बहुपदीला एकपदीने भागणे
₹12x आणि ₹8 च्या वस्तू मिळून 4 मित्रांत वाटायच्या : प्रत्येकाला (12x + 8) ÷ 4 = 3x + 2. प्रत्येक पद वेगळे भागा.
बहुपदीला एकपदीने भागताना बहुपदीचे प्रत्येक पद त्या एकपदीने भागा आणि निकाल लिहा.
आकृतीत : 12x + 8 चे 4 समान वाटे : प्रत्येक पद वेगळे भागा ⇒ प्रत्येक वाटा 3x + 2.
सूत्र : (पद१ + पद२) ÷ भाजक = पद१ ÷ भाजक + पद२ ÷ भाजक
शब्दांत : अंक अंकाने भागा, आणि सारख्या अक्षराचे घात वजा करा (x³ ÷ x = x²).
- सोपे : (12x³ + 8x²) ÷ (4x) = 3x² + 2x
- मध्यम : (6m²n + 9mn²) ÷ (3mn) = 2m + 3n
- परीक्षेसाठी : (20a³b − 15a²b² + 10ab³) ÷ (5ab) = 4a² − 3ab + 2b²
तपासणी : भागाकार × भाजक केला की भाज्य परत मिळाला पाहिजे.
पहिल्या पदाला भाजक एकदा लावून थांबू नका; प्रत्येक पदाला लावा.
भाजक एकपद असेल तर अंक अंकाने भागा आणि अक्षराचे घात वजा करा. आठवणीची युक्ती : भागाकारात आधी अंक, मग अक्षरे : "अंक भागा, घात वजा करा".
फरक ओळखा
| मुद्दा | एकपदीने भागणे | द्विपदीने भागणे |
|---|---|---|
| पद्धत | प्रत्येक पद वेगळे भागा | दीर्घ भागाकार |
| बाकी | सहसा 0 | 0 किंवा शून्य नसलेली |
| उदाहरण | (12x² + 8x) ÷ 4x = 3x + 2 | (x² + 7x + 10) ÷ (x + 2) = x + 5 |
| तपासणी | भागाकार × भाजक | भाजक × भागाकार + बाकी |
सरावासाठी प्रश्न
- 1(10x² + 15x) ÷ 5x
- 2(18a³ − 12a²) ÷ 6a
- 3(14m²n + 21mn²) ÷ 7mn
- 4(24x³ − 16x² + 8x) ÷ 8x
- 5(9p³q² − 6p²q³) ÷ 3p²q²
- 6(35x⁴ + 28x³ − 14x²) ÷ 7x²
- 7आयताचे क्षेत्रफळ 24x² + 36x आणि लांबी 6x आहे. रुंदी किती?
- 8(20a²b² − 15ab³ + 5ab) ÷ 5ab आणि तपासणी करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 12x + 3
- 23a² − 2a
- 32m + 3n
- 43x² − 2x + 1
- 53p − 2q
- 65x² + 4x − 2
- 7रुंदी = (24x² + 36x) ÷ 6x = 4x + 6.
- 8भागाकार = 4ab − 3b² + 1 ; तपासणी : 5ab × (4ab − 3b² + 1) = 20a²b² − 15ab³ + 5ab ✔.
बहुपदीला द्विपदीने भागणे
47 ÷ 5 : भागाकार 9, बाकी 2. हे असे लिहितात : 47 = 5 × 9 + 2. बहुपदीचा भागाकारही अगदी असाच, फक्त अंकांऐवजी x चे घात.
भाज्य = भाजक × भागाकार + बाकी. बाकीचा घात भाजकाच्या घातापेक्षा कमी झाला की थांबा.
आकृतीत : (x² + 7x + 10) ÷ (x + 2) : x² ÷ x = x ; वजा केल्यावर 5x + 10 ; 5x ÷ x = 5 ; वजा केल्यावर 0 ⇒ भागाकार x + 5.
सूत्र : भाज्य = भाजक × भागाकार + बाकी
शब्दांत : पायऱ्या : 1) दोन्ही घाताच्या उतरत्या क्रमाने लिहा. 2) भाज्याचे पहिले पद भाजकाच्या पहिल्या पदाने भागा — भागाकाराचे पद मिळाले. 3) ते पद भाजकाशी गुणा आणि खालच्या ओळीत लिहा. 4) वजा करा, पुढचे पद खाली घ्या. 5) बाकी लहान होईपर्यंत पुन्हा करा.
बहुपदीला द्विपदीने भागणे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : (x² + 7x + 10) ÷ (x + 2) = x + 5 (बाकी 0)
- मध्यम : x² + 5x + 9 = (x + 2)(x + 3) + 3 (भागाकार x + 3, बाकी 3)
- परीक्षेसाठी : (2x³ + 3x² − 5x − 6) ÷ (x + 2) = 2x² − x − 3 (बाकी 0)
पायऱ्या (सोपे) : x² ÷ x = x ; x(x + 2) = x² + 2x ; वजा केल्यावर 5x + 10 ; 5x ÷ x = 5 ; 5(x + 2) = 5x + 10 ; वजा केल्यावर 0.
पायऱ्या (परीक्षेसाठी) : 2x³ ÷ x = 2x² ; 2x²(x + 2) = 2x³ + 4x² ; वजा : −x² − 5x − 6 ; −x² ÷ x = −x ; −x(x + 2) = −x² − 2x ; वजा : −3x − 6 ; −3(x + 2) = −3x − 6 ; बाकी 0.
गायब पदे : x³ − 8 मध्ये x² आणि x ची पदे नाहीत. ती 0x² आणि 0x लिहून घ्या : x³ + 0x² + 0x − 8. मग (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.
भाज्य = भाजक × भागाकार + बाकी — तपासणीसाठी नेहमी वापरा.
वजा करताना चिन्हे बदलायला विसरू नका. −(x² + 2x) = −x² − 2x.
बाकी 0 आला तर भाजक हा भाज्याचा अवयव असतो. आठवणीची युक्ती : लांब भागाकारासारखेच : भाज्य, भाजक, भागाकार आणि बाकी ; "भागाकार × भाजक + बाकी = भाज्य".
फरक ओळखा
| मुद्दा | संख्या 47 ÷ 5 | बहुपदी (x² + 5x + 9) ÷ (x + 2) |
|---|---|---|
| भागाकार | 9 | x + 3 |
| बाकी | 2 | 3 |
| तपासणी | 5 × 9 + 2 = 47 | (x + 2)(x + 3) + 3 = x² + 5x + 9 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1(15a³ − 10a²) ÷ (5a)
- 2(8m²n + 12mn²) ÷ (4mn)
- 3(x² + 9x + 20) ÷ (x + 4)
- 4(x² + x − 12) ÷ (x − 3)
- 5(x² + 6x + 10) ÷ (x + 3) : भागाकार आणि बाकी?
- 6(x³ + 27) ÷ (x + 3)
- 7(6x² + 7x − 3) ÷ (2x + 3)
- 8x² + 4x + 1 मध्ये काय मिळवले म्हणजे ते (x + 2) ने पूर्ण भाग जाईल?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1(15a³ − 10a²) ÷ (5a) = 3a² − 2a
- 2(8m²n + 12mn²) ÷ (4mn) = 2m + 3n
- 3(x² + 9x + 20) ÷ (x + 4) = x + 5
- 4(x² + x − 12) ÷ (x − 3) = x + 4
- 5x² + 6x + 10 = (x + 3)(x + 3) + 1 (भागाकार x + 3, बाकी 1)
- 6(x³ + 27) ÷ (x + 3) = x² − 3x + 9
- 7(6x² + 7x − 3) ÷ (2x + 3) = 3x − 1
- 8x² + 4x + 1 = (x + 2)(x + 2) − 3 म्हणून 3 मिळवा : x² + 4x + 4 = (x + 2)², पूर्ण भाग जातो.