११: सांख्यिकी

3 संकल्पना · उत्तरांसह 24 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

वारंवारता सारणी आणि सरासरी (मध्य)

रोजच्या जीवनातून

एका शिक्षकाने 20 विद्यार्थ्यांच्या खेळातील गुणांची नोंद केली : 1, 2, 3, 4, 5 गुण मिळवणारे विद्यार्थी अनुक्रमे 3, 5, 7, 3, 2. सर्व गुण एकेक करून जोडण्याऐवजी सारणी करा — हिशेब सोपा होतो.

सोपी व्याख्या

एखादी किंमत किती वेळा आली ते दाखवणाऱ्या संख्येला वारंवारता (f) म्हणतात. सर्व वारंवारतांची बेरीज = एकूण संख्या (N). मध्य (सरासरी) म्हणजे सर्व किमतींची बेरीज ÷ किमतींची संख्या.

31527334252.8

आकृतीत : गुण 1 ते 5 आणि वारंवारता 3, 5, 7, 3, 2 (स्तंभांची उंची) : N = 20, Σ x × f = 56 ⇒ मध्य = 56 ÷ 20 = 2.8.

सूत्र : मध्य = (प्रत्येक किंमत × तिची वारंवारता) ची बेरीज ÷ N

शब्दांत : पायऱ्या : 1) सारणी करा. 2) प्रत्येक ओळीत किंमत × f काढा. 3) त्या सर्वांची बेरीज करा. 4) N ने भागा.

सारणी

गुण (x)वारंवारता (f)x × f
133
2510
3721
4312
5210
एकूणN = 2056
  • सोपे : मध्य = 56 ÷ 20 = 2.8 गुण.
  • मध्यम : चार किमती 10, 20, 30 : वारंवारता 2, 5, 3. x × f : 20, 100, 90 ; बेरीज 210 ; N = 10 ; मध्य = 210 ÷ 10 = 21.
  • परीक्षेसाठी : 5 संख्यांचा मध्य 12 आहे. आणखी एक संख्या 18 मिळवली. आधीची बेरीज 5 × 12 = 60 ; नवी बेरीज 60 + 18 = 78 ; नवा मध्य = 78 ÷ 6 = 13.
Live आकृती

वारंवारता सारणी आणि सरासरी (मध्य)

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
लक्षात ठेवा

मध्य = सर्व किमतींची बेरीज ÷ किमतींची संख्या ; वारंवारता असेल तर (x × f) ची बेरीज ÷ N.

सामान्य चूक

वारंवारता (f) ची बेरीज N आहे; x ची बेरीज N नाही.

शॉर्टकट

मध्य नेहमी सर्वात लहान आणि सर्वात मोठ्या किमतीच्या दरम्यान येतो. नाही आला तर चूक आहे. आठवणीची युक्ती : मध्य = बेरीज ÷ संख्या : "बेरीज भागिले संख्या".

फरक ओळखा

मुद्दासाधा मध्यवारंवारतेसह मध्य
कधीकिमती एकदाच आल्याकिमती पुन्हा पुन्हा आल्या
सूत्रबेरीज ÷ संख्याΣ(x × f) ÷ N
उदाहरण4, 5, 6, 5 → 51, 2, 3 आणि f = 2, 3, 5 → 2.3
भाजककिमतींची संख्याN = f ची बेरीज

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 14, 5, 6, 5 चा मध्य?
  2. 2x : 1, 2, 3 आणि f : 2, 3, 5. मध्य?
  3. 36 संख्यांचा मध्य 10 आहे. त्यांची बेरीज?
मध्यम
  1. 4x : 10, 20, 30, 40 आणि f : 1, 2, 3, 4. मध्य?
  2. 55 संख्यांचा मध्य 8 आहे. आणखी 20 मिळवली तर नवा मध्य?
  3. 67 संख्यांचा मध्य 14 आहे. 20 ही संख्या वगळली तर नवा मध्य?
आव्हानात्मक
  1. 7x : 5, 6, 7, 8 आणि f : 4, 6, 6, 4. मध्य?
  2. 84 परीक्षांचे सरासरी गुण 72. पाचव्या परीक्षेत किती गुण मिळाले तर सरासरी 75 होईल?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1(4 + 5 + 6 + 5) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5.
  2. 2x × f : 2, 6, 15 ; बेरीज 23 ; N = 10 ; मध्य = 2.3.
  3. 36 × 10 = 60.
  4. 4x × f : 10, 40, 90, 160 ; बेरीज 300 ; N = 10 ; मध्य = 30.
  5. 5आधीची बेरीज 40 ; नवी बेरीज 60 ; नवा मध्य = 60 ÷ 6 = 10.
  6. 6बेरीज 98 ; 98 − 20 = 78 ; नवा मध्य = 78 ÷ 6 = 13.
  7. 7x × f : 20, 36, 42, 32 ; बेरीज 130 ; N = 20 ; मध्य = 6.5.
  8. 85 × 75 = 375 ; 4 × 72 = 288 ; 375 − 288 = 87 गुण.

उपविभाजित स्तंभालेख

रोजच्या जीवनातून

शाळेत इयत्ता 5 ते 8 मधील मुले आणि मुली. प्रत्येक वर्गासाठी एकच स्तंभ काढून त्यात मुले आणि मुली वेगळ्या रंगांत दाखवल्या तर एकूण संख्या आणि वाटा दोन्ही एकाच नजरेत दिसतात.

सोपी व्याख्या

एकाच स्तंभात दोन किंवा अधिक भाग वेगळ्या रंगांनी दाखवणाऱ्या आलेखाला उपविभाजित स्तंभालेख म्हणतात. स्तंभाची एकूण उंची म्हणजे एकूण संख्या.

222446730205083525609

आकृतीत : उपविभाजित स्तंभ : खालचा भाग (निळा) + वरचा भाग (केशरी) = एकूण (स्तंभाची उंची) : 22 + 24 = 46.

शब्दांत : पायऱ्या : 1) सोयीचे प्रमाण (scale) घ्या. 2) एकूण संख्येइतका स्तंभ काढा. 3) त्यात पहिला भाग, मग दुसरा भाग वेगळ्या रंगाने दाखवा. 4) रंग ओळखण्यासाठी सूचक द्या.

Live आकृती

उपविभाजित स्तंभालेख

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : 7 वी : मुले 22 आणि मुली 24. एकूण = 22 + 24 = 46. स्तंभ 46 एककांचा, खालचे 22 मुलांचे, वरचे 24 मुलींचे.
  • मध्यम : 2022 : A = 30, B = 20 → एकूण 50. 2023 : A = 35, B = 25 → एकूण 60. 2023 चा स्तंभ 60 − 50 = 10 एककांनी उंच.
  • परीक्षेसाठी : तीन भाग P = 12, Q = 18, R = 10 एकाच स्तंभात : एकूण = 12 + 18 + 10 = 40 ; खालून P (0 ते 12), Q (12 ते 30), R (30 ते 40).
लक्षात ठेवा

दोन्ही स्तंभ एकाच प्रमाणावर काढा, म्हणजे तुलना बरोबर होते.

सामान्य चूक

स्तंभाची उंची एकूण संख्या असते, फक्त वरच्या भागाची नाही.

शॉर्टकट

वरच्या भागाची उंची = एकूण − खालच्या भागांची बेरीज. आठवणीची युक्ती : उपविभाजित आलेखात भाग एकावर एक रचलेले असतात ; उंची बेरजेने वाढते.

फरक ओळखा

मुद्दासाधा स्तंभालेखउपविभाजित स्तंभालेख
स्तंभातएक भागदोन किंवा अधिक भाग
उंचीएका गटाची संख्याएकूण संख्या
रंगएकचप्रत्येक भागाला वेगळा
उदाहरणमुले 22मुले 22 + मुली 24 = 46

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1मुले 18 आणि मुली 22. स्तंभाची उंची?
  2. 2एकूण 50 चा स्तंभ ; पहिला भाग 20. दुसरा भाग?
  3. 32021 : A = 25, B = 15 ; 2022 : A = 30, B = 20. 2022 चा स्तंभ किती उंच?
मध्यम
  1. 4तीन भाग 12, 18, 10 एकाच स्तंभात. एकूण उंची?
  2. 5एकूण 60 आणि A = 35. B?
  3. 62020 : मुले 30, मुली 20 ; 2021 : मुले 36, मुली 24. प्रत्येक वर्षी मुले-मुली यांतील फरक?
आव्हानात्मक
  1. 7एकूण 50 चा स्तंभ 1 सेमी = 10 एकक या प्रमाणात काढला. उंची किती सेमी?
  2. 8वर्ष 1 : A = 20, B = 30 ; वर्ष 2 : A = 30, B = 45. कोणत्या वर्षी B चा वाटा जास्त?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 118 + 22 = 40.
  2. 250 − 20 = 30.
  3. 32021 एकूण 40 ; 2022 एकूण 50 ; फरक 10.
  4. 412 + 18 + 10 = 40.
  5. 560 − 35 = 25.
  6. 62020 : 30 − 20 = 10 ; 2021 : 36 − 24 = 12.
  7. 750 ÷ 10 = 5 सेमी.
  8. 8वर्ष 1 : 30 ÷ 50 × 100 = 60 % ; वर्ष 2 : 45 ÷ 75 × 100 = 60 % ; दोन्ही वर्षी सारखाच.

टक्केवारी स्तंभालेख

रोजच्या जीवनातून

एका वर्गात 18 मुले आणि 12 मुली आहेत, दुसऱ्यात 45 मुले आणि 30 मुली. संख्या वेगळ्या, पण दोन्ही वर्गांत मुले 60 % आहेत. टक्केवारी आलेखात हे लगेच दिसते.

सोपी व्याख्या

प्रत्येक भागाचे एकूण संख्येशी टक्के काढून काढलेला उपविभाजित स्तंभालेख. सर्व स्तंभ 100 % उंचीचे असतात.

60 %40 %18 + 1260 %40 %45 + 30100

आकृतीत : टक्केवारी स्तंभ : प्रत्येक स्तंभ 100 % ; 18 + 12 → 60 % आणि 40 %, 45 + 30 → तेच 60 % आणि 40 %.

सूत्र : टक्के = भाग ÷ एकूण × 100

Live आकृती

टक्केवारी स्तंभालेख

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : चहा 40 आणि कॉफी 10 कप. एकूण 50. चहा = 40 ÷ 50 × 100 = 80 % ; कॉफी = 10 ÷ 50 × 100 = 20 %.
  • मध्यम : वर्ग A : 18 मुले, 12 मुली ; एकूण 30 ; मुले = 18 ÷ 30 × 100 = 60 % ; मुली = 40 %.
  • परीक्षेसाठी : वर्ग B : 45 मुले, 30 मुली ; एकूण 75 ; मुले = 45 ÷ 75 × 100 = 60 % ; मुली = 40 % — संख्या वेगळ्या पण टक्के सारखे.
लक्षात ठेवा

टक्केवारी आलेखात प्रत्येक स्तंभाची उंची 100 % असते.

सामान्य चूक

टक्केवारीच्या आलेखात सर्व स्तंभ सारख्या उंचीचे दिसतात — म्हणून एकूण संख्या त्यातून कळत नाही.

शॉर्टकट

सर्व भागांचे टक्के मिळून 100 % झाले का ते तपासा. आठवणीची युक्ती : टक्केवारी आलेखात सर्व स्तंभ समान उंचीचे, कारण प्रत्येकाचा एकूण 100 %.

फरक ओळखा

मुद्दासाधा स्तंभालेखउपविभाजितटक्केवारी
स्तंभातएक भागदोन/अधिक भागदोन/अधिक भाग
स्तंभाची उंचीसंख्याएकूण संख्यासर्वांची 100 %
कशासाठीसंख्यांची तुलनाएकूण आणि भागभागांच्या प्रमाणाची तुलना

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 12, 3, 3, 4, 3, 2, 3, 4 ची वारंवारता सारणी आणि मध्य काढा.
  2. 260 पैकी 15 विद्यार्थी गैरहजर. टक्के?
  3. 3चहा 40, कॉफी 10 कप. चहाचे टक्के?
मध्यम
  1. 4x : 10, 20, 30 आणि f : 2, 5, 3 यांचा मध्य काढा.
  2. 5वर्गात 18 मुले आणि 12 मुली. दोघांचे टक्के?
  3. 62022 : A 30, B 20 ; 2023 : A 35, B 25. कोणत्या वर्षाचा एकूण स्तंभ मोठा आणि किती?
आव्हानात्मक
  1. 7x : 1, 2, 3, 4 आणि f : 4, 6, 8, 2. मध्य?
  2. 85 संख्यांचा मध्य 12. एक संख्या 18 मिळवल्यावर नवा मध्य?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 12 → 2 वेळा, 3 → 4 वेळा, 4 → 2 वेळा ; N = 8 ; बेरीज = 4 + 12 + 8 = 24 ; मध्य = 24 ÷ 8 = 3.
  2. 215 ÷ 60 × 100 = 25 %.
  3. 380 %.
  4. 4210 ÷ 10 = 21.
  5. 5मुले 18 ÷ 30 × 100 = 60 % ; मुली 12 ÷ 30 × 100 = 40 %.
  6. 62023 चा ; 60 − 50 = 10 ने.
  7. 7N = 20 ; x × f = 4 + 12 + 24 + 8 = 48 ; मध्य = 48 ÷ 20 = 2.4.
  8. 8(60 + 18) ÷ 6 = 13.